誤差理論_第二章_誤差的基本性質(zhì)與處理2003

1、1 1 教學(xué)目標(biāo) 搞清楚各種誤差的性質(zhì)、出現(xiàn)規(guī)律、 產(chǎn)生原因、發(fā)現(xiàn)與消除或減小它們的主 要方法及測(cè)量結(jié)果的評(píng)定。 2 2 重點(diǎn)與難點(diǎn) 三大類誤差的特征、性質(zhì)以及減小各類誤差對(duì)測(cè)量精 度影響的措施 掌握等精度測(cè)量的數(shù)據(jù)處理方法 掌握不等精度測(cè)量的數(shù)據(jù)處理方法 3 3 第二章 內(nèi)容目錄 2.1 隨機(jī)誤差 一、隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因 二、隨機(jī)誤差的分布及其特性 三、算術(shù)平均值 四、測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差 五、標(biāo)準(zhǔn)偏差的幾種計(jì)算方法 六、測(cè)量的極限誤差 七、不等精度測(cè)量 八、隨機(jī)誤差的其他分布 九、減小隨機(jī)誤差的技術(shù)途徑 2.2 系統(tǒng)誤差 一、研究系統(tǒng)誤差的重要意義 二、系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因 三、系統(tǒng)誤差的分類和特征

2、 四、系統(tǒng)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響 五、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn) 六、系統(tǒng)誤差的消除 2.3 粗大誤差 一、粗大誤差產(chǎn)生的原因 二、判別粗大誤差的準(zhǔn)則 三、防止與消除粗大誤差的方法 2.4 測(cè)量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理實(shí)例 一、等精度測(cè)量數(shù)據(jù)處理 二、不等精度測(cè)量數(shù)據(jù)處理 2.5 三類誤差性質(zhì)與特征小結(jié) 4 4 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 當(dāng)對(duì)同一測(cè)量值進(jìn)行多次等精度的重復(fù)測(cè)量時(shí)，得到一系列 不同的測(cè)量值（常稱為測(cè)量列），每個(gè)測(cè)量值都含有誤差，這些 誤差的出現(xiàn)沒有確定的規(guī)律，即前一個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)后，不能預(yù)測(cè)下 一個(gè)數(shù)據(jù)的大小和方向。但就誤差整體而言，卻明顯具有某種統(tǒng) 計(jì)規(guī)律。 隨機(jī)誤差是由很多暫時(shí)未能掌握或不便掌握的微小因素構(gòu) 成

3、，主要有以下幾方面： 測(cè)量裝置方面的因素 環(huán)境方面的因素 人為方面的因素 零部件變形及其不穩(wěn)定 性，信號(hào)處理電路的隨 機(jī)噪聲等。 溫度、濕度、氣壓的變 化，光照強(qiáng)度、電磁場(chǎng) 變化等。 瞄準(zhǔn)、讀數(shù)不穩(wěn)定，人 為操作不當(dāng)?shù)取?5 5 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 隨機(jī)誤差的分布可以是正態(tài)分布，也有在非正態(tài)分布，而多數(shù)隨隨機(jī)誤差的分布可以是正態(tài)分布，也有在非正態(tài)分布，而多數(shù)隨 機(jī)誤差都服從正態(tài)分布。我們首先來分析服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差的機(jī)誤差都服從正態(tài)分布。我們首先來分析服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差的 特性。特性。 設(shè)被測(cè)量值的真值為，一系列測(cè)得值為，則測(cè)量列的隨機(jī)設(shè)被測(cè)量值的真值為，一系列測(cè)得值為，則測(cè)量列的隨機(jī)

