一維周期場中電子運動的近自由電子近似固體物理

1、04_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論04_02 一維周期場中電子運動的近自由電子近似一維周期場中電子運動的近自由電子近似 模型和微擾計算模型和微擾計算 近自由電子近似模型近自由電子近似模型 假定勢場的起伏較小假定勢場的起伏較小 電子受到原子實電子受到原子實 周期性勢場的作用周期性勢場的作用01/6004_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論零級近似零級近似 用勢場平均值代替原子實產(chǎn)生的勢場用勢場平均值代替原子實產(chǎn)生的勢場 周期性勢場的起伏量周期性勢場的起伏量 可以作為微擾來處理可以作為微擾來處理)(xVV VVxV)(04_02_一維周期場中電子運動的近自

2、由電子近似 能帶理論 零級近似下電子的能量和波函數(shù)零級近似下電子的能量和波函數(shù) 空格子中電子的能量和波函數(shù)空格子中電子的能量和波函數(shù)金屬的線度金屬的線度零級近似下零級近似下VdxdmH2220200020222EVdxdm02201( )2ikxkkxeLkEVmNaL 04_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論正交歸一化正交歸一化Nalk20*00Lkkkkdx l 為整數(shù)為整數(shù)邊界條件邊界條件0()11( )ikxik x NakxeeLL2lkNa 波矢取值波矢取值 能量能量VmkEk222004_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論 微擾下電子的能量本征

3、值微擾下電子的能量本征值 哈密頓量哈密頓量0HHH22022( )dHVm dxHV xVV 微擾理論微擾理論 電子的能量本征值電子的能量本征值.)2()1(0kkkkEEEE05/6004_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論一級能量修正一級能量修正(1)011( )kLikxikxeV xVLEe dxL(1)011 ( )LikxikxkEeV xVe dxLL0(1)|kEk HkkVxVk|)(|能量本征值能量本征值.)2()1(0kkkkEEEE00*|kkkk04_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論二級能量修正二級能量修正2(2)00|kkkkk

4、HkEEE()01( )Li kk xeV x dxL|( )|kHkk V xV k 按原胞劃分積分按原胞劃分積分1(1)()01( )Nnai kk xnaneV x dxNa kk|( )|k V xk04_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論1(1)()01|( )|( )Nnai kk xnank V xkeV x dxNa引入積分變量引入積分變量 nax勢場是晶格周期性函數(shù)勢場是晶格周期性函數(shù))()(naVVdxd:0a 04_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論(00()111| ( )|( )ai kkNi kk a nnk V xkeVdNae

5、2kkna1()011Ni kk a nneN2kkna()1()()011 11i kk NaNi kk a ni kk aneeNNe1) 2) 22klNaklNa004_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論2| ( )|( )2| ( )|0kknk V xkV nakknk V xka V(x)第第n個傅里葉系數(shù)個傅里葉系數(shù)2|( )2|0kknkHkV nakknkHka()01|( )|( )ai kkkHkk V xkeVda10/6004_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論二級修正項二級修正項22022022kkkEVmkEVm2(2)00|

6、kkkkkHkEEEnnkankkmVE)2(22222)2(|( )kHkV n2kkna04_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論0(1)(2)kkkkEEEE220(1)2(2)222( )020(2 ) 2( )(1/ )( )kknknai kkkEVmEVEnkkmaV naeVd電子的能量本征值電子的能量本征值2222222(2 ) 2nknVkEVnmkkma04_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論 微擾下電子的波函數(shù)微擾下電子的波函數(shù) 電子的波函數(shù)電子的波函數(shù).)()()()1(0 xxxkkk波函數(shù)的一級修正波函數(shù)的一級修正0( )(1/)

7、ikxkxL e(1)000|kkkkkkHkEE2()|( )2()|0kknkHkV nakknkHka04_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論2(1)2221(2 ) 2nixikxnaknVeenLkkma 計入微擾電子的波函數(shù)計入微擾電子的波函數(shù)xaninnikxikxkeankkmVeLeLx2222)2(211)(04_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論)2(211)(2222xaninnikxkeankkmVeLx令令xaninnkeankkmVxu2222)2(21)(可以證明可以證明()( )kkuxmaux1( )()( )ikxkkx

8、euxL電子波函數(shù)電子波函數(shù) 布洛赫函數(shù)形式布洛赫函數(shù)形式15/6004_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論xaninnikxikxkeankkmVeLeLx2222)2(211)( 電子波函數(shù)的意義電子波函數(shù)的意義 1) 電子波函數(shù)和散射波電子波函數(shù)和散射波 前進的平面波前進的平面波 勢場作用產(chǎn)生的散射波勢場作用產(chǎn)生的散射波散射波的波矢散射波的波矢相關散射波成份的振幅相關散射波成份的振幅2nkka)2(2222ankkmVn04_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論相鄰原子的散射波有相同的相位相鄰原子的散射波有相同的相位散射波散射波(2)2221(2 ) 2

