初中數(shù)學(xué)中的折疊問題

1、初中數(shù)學(xué)中的折疊問題折疊問題（對稱問題）是近幾年來中考出現(xiàn)頻率較高的一類題型，學(xué)生往往由于對折疊的實質(zhì)理解不夠透徹，導(dǎo)致對這類中檔問題失分嚴(yán)重。 本文試圖通過對在初中數(shù)學(xué)中經(jīng)常涉及到 的幾種折疊的典型問題的剖析，從中抽象出基本圖形的基本規(guī)律，找到解決這類問題的常規(guī)方法。其實對于折疊問題，我們要明白：1、折疊問題（翻折變換）實質(zhì)上就是軸對稱變換.2、折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱.對稱軸是對應(yīng)點的連線的垂直平分線，折疊前后 圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等.3、對于折疊較為復(fù)雜的問題可以實際操作圖形的折疊，在畫圖時，畫出折疊前后的圖形， 這樣便于找到圖形之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)

2、系.x,然后根據(jù)軸對稱的性質(zhì)4、在矩形（紙片）折疊問題中，重合部分一般會是一個以折痕為底邊的等腰三角形 5、利用折疊所得到的直角和相等的邊或角，設(shè)要求的線段長為用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度， 選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切危\用勾股定理列出方程求解.、矩形中的折疊1 .將一張長方形紙片按如圖的方式折疊，其中bc, bd為折痕，折疊后bg和bh在同一條直線上，/ cbd=度.bc、bd 是折痕，所以有/ abc = /gbc, / ebd = / hbd 則/ cbd = 90 折疊前后的對應(yīng)角相等2 .如圖所示，一張矩形紙片沿 bc折疊，頂點a落在點a處，再過點a折疊使折痕de/bg 若 ab=4,

3、 ac=3則4 ade的面積是.沿bc折疊，頂點落在點 a處，根據(jù)對稱的性質(zhì)得到bc垂直平分aa,即af = aa 又de / bc,得到 abc s aade,再根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求 出三角形ade的面積=24對稱軸垂直平分對應(yīng)點的連線3 .如圖，矩形紙片 abcd中，ab=4 , ad=3 ,折疊紙片使 ad邊與對角線bd重合，得折 痕dg,求ag的長.由勾股定理可得 bd = 5,由對稱的性質(zhì)得 adg 叁 adg,由 ad = ad = 3 , ag = ag,則 ab = 5 3 = 2, 在rtaa,bg中根據(jù)勾股定理，列方程可以求出 ag的值根據(jù)對稱的性質(zhì)

4、得到相等的對應(yīng)邊和對應(yīng)角，再在直角三角形中根據(jù)勾股定理列方程求解即4 .把矩形紙片abcd沿be折疊，使得ba邊與bc重合，然后再沿著bf折疊，使得折痕be也與bc邊重合，展開后如圖所示，則/ dfb等于（）根據(jù)對稱的性質(zhì)得到/ abe=/cbe, /ebf=/cbf,據(jù) 此即可求出/ fbc的度數(shù)，又知道/ c=90 ,根據(jù)三角形 外角的定義即可求出/ dfb = 112.5 注意折疊前后角的對應(yīng)關(guān)系5 .如圖，沿矩形 abcd勺對角線bd折疊，點c落在點e的位置，已知 bc=8cm ab=6cm求 折疊后重合部分的面積.點c與點e關(guān)于直線bd對稱，1 = z21. ad / bc, .1

5、= / 3 / 2 = z3 .fb = fd設(shè) fd = x,則 fb = x, fa = 8 x在 rtabaf 中，ba2 + af2 = bf262 + (8 - x)2 = x2 ,口25解得x =4所以，陰影部分的面積 safbd = 2 fd x ab = 2xx6 = cm2重合部分是以折痕為底邊的等腰三角形6.將一張矩形紙條 abcd如圖所示折疊，若折疊角/ fec=64 ,則/ 1=度； efg 的形狀 三角形.四邊形cdfe與四邊形cdfe關(guān)于直線ef對稱 / 2 = z3 = 64 / 4 = 180 - 2 x 64 = 52 ad / bc1 = z4 = 522

