《金融工程》ppt11

1、L/O/G/O金金 融融 工工 程程 學學 第十一章第十一章 布萊克布萊克- -舒爾斯舒爾斯- -默頓默頓 期權定價模型期權定價模型 第一節(jié)第一節(jié) BSM期權定價模型的基本思路期權定價模型的基本思路 第二節(jié)第二節(jié) 股票價格的變化過程股票價格的變化過程 第三節(jié)第三節(jié) BSM期權定價公式期權定價公式 第四節(jié)第四節(jié) BSM期權定價公式的期權定價公式的精確度評價與拓展精確度評價與拓展BSM期權定價模型的基本思路期權定價模型的基本思路 股票價格服從的隨機過程 由 It 引理可得期權價格相應服從的隨機過程 BSM 微分方程 BSM 期權定價公式dSSdtSdzms=+222212ffffdfSSdtSdz

2、StSSmss驏抖抖=+抖桫222212fffrSSrftSSs抖+=抖( )()( )12r TtcSNdX eNd-=-Page 3標準布朗運動（維納過程）標準布朗運動（維納過程） 布朗運動（Brownian Motion）起源于英國植物學家布朗對水杯中的花粉粒子的運動軌跡的描述。 標準布朗運動的兩大特征 特征一： （標準正態(tài)分布） 特征二：對于任何兩個不同時間間隔 ， 的值相互獨立（獨立增量）。Page 4zt tz維納過程的性質(zhì)維納過程的性質(zhì) 也服從正態(tài)分布 均值等于 0 方差等于 T t 標準差等于 方差可加性( )()1niiZ TZ tte=-=D( )()Z TZ t-Tt-P

3、age 5為何使用布朗運動為何使用布朗運動 正態(tài)分布：經(jīng)驗事實證明，股票價格的連續(xù)復利收益率近似地服從正態(tài)分布。 數(shù)學上可以證明，具備特征1和特征2的維納過程是一個馬爾可夫隨機過程，從而與弱式EMH相符。 維納過程在數(shù)學上對時間處處不可導和二次變分（Quadratic Variation）不為零的性質(zhì)，與股票收益率在時間上存在轉折尖點等性質(zhì)也是相符的Page 6市場有效理論與隨機過程市場有效理論與隨機過程Page 7普通布朗運動：標準布朗運動的擴展普通布朗運動：標準布朗運動的擴展 遵循普通布朗運動的變量 x 是關于時間和 dz 的動態(tài)過程：或者 adt 為確定項，漂移率 a 意味著每單位時間內(nèi)

4、 x 漂移 a ； bdz 是隨機項，代表著對 x 的時間趨勢過程所添加的噪音，使變量 x 圍繞著確定趨勢上下隨機波動，且這種噪音是由維納過程的 b 倍給出的，b2稱為方差率，b 稱為波動率。zdxadtbd=+()()0 x txatbz t=+Page 8對普通布朗運動的理解對普通布朗運動的理解 普通布朗運動的離差形式為 x 具有正態(tài)分布特征，其均值為 ，標準差為 ，方差為 在任意時間長度 T 后 x 值的變化也具有正態(tài)分布特征，其均值為 aT ，標準差為 ，方差為 。 標準布朗運動為普通布朗運動的特例。xatbteD=D+DatD btD2tbDb T2bTPage 9伊藤過程（伊藤過程

5、（It Process） 伊藤過程其中， 是一個標準布朗運動，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a，方差率為 b2。dz( )( )()000,ttdxa x t dtb x t dzx txadsbdz=+=+蝌Page 10幾何布朗運動（幾何布朗運動（Geometric Brownian Motion） 幾何布朗運動其中和均為常數(shù) 一般用幾何布朗運動來描述股票價格的隨機過程 可以避免股票價格為負從而與有限責任相矛盾的問題 幾何布朗運動意味著股票連續(xù)復利收益率服從正態(tài)分布，這與實際較為吻合dSSdtSdzms=+Page 11伊藤引理（伊藤引理（ It Lemma ）若變量 x 遵循