9、ni kxnanVenLkkma(2)ni kikaeenak22na 2電子入射波波長電子入射波波長 布拉格反射條件在正入射時的結(jié)果布拉格反射條件在正入射時的結(jié)果kk nka 04_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論波函數(shù)一級修正項波函數(shù)一級修正項222(2 ) 2nVnkkma 散射波成份的振幅散射波成份的振幅22221(2 ) 2nixikxnanVeenLkkma 微擾法不再適用了微擾法不再適用了ank入射波波矢入射波波矢04_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論2) 電子波函數(shù)和不同態(tài)之間的相互作用電子波函數(shù)和不同態(tài)之間的相互作用xaninnikxi

10、kxkeankkmVeLeLx2222)2(211)(在零級波函數(shù)在零級波函數(shù) 中摻入其它零級波函數(shù)中摻入其它零級波函數(shù)ikxkeLx1)(0 能量差越小摻入部分越大能量差越小摻入部分越大(2 )01( )ni kxakxeL04_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論當當 時時ank2nnkkaaxaninnikxikxkeankkmVeLeLx2222)2(211)(VmkEk22202202kkEVm兩個狀態(tài)具有相同的能量兩個狀態(tài)具有相同的能量 導致了導致了波函數(shù)的發(fā)散波函數(shù)的發(fā)散00kkEE20/6004_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論 電子能量的意

11、義電子能量的意義nnkankkmVE)2(22222)2(2)kE nkanka 二級能量修正二級能量修正當當 電子的能量是發(fā)散的電子的能量是發(fā)散的 k和和k兩個狀態(tài)具有相同的能量兩個狀態(tài)具有相同的能量_k和和k態(tài)簡并態(tài)簡并04_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論 電子波矢在電子波矢在 附近的能量和波函數(shù)附近的能量和波函數(shù) ank簡并微擾簡并微擾 波函數(shù)由簡并波函數(shù)線性組合構成波函數(shù)由簡并波函數(shù)線性組合構成狀態(tài)狀態(tài))1 (ank 一個小量一個小量 主要影響的態(tài)主要影響的態(tài)2(1)nnkkaa 只考慮影響最大的狀態(tài)只考慮影響最大的狀態(tài)_忽略其它狀態(tài)的影響忽略其它狀態(tài)的影響0 0

12、4_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論(1)nka狀態(tài)狀態(tài) 對狀態(tài)對狀態(tài) 的影響的影響)1 (ankk k 04_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論波函數(shù)波函數(shù)00( )kkxab0(1/)ikxkL e0(1/)ik xkL e薛定諤方程薛定諤方程0( )( )( )HxHxExVdxdmH22202( )HV xVV 應用應用00000000kkkkkkHEand HE0000()()0kkkka EEVb EEV04_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論分別以分別以 或或 從左邊乘方程，對從左邊乘方程，對 x 積分積分*0k*0 k利用

13、利用0kV kkV k 線性代數(shù)方程線性代數(shù)方程0*0()0()0knnkEE aV bV aEE ba, b有非零解有非零解0*00knnkEEVVEE0000()()0kkkka EEVb EEV*nnVk V kVk V k 25/6004_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論1)00kknEEV波矢波矢k離離 較遠較遠_k狀態(tài)的能量和狀態(tài)狀態(tài)的能量和狀態(tài)k差別較大差別較大an200000021() 14/() 2kkkknkkEEEEEVEE2000021()42kkkknEEEEEV將將 按按 展開展開200 214/()nkkVEE20024/()nkkVEE)1

14、(ank(1)nka 能量本征值能量本征值04_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論2000000221()12()nkkkkkkVEEEEEEE22002002214/()1()nnkkkkVVEEEE 20002000nkkknkkkVEEEEVEEE()(1)()(1)nkanka 000kkEE 04_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論00kkEEk和和k能級相互作用能級相互作用 原來能級較高的原來能級較高的k提高提高 原來能級較低的原來能級較低的k下壓下壓量子力學中微擾作用量子力學中微擾作用 兩個相互影響的能級兩個相互影響的能級 總是原來較高的能量提