4、誤差可表示為：誤差可表示為： (2-1)(2-1) 式中。式中。 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布密度與分布函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布密度與分布函數(shù)為 (2-2)(2-2) (2-3)(2-3) 式中：式中：標(biāo)準(zhǔn)差（或均方根誤差）標(biāo)準(zhǔn)差（或均方根誤差） e e自然對(duì)數(shù)的底，基值為自然對(duì)數(shù)的底，基值為2.71822.7182。 它的數(shù)學(xué)期望為它的數(shù)學(xué)期望為 (2-4)(2-4) 它的方差為：它的方差為：(2-5)(2-5) o L i l i oii Ll ni,2,1 )2/( 22 2 1 )( ef )(f)(F deF )2( 22 2 1 )( 0)(dfE df)( 22 6 6 第一節(jié) 隨機(jī)誤差

5、其平均誤差為： (2-6) 此外由可解得或然誤差為 ： (2-7) 由式（2-2）可以推導(dǎo)出： 有 , 可推知分布具有對(duì)稱性，即絕對(duì)值相 等的正誤差與負(fù)誤差出現(xiàn)的次數(shù)相等，這稱為誤差的對(duì)稱性； 當(dāng)=0時(shí)有 ，即 ，可推知單峰性，即絕對(duì)值 小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多，這稱為誤差的單峰性； 雖然函數(shù)的存在區(qū)間是-,+，但實(shí)際上，隨機(jī)誤差只 是出現(xiàn)在一個(gè)有限的區(qū)間內(nèi)，即-k,+k,稱為誤差的有界性； 隨著測(cè)量次數(shù)的增加，隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨向于零： 這稱為誤差的補(bǔ)償性。 2 1 )(df 3 2 6745.0 0)(f)()(ff )0()( max ff 返回本章目錄 )0()(ff

6、)(f 0lim 1 n n i i n 5 4 )(|df 從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差都具有的 四個(gè)特征：對(duì)稱性、單峰性、有 界性、抵償性。由于多數(shù)隨機(jī)誤 差都服從正態(tài)分布，因此正態(tài)分 布在誤差理論中占有十分重要的 地位。 7 7 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 圖2-1為正態(tài)分布曲線以及各精度參數(shù)在圖中的坐標(biāo)。 值為曲線上拐點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，值為曲線右半部面積重心B的橫 坐標(biāo)，值的縱坐標(biāo)線則平分曲線右半部面積。 8 8 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 對(duì)某量進(jìn)行一系列等精度測(cè)量時(shí)，由于存在隨機(jī)誤差，因 此其獲得的測(cè)量值不完全相同，此時(shí)應(yīng)以算術(shù)平均值作為最后 的測(cè)量結(jié)果。 (一)算術(shù)平均值的意義 設(shè) 為n次測(cè)量所得的值，則算術(shù)平

7、均值為: n i i n l nn lll x 1 21 1 n lll, 21 三、算術(shù)平均值三、算術(shù)平均值 9 9 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 下面來證明當(dāng)測(cè)量次數(shù)無限增加時(shí)，算術(shù)平均值必然趨近于真 值Lo。 oii Ll onn nLlll)( 2121 n i oi n i i nLl 11 nn l L n i i n i i o 11 由前面正態(tài)分布隨機(jī)誤差的第四特征可知 0lim 1 n n i i n 因此 0 1 L n l x n i i 由此我們可得出結(jié)論：如果能夠?qū)δ骋?量進(jìn)行無限多次測(cè)量，就可得到不受隨 機(jī)誤差影響的測(cè)量值，或其影響很小， 可以忽略。這就是當(dāng)測(cè)量次數(shù)無限增大 時(shí)

8、，算術(shù)平均值（數(shù)學(xué)上稱之為最大或 然值）被認(rèn)為是最接近于真值的理論依 據(jù)。但由于實(shí)際上都是有限次測(cè)量，因 此，我們只能把算術(shù)平均值近似地作為 被測(cè)量的真值。 1010 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 一般情況下，被測(cè)量的真值為未知，不可能按式（2-1）求得隨機(jī)誤 差，這時(shí)可用算術(shù)平均值代替被測(cè)量的真值進(jìn)行計(jì)算。此時(shí)的隨機(jī)誤 差稱為殘余誤差，簡(jiǎn)稱 殘差： xl ii (2-9) 此時(shí)可用更簡(jiǎn)便算法來求算術(shù)平均值 。任選一個(gè)接近所有測(cè)得值的數(shù) 作為參考值，計(jì)算每個(gè)測(cè)得值 與 的差值：0 l i l nilll oii ,2, 1 0 0 1 0 111 )( xl n l l n nll n ll n l x

