高等數(shù)學(xué)論文大一上學(xué)期

1、 合肥學(xué)院 論文題目：高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)概念極限 作者學(xué)號(hào)：1303032034 作者姓名： 專業(yè)班級(jí)：網(wǎng)絡(luò)工程（2）班 導(dǎo)師姓名：劉國(guó)旗 目錄 摘要：極限概念是微積分中最基本的概念,極限思想是數(shù)學(xué)中極為重要的思想.一、極限的概念二、數(shù)列極限三、函數(shù)極限的通俗定義四、極限的運(yùn)算規(guī)則六、極限求解的方法 七、對(duì)極限理論理解概述八、極限的發(fā)展歷史高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)極限 一、極限的概念極限概念是由某些實(shí)際問題的精確破解而產(chǎn)生的，是用以描述變量在一定的變化過程中的終極狀態(tài)的一個(gè)概念。比如物理中的瞬時(shí)速度的問題。我們知道速度可以用位移差與時(shí)間差的比值表示，若時(shí)間差趨于零，則此比值就是某時(shí)刻的瞬時(shí)速度，這就產(chǎn)生了一個(gè)

2、問題：趨于無(wú)限小的時(shí)間差與位移差求比值，就是00，這有意義嗎（這個(gè)意義是指“分析”意義，因?yàn)閹缀我饬x頗為直觀，就是該點(diǎn)斜率）？這也迫使人們?nèi)榇碎_發(fā)出合乎理性的解釋，極限的思想呼之欲出在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中“極限”是用來(lái)描述變量在一定的變化過程中的極限狀態(tài)的.“極限”經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的發(fā)展進(jìn)程,今天的極限概念是數(shù)學(xué)家用了兩千余年的時(shí)間不斷完善才得到的.粗略地講, 在高等數(shù)學(xué)中，極限一直是一個(gè)重要內(nèi)容，并以各種形式出現(xiàn)而貫穿全部?jī)?nèi)容。二、數(shù)列極限首先介紹劉徽的割圓術(shù),設(shè)有一半徑為1的圓，在只知道直邊形的面積計(jì)算方法的情況下，要計(jì)算其面積。為此，他先作圓的內(nèi)接正六邊形，其面積記為a1，再作內(nèi)接正十二邊形，其面積記

3、為a2，內(nèi)接二十四邊形的面積記為a3，如此將邊數(shù)加倍，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，an無(wú)限接近于圓面積，他計(jì)算到3072=6*2的9次方邊形，利用不等式an+1a0，總存在正整數(shù)n，使得當(dāng)nn時(shí)，|xn-a|x0)無(wú)限趨近于點(diǎn)x0時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)限趨近于常數(shù)a,就說(shuō)a是函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的右極限，記作xx0+limf(x)=a. 四、極限的運(yùn)算規(guī)則（或稱有關(guān)公式） lim(f(x)+g(x)=limf(x)+limg(x) lim(f(x)-g(x)=limf(x)-limg(x) lim(f(x)*g(x)=limf(x)*limg(x) lim(f(x)/g(x)=limf(x)/limg(x)

4、 ( limg(x)不等于0 ) lim(f(x)n=(limf(x)n 以上limf(x) limg(x)都存在時(shí)才成立 lim(1+1/x)x =e x lim(1+1/x)x =e x0 五兩個(gè)重要極限 1、lim sin(x)x 1 ，x0 2、lim （1 + 1x）x e ，x0 （e2.7182818.，無(wú)理數(shù)）六、極限求解的方法 1.迫斂性求解求解的要點(diǎn)是，當(dāng)極限不容易直接求出解的時(shí)候，就可以考慮將求解極限的變量做適當(dāng)?shù)姆糯蠡蛘呖s小，使得放大、縮小所得的自變量易于求解極限，且二者的極限值相同，即原極限存在且等于此公共值。 2.洛必達(dá)法則/型不定式極限常用的方式就是洛必達(dá)法則，有

5、時(shí)還需要利用推廣的洛必達(dá)法則進(jìn)行求解。即將xa換成xa+0或xa-0也可以適應(yīng)洛必達(dá)法則。應(yīng)用洛必達(dá)法則的時(shí)候應(yīng)注意一下幾點(diǎn)：要驗(yàn)證應(yīng)用洛必達(dá)法則的條件應(yīng)對(duì)極限進(jìn)行分析確定其類型，然后才能繼續(xù)使用洛必達(dá)法則，主要符合這個(gè)條件就可以利用法則求解極限；另外，其他類型的不定式也可以求解極限。3.極限內(nèi)涵和判斷準(zhǔn)則極限的內(nèi)涵可以利用公式進(jìn)行描述，即0;|an-a|n的時(shí)候才能體現(xiàn)出來(lái)。用純粹的數(shù)學(xué)方式表達(dá)：極限存在的辨識(shí)方法：極限存在左右極限存在且體現(xiàn)相等；符合夾逼定理；符合連續(xù)定理（單調(diào)有界數(shù)列必有極限）；符合柯西準(zhǔn)則。七、對(duì)極限理論理解概述所謂的極限理論是第二次數(shù)學(xué)危機(jī)所推動(dòng)的一種類似的微增量類的