6、= = z 5于尋找對折前后圖形之間的關(guān)系，注意以折痕為底邊的等腰gef7 .如圖，將矩形紙片 abcd按如下的順序進行折疊：對折，展平，得折痕 ef （如圖）； 延cg折疊，使點b落在ef上的點b處，（如圖）；展平，得折痕 gc （如圖）；沿gh折疊，使點c落在dh上的點c處，（如圖）；沿gc折疊（如圖）；展平，得折痕gc , gh （如圖）.（1）求圖中/ bcb的大小;（2）圖中的 gcc是正三角形嗎？請說明理由.a e d a e 口 a5 f c國3 f c囹c圖gd：crb c b cs 圄圖i i（1）由對稱的性質(zhì)可知：bc=bc,然后在rtab fc中，求得cos/bcf=,利

7、用特殊角的三角函數(shù)值的知識即可求得/bcb = 60 ;（2）首先根據(jù)題意得：gc平分/ bcb,即可求得/ gcc = 60。，然后由對稱的性質(zhì)知： gh是線段cc的對稱軸，可得 gc = gc,即可得 gcc是正三角形.理清在每一個折疊過程中的變與不變8 .如圖，正方形紙片 abcd勺邊長為8,將其沿ef折疊，則圖中四個三角形的周長之和為四邊形bcfe與四邊形b c fe關(guān)于直線ef對稱，則這四個三角形的周長之和等于正方形abc曲周長折疊前后對應(yīng)邊相等9 .如圖，將邊長為4的正方形abcd&著折痕ef折疊，使點b落在邊ad的中點g處，求四l邊形bcfe勺面積設(shè) ae = x ,則 be =

8、 ge = 4 - x ,在rtaaeg中，根據(jù)勾股定理有：ae2 + ag2 = ge2即：x2 + 4 = (4 - x) 2解得 x = 1.5, be = eg = 4 -1.5 = 2.5, / 1 + /2 = 90 , / 2 + z3 = 901 = z3又. / a = / d = 90aeg s dgpaedgeggp皿1.5，貝u 2 =25 ,解得gp10gp = 3ph = gh10-gp = 4 -3/4,tan/ 3 = tan / 1 =3 .tan/4 =-4fhph34，fh =32x ph =4 x 3.cf = fh =s 梯形 bcfe =1(2 +5

9、2 )x4 = 6注意折疊過程中的變與不變，圖形的形狀和大小不變，對應(yīng)邊與對應(yīng)角相等10.如圖，將一個邊長為 1的正方形紙片 abcd折疊，使點b落在邊ad上 不與a、d 重合.mn為折痕，折疊后 bc與dn交于p.(1)連接bb 那么bb與mn的長度相等嗎？為什么？(2)設(shè)bm=y , ab =x,求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(3)猜想當(dāng)b點落在什么位置上時，折疊起來的梯形mnc b面積最小？并驗證你的猜想.(1)bb = mn過點n作nh / bc交ab于點h),證 abb (2)mb = mb = y , am = 1 - y, ab = x在 rtaabb 中 hnmbb = dab 2 +

10、 ab 2 =41 + x2 因為點b與點b關(guān)于mn對稱, 貝u bq =如 + x2所以 bq = bq,由 bmqa bba 得bm x ba = bq x bb 1- y =和 + x2 x 5 + x22(1+x2)(3)梯形mnc b的面積與梯形 mncb的面積相等由(1)可知，hm = ab = xbh = bm - hm = y - x,貝u cn = y - xbc梯形mncb的面積為:112 (y - x + y) x 1 = 2 (2y - x)2 (2x1(1 + x2)x)1=2 (x -1 )2 + 32 )811當(dāng)x = 1時，即b點落在ad的中點時，梯形 mncb

11、的面積有最小值，且最小值是 328、紙片中的折疊11 .如圖，有一條直的寬紙帶，按圖折疊，則/ a的度數(shù)等于（）a z a = / 2 .2/ a +/abe=180 ,即 2/ a +30 =180 ,解得/ a =75 .題考查的是平行線的性質(zhì)，同位角相等，及對稱的性質(zhì)，折疊的角與其對應(yīng)角相等，和平角為180度的性質(zhì)，注意 eab是以折痕ab為底的等腰三角形12.如圖，將一寬為 2cm的紙條，沿bc,使/ cab=45。，則后重合部分的面積為作 cdxab ,1. ce / ab , .1 = 7 2,根據(jù)翻折不變性，/ 1 = /bca, 故/ 2=/ bca . .ab=ac .又.

