第八章時(shí)域分析MATLAB

1、1利用利用MATLAB可以求取連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)、可以求取連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)、單位脈沖響應(yīng)等。單位脈沖響應(yīng)等。第八章第八章 時(shí)域分析法的時(shí)域分析法的MATLAB實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)一、連續(xù)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)一、連續(xù)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)在在MATLAB中，求連續(xù)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的函數(shù)為中，求連續(xù)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的函數(shù)為step ( )，其調(diào)用，其調(diào)用格式為：格式為：step (sys); step (sys, t)：函數(shù)在當(dāng)前圖形窗口中直接繪制出系統(tǒng)的：函數(shù)在當(dāng)前圖形窗口中直接繪制出系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線。式中階躍響應(yīng)曲線。式中sys可以是由可以是由tf、zpk和和ss中任何一個(gè)函數(shù)建立中

2、任何一個(gè)函數(shù)建立的系統(tǒng)模型；的系統(tǒng)模型；t可以指定為一個(gè)仿真終止時(shí)間，此時(shí)可以指定為一個(gè)仿真終止時(shí)間，此時(shí)t為標(biāo)量；也為標(biāo)量；也可將其設(shè)置為一個(gè)時(shí)間矢量可將其設(shè)置為一個(gè)時(shí)間矢量(用用t=0:dt:Tfinal的形式的形式)。如果是離散。如果是離散系統(tǒng)，一定要注意時(shí)間間隔必須與采樣周期相匹配；系統(tǒng)，一定要注意時(shí)間間隔必須與采樣周期相匹配；2uy, t, x=step (sys)：用于計(jì)算系統(tǒng)階躍響應(yīng)的輸出數(shù)據(jù)而不繪制：用于計(jì)算系統(tǒng)階躍響應(yīng)的輸出數(shù)據(jù)而不繪制曲線。曲線。y為各個(gè)仿真時(shí)刻的輸出向量，為各個(gè)仿真時(shí)刻的輸出向量，t為仿真的時(shí)間向量，為仿真的時(shí)間向量，x為系為系統(tǒng)的狀態(tài)向量相對于時(shí)間的響應(yīng)

3、數(shù)據(jù)。統(tǒng)的狀態(tài)向量相對于時(shí)間的響應(yīng)數(shù)據(jù)。一定注意：一定注意：y, t, x三個(gè)元素三個(gè)元素的順序不能錯(cuò)！的順序不能錯(cuò)！例例8-1已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的前向通道的傳遞函數(shù)為：已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的前向通道的傳遞函數(shù)為：試作出其單位階躍響應(yīng)曲線。試作出其單位階躍響應(yīng)曲線。 sssG2802 其其MATLAB命令如下：命令如下：num=80;den=1,2,0;sys=tf (num, den);closys=feedback(sys,1);step (closys) 3MATLAB中用函數(shù)命令中用函數(shù)命令impulse ( )來求連續(xù)系統(tǒng)單位脈沖響來求連續(xù)系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)，其調(diào)用格式為：應(yīng)，其調(diào)用格式

4、為：二、連續(xù)系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)二、連續(xù)系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)uimpulse (sys); impulse (sys, t)：函數(shù)在當(dāng)前圖形窗口中直接繪制：函數(shù)在當(dāng)前圖形窗口中直接繪制出系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)曲線。式中出系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)曲線。式中sys可以是由可以是由tf、zpk和和ss中任何一個(gè)中任何一個(gè)函數(shù)建立的系統(tǒng)模型；函數(shù)建立的系統(tǒng)模型；t可以指定為一個(gè)仿真終止時(shí)間，此時(shí)可以指定為一個(gè)仿真終止時(shí)間，此時(shí)t為為標(biāo)量；也可將其設(shè)置為一個(gè)時(shí)間矢量標(biāo)量；也可將其設(shè)置為一個(gè)時(shí)間矢量(用用t=0:dt:Tfinal的形式的形式)。如。如果是離散系統(tǒng)，一定要注意時(shí)間間隔必須與采樣周期相匹配；果是離散系統(tǒng)，一定要注意時(shí)