15、高了總是原來較高的能量提高了 原來較低的能量降低了原來較低的能量降低了20002000nkkknkkkVEEEEVEEE 能級間能級間“排斥作用排斥作用” EE04_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論00kkEEEE 原來能級較高的原來能級較高的k提高提高 原來能級較低的原來能級較低的k下壓下壓20002000nkkknkkkVEEEEVEEE04_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論2)00kknEEV波矢波矢k非常接近非常接近 _k狀態(tài)的能量和狀態(tài)的能量和k能量差別很小能量差別很小an200002121() /42kknkknEEEVEEV將將 按按 展開

16、展開20021() /4kknEEV2002() /4kknEEV2000021()42kkkknEEEEEV)1 (ank(1)nka 30/6004_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論00200222()1 ()11244kkkknnEEEEVV 002001()224kkkknnEEEEEVV22022022kkkEVmkEVm(1)(1)nkanka 22)(2anmTn04_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論 結(jié)果分析結(jié)果分析 ) 12() 12(22nnnnnnnnnnVTTVTVVTTVTVE1) 兩個狀態(tài)兩個狀態(tài)k和和k微擾后微擾后 能量變?yōu)?/p>

17、能量變?yōu)镋+和和E-原能量高的態(tài)原能量高的態(tài) ，能量提高；原能量低的態(tài)，能量提高；原能量低的態(tài) 能量降低能量降低0 k0k220(1)(1)()2nnkankanTma 04_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論兩個相互影響的狀態(tài)兩個相互影響的狀態(tài)k和和k微擾后微擾后 能量變?yōu)槟芰孔優(yōu)镋+和和E-22(1)nnnnnEVTVTTV 22(1)nnnnnEVTVTTV04_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論22(21)(21)nnnnnnnnnnTVTVTVETVTVTV 2) 當當 0 時時nnVTVE(1)(1)nkanka 04_02_一維周期場中電子運動

18、的近自由電子近似 能帶理論nnVTVE兩種情形下完全對稱的能級兩種情形下完全對稱的能級)1 (ank(1)nka A和和B0 0 兩個狀態(tài)作用后的能級兩個狀態(tài)作用后的能級 C和和D0 0 兩個狀態(tài)作用后的能級兩個狀態(tài)作用后的能級00and 35/6004_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論3) 能帶和帶隙能帶和帶隙_禁帶禁帶 零級近似零級近似_電子能量曲線為拋物線電子能量曲線為拋物線 VmkEk222000kknEEV k狀態(tài)不計二級能量修正狀態(tài)不計二級能量修正nnankkmV2222)2(2 微擾情形微擾情形_電子的電子的k不在不在 附近附近/na04_02_一維周期場中電

19、子運動的近自由電子近似 能帶理論3) 能帶和帶隙能帶和帶隙_禁帶禁帶VmkEk222 拋物線拋物線2222222(2 ) 2nknVkEVnmkkma004_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論nak電子的一個狀態(tài)波矢電子的一個狀態(tài)波矢kna 存在一個存在一個 狀態(tài)狀態(tài) 兩個態(tài)的能量相同兩個態(tài)的能量相同kna電子的一個狀態(tài)波矢電子的一個狀態(tài)波矢kna存在一個存在一個 狀態(tài)狀態(tài) 兩個狀態(tài)的能量相近兩個狀態(tài)的能量相近04_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論由于周期性勢場的微擾由于周期性勢場的微擾能量的突變能量的突變2nV 微擾只考慮兩個態(tài)的作用微擾只考慮兩個態(tài)的作

20、用kna 能量本征值在能量本征值在 處斷開處斷開222(1)2(1)nnnnnnnnnnTVTVTVETVTVTV 禁帶寬度禁帶寬度04_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論電子波矢取值電子波矢取值Nalk2VmkEk222 1個個 l，1個量子態(tài)個量子態(tài) k能量本征值能量本征值N很大很大 能量視為準連續(xù)能量視為準連續(xù)周期性勢場影響周期性勢場影響 準連續(xù)能級分裂為一系列能帶準連續(xù)能級分裂為一系列能帶能量本征值在能量本征值在 處斷開處斷開nak40/6004_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論4) 能帶底部能帶底部_能量向上彎曲能量向上彎曲 能帶頂部能帶頂部_能

21、量向下彎曲能量向下彎曲5) 禁帶出現(xiàn)在波矢空間倒格矢的中點處禁帶出現(xiàn)在波矢空間倒格矢的中點處1 221 421 62kaaa 禁帶寬度禁帶寬度122, 2,2gnEVVV 取決于金屬勢場形式取決于金屬勢場形式04_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論 能帶及一般性質(zhì)能帶及一般性質(zhì) 自由電子的能譜自由電子的能譜mkEk222晶體弱周期性勢場的微擾晶體弱周期性勢場的微擾 電子能譜在布里淵邊界電子能譜在布里淵邊界),3,3(),2,2(),(aaaaaa產(chǎn)生了寬度產(chǎn)生了寬度 的禁帶的禁帶,2,2,2321VVVEg發(fā)生能量躍變發(fā)生能量躍變遠離布里淵區(qū)邊界遠離布里淵區(qū)邊界 近自由電子的