6、伊藤過程，則變量 x 和 t 的函數(shù) G 將遵循如下過程：其中， 是一個標準布朗運動。22212GGGGdGabdtbdzxtxx驏抖抖=+抖桫dzPage 12泰勒展開式泰勒展開式 G 的泰勒展開式為：22222221212GGGGxtxxtxGGxttx tt抖D=D+D+D抖抖+DD+D+抖KPage 13忽略比忽略比 t 高階的項高階的項 在常微分中，我們得到 在隨機微分中，我們得到：其中，最后一項的階數(shù)為tGGGxtxt抖D=D+D抖22212GGGGxtxxtx抖D=D+D+D抖Page 14將將 x 代入代入 將 代入最后一項，并忽略比 t 高階的項，則 由于 因此 而 的方差和

7、 同階，可以忽略，因此有xatbteD=D+D222212GGGGxtbtxtxe抖D=D+D+D抖( ) ( )( )( )( )2220,1 ,0,1,1EEEEejeeee輊=-=犏臌22212GGGGxtbtxtx抖D=D+D+D抖2t2tPage 15()2EtteD= D取極限取極限 取極限 代入 可得22212GGGdGdxdtb dtxtx抖=+抖dxadtbdz=+22212GGGGdGabdtbdzxtxx驏抖抖=+抖桫Page 16伊藤引理的運用伊藤引理的運用 如果我們知道 x 遵循的伊藤過程，通過伊藤引理可以推導出 G(x, t) 遵循的隨機過程。 由于衍生產(chǎn)品價格是標

8、的資產(chǎn)價格和時間的函數(shù)，因此伊藤引理在衍生產(chǎn)品分析中扮演重要的角色。Page 17案例案例 11.1：lnS所遵循的隨機過程所遵循的隨機過程 假設變量 S 服從幾何布朗運動 令 ，則 運用伊藤引理可得 所遵循的隨機過程為 說明連續(xù)復利收益率 服從期望值為 方差為 的正態(tài)分布。 注意：dSSdtSdzms=+l nGS=22211,0GGGSStSS抖= -=抖l nGS=2l n2dGdSdtdzsms驏=-+桫lndS22dt2dtsl ndSdSSPage 18案例案例 11.2 ： F 所遵循的隨機過程所遵循的隨機過程 假設變量 S 服從幾何布朗運動 由于 ，則 運用伊藤引理可得說明期貨

9、價格的漂移率比標的資產(chǎn)小 r。dSSdtSdzms=+r T tFSe()22,0,r TtFFFerFStS-抖= -抖()dFr FdtFdzms=-+Page 19股票價格的變化過程：幾何布朗運動股票價格的變化過程：幾何布朗運動 股票價格服從幾何布朗運動意味著 幾何布朗運動具有如下性質(zhì)：dSSdtSdzms=+2l n2dGdSdtdzsms驏=-+桫Page 20 S 不會為負，這與有限責任下股票價格不可能為負是一致的。 股票連續(xù)復利收益率服從正態(tài)分布。 T t 期間年化的連續(xù)復利收益率可以表示為 可知隨機變量 服從正態(tài)分布 是股票連續(xù)復利收益率的年化標準差，也被稱為股票價格對數(shù)的波動

10、率（Volatility）l nl nTSSTth-=-2,2Ttsshjm輊驏 犏-犏桫-犏臌Page 21 股票價格的對數(shù)服從普通布朗運動，特定時刻的股票價格服從對數(shù)正態(tài)分布。 其中，是t時間內(nèi)股票價格百分比的年化預期收益率。()()( )()( )()()22222l nl n,2l nl n,21TTtTtTTtTtTSSTtTtSSTtTtE SSeV ar SS eemmssjmssjms-輊驏 犏-犏桫犏臌輊驏犏+-犏桫犏臌=輊=-犏臌Page 22案例案例11.3：幾何布朗運動下股票價格的概率分布：幾何布朗運動下股票價格的概率分布 設 A 股票的當前價格為 50 元，預期收益率

11、為每年18% ，波動率為每年 20% ，假設該股票價格遵循幾何布朗運動且該股票在 6 個月內(nèi)不付紅利。 請問該股票 6 個月后的價格 的概率分布如何？A 股票在 6 個月后股票價格的期望值和標準差分別是多少？TSPage 23由題意知： S = 50, = 0.18, = 0.2, T t = 0.5 年因此 6 個月后 的概率分布為即 。TS0.04lnln500.180.5,0.20.52TSln3.992,0.141TSPage 24 由于一個正態(tài)分布變量取值位于均值左右兩個標準差范圍內(nèi)的概率為 95% ，因此，置信度為 95% 時， 因此， 6 個月 A 股票價格落在 40.85 元到