5、間間隔必須與采樣周期相匹配；uy, t, x=impulse (sys)：用于計(jì)算系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的輸出數(shù)據(jù)而：用于計(jì)算系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的輸出數(shù)據(jù)而不繪制曲線。不繪制曲線。y為各個(gè)仿真時(shí)刻的輸出向量，為各個(gè)仿真時(shí)刻的輸出向量，t為仿真的時(shí)間向量，為仿真的時(shí)間向量，x為系統(tǒng)的狀態(tài)向量相對于時(shí)間的響應(yīng)數(shù)據(jù)。為系統(tǒng)的狀態(tài)向量相對于時(shí)間的響應(yīng)數(shù)據(jù)。一定注意：一定注意：y, t, x三三個(gè)元素的順序不能錯(cuò)！個(gè)元素的順序不能錯(cuò)！4MATLAB中沒有求斜坡響應(yīng)的函數(shù)，根據(jù)閉環(huán)傳遞函數(shù)的定義：中沒有求斜坡響應(yīng)的函數(shù)，根據(jù)閉環(huán)傳遞函數(shù)的定義：三、連續(xù)系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)三、連續(xù)系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng) sRsCs 對于單位

6、階躍信號有：對于單位階躍信號有： sssRssCssR11 對于單位斜坡信號有：對于單位斜坡信號有： ssssssRssCssR111122 由此可以看出：可以將系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)除以拉氏算子由此可以看出：可以將系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)除以拉氏算子s，再使，再使用用step函數(shù)就不再是單位階躍響應(yīng)，而是單位斜坡響應(yīng)。在函數(shù)就不再是單位階躍響應(yīng)，而是單位斜坡響應(yīng)。在MATLAB中，只需在系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式向量最末位補(bǔ)中，只需在系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式向量最末位補(bǔ)上一個(gè)上一個(gè)“0”即可。即可。5MATLAB中沒有求單位加速度響應(yīng)的函數(shù)，同樣可根據(jù)閉環(huán)傳遞中沒有求單位加速度響應(yīng)的函數(shù)，同樣可根據(jù)閉環(huán)

7、傳遞函數(shù)的定義：函數(shù)的定義：四、連續(xù)系統(tǒng)單位加速度響應(yīng)四、連續(xù)系統(tǒng)單位加速度響應(yīng) sRsCs 對于單位階躍信號有：對于單位階躍信號有： sssRssCssR11 對于單位加速度信號有：對于單位加速度信號有： 2331111ssssssRssCssR 由此可以看出：可以將系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)除以拉氏算子由此可以看出：可以將系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)除以拉氏算子s2，再，再使用使用step函數(shù)就不再是單位階躍響應(yīng)，而是單位加速度響應(yīng)。在函數(shù)就不再是單位階躍響應(yīng)，而是單位加速度響應(yīng)。在MATLAB中，只需在系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式向量最末位補(bǔ)中，只需在系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式向量最末位補(bǔ)上兩個(gè)上兩個(gè)“0”即可

8、。即可。6零輸入響應(yīng)是系統(tǒng)初始狀態(tài)引發(fā)的動態(tài)過程，此時(shí)系統(tǒng)無輸零輸入響應(yīng)是系統(tǒng)初始狀態(tài)引發(fā)的動態(tài)過程，此時(shí)系統(tǒng)無輸入信號的作用，響應(yīng)只與系統(tǒng)的初始狀態(tài)、結(jié)構(gòu)及參數(shù)有關(guān)。入信號的作用，響應(yīng)只與系統(tǒng)的初始狀態(tài)、結(jié)構(gòu)及參數(shù)有關(guān)。五、連續(xù)系統(tǒng)零輸入響應(yīng)響應(yīng)五、連續(xù)系統(tǒng)零輸入響應(yīng)響應(yīng)uinitial (sys, x0); initial (sys, x0, t)：函數(shù)在當(dāng)前圖形窗口中直接繪：函數(shù)在當(dāng)前圖形窗口中直接繪制出系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)曲線。式中制出系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)曲線。式中sys必須是必須是ss函數(shù)建立的狀態(tài)空函數(shù)建立的狀態(tài)空間模型；間模型；x0為初始狀態(tài)；為初始狀態(tài)；t可以指定為一個(gè)仿真終止時(shí)間，此