12、/ cab=45 ,在 rtaadc 中，ac = 2近,ab = 24r2saabc =1 ab x cd = 2版在折疊問題中，一般要注意折疊前后圖形之間的聯(lián)系，將圖形補充完整，對于矩形（紙片） 折疊，折疊后會形成“平行線 +角平分線”的基本結(jié)構(gòu)，即重疊部分是一個以折痕為底邊的 等腰三角形abc13.將寬2cm的長方形紙條成如圖所示的形狀，那么折痕pq的長是如圖，作 qhl pa,垂足為 h,則qh=2cm 由平行線的性質(zhì)，得/ dpa=/ paq=60 由折疊的性質(zhì)，得/ dpa =/paq/ apq=60 ,又 / paqw apq=60 ,. apq為等邊三角形，.hq在 rtapq

13、h, sin/hpq = pq 亞=則pq =睫2 pq，3注意掌握折疊前后圖形的對應(yīng)關(guān)系.在矩形（紙片）折疊問題中，會出現(xiàn)“平行線+角平分線”的基本結(jié)構(gòu)圖形，即有以折痕為底邊的等腰三角形 apq14 .如圖a是長方形紙帶，/ def=20 ,將紙帶沿 ef折疊成圖b,再沿bf折疊成圖c,則圖c中的/ cfe的度數(shù)是（. ad / bc,def=z efb=20 ,在圖 b 中，ge = gf, / gfc=180 -2/efg=140 在圖 c 中 / cfe=/gfc-/efg=120 ,本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖

14、形的形狀和大小不變.由題意知/ def=/efb=20 圖 bzgfc=140 ,圖 c 中的/ cfe= / gfc-/ efg15 .將一張長為70 cm的長方形紙片abcd ,沿對稱軸ef折疊成如圖的形狀，若折疊后,ab與cd間的距離為60cm,則原紙片的寬 ab是（）設(shè) ab=xcm .右圖中，af = ce = 35 , ef = x根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)，得ae=cf=35-x (cm).則有 2 (35-x) +x=60 ,x=10 .ma的16. 一根30cm、寬3cm的長方形紙條，將其按照圖示的過程折疊（陰影部分表示紙條的反面），為了美觀，希望折疊完成后紙條兩端超出點p的長度相

15、等，則最初折疊時，求長 將折疊這條展開如圖，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，兩個梯形的上底等于紙條寬，即 3cm,下底等于紙條寬的 2倍，即6cm,兩個三角形都為等腰直角三角形，斜邊為紙條寬的2倍，即6cm,故超出點p的長度為（30-15） +2=7.5,am=7.5+6=13.5ap mb三、三角形中的折疊17 .如圖，把rtaab(c( / c=90 ),使a, b兩點重合，得到折痕 ed,再沿be折疊，c點 恰好與d點重合，則 ce ae=18 .在 abc中，已知 ab=2a, / a=30 , cd是ab邊的中線，若將 abc沿cd對折起來， 折疊后兩個小 acm bcd1疊部分的面積恰女?等于

16、折疊前abc的面積的等.其中，結(jié)論正確(把你認(rèn)為正確結(jié)論的代號都填上，若認(rèn)為都不正確填“無”). (1)cd = 2 ab/ acb = 90. ab = 2a , bc = a , . ac = j3a13 2saabc= 2 x acx bc = -a重疊部分的面積為：；xg3a2 = ga2(2)若ac = a ,如右圖180 - 30 . ad = a , .2 = 2= 75 zbdc = 180 - 75 = 105 . bdc = 105 / 3 = 105 - 75 = 30 1 = /3.ac/ bd四邊形abdc是平行四邊形_ 1重疊部分 cde的面積等于aa bc的面積的

