偽回歸和單位根

1、偽回歸和單位根1第十章第十章偽回歸和單位根2本章結(jié)構(gòu)本章結(jié)構(gòu)第一節(jié) 時間序列及其平穩(wěn)性第二節(jié) 時間序列平穩(wěn)性檢驗(yàn)第三節(jié) 時間序列的單積和協(xié)積偽回歸和單位根3第一節(jié)第一節(jié) 時間序列及其平穩(wěn)性時間序列及其平穩(wěn)性一、時間序列數(shù)據(jù)和隨機(jī)過程 二、經(jīng)典計(jì)量分析和時間序列的平穩(wěn)性三、時間序列非平穩(wěn)和偽回歸偽回歸和單位根4一、時間序列數(shù)據(jù)和隨機(jī)過程n計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析中的截面數(shù)據(jù)是在同一時點(diǎn)抽樣統(tǒng)計(jì)得到的，可以理解為一個隨機(jī)變量反復(fù)抽樣的結(jié)果。 n時間序列數(shù)據(jù)則是在不同時間觀測或統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)，不能看作同一個隨機(jī)變量生成的，不能看作與截面數(shù)據(jù)一樣的同一個隨機(jī)變量的反復(fù)抽樣，而應(yīng)該看作不同隨機(jī)變量生成的，看作是一個隨機(jī)

2、過程的一個實(shí)現(xiàn)。 偽回歸和單位根5n所謂隨機(jī)過程就是一系列具有順序性和內(nèi)在聯(lián)系的隨機(jī)變量的集合。 n隨機(jī)過程一般定義為隨機(jī)變量族 ，其中T 是給定的實(shí)數(shù)集，對應(yīng)每個 的 是隨機(jī)變量。 n當(dāng)進(jìn)一步明確參數(shù)t代表時間，T 是整數(shù)集合時，離散型隨機(jī)過程 稱為“時間序列”。 TttX),(Tt)(tX, 2, 1, 0),(ttX偽回歸和單位根6n因?yàn)闀r間序列數(shù)據(jù)每個時點(diǎn)的觀測統(tǒng)計(jì)值，都相當(dāng)于該時點(diǎn)生成變量水平的一個隨機(jī)變量的一個實(shí)現(xiàn)值，因此整個時間序列數(shù)據(jù)就是由各個時點(diǎn)的隨機(jī)變量構(gòu)成的隨機(jī)過程的“一個實(shí)現(xiàn)”。 偽回歸和單位根7二、經(jīng)典計(jì)量分析和時間序列的平穩(wěn)性n計(jì)量經(jīng)濟(jì)回歸分析的參數(shù)估計(jì)及相關(guān)推斷檢

3、驗(yàn)，都是建立在隨機(jī)變量總體均值、方差推斷基礎(chǔ)上的。 n如果使用的是截面數(shù)據(jù)，那么因?yàn)榻孛鏀?shù)據(jù)是一個隨機(jī)變量的抽樣結(jié)果，因此根據(jù)中心極限定理等，可以用截面數(shù)據(jù)的樣本均值和方差推斷隨機(jī)變量的總體均值和方差，以此為基礎(chǔ)的計(jì)量回歸分析和預(yù)測是有效的。偽回歸和單位根8n當(dāng)計(jì)量分析使用的數(shù)據(jù)是時間序列數(shù)據(jù)時，情況就會有所不同。 n因?yàn)闀r間序列并不是一個隨機(jī)變量的反復(fù)抽樣，而是隨機(jī)過程的一個實(shí)現(xiàn)，每個數(shù)據(jù)都是特定時間隨機(jī)變量的唯一實(shí)現(xiàn)值，時間序列樣本均值和方差的含義與截面數(shù)據(jù)也不同，這樣以隨機(jī)變量總體均值和方差的推斷為基礎(chǔ)的計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析的基礎(chǔ)就會出現(xiàn)問題。 偽回歸和單位根9n其實(shí)并不是以時間序列數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)的

