新浙教版八下數(shù)學(xué)下冊4.6《反證法》匯編

1、路邊苦李路邊苦李 王戎王戎7歲時歲時,與小與小伙伴們外出游玩伙伴們外出游玩,看看到路邊的李樹上結(jié)滿到路邊的李樹上結(jié)滿了果子了果子.小伙伴們紛小伙伴們紛紛去摘取果子紛去摘取果子,只有只有王戎站在原地不動王戎站在原地不動王戎回答說王戎回答說:“樹在道邊而多子樹在道邊而多子,此必苦李此必苦李.”小伙伴摘取一個嘗了一下果然是苦李小伙伴摘取一個嘗了一下果然是苦李.王戎是怎樣知道李子是苦的呢王戎是怎樣知道李子是苦的呢?他運用了怎樣的推理他運用了怎樣的推理方法方法?王戎的推理方王戎的推理方法法發(fā)生在身邊的例子發(fā)生在身邊的例子:媽媽媽媽:小華小華,聽說鄰居小芳全家這幾天在外地旅游聽說鄰居小芳全家這幾天在外地旅

2、游.小華小華:不可能不可能,我上午還在學(xué)校碰到了她和她媽媽我上午還在學(xué)校碰到了她和她媽媽呢呢!上述對話中上述對話中,小華要告訴媽媽的命題是什么小華要告訴媽媽的命題是什么?他是如何推斷該命題的正確性的他是如何推斷該命題的正確性的?小芳全家沒外出旅游小芳全家沒外出旅游.小芳全家沒外出旅游小芳全家沒外出旅游.假設(shè)小芳全家外出旅游假設(shè)小芳全家外出旅游,那么今天不可能碰到小芳那么今天不可能碰到小芳,與上午在學(xué)校碰到小芳和她媽媽矛盾與上午在學(xué)校碰到小芳和她媽媽矛盾,所以假設(shè)不成立所以假設(shè)不成立,所以小芳全家沒有外出旅游所以小芳全家沒有外出旅游. 在證明一個命題時在證明一個命題時, ,有時先假設(shè)命題不成立有

3、時先假設(shè)命題不成立, ,從這從這樣的假設(shè)出發(fā)樣的假設(shè)出發(fā), ,經(jīng)過推理得出和已知條件矛盾經(jīng)過推理得出和已知條件矛盾, ,或者與或者與定義定義, ,基本事實基本事實, ,定理等矛盾定理等矛盾, ,從而得出假設(shè)命題不成立從而得出假設(shè)命題不成立是錯誤的是錯誤的, ,即所求證的命題正確。這種證明方法叫做反即所求證的命題正確。這種證明方法叫做反證法。證法。反證法定義反證法定義一、提出假設(shè)一、提出假設(shè)二、推理論證二、推理論證三、得出矛盾三、得出矛盾四、結(jié)論成立四、結(jié)論成立什么時候運用反證法呢？什么時候運用反證法呢？反證法的步驟反證法的步驟1、寫出下列各結(jié)論的反面：、寫出下列各結(jié)論的反面：（1）a/b（2）

4、a0（3）b是正數(shù)是正數(shù)（4）ab ( 5 )至多有一個至多有一個（6）至少有一個）至少有一個a0b是是0或負數(shù)或負數(shù)a不垂直于不垂直于bab一個也沒有一個也沒有至少有兩個至少有兩個 用反證法證明（填空）用反證法證明（填空）: :在三角形的內(nèi)角在三角形的內(nèi)角中，至少有一個角大于或等于中，至少有一個角大于或等于6060. .這與這與_相矛盾相矛盾. .所以所以_不成立，所求證的結(jié)論成立不成立，所求證的結(jié)論成立. . 已知已知: : A，B，C是是ABC的內(nèi)角的內(nèi)角. . 求證求證: : A，B，C中至少有一個角大中至少有一個角大 于于 或等于或等于60.證明證明: : 假設(shè)所求證的結(jié)論不成立，即