9、n i i n i oi n i io n i i (2-10) 式中的 為簡(jiǎn)單數(shù)值，很容易計(jì)算，因此 按（2-10）求算術(shù)平均值比較簡(jiǎn)單。 0 x 若測(cè)量次數(shù)有限，由參數(shù)估計(jì)知， 算術(shù)平均值是該測(cè)量總體期望的 一個(gè)最佳的估計(jì)量 ，即滿足無偏 性、有效性、一致性，并滿足最 小二乘法原理；在正態(tài)分布條件 下滿足最大似然原理。 1111 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 例例 2-12-1 測(cè)量某物理量10次，得到結(jié)果見表2-1，求算 術(shù)平均值。 i l 64.1879 01. 065.1879 x 序號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1879.64 1879.69 1879.60 1879.69 1

10、879.57 1879.62 1879.64 1879.65 1879.64 1879.65 -0.01 +0.04 -0.05 +0.04 -0.07 -0.03 -0.01 0 -0.01 0 0 +0.05 -0.04 +0.05 -0.07 -0.02 0 +0.01 0 +0.01 01. 0 1 n i i v 01.0 10 10 1 0 i i l x i l i v 12表 解：任選參考值0 l=1879.65， 計(jì)算差值 i l 0 x 列于表中很容易求得算術(shù)平均 值 x 1879.64 。 1212 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 （二）算術(shù)平均值的計(jì)算校核 算術(shù)平均值及其殘余誤差的計(jì)

11、算是否正確，可用求得的殘余誤差代 數(shù)和來校核。 由 ， 式中的是根據(jù)（2-8）計(jì)算的， 當(dāng)求得的為未經(jīng)湊整的準(zhǔn)確數(shù)時(shí)，則有： (2-11) xli i n i n i ii xnlv 11 x x n i i v 1 0 殘余誤差代數(shù)和為零這一性質(zhì)，可用來校核算術(shù)平均值及其殘余 誤差計(jì)算的正確性。但當(dāng)實(shí)際得到的為經(jīng)過湊整的非準(zhǔn)確數(shù)，存 在舍入誤差，即有： 成立。 而 n l x n i i 1 n i n i n i i ii n n l nlv 11 1 )( 殘余誤差代數(shù)和為 零這一性質(zhì)，可用 來校核算術(shù)平均值 及其殘余誤差計(jì)算 的正確性。 1313 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 （二）算術(shù)平均值的計(jì)

12、算校核 但當(dāng)實(shí)際得到的為經(jīng)過湊整的非準(zhǔn)確數(shù)，存在舍入誤差，即有： 成立。而 經(jīng)過分析證明，用殘余誤差代數(shù)和校核算術(shù)平均值及其殘差，其規(guī) 則為： n l x n i i 1 n i n i n i i ii n n l nlv 11 1 )( 1414 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 殘差代數(shù)和應(yīng)符合： 當(dāng)，求得的為非湊整的準(zhǔn)確數(shù)時(shí) ， 為零； 當(dāng)，求得的為非湊整的準(zhǔn)確數(shù)時(shí)， 為正，其大小為求時(shí)的余數(shù)； 當(dāng)，求得的為非湊整的準(zhǔn)確數(shù)時(shí)， 為負(fù)，其大小為求時(shí)的虧數(shù)。 n i i xnl 1 n i i v 1 x n i i xnl 1x n i i v 1 n i i xnl 1 x n i i v 1 （二）