4、計(jì)量分析都會存在問題。 n只要所使用的時間序列數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的，以時間序列數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)的計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析就是有效的。 n所謂平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)就是由平穩(wěn)隨機(jī)過程生成的時間序列數(shù)據(jù)。 偽回歸和單位根10n隨機(jī)過程的平穩(wěn)性包括嚴(yán)平穩(wěn)和弱平穩(wěn)兩種情況。 n嚴(yán)平穩(wěn)即隨機(jī)過程 在任意時點(diǎn)概率分布的特性不受時間原點(diǎn)改變的影響，可以用任意m個時刻 觀測值 的聯(lián)合概率分布，與 時刻觀測值 的聯(lián)合概率分布相同 表示。 ,0, 1, 2,tY t mttt,21mtttYYY,21ktktktm,21ktktktmYYY,21),(21mtttYYYP),(21ktktktmYYYP偽回歸和單位根11n嚴(yán)平穩(wěn)性隱含任意時刻隨

5、機(jī)變量的概率分布相同，意味著各個時點(diǎn)隨機(jī)變量均值和方差（存在且有限時）都相同，即 和 都與t無關(guān)，兩個隨機(jī)變量的協(xié)方差： 與時間t無關(guān)，只與時間間隔k有關(guān)。n對可能存在的高階矩也同樣。 n嚴(yán)平穩(wěn)性要求是相當(dāng)高的，比較難滿足和證明。 )(tYE2( )tVar Y( ,)()()tt ktt kkCov Y YE YY偽回歸和單位根12n現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中常采用另一種相對較弱的，使用比較方便，比較符合計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析要求的弱平穩(wěn)性或協(xié)方差平穩(wěn)性。 n弱平穩(wěn)性即滿足下列三條要求： （1） ； （2） ； （3） 。)(tYE22)()(ttYEYVar( ,)()()tt ktt kkCov Y YE YY偽

6、回歸和單位根13n嚴(yán)平穩(wěn)性一般情況下強(qiáng)于弱平穩(wěn)性，但也不一定隱含弱平穩(wěn)，因?yàn)閲?yán)平穩(wěn)過程各隨機(jī)變量的一、二階矩并不一定存在。 n平穩(wěn)的時間序列有穩(wěn)定的趨勢（期望）、波動性（方差）和橫向聯(lián)系（協(xié)方差），可以用時間序列的樣本均值和方差推斷各時點(diǎn)隨機(jī)變量的分布特征。n因此運(yùn)用平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)的經(jīng)典回歸分析是有效的，以往時間序列數(shù)據(jù)的計(jì)量回歸分析實(shí)際上隱含假設(shè)數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的。 偽回歸和單位根14三、時間序列非平穩(wěn)和偽回歸n時間序列的平穩(wěn)性并不總是有保證的，許多常用的經(jīng)濟(jì)時間序列，如GDP、物價指數(shù)、股票價格等，都有非平穩(wěn)的特性。 n例如下面圖10.1中INVGM和GER兩個時間序列數(shù)據(jù)的連線圖，就是經(jīng)濟(jì)時

7、間序列的典型圖形。n根據(jù)這兩個圖形很容易看出，這兩個時間序列都不符合平穩(wěn)時間序列要求的穩(wěn)定均值的特征，GER的圖形也不滿足穩(wěn)定方差的基本特征，因此這兩個時間序列都是非平穩(wěn)的。偽回歸和單位根15圖圖10.1 非平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)連線圖非平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)連線圖200400600800100012001400160036384042444648505254INVGM偽回歸和單位根161.01.52.02.53.03.54.0100020003000400050006000GER偽回歸和單位根17n如果把非平穩(wěn)的時間序列當(dāng)作平穩(wěn)序列，事實(shí)上會破壞古典線性回歸模型的基本假設(shè)，用這樣的模型進(jìn)行回歸，得到的統(tǒng)

8、計(jì)量都是失效的，分析、檢驗(yàn)和預(yù)測結(jié)果都是無效的，對計(jì)量回歸分析的有效性有很大的影響。 偽回歸和單位根18n非平穩(wěn)時間序列的另一個問題是，雖然這種時間序列事實(shí)上會破壞經(jīng)典回歸分析的基礎(chǔ)和有效性，但根據(jù)分析結(jié)果并不一定能發(fā)現(xiàn)問題。 n事實(shí)上，有時即使時間序列嚴(yán)重非平穩(wěn)，分析結(jié)果完全無效，t、F、 等指標(biāo)卻仍然很正常，模型的顯著性和擬合程度看起來都很好。這種問題通常稱為“偽回歸” 問題。2R偽回歸和單位根19nGranger和Newbold提出了判斷偽回歸的一個經(jīng)驗(yàn)法則：若回歸分析結(jié)果 DW 就可能存在偽回歸問題。 n判斷偽回歸比較可靠的方法是從導(dǎo)致偽回歸的根源，也就是時間序列的非平穩(wěn)性問題出發(fā)，通