17、4若折疊前 abc的面積等于過點c作chlab于點h,13 2 .4(1)當(dāng)中線cd等于a時，重疊部分的面積等于 ;jub(2)有如下結(jié)論(不在“ c*于a”的限制條件下)： ac邊的長可以等于a;折疊前 的 abc的面積可以等于 事2 ；折疊后，以a b為端點的線段 ab與中線cd平行且相ch =ch 又 tan / 1 = 一ahah = 2a-bh = 2a則 tan/ b = ch ,得/ b = 60 bh . cbd等邊三角形，/2= z4 / 3 = z4, ad / cb2又 cb2 = bc = bd = a ,cb2 = ad 四邊形adcb2是平行四邊形則重疊部分 cde

18、的面積是41abc面積的- 4(3)如右圖，由對稱的性質(zhì)得，/1 = z2又.一/ 3 + z4 = z 1 +/21. z 4 = / 13 = z4, da = db 3 ab 3/ cdb3注意“角平分線+等腰三角形” 和對應(yīng)邊的基本構(gòu)圖，折疊前后圖形之間的對比，找出相等的對應(yīng)角19.在 abc中，已知/ a=80 , / c=30 ,現(xiàn)把 cde沿de進行不同的折疊得 cde,對折疊后產(chǎn)生的夾角進行探究：(1)如圖(1)把 cde沿de折疊在四邊形 adeb內(nèi)，則求/ 1 + /2的和；(2)如圖(2)把 cde沿de折疊覆蓋/ a,則求/ 1 + /2的和；(1)根據(jù)折疊前后的圖象全

19、等可知，/1=180 -2/cde, 72=180 -2zced,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理比可求出答案；(2)連接dg,將/ adg+ /agd作為一個整體，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理來求；15圖（3）將/ 2看作180 -2/ced, / 1看作2/cde-180。，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理來求.解：(1)如圖(1)71+7 2=180 - 2/cde +180 - 2/ced =360 - 2( / cde+ / ced)=360 -2 (180 - /c)=2/ c =60(2)如圖(2)連接dg,71+7 2=180 - /c - (/ adg + / agd ) =180 -30 - (180

20、 -80 ) =50 ;(3)如圖(3)z2-z 1=180 - 2/ced - (2/cde - 180 )=360 - 2( / cde + /ced)=360 - 2 (180 - /c)=2/ c所以：/ 2 - z1=2zc.由于等腰三角形是軸對稱圖形，所以在折疊三角形 時常常會出現(xiàn)等腰三角形20.觀察與發(fā)現(xiàn)：將三角形紙片 abc （ab ac）沿過點a的直線折疊，使得ac落在ab邊上，折痕為ad , 展開紙片（如圖）；在第一次折疊的基礎(chǔ)上第二次折疊該三角形紙片，使點a和點d重合，折痕為ef,展平紙片后得到 aef （如圖）.小明認(rèn)為 aef是等腰三角形，你同意嗎？ 請說明理由.實踐

21、與運用：將矩形紙片abcd沿過點b的直線折疊，使點a落在bc邊上的點f處，折痕為be （如 圖）；再沿過點e的直線折疊，使點 d落在be上的點d處，折痕為eg （如圖）；再展 平紙片（如圖）.求圖中/ a的大小.在第一次折疊中可得到/ ead = / fad在第二次折疊中可得到 ef是ad的垂直平分線，則 ad efaef = z afe . aef是等腰三角形 (1)由折疊可知/ aeb = / feb, / deg = / beg 而/ beg = 45 + / a因為/ aeb + / beg + / deg = 180 所以 45 + 2 (45 +/ a) = 180 / a = 2

22、2.5 所以在三角形中的折疊通常都與角平分線有關(guān)。要由于角平分線所在的直線是角的對稱軸, 抓住折疊前后圖形之間的對應(yīng)關(guān)系(2)將矩形紙片abcd按如下步驟操作：將紙片對折得折痕 ef,折痕與ad邊交于點巳與 bc邊交于點f;將矩形abfe與矩形efcd分別沿折痕mn和pq折疊，使點a、點d都 與點f重合，展開紙片，此時恰好有 mp=mn=pq (如圖)，求/ mnf的大小.由題意得出：znmf= / amn= / mnf , .mf=nf ,由對稱性可知，mf=pf , .nf=pf , 而由題意得出：mp=mn , 又 mf=mf , . mnfa mpf , ./ pmf=/nmf ,而/