13、算術(shù)平均值的計(jì)算校核 x x 1515 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 （二）算術(shù)平均值的計(jì)算校核 殘差代數(shù)和絕對(duì)值應(yīng)符合： 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，； 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，。 式中的A為實(shí)際求得的算術(shù)平均值末位數(shù)的一個(gè)單位。 以上兩種校核規(guī)則，可根據(jù)實(shí)際運(yùn)算情況選擇一種進(jìn) 行校核，但大多數(shù)情況選用第二種規(guī)則可能較方便，它 不需要知道所有測(cè)得值之和。 A n v n i i 2 1 A n v n i i )5.0 2 ( 1 x 1616 例例2-2 2-2 用例2-1數(shù)據(jù)對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行校核。 解：因n為偶數(shù)， A0.01，由表2-1知 故計(jì)算結(jié)果正確。 例例2-32-3 測(cè)量某直徑11次，得到結(jié)果如表2-2所示，求算術(shù)

14、平均值并進(jìn) 行校核。 解：算術(shù)平均值為： 取2000.067（計(jì)算過程比測(cè)量結(jié)果多保留一位有效數(shù)字，安全） 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 , 5 2 10 2 n 05.0 2 01.0 10 1 A n v i i mmmm l x i i 0673.2000 11 74.22000 11 11 1 x i li v 序號(hào) (mm) (mm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2000.07 2000.05 2000.09 2000.06 2000.08 2000.07 2000.06 2000.05 2000.08 2000.06 2000.07 +0.003 -0.017 +0.023

15、 -0.007 +0.013 +0.003 -0.007 -0.017 +0.013 -0.007 +0.003 74.22000 11 1 i i l 003.0 11 1 i i v 22表 x 1717 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 用第一種規(guī)則校核，則有： 用第二種規(guī)則校核，則有： 故用兩種規(guī)則校核皆說明計(jì)算結(jié)果正確。 mmmmxnmml i i 737.22000067.20001174.22000 11 1 mmmmmmxlv i i i i 003. 0737.2200074.2200011 11 1 11 1 mmA n mmv mmA n i i 005. 05 . 0 2 003. 0

16、 001. 0, 55 . 0 2 11 5 . 0 2 11 1 1818 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 四、測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差四、測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差 )(f 2 exp )2( 1 )( 2 2 f 2 1 hexp 1 )( 22 hf 1919 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 由于值反映了測(cè)量值或隨機(jī)誤差的散布程度，因此值可作 為隨機(jī)誤差的評(píng)定尺度。值愈大，函數(shù) 減小得( )； 值愈小， 減小得( )，即測(cè)量到的精密度愈高， 如圖2-2所示。 )(f )(f 越慢 愈快 標(biāo)準(zhǔn)差不是測(cè)量到中任何一個(gè)具體測(cè)量值的隨 機(jī)誤差，的大小只說明，在一定條件下等精度 測(cè)量列隨機(jī)誤差的概率分布情況。在該條件下， 任一單次測(cè)得值的隨機(jī)誤差，

17、一般都不等于， 但卻認(rèn)為這一系列測(cè)量列中所有測(cè)得值都屬于同 樣一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的概率分布。在不同條件下，對(duì) 同一被測(cè)量進(jìn)行兩個(gè)系列的等精度測(cè)量，其標(biāo)準(zhǔn) 差也不相同。 2020 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 （二）或然誤差 測(cè)量列的或然誤差，它將整個(gè)測(cè)量列的n個(gè)隨機(jī)誤差分為 個(gè)數(shù)相等的兩半。其中一半（n/2個(gè)）隨機(jī)誤差的數(shù)值落在- +范圍內(nèi)，而另一半隨機(jī)誤差的數(shù)值落在- +范圍 以外： ， 查 表，得到 時(shí)，z=0.6745，故有 其實(shí)際意義是：若有n個(gè)隨機(jī)誤差，則有n/2個(gè)落在區(qū)間- ,+之內(nèi)，而另外n/2個(gè)隨機(jī)誤差則落在此區(qū)間之外。 5.0)()( fzf )(zf 5 . 0)(zf 3 2 6745.0