9、時(shí)可以指定為一個(gè)仿真終止時(shí)間，此時(shí)t為標(biāo)量；也可將其設(shè)置為一個(gè)時(shí)間矢量為標(biāo)量；也可將其設(shè)置為一個(gè)時(shí)間矢量(用用t=0:dt:Tfinal的形式的形式)。如果是離散系統(tǒng)，一定要注意時(shí)間間隔必須與采樣周期相匹配；如果是離散系統(tǒng)，一定要注意時(shí)間間隔必須與采樣周期相匹配；uy, t, x=initial (sys, x0)：用于計(jì)算系統(tǒng)零輸入響應(yīng)的輸出數(shù)據(jù)而：用于計(jì)算系統(tǒng)零輸入響應(yīng)的輸出數(shù)據(jù)而不繪制曲線。不繪制曲線。y為各個(gè)仿真時(shí)刻的輸出向量，為各個(gè)仿真時(shí)刻的輸出向量，t為仿真的時(shí)間向量，為仿真的時(shí)間向量，x為系統(tǒng)的狀態(tài)向量相對于時(shí)間的響應(yīng)數(shù)據(jù)。為系統(tǒng)的狀態(tài)向量相對于時(shí)間的響應(yīng)數(shù)據(jù)。一定注意：一定注意

10、：y, t, x三三個(gè)元素的順序不能錯(cuò)！個(gè)元素的順序不能錯(cuò)！7六、離散系統(tǒng)的單位階躍、單位脈沖響應(yīng)等六、離散系統(tǒng)的單位階躍、單位脈沖響應(yīng)等u離散系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)函數(shù)為離散系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)函數(shù)為dstep ( )；其調(diào)用格式同連續(xù)系；其調(diào)用格式同連續(xù)系統(tǒng)；統(tǒng)；u離散系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)為離散系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)為dimpulse ( )；u離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)函數(shù)為離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)函數(shù)為dinitial ( )；8線性控制系統(tǒng)絕對穩(wěn)定的首要條件是：系統(tǒng)特征方程的根都線性控制系統(tǒng)絕對穩(wěn)定的首要條件是：系統(tǒng)特征方程的根都位于復(fù)平面虛軸的左半部。位于復(fù)平面虛軸的左半部。故在故在MATLAB

11、中，判斷系統(tǒng)是否絕對穩(wěn)定，只需解出控制系中，判斷系統(tǒng)是否絕對穩(wěn)定，只需解出控制系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的根，再根據(jù)這些根是否均在復(fù)半平面虛軸左半統(tǒng)閉環(huán)特征方程的根，再根據(jù)這些根是否均在復(fù)半平面虛軸左半部分即可判定系統(tǒng)是否絕對穩(wěn)定。而要求特征方程的根，只需調(diào)部分即可判定系統(tǒng)是否絕對穩(wěn)定。而要求特征方程的根，只需調(diào)用前面所講的函數(shù)指令用前面所講的函數(shù)指令roots( )即可。這種方法稱為代數(shù)穩(wěn)定性判即可。這種方法稱為代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)。還可以用根軌跡法和頻域法來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性，這在后面將據(jù)。還可以用根軌跡法和頻域法來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性，這在后面將會講到。會講到。9例例8-2其其MATLAB命令如下：命令如下：設(shè)系