12、 71.81 元之間的概率為 95% 。 半年后，A 股票價格的期望值為 54.71 元，標準差為 或 7.78 。3.71ln4.274,40.8571.81TTSSPage 2560. 46( )( )()0. 18 0. 52 0. 18 0. 50. 04 0. 55054. 712500160. 46TTE SeV ar See創(chuàng)=-=百分比收益率與對數(shù)收益率百分比收益率與對數(shù)收益率 短時間內(nèi) 幾何布朗運動只意味著短時間內(nèi)的股票價格百分比收益率服從正態(tài)分布，長期間內(nèi)股價百分比收益率正態(tài)分布的性質(zhì)不再存在，但連續(xù)復利收益率始終服從正態(tài)分布。SttSdmdse d=+Page 26190

13、02000主要國家股指實際收益率主要國家股指實際收益率Page 27預期收益率預期收益率 為 t 時間內(nèi)股票的年化百分比期望收益率，股票的連續(xù)復利收益率 。根據(jù)資本資產(chǎn)定價原理， 取決于該證券的系統(tǒng)性風險、無風險利率水平、以及市場的風險收益偏好。由于后者涉及主觀因素，因此其決定本身就較復雜。然而幸運的是，在無套利條件下，衍生證券的定價與標的資產(chǎn)的預期收益率是無關的。22sm-Page 28波動率波動率 證券價格對數(shù)的年波動率，是股票價格對數(shù)收益率的年化標準差。 人們常常從歷史的證券價格數(shù)據(jù)中計算出樣本對數(shù)收益率的標準差，再對時間標準化，得到年標準差，即為波動率的估計值。 在計算中，一般情況下時

14、間距離計算時越近越好；但時間窗口也不宜太短；一般采用交易天數(shù)計算波動率而不采用日歷天數(shù)。Page 29樣本間隔對收益率與波動率估計的影響樣本間隔對收益率與波動率估計的影響Page 30衍生品價格所服從的隨機過程衍生品價格所服從的隨機過程 當股票價格服從幾何布朗運動 根據(jù)伊藤引理，衍生證券的價格 G 應遵循如下過程： 衍生證券價格 G 和股票價格 S 都受同一個不確定性來源 dz 的影響dSSdtSdzms=+222212GGGGdGSSdtSdzStSSmss驏抖抖=+抖桫Page 31假設假設 證券價格遵循幾何布朗運動，即 和 為常數(shù) 允許賣空標的證券 沒有交易費用和稅收，所有證券都完全可分

15、 衍生證券有效期內(nèi)標的證券沒有現(xiàn)金收益支付 不存在無風險套利機會 證券交易是連續(xù)的，價格變動也是連續(xù)的 衍生證券有效期內(nèi)，無風險利率 r 為常數(shù)Page 32BSM 微分分程的推導微分分程的推導由于假設股票價格 S 遵循幾何布朗運動，因此在一個小的時間間隔 t 中， S 的變化值 S 為dSSdtSdzms=+SStSzmsD=D+DPage 33設 f 是依賴于 S 的衍生證券的價格，則 f 一定是 S 和t 的函數(shù)，根據(jù)伊藤引理可得：在一個小的時間間隔 t 中， f 的變化值 f 滿足：222212ffffdfSSdtSdzStSSmss驏抖抖=+抖桫222212fffffSStSzStS

16、Smss驏抖抖D=+D+D抖桫Page 34 為了消除風險源 z ，可以構建一個包括一單位衍生證券空頭和 單位標的證券多頭的組合。 令 代表該投資組合的價值，則：在 t 時間后，該投資組合的價值變化 為fSffSSP = -+ffSSD P = - D+DPage 35 代入 f 和 S 可得 由于消除了風險，組合 必須獲得無風險收益，即222212ffSttSs驏抖D P =-D桫rtD P =P DPage 36 因此化簡可得： 這就是著名的 BSM 微分分程，它適用于其價格取決于標的證券價格 S 的所有衍生證券的定價。222212fffStr fSttSSs驏驏抖+D=-D抖桫桫2222