18、z 2121 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 （三）算術(shù)平均誤差 測(cè)量列算術(shù)平均誤差的定義是：該測(cè)量列全 部隨機(jī)誤差絕對(duì)值的算術(shù)平均值，用下式表示： 由概率積分可以得到與的關(guān)系： )(| 1 1 n n n i i 5 4 7979.0 2 目前世界各國大多趨于采用作為評(píng)定隨機(jī)誤差的尺度。 這是因?yàn)椋?的平方恰好是隨機(jī)變量的數(shù)字特征之一（方差），本身又恰好是 高斯誤差方程 式中的一個(gè)參數(shù)，即 ，所以采用，正好符合 概率論原理，又與最小二乘法最切合； )(f s 2222 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 對(duì)大的隨機(jī)誤差很敏感，能更準(zhǔn)確地說明 測(cè)量列的精度； 極限誤差與標(biāo)準(zhǔn)偏差的關(guān)系簡(jiǎn)單： 即 公式推導(dǎo)和計(jì)算比較簡(jiǎn)單。 3

19、im 2323 問題：如何用小樣本測(cè)量理論來推斷樣本的總體特征？即問題：如何用小樣本測(cè)量理論來推斷樣本的總體特征？即 用基于小樣本的用基于小樣本的“實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差”來表示呢？顯然，來表示呢？顯然，“實(shí)實(shí) 驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差”只能由只能由“殘差殘差”來代替真無恥，計(jì)算得到標(biāo)來代替真無恥，計(jì)算得到標(biāo) 準(zhǔn)差的估計(jì)值。推導(dǎo)得出有：準(zhǔn)差的估計(jì)值。推導(dǎo)得出有： 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 五、標(biāo)準(zhǔn)偏差的幾種計(jì)算方法五、標(biāo)準(zhǔn)偏差的幾種計(jì)算方法 （一）等精度-單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算（樣本總 體的標(biāo)準(zhǔn)偏差） 貝塞爾貝塞爾(Bessel)(Bessel)公式公式 2 1 n i i n 上式中：上式中： 0 L

20、li i 但是一般情況下真值但是一般情況下真值L0L0未知，未知， 且為有限次測(cè)量，即小樣本測(cè)且為有限次測(cè)量，即小樣本測(cè) 量，無法獲得樣本的總體量，無法獲得樣本的總體 2424 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 1 1、貝塞爾、貝塞爾(Bessel)(Bessel)公式公式 0 Lli i 0 022 011 Lxxl Lxxl Lxxl nn 式中， 稱為算術(shù)平均值誤差將它和殘差 代入上式，則有 x Lx)( 0 xlv ii (2-13) x nn x x v v v 22 11 (2-14) 隨機(jī) 誤差 2525 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 將上式對(duì)應(yīng)相加得 ： ，即 x n i i n i i nv 11 (2

21、-15) nn v n n i i n i i n i i x 111 若將式(2-14)平方后再相加得： n i x i n i i xx n i i n i i nvvnv 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 (2-16) 將式(2-15)平方有： 2 1 2 1 2 12 2 nnn n ji ji n i i n i i x 當(dāng)n適當(dāng)大 時(shí)，可以 認(rèn)為趨近 于零，并 將代入式 (2-16)得： n v n i i n i i n i i 1 2 1 2 1 2 (2-17)2626 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 由于 ，代入式(2-17)得 ： ，即 2 1 2 n n i i n i i v

22、n 1 222 2 1 i s v n (2-18) 2727 1 11 n n v n i i n i i 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 2 2、別捷爾斯法、別捷爾斯法 由貝賽爾公式得： nn v n i i i 1 2 2 1 進(jìn)一步得： 則平均誤差有： n i i n i i v nnn 1 1 )1( 1 由式2-6得： 253. 1 7979. 0 1 故有： ) 1( 2533. 1 2 nn vi (2-26) n i i n i i v n n 1 2 1 2 1 此式稱為別捷 爾斯（Peters） 公式，它可由 殘余誤差 的絕對(duì)值之和 求出單次測(cè)量 的標(biāo)準(zhǔn)差 1 253.1 1 nn v