5、假設(shè)所求證的結(jié)論不成立，即 A _ 60 ，B _ 60 ，C _60 則則A+B+C 180.三角形三個內(nèi)角的和等于三角形三個內(nèi)角的和等于180180假設(shè)假設(shè)例例 求證：四邊形中至少有一個角是鈍角或直角求證：四邊形中至少有一個角是鈍角或直角.已知：四邊形已知：四邊形ABCD(如右圖如右圖).求證：四邊形求證：四邊形ABCD中至少有一個角是鈍角或直角中至少有一個角是鈍角或直角.證明：證明：假設(shè)四邊形假設(shè)四邊形ABCD中沒有一個角中沒有一個角是鈍角或直角，即是鈍角或直角，即A90， B90, C90, D90于是于是A+ B+C+ D360.這與這與“四邊形的內(nèi)角和為四邊形的內(nèi)角和為360”矛盾

6、矛盾.所以四邊形所以四邊形ABCD中至少有一個角是鈍角或直角中至少有一個角是鈍角或直角.試一試試一試已知：如圖，直線已知：如圖，直線a,b被直線被直線c所截，所截， 1 2求證：求證：ababc121=2 (兩直線平行兩直線平行,同位角相等同位角相等)這與已知的這與已知的12矛盾矛盾假設(shè)不成立假設(shè)不成立證明：假設(shè)結(jié)論不成立，則證明：假設(shè)結(jié)論不成立，則abab求證求證:在同一平面內(nèi)在同一平面內(nèi),如果一條直線和兩條平如果一條直線和兩條平行直線中的一條相交行直線中的一條相交,那么和另一條也相交那么和另一條也相交.已知已知: 直線直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi)在同一平面內(nèi),且且l1l2,l3與與l1

7、相交于相交于點點P.求證求證:l3與與l2相交相交.證明證明:假設(shè)假設(shè)_,那么那么_. _,這與這與“_ _”矛盾矛盾.所以所以假設(shè)不成立假設(shè)不成立,即求證的命題正確即求證的命題正確.l1l2l3Pl3與與l2 不相交不相交.l3l2l1l2 經(jīng)過直線外一點經(jīng)過直線外一點,有且只有一條直有且只有一條直線和已知直線平行線和已知直線平行過直線過直線l2外一點外一點P,有有兩條直線兩條直線和和l2平行平行,求證求證: :在同一平面內(nèi)在同一平面內(nèi), ,如果兩條直線都和第三條直線平行如果兩條直線都和第三條直線平行, ,那那么這兩條直線也互相平行么這兩條直線也互相平行. .(1)(1)你首先會選擇哪一種證

8、明方法你首先會選擇哪一種證明方法? ?(2)(2)如果你選擇反證法如果你選擇反證法, ,先怎樣假設(shè)先怎樣假設(shè)? ?結(jié)果和什么產(chǎn)生矛盾結(jié)果和什么產(chǎn)生矛盾? ?定理定理已知已知: :如圖，如圖，l1l2 ,l 3l2求證：求證： ll lllll , l3l2, 則過點則過點p就有兩條直線就有兩條直線l、 l都與都與l平行，這與平行，這與“經(jīng)過直線外一點，有且經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線平行于已知直線只有一條直線平行于已知直線”矛盾矛盾證明：假設(shè)證明：假設(shè)l不平行不平行l(wèi)，則，則l與與l相交，設(shè)交點為相交，設(shè)交點為p.p所以所以假設(shè)假設(shè)不成立，所求證的結(jié)論成立，不成立，所求證的結(jié)論成立，即即

9、ll 求證求證: :在同一平面內(nèi)在同一平面內(nèi), ,如果兩條直線都和第三條直線平行如果兩條直線都和第三條直線平行, ,那那么這兩條直線也互相平行么這兩條直線也互相平行. .定理定理(3)(3)能不用反證法證明嗎能不用反證法證明嗎? ?你是怎樣證明的你是怎樣證明的? ?已知已知: :如圖，如圖，l1l2 ,l 3 l 2求證求證: : l1l3 l1l2l3lpl1l2 ,l 3l 2直線直線l必定與直線必定與直線l2，l3相交（相交（在同一平面內(nèi)，在同一平面內(nèi)， 如果一條直線和兩條平行直線中的一條相如果一條直線和兩條平行直線中的一條相 交，那么和另一條直線也相交交，那么和另一條直線也相交）證明證