23、 pmf+/ nmf+ / mnf=180即 3/ mnf=180 ./ mnf=60在矩形中的折疊問題，通常會出現(xiàn)“角平分線+平行線”的基本結(jié)構(gòu)，即以折痕為底邊的等腰三角形21.直角三角形紙片 abc中，/acb=90 , ac_2 _ 92=2=811i i一，,33即當(dāng) n = 1 時，bo = 2 =2 = 22 - 33 332 - 1當(dāng) n = 2 時，bq =2 = 21 = 22x 2 - 39 3233 - 1當(dāng) n = 3 時，bq = 8 = 23 = 23x2 - 3則第n次折疊后，bo3n2n - 325問題中涉及到的折疊從有限到無限,要明白每一次折疊中的變與不變，充

24、分展示運算的詳細(xì)過程。在找規(guī)律時要把最終的結(jié)果寫成一樣的形式，觀察其中的變與不變， 特別是變化的數(shù)據(jù)與折疊次數(shù)之間的關(guān)系25 .如圖，直角三角形紙片 abc中，ab=3 , ac=4 , d為斜邊bc中點，第1次將紙片折 疊，使點a與點d重合，折痕與 ad交于點p1；設(shè)p1d的中點為d1,第2次將紙片折疊, 使點a與點d1重合，折痕與 ad交于點p2；設(shè)p2d1的中點為d2,第3次將紙片折疊，使 點a與點d2重合，折痕與ad交于點p3；設(shè)pn-1dn-2的中點為dn-1 ,第n次紙片折疊,使a與點dn-1重合，折痕與 ad交于點pn (n2),則ap6長(舞1次聲疊黃2次折疊5ad =2第一次

25、折疊后,api = pidp1d1 = didad ap 1 = -2第二次折疊后,ap2= p2d1p2d2 = d2d1ap2 =歿ad - dd 12ap1ad - 221516第三次折疊后,ap3 = p3d2.ap3 =ad22ad 1- d1d2ap2ad1 - 2215 158 - 32 _ 452= 64即當(dāng)時,ap1 = 430x 522時,15ap2 = 16時,g 45ap3 = 64則第n次折疊后，ap352432x5263n -1x 522n故ap6 =琮5此題考查了翻折變換的知識,解答本題關(guān)鍵是寫出前面幾個有關(guān)線段長度的表達(dá)式,從而得出一般規(guī)律，注意培養(yǎng)自己的歸納總

26、結(jié)能力26 .閱讀理解如圖1, abc中，？皆/ bac的平分線ab折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿/b1a1c的平(1) abc中，/ b=2z c,經(jīng)過兩次，/ bac是不是 abc的好角？(填“是”或“不是”).(2)小麗經(jīng)過三次折疊發(fā)現(xiàn)了/ bac是4abc的好角，t#探究/ b與/c (不妨設(shè)/b/ c) 之間的等量關(guān)系.根據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過n次折疊/ bac是4abc的好角，則/ b與/ c(不妨設(shè)/ b/c)之間的等量關(guān)系為 . z b = n zc 應(yīng)用提升(3)小麗找到一個三角形，三個角分別為15。、60。、105。，發(fā)現(xiàn)60。和105。的兩個角都是此三角形的好角.請你完

27、成，如果一個三角形的最小角是4的三個角均是此三角形的好角.,試求出三角形另外兩個角的度數(shù)，使該三角形設(shè)另外兩個角是4x, 4y,則4x + 4y + 4 = 1804x = 4y x a（a是正整數(shù)）所以y =44a + 1因為x, v, a,都是正整數(shù)，則 a的值應(yīng)為:當(dāng) a = 1 時，x = y = 22, 4x = 4y = 88當(dāng) a = 3 時，y = 11,x =33 ,4x =132當(dāng) a = 10時，y = 4,x =40 ,4x =160當(dāng) a = 21時，y = 2,x =42 ,4x =168 當(dāng) a = 43時，y = 1,x =43 ,4x =1721、3、10、2