23、 n i i x (2-27) 算術(shù)平均值的 標(biāo)準(zhǔn)差 2828 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 例例2-42-4 用別捷爾斯法求得表2-3的標(biāo)準(zhǔn)差。 解：計(jì)算得到的值分別填于表中，因此有 )(mmli)(mmvi mmx045.750 10 1 i i v 序號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 75.01 75.04 75.07 75.00 75.03 75.09 75.06 75.02 75.05 75.08 0.035 0.005 0.025 0.045 0.015 +0.045 +0.015 -0.025 +0.005 +0.035 0.001225 0.000025 0.000625 0.

24、002025 0.000225 0.002025 0.000225 0.000625 0.000025 0.001225 2 10 1 2 00825. 0mmv i i )( 2 mmvi 32表 思考，應(yīng)該保 留幾位有效數(shù) 字？ mmmm mmmm z 0104. 0 11010 250. 0 253. 1 0330. 0 11010 250. 0 253. 1 2929 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 3 3、極差法、極差法 用貝賽爾公式和別捷爾斯公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差均需先求算術(shù)平均值，再求殘 余誤差，然后進(jìn)行其他運(yùn)算，計(jì)算過程比較復(fù)雜。當(dāng)要求簡(jiǎn)便迅速算出 標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，可用極差法。 若等精度多次測(cè)量測(cè)得值 服

25、從正態(tài)分布，在其中選取最 大值 與最小值 ，則兩者之差稱為極差： n xxx, 21 max x min x minmax xx n (2-28) 3030 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 3 3、極差法、極差法 (2-28) 根據(jù)極差的分布函數(shù)，可求出極差的數(shù)學(xué)期望為 (2-29) 因 故可得 的無偏估計(jì)值，若仍以 表示，則有 (2-30) 式中 的數(shù)值見表2-4。 minmax xx n nn dE)( )( n n d E n n d n d n2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1.13 1.69 2.06 2.33 2.53 2.70

26、2.85 2.97 3.08 3.17 3.26 3.34 3.41 3.47 3.53 3.59 3.64 3.69 3.74 n d 42表 3131 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 3 3、極差法、極差法 例例2-5 2-5 仍用表2-3的測(cè)量數(shù)據(jù)，用極差法求得標(biāo)準(zhǔn)差。 解： 08. 3 09. 000.7509.75 10 minmax d mmmmmmll n mmmm d n 0292.0 08.3 09.0 10 3232 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 4 4、最大誤差法、最大誤差法 在某些情況下，我們可以知道被測(cè)量的真值或滿 足規(guī)定精度的用來代替真值使用的量值（稱為實(shí) 際值或約定值），因而能夠算出隨機(jī)誤

27、差 ， 取其中絕對(duì)值最大的一個(gè)值 ，當(dāng)各個(gè)獨(dú)立測(cè) 量值服從正態(tài)分布時(shí)，則可求得關(guān)系式： max i i max | 1 i n K (2-31) 一般情況下，被測(cè)量的真值為未知，不能按（2- 31）式求標(biāo)準(zhǔn)差，應(yīng)按最大殘余誤差 進(jìn)行 計(jì)算，其關(guān)系式為： max | i v max | 1 i n v K (2-32) 3333 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 4 4、最大誤差法、最大誤差法 式（2-31）和（2-32）中兩系數(shù) 、 的倒數(shù)見表2-5。 n K n K n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1.25 0.88 0.75 0.68 0.64 0.61 0.5