22、能譜近自由電子的能譜_拋物線拋物線04_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論),(),(),(321kEkEkE 每個波矢每個波矢k有一個量子態(tài)有一個量子態(tài) 原胞的數(shù)目趨于無限大時原胞的數(shù)目趨于無限大時_波矢波矢k變得非常密集變得非常密集 能級的準連續(xù)分布形成了一系列的能帶能級的準連續(xù)分布形成了一系列的能帶 各能帶之間是禁帶各能帶之間是禁帶 在完整的晶體中在完整的晶體中 禁帶無允許的能級禁帶無允許的能級04_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論能帶序號能帶序號k的范圍的范圍k的長度的長度布里淵區(qū)布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)第二布里淵區(qū)第二布里淵區(qū)第三布里淵區(qū)

23、第三布里淵區(qū)一維布喇菲格子一維布喇菲格子 能帶序號能帶序號_能帶涉及波矢能帶涉及波矢k的范圍的范圍 與布里淵區(qū)的對應關系與布里淵區(qū)的對應關系)(1kEaaa2)(2kEaa2aa2a2)(3kEaa23aa32a204_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論一維布喇菲格子一維布喇菲格子 能帶序號能帶序號_能帶能帶 波矢波矢k所在的布里淵區(qū)的對應關系所在的布里淵區(qū)的對應關系45/6004_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論 每個能帶中包含的每個能帶中包含的量子態(tài)數(shù)目量子態(tài)數(shù)目波矢波矢k的取值的取值Nalk2Nalk2 k的數(shù)目的數(shù)目kkk(/2 )lNak 每個能

24、帶對應每個能帶對應k的取值范圍的取值范圍2 /ka 各個能帶各個能帶k的取值數(shù)目的取值數(shù)目NaNa22 原胞的數(shù)目原胞的數(shù)目計入電子自旋計入電子自旋 每個能帶中包含每個能帶中包含2N個量子態(tài)個量子態(tài)04_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論 電子波矢和量子數(shù)簡約波矢的關系電子波矢和量子數(shù)簡約波矢的關系 aa 第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)電子的波矢電子的波矢Nalk2一維情形一維情形 m為整數(shù)為整數(shù)kmak2的取值范圍的取值范圍k 平移算符本征值量子數(shù)平移算符本征值量子數(shù) k_簡約波矢簡約波矢k l 為整數(shù)為整數(shù)04_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論xaninni

25、kxikxkeankkmVeLeLx2222)2(211)( 電子的波函數(shù)電子的波函數(shù))()(xvexikxk)2(21 (1)(2222xaninneankkmVLxv 晶格周期性函數(shù)晶格周期性函數(shù)04_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論kmak2將將 代入代入)()(xvexikxk)2(211()(22222xaninnmxaixk ikeankkmVLLeex)2(211()(22222xaninnmxaieankkmVLLexu 晶格周期性函數(shù)晶格周期性函數(shù) 04_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論)()(xuexxk ik晶體中電子的波函數(shù)晶體中

26、電子的波函數(shù)電子在周期性勢場中的波函數(shù)為布洛赫函數(shù)電子在周期性勢場中的波函數(shù)為布洛赫函數(shù))2(211()(22222xaninnmxaieankkmVLLexu50/6004_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論 用簡約波矢來表示電子的能量用簡約波矢來表示電子的能量 電子的能量電子的能量2222222(2 )2nknVkEVnmkkmakmak2 m為整數(shù)為整數(shù)_對應于不同的能帶對應于不同的能帶04_02_一維周期場中電子運動的近自由電子近似 能帶理論第一能帶位于簡約布里淵區(qū)第一能帶位于簡約布里淵區(qū)_其它能帶通過倒格矢其它能帶通過倒格矢2nGna移到簡約布里淵區(qū)移到簡約布里淵區(qū) 所有能帶在簡約布里淵區(qū)的圖像所有能帶在簡約布里淵區(qū)的圖像 簡約波矢的取值被限制在簡約布里淵區(qū)簡約波矢的取值被限制在簡約布里淵區(qū) 要標志一個狀態(tài)需要表明要標志一個狀態(tài)需要表明1) 它屬于哪一個能帶它屬于哪一個能帶 _能帶標號能帶標號2) 它的簡約波矢它的簡約波矢 是什么？是什么？k