6、計(jì)算形式，經(jīng)過一個(gè)長(zhǎng)期發(fā)展過程，數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾、拉格朗日、貝努力家族、拉普拉斯等人的努力下，微積分理論的發(fā)展得到了極大的豐富。如著名的法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西的研究就從分析基礎(chǔ)嚴(yán)密話的工作項(xiàng)前邁進(jìn)了一個(gè)臺(tái)階，在其努力下連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分、無(wú)窮大極數(shù)的和等建立打下來(lái)較為堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。但是因?yàn)楫?dāng)時(shí)的情況所限，實(shí)數(shù)的嚴(yán)格理論沒有最終形成和完善，所以柯西的極限理論還不能得到最終完善。可以之后的一些數(shù)學(xué)家如：維爾斯特拉斯、戴德金等都經(jīng)過自身的努力在各自的領(lǐng)域上進(jìn)行了深入的研究，都將分析基礎(chǔ)歸結(jié)為實(shí)數(shù)理論，并與70年代各自建立了完整的實(shí)數(shù)體系，因此在極限理論上，柯西所開辟的道路上完善起來(lái)的。而數(shù)學(xué)分析的無(wú)矛盾性問

7、題也被歸結(jié)實(shí)數(shù)論的無(wú)無(wú)矛盾性，從而使得微積分學(xué)也獲得了較為牢固的理論基礎(chǔ)。八、極限的發(fā)展史從極限思想到極限理論極限的樸素思想和應(yīng)用可追溯到古代，我國(guó)古代哲學(xué)名著莊子記載著莊子的朋友惠施的一句話:“一尺之棰,日取其半,萬(wàn)世不竭?！逼浜x是:長(zhǎng)為一尺的木棒,第一天截取它的一半,第二天截取剩下的一半,這樣的過程無(wú)窮無(wú)盡地進(jìn)行下去。隨著天數(shù)的增多,所剩下的木棒越來(lái)越短,截取量也越來(lái)越小,無(wú)限地接近于0,但永遠(yuǎn)不會(huì)等于0。 中國(guó)早在2000年前就已能算出方形、圓形、圓柱等幾何圖形的面積和體積，3世紀(jì)劉徽創(chuàng)立的割圓術(shù)，就是用園內(nèi)接正多邊形的極限時(shí)圓面積這一思想來(lái)近似計(jì)算圓周率的，并指出“割之彌細(xì)，所失彌少

8、，割之又割，以至不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣”，這就是早期的極限思想。到17世紀(jì)，由于科學(xué)與技術(shù)上的要求促使數(shù)學(xué)家們研究運(yùn)動(dòng)與變化，包括量的變化與形的變換，還產(chǎn)生了函數(shù)概念和無(wú)窮小分析即現(xiàn)在的微積分，使數(shù)學(xué)從此進(jìn)入了一個(gè)研究變量的新時(shí)代。到17世紀(jì)后半葉，牛頓和萊布尼茨在前人研究的基礎(chǔ)上，分別從物理與幾何的不同思想基礎(chǔ)、不同研究方向，分別獨(dú)立地建立了微積分學(xué)。他們建立微積分的出發(fā)點(diǎn)使 直觀的無(wú)窮小量，極限概念被明確提出，但含糊不清。牛頓子發(fā)明微積分的時(shí)候，合理地設(shè)想：越小，這個(gè)平均速度應(yīng)當(dāng)越接近物體在時(shí)刻t時(shí)的瞬時(shí)速度。這一新的數(shù)學(xué)方法，受到數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家歡迎，并充分地運(yùn)用它解決了大量過去無(wú)

9、法問津的科技問題，因此，整個(gè)18世紀(jì)可以說(shuō)是微積分的世紀(jì)。但由于它邏輯上的不完備也招來(lái)了哲學(xué)上的非難甚至嘲諷與攻擊，貝克萊主教曾猛烈地攻擊牛頓的微分概念。實(shí)事求是地講，把瞬時(shí)速度說(shuō)成是無(wú)窮小時(shí)間內(nèi)所走的無(wú)窮小的距離之比，即“時(shí)間微分”與“距離微分”之比，是牛頓一個(gè)含糊不清的表述。其實(shí)，牛頓也曾在著作中明確指出過：所謂“最終的比”不是“最終的量”的比。而是比所趨近的極限。但他既沒有清除另一些模糊不清的陳述，又沒有嚴(yán)格界說(shuō)極限的含義。包括萊布尼茨對(duì)微積分的最初發(fā)現(xiàn)，也沒有明確極限的意思。因而，牛頓及其后一百年間的數(shù)學(xué)家，都不能有力地還擊貝克萊的這種攻擊，這就是數(shù)學(xué)史上所謂第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。 經(jīng)過近一個(gè)世紀(jì)的嘗試與醞釀，數(shù)學(xué)家們?cè)趪?yán)格化基礎(chǔ)上重建微積分的努力到19世紀(jì)初開始獲得成效。由于法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西、德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯等人的工作，以及實(shí)數(shù)理論的建立，才使極限理論建立在嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)之上。至此極限理論才真正建立起來(lái)，微積分這門學(xué)科才得以嚴(yán)密化。因而真正現(xiàn)代意義上的極限定義，一般認(rèn)為是由