12、統(tǒng)特征方程為：設(shè)系統(tǒng)特征方程為： 試用代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。試用代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。05432234 ssssP=1 2 3 4 5; roots(P)程序運(yùn)行結(jié)果為：程序運(yùn)行結(jié)果為：ans = 0.2878 + 1.4161i 0.2878 - 1.4161i -1.2878 + 0.8579i -1.2878 - 0.8579i可以看出系統(tǒng)特征根中有兩個(gè)實(shí)可以看出系統(tǒng)特征根中有兩個(gè)實(shí)部為正值，所以該閉環(huán)系統(tǒng)是不部為正值，所以該閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。穩(wěn)定的。解解10例例8-3其其MATLAB命令如下：命令如下：已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為： 試用代數(shù)穩(wěn)定

13、判據(jù)判斷該閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。試用代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)判斷該閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 2012100 sssssGz=-2;p=0,-1,-20;k=100;num,den=zp2tf(z,p,k); p=num+den; roots(p)程序運(yùn)行結(jié)果為：程序運(yùn)行結(jié)果為：ans = -12.8990 -5.0000 -3.1010可以看出系統(tǒng)特征根的實(shí)部全為負(fù)值，所以該閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的?？梢钥闯鱿到y(tǒng)特征根的實(shí)部全為負(fù)值，所以該閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。解解11在這一小節(jié)里必須注意：要計(jì)算控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差，首先要在這一小節(jié)里必須注意：要計(jì)算控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差，首先要確定系統(tǒng)是穩(wěn)定的！確定系統(tǒng)是穩(wěn)定的！一、靜態(tài)誤差系數(shù)一、

14、靜態(tài)誤差系數(shù) 位置誤差系數(shù)位置誤差系數(shù)Kp: 速度誤差系數(shù)速度誤差系數(shù)Kv： 加速度誤差系數(shù)加速度誤差系數(shù)Ka： sGKksp0lim sGsKksv 0lim sGsKksa 20lim以上三式中，以上三式中，Kp、Kv、Ka分別反映了系統(tǒng)跟蹤階躍輸入、分別反映了系統(tǒng)跟蹤階躍輸入、斜坡輸入和加速度輸入的能力。斜坡輸入和加速度輸入的能力。12例例8-4（1）對系統(tǒng)）對系統(tǒng)1：首先判斷其穩(wěn)定性：首先判斷其穩(wěn)定性兩個(gè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)分別為：兩個(gè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)分別為： 試分別求兩個(gè)系統(tǒng)的位置、速度和加速度誤差系數(shù)試分別求兩個(gè)系統(tǒng)的位置、速度和加速度誤差系數(shù)Kp、Kv和和Ka

15、。 6555,732122231 ssssssss 根據(jù)代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)，該特征方程根據(jù)代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)，該特征方程的根有的根有2個(gè)有正實(shí)部，故該閉環(huán)個(gè)有正實(shí)部，故該閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。故不能求其誤系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。故不能求其誤差系數(shù)。差系數(shù)。解解p1=1 2 3 7; roots(p1)程序運(yùn)行結(jié)果為：程序運(yùn)行結(jié)果為：ans = -2.1325 0.0662 + 1.8106i 0.0662 - 1.8106i13（2）對系統(tǒng)）對系統(tǒng)2：首先判斷其穩(wěn)定性：首先判斷其穩(wěn)定性：特征方程的根均位于復(fù)平特征方程的根均位于復(fù)平面虛軸左半部分。故可以面虛軸左半部分。故可以求其穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)。求其穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)。p2=

16、5 5 6;roots(p2)程序運(yùn)行結(jié)果為：程序運(yùn)行結(jié)果為：ans = -0.5000 + 0.9747i -0.5000 - 0.9747isyms s phi2 Gk2 Kp Kv Ka; phi2=5/(5*s2+5*s+6);Gk2=solve(5/(5*s2+5*s+6)=Gk2/(1+Gk2),Gk2);Kp=limit(Gk2,s,0)Kv=limit(s*Gk2,s,0)Ka=limit(s2*Gk2,s,0)運(yùn)行結(jié)果為：運(yùn)行結(jié)果為：Kp =5Kv =0，Ka =014根據(jù)自動控制原理，三種典型輸入信號下的靜態(tài)誤差系數(shù)和穩(wěn)根據(jù)自動控制原理，三種典型輸入信號下的靜態(tài)誤差系數(shù)和穩(wěn)