28、1、434y = 444y = 164y = 84y = 4注意折疊過程中的對應(yīng)角和三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個外角的和的運用，理解三角形中如果有一個角是好角之后，另兩個角之間的關(guān)系， 通過這樣的問題培養(yǎng)歸納總結(jié)能力27 .我們知道：任意的三角形紙片可通過如圖所示的方法折疊得到一個矩形. (1)實踐：將圖中的正方形紙片通過適當(dāng)?shù)姆椒ㄕ郫B成一個矩形(在圖中畫圖說明)(2)探究：任意的四邊形紙片是否都能通過適當(dāng)?shù)姆椒ㄕ郫B成一個矩形？若能，直接在圖中畫圖說明；若不能，則四邊形至少應(yīng)具備什么條件才行？并畫圖說明.(要求：畫圖應(yīng)體現(xiàn)折疊過程，用虛線表示折痕，用箭頭表示方向，后圖形中既無縫隙又無重

29、疊部分)解：(1)折疊方法如圖所示.7*黑1* *(2)不能.四邊形至少應(yīng)具備的條件是：“對角線互相垂直.折疊方法如圖所示.折疊即對稱1 m 12=2x(2 + m)xm6 x mx28 .如圖，雙曲線 y =6 (x0)經(jīng)過四邊形 oabc勺頂點a、c, / abc=90 , oc平分oa x與x軸正半軸的夾角，ab/ x軸，將 abc沿ac翻折后得到 abc , b點落在oa上，則四 邊形oabc勺面積是多少？ 設(shè)m)根據(jù)對稱的性質(zhì)有：cd = cb = cbi i一 i l12 m 12所以 b(m，肅)，a(- , m ), d(m, 0)m126ab = 2 , bd = m , c

30、d = m , od = m則四邊形oabc的面積為:1 12 x (ab + od) x bd - 2 x od x cd _ i i i i i l ii -明白折疊中的對應(yīng)邊就行n329.已知一個直角三角形紙片 oab ,其中/ aob=90 , oa=2 , ob=4.如圖，將該紙片放 置在平面直角坐標(biāo)系中，折疊該紙片，折痕與邊 ob交于點c,與邊ab交于點d.(1)若折疊后使點 b與點a重合，求點c的坐標(biāo)；(2)若折疊后點b落在邊oa上的點為b,設(shè)ob =x, oc=y,試寫出y關(guān)于x的函數(shù) 解析式，并確定y的取值范圍；(3)若折疊后點b落在邊oa上的點為b，且使b d/ob,求此時

31、點c的坐標(biāo).(1)ab =弋4 + 16 = 2 鄧. bcd bad 1 bcx bo = bdx ball5 .bcx 4 = 55 x2#,bc = 2 :i i ez53.oc = ob - bc = 4 -2 = 2 ,貝u c(0,(2)如右圖，bc= bcbc = bc = ob - oc = 4 - y在 rtobc 中根據(jù)勾股定理有：y2 + x 2 = (4 - y) 2所以 y = -1 x 2 + 28當(dāng)0 w x w 2時，拋物線的值隨x的增大而減小當(dāng) x = 0 時，y = 23當(dāng)x = 2 時，y = 2如右圖由 db” / ob得，/ 2 =73由對稱性質(zhì)得，/ 1 = /2 / 2 = z3,貝u c b / ba. o bc s* oab.oc = 2ob設(shè) o b = m ，則 oc = 2mi ij1所以 2m = - m2 + 28 , 解得 m = -8 45 , m 0 , m = -8 + 4-/s則點c的坐標(biāo)為(0, 8y5 - 16 )折痕是對應(yīng)點連線的垂直平分線四、圓中的折疊30.如圖，正方形 abc曲邊長為2,。的直徑為ad,將正方形的bc邊沿ec折疊，點b 落在圓上的f點，求be的長連接 oc or 則 oc四 ocd(sss) ./ ofc =