9、過檢驗(yàn)時間序列是否平穩(wěn)序列加以判斷。 2R偽回歸和單位根20第二節(jié)第二節(jié) 時間序列平穩(wěn)性檢驗(yàn)時間序列平穩(wěn)性檢驗(yàn)一、圖形檢驗(yàn)二、自相關(guān)圖檢驗(yàn)三、單位根檢驗(yàn)偽回歸和單位根21一、圖形檢驗(yàn)n平穩(wěn)隨機(jī)過程的均值和方差函數(shù)是常數(shù)，意味著平穩(wěn)時間序列的取值必然圍繞一個水平的中心趨勢，以相同的發(fā)散程度分布。 n根據(jù)這一點(diǎn)，可以從數(shù)據(jù)分布圖形直接對數(shù)據(jù)是否平穩(wěn)進(jìn)行判斷。 n例如當(dāng)時間序列數(shù)據(jù)的連線圖形出現(xiàn)類似圖10.1的情況時，就肯定不是平穩(wěn)時間序列，因?yàn)檫@兩種圖形表明時間序列數(shù)據(jù)都沒有不變的中心趨勢，或者說中心趨勢是變化的，而且也沒有穩(wěn)定的方差。 偽回歸和單位根22 如圖10.2 ，該時間序列數(shù)據(jù)基本上是平

10、穩(wěn)的。 -4-20242004006008001000Z2偽回歸和單位根23n多數(shù)經(jīng)濟(jì)時間序列有上升或下降的趨勢性，而不是圍繞不變水平波動。 n例如圖10.3中的時間序列數(shù)據(jù)CAPAR就是有明顯的上升趨勢的時間序列數(shù)據(jù)。 n不符合平穩(wěn)性定義，但圍繞穩(wěn)定上升趨勢的形態(tài)與平穩(wěn)數(shù)據(jù)是相似的，預(yù)測作用也相似。把這種數(shù)據(jù)排除在平穩(wěn)序列之外，平穩(wěn)序列的應(yīng)用價值必然受到很大限制。 偽回歸和單位根24圖10.3 趨勢平穩(wěn)時間序列 0200400600800100036384042444648505254CAPAR偽回歸和單位根25n這個問題可以通過對平穩(wěn)性概念的擴(kuò)展解決。 n方法是把數(shù)據(jù)的趨勢部分看成先分離出

11、來，然后根據(jù)分離趨勢后的純隨機(jī)部分判定平穩(wěn)性。n例如一個時間序列t 時刻的隨機(jī)變量可以表示為 ，其中 是一個平穩(wěn)序列，那么該序列去掉時間趨勢 之后的部分就是平穩(wěn)的，稱為“趨勢平穩(wěn)” 。n趨勢平穩(wěn)時間序列中的時間趨勢既可以是線性，也可以是非線性的。 tttYtt偽回歸和單位根26二、自相關(guān)圖檢驗(yàn)n原理：平穩(wěn)時間序列過程的自協(xié)方差，或由協(xié)方差計(jì)算的自相關(guān)函數(shù)，應(yīng)該很小、很快趨向于0，具有截尾或拖尾特征 。這些特征正是判斷時間序列平穩(wěn)性的重要依據(jù)。 n由于自相關(guān)是相對量指標(biāo)，方便橫向比較和建立一般標(biāo)準(zhǔn)，因此通常利用自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行判斷。 n利用自相關(guān)函數(shù)判斷時間序列平穩(wěn)性的首要問題是計(jì)算自相關(guān)函數(shù)。