17、態(tài)誤差分別如表態(tài)誤差分別如表8-1和和8-2所示。所示。二、三種典型信號下的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算二、三種典型信號下的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算類型類型位置誤差位置誤差系數(shù)系數(shù)Kp速度誤差系速度誤差系數(shù)數(shù)Kv加速度誤加速度誤差系數(shù)差系數(shù)Ka0型型K00I型型K0II型型K表表8-1 給定輸入信號下的靜態(tài)誤差系數(shù)給定輸入信號下的靜態(tài)誤差系數(shù)類型類型階躍輸入階躍輸入r(t)=Ap(t)斜坡輸入斜坡輸入r(t)=Av*t加速度輸入加速度輸入r(t)=Aa*t2/20型型Ap/(K+1)I型型0Av/KII型型00Aa/K表表8-2 給定輸入信號下的穩(wěn)態(tài)誤差給定輸入信號下的穩(wěn)態(tài)誤差15例例8-5由于在例由于在例8-4中已經(jīng)判

18、斷了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，故在這里不再對系中已經(jīng)判斷了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，故在這里不再對系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性判斷。統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性判斷。已知一個(gè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：已知一個(gè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為： (1)試?yán)L制出該系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線并求此響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差；試?yán)L制出該系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線并求此響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差；(2)試?yán)L制出該系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)曲線并求此響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差；試?yán)L制出該系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)曲線并求此響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差；(3)試?yán)L制出該系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)曲線并求此響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差；試?yán)L制出該系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)曲線并求此響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差； 65552 sss 解解（1）單位階躍響應(yīng)與其穩(wěn)態(tài)誤差）單

19、位階躍響應(yīng)與其穩(wěn)態(tài)誤差syms s phi; num=5;den=5,5,6;phi=tf (num, den);t=0:0.01:30;y=step (phi, t);subplot(1,2,1);plot(t,y);gridsubplot(1,2,2);ess=1-y;plot(t,ess);grid16該系統(tǒng)是該系統(tǒng)是0型系統(tǒng)，由表型系統(tǒng)，由表8-2所知，其單位階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為所知，其單位階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為ess=1/(1+K)=1/6=0.167。如果取。如果取t=0:1:30，計(jì)算，計(jì)算ess=1-y可得出結(jié)果可得出結(jié)果0.167。17（2）單位斜坡響應(yīng)與其穩(wěn)態(tài)誤差）單位斜坡響

20、應(yīng)與其穩(wěn)態(tài)誤差syms s phi1;num=5;den=5,5,6,0;phi1=tf (num, den);t=0:0.01:30;y=step(phi1,t);subplot(1,2,1);plot(t,y);gridsubplot(1,2,2);ess=t- y; plot (t, ess); grid該系統(tǒng)是該系統(tǒng)是0型系統(tǒng)，由表型系統(tǒng)，由表8-2所知，其單位斜坡響應(yīng)的所知，其單位斜坡響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為穩(wěn)態(tài)誤差為。由穩(wěn)態(tài)誤。由穩(wěn)態(tài)誤差曲線也可看出來。差曲線也可看出來。18（3）單位加速度響應(yīng)與其穩(wěn)態(tài)誤差）單位加速度響應(yīng)與其穩(wěn)態(tài)誤差syms s phi2;num=5;den=5,5,6,