28、8 0.56 0.55 0.53 0.52 0.51 0.50 0.50 0.49 n 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0.48 0.48 0.47 0.47 0.46 0.46 0.45 0.45 0.45 0.44 0.44 0.44 0.44 0.43 0.43 n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 25 30 1.77 1.02 0.83 0.74 0.68 0.64 0.61 0.59 0.57 0.51 0.48 0.46 0.44 52表 最大誤差法簡(jiǎn)單、迅速、 方便，且容易掌握，因而 有廣泛用途。當(dāng)n10

29、 時(shí)，最大誤差法具有一定 精度。 3434 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 4 4、最大誤差法、最大誤差法 例例2-62-6 仍用表2-3的測(cè)量數(shù)據(jù)，按最大誤差法求標(biāo)準(zhǔn)差，則有， 故標(biāo)準(zhǔn)差為 mmvi045. 0 max 57.0 1 10 K mmmm K vi 0256. 0045. 057. 0 10 max 3535 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 例例2-72-7 某激光管發(fā)出的激光波長經(jīng)檢定為 ，由于 某些原因未對(duì)次檢定波長作誤差分析，但后來又用更精確的方法測(cè) 得激光波長 ，試求原檢定波長的標(biāo)準(zhǔn)差。 解：因后測(cè)得的波長是用更精確的方法，故可認(rèn)為其測(cè)得 值為實(shí)際波長(或約定真值)，則原檢定波長的隨機(jī)誤差 為：

30、故標(biāo)準(zhǔn)差為： m63299130. 0 m63299144. 0 mmm 8 101463299144. 063299130. 0 25. 1 1 1 K mm K 78 1 1075. 1101425. 1 4 4、最大誤差法、最大誤差法 3636 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 貝塞爾公式的計(jì)算精度較高，但計(jì)算麻煩，需要乘方 和開方等，其計(jì)算速度難于滿足快速自動(dòng)化測(cè)量的需 要； 別捷爾斯公式最早用于前蘇聯(lián)列寧格勒附近的普爾科 夫天文臺(tái)，它的計(jì)算速度較快，但計(jì)算精度較低，計(jì) 算誤差為貝氏公式的1.07倍； 用極差法計(jì)算，非常迅速方便，可用來作為校對(duì)公 式，當(dāng)n10時(shí)可用來計(jì)算，此時(shí)計(jì)算精度高于貝氏 公式；

31、 用最大誤差法計(jì)算更為簡(jiǎn)捷，容易掌握，當(dāng)n10時(shí) 可用最大誤差法，計(jì)算精度大多高于貝氏公式，尤其 是對(duì)于破壞性實(shí)驗(yàn)(n=1)只能應(yīng)用最大誤差法。 5 5、四種計(jì)算方法的優(yōu)缺點(diǎn)、四種計(jì)算方法的優(yōu)缺點(diǎn) 3737 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 （二）多次測(cè)量的測(cè)量列算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差（二）多次測(cè)量的測(cè)量列算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 在多次測(cè)量的測(cè)量列中，是以算術(shù)平均值作為測(cè)量結(jié)果， 因此必須研究算術(shù)平均值不可靠的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)。 如果在 下對(duì) 作 的系列測(cè)量， 每一系列測(cè)量都有一個(gè) ，由于隨機(jī)誤差的 存在，各個(gè)測(cè)量列的 也不相同，它們圍 繞著被測(cè)量的 有一定的分散，此分散說明了 的 不可靠性，而 則 是表征同一被測(cè)量的各個(gè)獨(dú)

32、立測(cè)量列算術(shù)平均值分散 性的參數(shù)，可作為算術(shù)平均值不可靠性的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)。 同一量值相同條件多組重復(fù) 算術(shù)平均值 算術(shù)平均值 真值 算術(shù)平均值算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 重復(fù)性條件 3838 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 （二）多次測(cè)量的測(cè)量列算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差（二）多次測(cè)量的測(cè)量列算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 由式(2-8)已知算術(shù)平均值 為： 取方差得 因 故有 所以 x n lll x n 21 12 2 1 ( )()()() n D xD lD lD l n )()()()( 21 lDlDlDlD n )( 1 )( 1 )( 2 lD n lnD n xD n x 2 2 n x (2-21) 和平方的函數(shù) 約等