12、偽回歸和單位根27n自相關(guān)函數(shù)是以協(xié)方差函數(shù)為基礎(chǔ)定義的 ，其中 和 分別為協(xié)方差和方差函數(shù)。n因?yàn)橹挥袝r間序列的一個實(shí)現(xiàn)，因此不可能根據(jù)隨機(jī)變量協(xié)方差、方差的定義計(jì)算，只能用樣本，也就是時間序列觀測值的時間平均代替總體平均，時間矩代替總體矩，得到自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)。 0/kk),(kttkYYCov0( )tVar Y偽回歸和單位根28n自相關(guān)函數(shù)最好的估計(jì)方法是樣本自相關(guān)函數(shù)： 其中： 0kknYYYYntkttk1)(210()nttYYn偽回歸和單位根29n對不同的k分別計(jì)算出樣本自相關(guān)函數(shù) 的值以后，可以描繪出對應(yīng)不同k的 的分布圖形，根據(jù)圖形的特征判斷時間序列是否平穩(wěn)。 n當(dāng)樣本自相

13、關(guān)函數(shù)的值（對不同k）有許多落在臨界值范圍外時，初步判斷有非平穩(wěn)性。 n常用計(jì)量分析軟件都有給出序列相關(guān)圖的功能，因此運(yùn)用相關(guān)圖檢驗(yàn)時間序列的平穩(wěn)性非常方便。 kk偽回歸和單位根30三、單位根檢驗(yàn)n定義：如果隨機(jī)過程中隨機(jī)變量滿足關(guān)系式： 或 。其中 是服從白噪聲過程的修正項(xiàng)， 是常數(shù)，則稱該隨機(jī)過程為一個“單位根過程” 。n上述單位根過程只是單位根過程的基本形式，單位根過程還可以擴(kuò)展到包含時間趨勢項(xiàng)等的多種情況。tttYY1ttYt偽回歸和單位根31n在給定 的前提下 的條件期望 不是與t 無關(guān)的常數(shù)，而且因?yàn)?n因此 的方差 也不是與t 無關(guān)的常數(shù)，所以單位根過程不符合平穩(wěn)性的定義，是非平

14、穩(wěn)的隨機(jī)過程。 1tYtY11)(tttYYYE2112ttttttYYY10tttYtiitY10tY2)(tYVart偽回歸和單位根32n事實(shí)上，大多數(shù)經(jīng)濟(jì)時間序列非平穩(wěn)性的原因都是因?yàn)榘瑔挝桓^程。因此現(xiàn)代計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析主要通過檢驗(yàn)是否存在單位根，檢驗(yàn)時間序列的平穩(wěn)性。 n檢驗(yàn)單位根最常用的方法是迪基-富勒檢驗(yàn)和擴(kuò)展迪基-富勒檢驗(yàn)。n我們先介紹基本的迪基-富勒檢驗(yàn)方法。 偽回歸和單位根33n首先檢驗(yàn)時間序列是否屬于最基本的單位根過程，也稱為隨機(jī)游走過程 ，其中 為白噪聲過程。n如果自回歸模型 中 ，或者變換成的回歸模型 中的 ，那么時間序列 就是最基本的單位根過程隨機(jī)游走過程，肯定是非平

15、穩(wěn)的。n因此上述差分模型中 的顯著性檢驗(yàn)，就是檢驗(yàn)時間序列是否存在上述單位根問題。 tttYY1ttttYY11tttYY10tY偽回歸和單位根34n檢驗(yàn) 顯著性的方法是先用最小二乘法估計(jì) 再計(jì)算相應(yīng)的t 統(tǒng)計(jì)量值，再根據(jù)樣本容量等t 分布臨界值，并判斷 的顯著性。 n值得注意的問題是，如果時間序列確實(shí)是非平穩(wěn)的單位根過程，那么上述回歸分析得到的t 統(tǒng)計(jì)量是不服從t 分布的，因此不能用t 分布表的臨界值判斷 的顯著性。 n為此迪基和富勒通過蒙特卡羅模擬方法構(gòu)造了專門的統(tǒng)計(jì)分布表，給出包括10%、5%、1%幾個顯著性水平的臨界值，稱為DF 臨界值表。 偽回歸和單位根35n為了區(qū)別起見，把上述模型