21、0,0;phi2=tf (num, den);t=0:0.01:30;y=step(phi2,t);subplot(1,2,1);plot(t,y);gridsubplot(1,2,2);ess=1/2*t.2-y;plot(t,ess);grid該系統(tǒng)是該系統(tǒng)是0型系統(tǒng)，由表型系統(tǒng)，由表8-2所知，其單位加速度響應(yīng)所知，其單位加速度響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為的穩(wěn)態(tài)誤差為。由穩(wěn)態(tài)。由穩(wěn)態(tài)誤差曲線也可看出來。誤差曲線也可看出來。19系統(tǒng)誤差：輸出量的希望值系統(tǒng)誤差：輸出量的希望值 和實(shí)際值和實(shí)際值 之差：之差：)()()(0tctct)(0tc)(tc系統(tǒng)偏差：系統(tǒng)的輸入系統(tǒng)偏差：系統(tǒng)的輸入 和主反饋信號

22、和主反饋信號 之差。即之差。即)()()(tbtrte)(tr)(tb系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差：當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差：當(dāng)tt時(shí)的系統(tǒng)誤差，用時(shí)的系統(tǒng)誤差，用 表示。即表示。即)(limttssss系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差：當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差：當(dāng)tt時(shí)的系統(tǒng)偏差，用時(shí)的系統(tǒng)偏差，用 表示。即表示。即)(limteetsssse對單位反饋系統(tǒng)，給定作用對單位反饋系統(tǒng)，給定作用 即為輸出量的希望即為輸出量的希望值，值， ，偏差等于誤差。，偏差等于誤差。)()(0tctr)(trsssse對非單位反饋系統(tǒng)，給定作用對非單位反饋系統(tǒng)，給定作用 只是希望輸出的代表只是希望輸出的代表值，值， ，偏差不等于誤差。，偏差不等于誤差。)()(0t

23、ctr)(trsssse三、穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算舉例三、穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算舉例20對單位負(fù)反饋系統(tǒng)：對單位負(fù)反饋系統(tǒng)： sRssEssRsCsRsRsEsCsRsE 11穩(wěn)態(tài)誤差：穩(wěn)態(tài)誤差： sEsteestss 0limlim21對非單位負(fù)反饋系統(tǒng)：對非單位負(fù)反饋系統(tǒng)： sHsCsRsBsRsE 其等效圖如圖所示，可得系統(tǒng)輸出量的期望值為：其等效圖如圖所示，可得系統(tǒng)輸出量的期望值為： sHsRsR 由左圖有：由左圖有： sGsCsE 則系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差：則系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差： sHsGssRssHsGsCssHsEssEsteesssstss 0000limlimlimlimlim再由右等效圖有：再由右等效圖有：

24、sHsEsHsGsCsE 22例例8-6解解（1）首先要判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性：）首先要判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性：一反饋系統(tǒng)前向通道傳遞函數(shù)一反饋系統(tǒng)前向通道傳遞函數(shù) 與反饋通道傳遞函數(shù)與反饋通道傳遞函數(shù) 系統(tǒng)輸入階躍信號時(shí)，試計(jì)算系統(tǒng)輸出端的穩(wěn)態(tài)位置誤差系統(tǒng)輸入階躍信號時(shí)，試計(jì)算系統(tǒng)輸出端的穩(wěn)態(tài)位置誤差ess。 210 ssG 1 sH當(dāng)當(dāng) 而系統(tǒng)輸入信號為斜坡信號時(shí)再計(jì)算而系統(tǒng)輸入信號為斜坡信號時(shí)再計(jì)算系統(tǒng)輸出端的穩(wěn)態(tài)位置誤差系統(tǒng)輸出端的穩(wěn)態(tài)位置誤差ess。 ssHsssG101,210 1,210 sHssG num1=10;den1=1 2;G=tf(num1,den1);phi=feedback(G,