10、明: :作直線作直線l交直線交直線l2于點于點p p，2 =1=3（兩直線平行，同位角相等）（兩直線平行，同位角相等） l1l3 （同位角相等，兩直線平行）同位角相等，兩直線平行）213 定理定理: :在同一平面內(nèi)在同一平面內(nèi),如果兩條直如果兩條直線都和第三條直線平行線都和第三條直線平行,那么這兩條那么這兩條直線也互相平行直線也互相平行.幾何語言幾何語言表示表示: ab,bc, acabc已知已知: :如圖如圖, ,直線直線l l與與l l1 1,l,l2 2,l,l3 3都相都相交交, ,且且 l l1 1ll3 3,l,l2 2ll3 3, ,求證求證:1=2:1=2l1l2l3l1 12

11、 2證明證明: : l1l3,l2l3( (已知已知) ) l1l2 ( (在同一平面內(nèi)在同一平面內(nèi), ,如果兩條直線都和第如果兩條直線都和第三條直線平行三條直線平行, ,那么這兩條直線也互相平行那么這兩條直線也互相平行) ) 1=2( (兩直線平行兩直線平行, ,同位角相等同位角相等) )變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1、“ab”的反面應(yīng)是（的反面應(yīng)是（ ）（A）ab （B）a b （C）a=b （D）a=b或或a b2、用反證法證明命題、用反證法證明命題“三角形中最多有三角形中最多有一個是直角一個是直角”時，應(yīng)如何假設(shè)？時，應(yīng)如何假設(shè)？_D假設(shè)三角形中有兩個或三個角是直角假設(shè)三角形中有兩個或三個角是直角

12、常用的互為否定的表述方式：常用的互為否定的表述方式：是是不是；不是； 存在存在不存在不存在平行平行不平行；不平行； 垂直垂直不垂直不垂直等于等于不等于；不等于； 都是都是不都是不都是大于大于不大于；不大于； 小于小于不小于不小于至少有一個至少有一個一個也沒有一個也沒有至少有三個至少有三個至多有兩個至多有兩個至少有至少有n個個至多有至多有(n-1)個個至少有兩個至少有兩個至多有一個至多有一個如圖，在如圖，在ABC中中,若若C是直角，那么是直角，那么B一一定是銳角定是銳角.ACB你能用反證法證明以下命題嗎？你能用反證法證明以下命題嗎？延伸拓展延伸拓展證明：假設(shè)結(jié)論不成立證明：假設(shè)結(jié)論不成立,則則B

13、是是_或或_.這與這與_矛盾；矛盾；當當B是是_時，則時，則_這與這與_矛盾；矛盾；綜上所述綜上所述,假設(shè)不成立假設(shè)不成立.B一定是銳角一定是銳角.直角直角鈍角鈍角直角直角B+ C= 180三角形的三個內(nèi)角和等于三角形的三個內(nèi)角和等于180鈍角鈍角B+ C180三角形的三個內(nèi)角和等于三角形的三個內(nèi)角和等于180當當B是是_時，則時，則_歸納歸納: 宜用反證法證明的題型宜用反證法證明的題型 （1）以否定性判斷作為結(jié)論的命題；）以否定性判斷作為結(jié)論的命題；（2）某些定理的逆命題；）某些定理的逆命題；（3）以）以“至多至多”、“至少至少”或或“不多于不多于”等形式等形式陳述的陳述的 命題；命題；（4

14、）關(guān)于）關(guān)于“唯一性唯一性”結(jié)論的命題；結(jié)論的命題；（5）解決整除性問題；）解決整除性問題；（6）一些不等量命題的證明；）一些不等量命題的證明；（7）有些基本定理或某一知識體系的初始階段；）有些基本定理或某一知識體系的初始階段；（8）涉及各種）涉及各種“無限無限”結(jié)論的命題等等。結(jié)論的命題等等。 用反證法證題時用反證法證題時,應(yīng)注意的事項應(yīng)注意的事項 : （1）周密考察原命題結(jié)論的否定事項，）周密考察原命題結(jié)論的否定事項， 防止否定不當或有所遺漏；防止否定不當或有所遺漏； （2）推理過程必須完整，否則不能說）推理過程必須完整，否則不能說 明命題的真?zhèn)涡?；明命題的真?zhèn)涡裕?（3）在推理過程中，要充分使用已知條）在推理過程中，要充分使用已知條 件