17、12fffrSSrftSSs抖+=抖Page 37風險中性定價原理風險中性定價原理 觀察 BSM 微分方程可以發(fā)現(xiàn)，受制于主觀的風險收益偏好的標的證券預期收益率并未包括在衍生證券的價值決定公式中。這意味著，無論風險收益偏好狀態(tài)如何，都不會對 f 的值產(chǎn)生影響。 因此我們可以作出一個可以大大簡化我們工作的假設：在對衍生證券定價時，所有投資者都是風險中性的。Page 38 在所有投資者都是風險中性的條件下（有時我們稱之為進入了一個“風險中性世界”）： 所有證券的預期收益率都等于無風險利率 r，因為風險中性的投資者并不需要額外的收益來吸引他們承擔風險。 同樣，在風險中性條件下，所有現(xiàn)金流都應該使用無

18、風險利率進行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。 這就是風險中性定價原理。Page 39理解風險中性定價理解風險中性定價 假設一種不支付紅利股票目前的市價為 10 元，我們知道在 3 個月后，該股票價格要么是 11 元，要么是 9 元。現(xiàn)在我們要找出一份 3 個月期協(xié)議價格為 10.5 元的該股票歐式看漲期權的價值。 由于歐式期權不會提前執(zhí)行，其價值取決于 3 個月后股票的市價。若 3 個月后該股票價格等于 11 元，則該期權價值為 0.5 元；若 3 個月后該股票價格等于 9 元，則該期權價值為 0 。Page 40 為了找出該期權的價值，我們可構建一個由 1 單位看漲期權空頭和 單位的標的股票多頭組成的組合。

19、若 3 個月后股票價格等于 11 元，該組合價值等于(11 0.5) 元；若 3 個月后該股票價格等于 9 元，該組合價值等于 9 元。 由于11 0.5 = 9 = 0.25 因此，一個無風險組合應包括 1 份看漲期權空頭和0.25 股標的股票。無論 3 個月后股票價格等于 11 元還是 9 元，該組合價值都將等于 2.25 元。Page 41 假設現(xiàn)在的無風險年利率為 10% ，則該組合現(xiàn)值為 因此 這就是說，該看漲期權的價值應為 0.31 元，否則就會存在無風險套利機會。0.1 0.252.252.19e100. 25 2. 19 0. 31ff-=元Page 42 可以看出，在確定期權

20、價值時，我們并不需要知道股票價格在真實世界中上漲到 11 元的概率和下降到 9 元的概率。也就是說，我們并不需要了解真實世界中股票未來價格的期望值，而期望值的確定正與投資者的主觀風險偏好相聯(lián)系。 因此我們可以在假設風險中性的前提下為期權定價。Page 43 投資者厭惡風險程度、股票的預期收益率和股票升跌概率之間的聯(lián)系： 在風險中性世界中，無風險利率為 10% ，則股票上升的概率 P 為： 如果在現(xiàn)實世界中股票的預期收益率為 15% ，則股票的上升概率為：0.1 0.2510119 162.66%ePPP0.15 0.2510119 169.11%ePPPPage 44無收益資產(chǎn)歐式看漲期權的定

21、價公式無收益資產(chǎn)歐式看漲期權的定價公式 在風險中性世界中，無收益資產(chǎn)歐式看漲期權到期時(T 時刻)的期望值為：其中， 表示風險中性條件下的期望值。 相應地，歐式看漲期權的價格 c 等于()m ax,0TESX輊-犏臌E()()m ax,0r TtTceESX-輊=-犏臌Page 45 由于在風險中性世界中 積分可得其中()2l nl n,2TSSrTtTtsjs輊驏犏+-犏桫犏臌Page 46( )()( )12r TtcSNdX eNd-=-()()()()()()21221l n/ 2l n/ 2SXrTtdTtSXrTtddTtTtsssss+-=-+-=-BSM 期權定價公式的推導期權

22、定價公式的推導 由于和 令()()m ax,0r TtTceESX-輊=-犏臌()2l nl n,2TSSrTtTtsjs輊驏犏+-犏桫犏臌l nTSmWS-=Page 47 其中 顯然 即隨機變量 W 的密度函數(shù) h(W) 為()()()2l nl n2l nTTmESSrTtsV arSTtss驏=+-桫=-( )0,1WN( )2212Wh Wep-=Page 48BSM 期權定價公式的推導期權定價公式的推導 ()()( )( )( )() ()() ()( )( )( ) ( )()222l nl nl nl nl n222l nl nl nm ax,0m axl nl nl nl n