25、1);phi.den1ans = 1 12表明系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為表明系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為s+12=0，故閉環(huán)特征根為故閉環(huán)特征根為-12。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。23 ssHsssG101,210 表明系統(tǒng)閉環(huán)根均為負(fù)，故此閉環(huán)表明系統(tǒng)閉環(huán)根均為負(fù)，故此閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。系統(tǒng)穩(wěn)定。num2=10;den2=1 2 0;G2=tf(num2,den2);H2=tf(10 1,1);phi2=feedback(G2,H2) Transfer function: 10-s2 + 102 s + 10p=1 102 10;roots(p)ans = -101.9019 -0.098124 ssRsHss

26、G/1, 1,210 （2 2） 單位負(fù)反饋系統(tǒng)階躍信號輸入時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差：單位負(fù)反饋系統(tǒng)階躍信號輸入時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差： sssssRsssEsessssss 1lim11lim1limlim0000num1=10;den1=1 2;G1=tf(num1,den1);phi1=feedback(G1,1) Transfer function: 10-s + 12ess=limit(1-10/(s+12),s,0) ess = 1/625 21,101,210ssRssHsssG （3 3） num2=10;den2=1 2 0;G2=tf(num2,den2);H2=tf(10 1,1);p

27、hi2=feedback(G2,H2) Transfer function: 10-s2 + 102 s + 10輸入斜坡信號時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差：輸入斜坡信號時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差： sHsGsssHsGssssHsGssRsesssss 1lim1limlim020026ess=limit(10/(s*(s2+102*s+10)/(10*(1+10*s)/(s*(s+2),s,0) ess = 1/527在自動控制原理中，最常用的階躍響應(yīng)性能指標(biāo)有在自動控制原理中，最常用的階躍響應(yīng)性能指標(biāo)有4個(gè)：上個(gè)：上升時(shí)間升時(shí)間tr，峰值時(shí)間，峰值時(shí)間tp，超調(diào)量，超調(diào)量%和調(diào)整時(shí)間和調(diào)整時(shí)間ts。一、一階系統(tǒng)一、

28、一階系統(tǒng)sKsG)(TsTTsKsKsKsKs11111)(TsssTssRssC111111)()()(1( ) ( )1tTc tLC se 28由圖中可以看出，一階由圖中可以看出，一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)是一個(gè)按系統(tǒng)的階躍響應(yīng)是一個(gè)按指數(shù)規(guī)律單調(diào)上升的過程。指數(shù)規(guī)律單調(diào)上升的過程。其動態(tài)性能指標(biāo)中無超調(diào)其動態(tài)性能指標(biāo)中無超調(diào)量、峰值時(shí)間和上升時(shí)間量、峰值時(shí)間和上升時(shí)間等。一般只需計(jì)算的動態(tài)等。一般只需計(jì)算的動態(tài)性能指標(biāo)就是調(diào)節(jié)時(shí)間性能指標(biāo)就是調(diào)節(jié)時(shí)間ts。 Tts43 29)s( snn 22R(s)Y(s)+-特征方程：特征方程：01222 TssT 特征根：特征根：122, 1 nnsnn

29、T 1時(shí)間常數(shù)時(shí)間常數(shù)阻尼系數(shù)阻尼系數(shù)無阻尼自然振蕩頻率無阻尼自然振蕩頻率二、二階系統(tǒng)二、二階系統(tǒng) 121222222 TssTssnnn 3021,21nns j s1s2y(t)t1拐拐點(diǎn)點(diǎn)令令 s1=-1/T1, s2=-1/T21 21212121221/1( )(1/)(1/)1111/1/TTY ss sTsTTTsTT sTTT sT1211121212( )1( )ttTTTTy tteeTTTT特征方程有兩個(gè)不同的負(fù)實(shí)根。其響應(yīng)曲線是帶拐點(diǎn)的非振特征方程有兩個(gè)不同的負(fù)實(shí)根。其響應(yīng)曲線是帶拐點(diǎn)的非振蕩曲線。蕩曲線。31tnn,ne )()t (yTs 11121 j n y(t