16、回歸分析計(jì)算的t 統(tǒng)計(jì)量改稱為 統(tǒng)計(jì)量。n把上述回歸模型計(jì)算到的 統(tǒng)計(jì)量與DF 臨界值表中查到的臨界值 比較， 時拒絕 的假設(shè)，認(rèn)為 具有顯著性，時間序列不服從上述單位根過程，時間序列是平穩(wěn)的。n反之則認(rèn)為 不顯著，認(rèn)為時間序列服從上述單位根過程，時間序列是非平穩(wěn)的。 n上述單位根檢驗(yàn)方法就稱為“迪基-富勒檢驗(yàn)”，簡稱“DF 檢驗(yàn)”。 0偽回歸和單位根36n隨機(jī)游走過程只是最簡單的一種單位根過程，許多非平穩(wěn)時間序列包含更復(fù)雜的單位根過程，包含常數(shù)項(xiàng)、趨勢項(xiàng)和高階差分項(xiàng)等。 n為了使迪基-富勒檢驗(yàn)適用單位根過程的檢驗(yàn)，必須作適當(dāng)?shù)臄U(kuò)展。方法是分別采用下列模型： tttYY1tttYtY1tmii

17、tittYYtY11偽回歸和單位根37n其中 代表常數(shù)因子， 是趨勢項(xiàng)， 是m個分布滯后項(xiàng)。n這三種模型中對應(yīng) 的 統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)與隨機(jī)游走模型對應(yīng)統(tǒng)計(jì)量相同。n以這三個回歸模型為基礎(chǔ)，用各個模型中回歸分析得到的 統(tǒng)計(jì)量和DF 臨界值表，可以檢驗(yàn)各自 的顯著性。n例101。詳見Eviews演示。 tmiitiY1偽回歸和單位根38第三節(jié)第三節(jié) 時間序列的單積和協(xié)積時間序列的單積和協(xié)積n把非平穩(wěn)的時間序列數(shù)據(jù)用于平穩(wěn)性數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)的計(jì)量經(jīng)濟(jì)回歸分析，會影響分析的有效性，因此應(yīng)該避免這種情況。 n但檢驗(yàn)時間序列平穩(wěn)性的目的并不是淘汰數(shù)據(jù)，因?yàn)楹唵蔚嘏懦龜?shù)據(jù)會浪費(fèi)這些數(shù)據(jù)包含的信息，甚至?xí)?dǎo)致計(jì)量分析無

18、法進(jìn)行，平穩(wěn)性檢驗(yàn)的根本目的是更好地利用數(shù)據(jù)。 n單積和協(xié)積是利用非平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)的關(guān)鍵。 偽回歸和單位根39一、時間序列的單積性n對不少非平穩(wěn)時間序列作差分變換得到的差分序列都是平穩(wěn)序列。例如隨機(jī)游走序列的差分序列是白噪聲序列，肯定是平穩(wěn)的，許多單位根過程的差分序列同樣也是平穩(wěn)的。 n對于這種非平穩(wěn)時間序列，它們的差分序列的計(jì)量分析一般是有效的。因?yàn)闀r間序列的差分序列與時間序列本身包含許多一致的信息，差分與原變量之間常?？梢韵嗷マD(zhuǎn)換，因此利用差分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)量分析也是有意義的。 偽回歸和單位根40n不過并不是所有非平穩(wěn)時間序列的差分序列都是平穩(wěn)的，如果差分序列也不是平穩(wěn)的，那么也不能用于以平穩(wěn)性為基礎(chǔ)的計(jì)量模型。 n因此利用差分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行分析之前，必須對差分序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)。檢驗(yàn)的方法是把單位根檢驗(yàn)用于時間序列的差分序列。 偽回歸和單位根41n對于經(jīng)過差分變換仍然非平穩(wěn)的時間序列，還可以對差分序列再作差分變換，也就是對原序列作兩次差分變換。如果兩次差分變換得到的二次差分序列是平穩(wěn)的，則二次差分序列可用于計(jì)量分析。 n進(jìn)一步，如果二次差分序列仍然是非平穩(wěn)的，還可以進(jìn)行三次差分，并根據(jù)三次差分序列的平穩(wěn)性分別處理。 n依次類推，一個非平穩(wěn)時間序列可以在進(jìn)行了d次差分