23、11l n22TTTTTTTTTTXXSsWmXmXmTTTTXXssWsWsmsWmXmXmXmsssESXSX f SdSS f SdSXf SdSegSdSXgSdSeh WdWXh WdWmeedWXh Wd WeedWXNpp- +-+-+-輊-犏臌=-=-=-=-=-=-蝌蝌蝌蝌( )()( )()()222l n22*l n2l nl n22smXmssTXsSrTtXeh WdWXNTtSSrTtrTtXXE SNXNTtTtssssss+-驏桫驏驏+-桫=-桫驏驏驏瓏鼢瓏鼢瓏+-+-瓏鼢瓏瓏鼢瓏瓏桫桫瓏=-瓏瓏-桫Page 49無收益資產(chǎn)歐式看漲期權定價公式理解無收益資產(chǎn)歐式

24、看漲期權定價公式理解n( )1fNdS=1SN d()( )2r TtX eN d-Page 50 從金融工程的角度來看，歐式看漲期權可以分拆成或有資產(chǎn)看漲期權（ Asset-or-nothing Call Option ）多頭和 X 份或有現(xiàn)金看漲期權（ Cash-or-nothing Call Option ）空頭之和。Page 51 是在風險中性世界中 大于 X 的概率，即歐式看漲期權被執(zhí)行的概率，因此 可以看成預期執(zhí)行期權所需支付的現(xiàn)值。 而 則是在以股票作為記賬單位的風險中性世界里 大于X的概率。 可以看成期權持有者預期執(zhí)行期權所得資產(chǎn)的現(xiàn)值。2N dTS2r T tXeN d1()

25、SN d1N dTSPage 52 是在風險中性世界中 大于 X 的概率，即歐式看漲期權被執(zhí)行的概率，因此 可以看成預期執(zhí)行期權所需支付的現(xiàn)值。 而則是在風險中性世界里，一個如果 就等于 ，否則就等于 0 的一個變量的期望值， 則是這個值的貼現(xiàn)值，可以看成期權持有者預期執(zhí)行期權所得收入的現(xiàn)值。 因此整個看漲期權定價公式就是在風險中性世界里期權未來期望回報的現(xiàn)值。2N dTS2r T tXeN d11r T tTeSN dE SN dTSX1SN dTSPage 53歐式平價期權的定價公式歐式平價期權的定價公式 歐式平價看漲期權22212cTtTtNNSTtNPage 54平價期權平價期權 c/

26、S與波動率與期限的關系與波動率與期限的關系Page 55無收益資產(chǎn)歐式看跌期權的定價公式無收益資產(chǎn)歐式看跌期權的定價公式 根據(jù) PCP 可得 對于平價期權，c=p()()()21r TtpX eNdSNd-=-Page 56無收益資產(chǎn)美式看漲期權的定價公式無收益資產(chǎn)美式看漲期權的定價公式 在標的資產(chǎn)無收益情況下， C = c ，因此無收益資產(chǎn)美式看漲期權的定價公式同樣是：( )()( )12r TtCSN dX eN d-=-Page 57有收益資產(chǎn)的歐式期權的定價公式有收益資產(chǎn)的歐式期權的定價公式 在收益已知的情況下，我們可以把標的證券的價格分解成兩部分：期權有效期內(nèi)已知收益的現(xiàn)值部分和一個

27、有風險部分。在期權到期之前，收益現(xiàn)值部分將由于標的資產(chǎn)支付收益而消失。 因此，只要從標的證券當前的價格S中消去收益現(xiàn)值部分，將剩下有風險部分的證券價格作為真正影響期權價值的標的資產(chǎn)價格，用表示證券價格中風險部分的波動率，就可直接套用公式分別計算出有收益資產(chǎn)的歐式看漲期權和看跌期權的價值。Page 58 當標的證券已知收益的現(xiàn)值為 I 時，用 (S I) 代替 S 當標的證券的收益為按連續(xù)復利計算的固定收益率 q（單位為年）時，用 代替 S-qeTtSPage 59 一般來說，期貨期權、股指期權和外匯期權都可以看作標的資產(chǎn)支付連續(xù)復利收益率的期權。 歐式期貨期權可以看作一個支付連續(xù)紅利率為 r 的資產(chǎn)的歐式期權 股指期權則是以市場平均股利支付率為收益率 外匯期權標的資產(chǎn)的連續(xù)紅利率為該外匯在所在國的無