30、)t特征方程有一對相等的負(fù)實(shí)特征方程有一對相等的負(fù)實(shí)根。其響應(yīng)曲線是一條非振蕩根。其響應(yīng)曲線是一條非振蕩曲線。曲線。32(s) =s2+2ns+n2n2n-nj00 1時(shí)：時(shí)：21,21nnsj 21( )1sin()1ntdc tet cos=21dn特征方程有一對共軛復(fù)數(shù)根。其響應(yīng)曲線是一條衰減振蕩曲線。特征方程有一對共軛復(fù)數(shù)根。其響應(yīng)曲線是一條衰減振蕩曲線。3321( )1sin()1ntdc tet 包絡(luò)線包絡(luò)線134ttyTjjsnn cos)(,1121 j nj nj y(t)t特征方程有一對共軛虛根。其瞬態(tài)響應(yīng)是無衰減的周期振蕩。特征方程有一對共軛虛根。其瞬態(tài)響應(yīng)是無衰減的周期

31、振蕩。35超調(diào)量超調(diào)量調(diào)整時(shí)間調(diào)整時(shí)間峰值時(shí)間峰值時(shí)間上升時(shí)間上升時(shí)間21%100%e34sntdpt drt 1ln1ln222 36例例8-6設(shè)一單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：設(shè)一單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 試?yán)L制出該閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線并計(jì)算系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)。試?yán)L制出該閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線并計(jì)算系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)。 sssG 225. 1解解（1）首先繪制其單位階躍響應(yīng)曲線：）首先繪制其單位階躍響應(yīng)曲線：num=1.25;den=1 1 0;G=tf (num, den);phi=feedback(G,1);step (phi)37（2）計(jì)算系統(tǒng)的性能指標(biāo)：

32、）計(jì)算系統(tǒng)的性能指標(biāo)：wn=sqrt(1.25); zeta=solve(2*zeta*sqrt(1.25)=1,zeta);系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線是衰減振蕩曲線。屬于欠阻尼系統(tǒng)。系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線是衰減振蕩曲線。屬于欠阻尼系統(tǒng)。由前面的計(jì)算公式可知，系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)與阻尼系數(shù)由前面的計(jì)算公式可知，系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)與阻尼系數(shù)和無和無阻尼自然振蕩頻率阻尼自然振蕩頻率n有關(guān)系。故首先要求出這兩個(gè)參數(shù)。有關(guān)系。故首先要求出這兩個(gè)參數(shù)。beta=atan(zeta);tr=(pi-beta)/(wn*sqrt(1-(zeta)2)tr=simplify (tr)tp=pi/(wn*sqrt(1

33、-(zeta)2)tp=simplify (tp)ts=3/(zeta*wn)ts=simplify (ts)sigma=exp(-pi*zeta/(1-(zeta)2)(1/2)sigma=simplify (sigma) 38tr=2.7211; tp=3.1416;sigma=0.2079;ts=5.9999程序運(yùn)行結(jié)果為：程序運(yùn)行結(jié)果為：例例8-7已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示。試確定已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示。試確定k值，使阻尼系數(shù)值，使阻尼系數(shù)=0.5=0.5，繪制此，繪制此系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線并計(jì)算此時(shí)的單位階躍響應(yīng)的動態(tài)性能指標(biāo)。系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線并計(jì)算此時(shí)的單位階躍響應(yīng)的動態(tài)性能指標(biāo)。 要

34、解此題，首先必須求出系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)要解此題，首先必須求出系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)。 39解解（1）首先求出此系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)：）首先求出此系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)：syms s G1 G2 H1 H2 phi1 phi2 k;G1=16/(s+0.8);H1=k;phi1=G1/(1+G1*H1);G2=phi1*1/s;H2=1;phi2=factor(G2/(1+G2*H2)phi2 = 80/(5*s2+80*s*k+4*s+80)程序運(yùn)行結(jié)果為：程序運(yùn)行結(jié)果為： 168 . 0161680480580222 sksskss 即閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：即閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：（2）已知）已知=0.5=0.5，求，求k。wn=sqr