33、于平方和 的函數(shù) 3939 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 評(píng)定算術(shù)平均值的精度標(biāo)準(zhǔn)，也可用或然誤差R或平均誤 差T，相應(yīng)公式為： (2-22) (2-23) 若用殘余誤差表示上述公式，則有： (2-24) (2-25) ， nn R xx 3 2 3 2 6745. 0 nn T xx 5 4 5 4 7979.0 )1(3 2 1 2 nn v R n i i ) 1(5 4 1 2 nn v T n i i ? ? （二）多次測(cè)量的測(cè)量列算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差（二）多次測(cè)量的測(cè)量列算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 4040 解：本例題中的測(cè)量數(shù)據(jù)與表2-3中的測(cè)量數(shù)據(jù)一樣，表中的算術(shù)平均值 為 。因?yàn)?， 第一節(jié) 隨機(jī)

34、誤差 （二）多次測(cè)量的測(cè)量列算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差（二）多次測(cè)量的測(cè)量列算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 例例2-8 2-8 用游標(biāo)卡尺對(duì)某一尺寸測(cè)量10次，假定已消除系統(tǒng)誤差和粗大誤差， 得到數(shù)據(jù)如下(單位為mm)：75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09， 75.06，75.02，75.08 。求算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差。 0,045.75 1 n i i vmmx 0045.751045.750 10 1 mmmmnl i x i 與表中的 結(jié)果一致， 0 10 1 i i v 根據(jù)上述各個(gè)誤差計(jì)算公式可得： mmmm n v n i i 0303. 0 110 00825. 0

35、 1 1 2 mmmm n x 0096. 0 10 0303. 0 mmmmT x 0076. 00096. 07979. 07979. 0 mmmmR x 0065.00096.06745.06745.0 故計(jì)算校核正確。 4141 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 定義：測(cè)量的極限誤差是極端誤差，測(cè)量結(jié)果（單次測(cè) 量或測(cè)量列的算術(shù)平均值）的誤差不超過該極端誤差的 概率為p，同時(shí)， 六、測(cè)量的極限誤差六、測(cè)量的極限誤差 并使差值（1-p）可予忽略。 4242 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 （一）單次測(cè)量的極限誤差（一）單次測(cè)量的極限誤差 測(cè)量列的測(cè)量次數(shù)足夠多和單次測(cè)量誤差為正態(tài)分布時(shí)， 根據(jù)概率論知識(shí)，正態(tài)分布曲線

36、和橫坐標(biāo)軸間所包含的面 積等于相應(yīng)區(qū)間確定的概率，即： 1 2 1 )( 2 2 2 dedfp 當(dāng)研究誤差落在區(qū)間（-,+）之間的概率時(shí)，則得： dedfp 2 2 2 2 1 )( (2-33) 4343 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 將上式進(jìn)行變量置換，設(shè): d dtt, 經(jīng)變換，上式成為： )(2 2 2 2 1 0 22 22 tdtedtep t t t t t dtet t t 0 2 2 2 1 )( (2-34) 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 0-t 這樣我們就可以求出積分值p，為了應(yīng)用方便，其積分值一 般列成表格形式，稱為概率函數(shù)積分值表。 當(dāng)t給定時(shí)，(t)值可由該表查出。 （一）單次測(cè)量的極限誤差

37、（一）單次測(cè)量的極限誤差 4444 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 教材上查出t=1,2,3,4等幾個(gè)特殊值的積分值，并求出隨機(jī)誤差不超出 相應(yīng)區(qū)間的概率p=2(t)和超出相應(yīng)區(qū)間的概率p=1-2(t)，如表2-6 所示（圖24）。 t t 不超出 的概率超出 的概率 測(cè)量次數(shù)n 超出 的 測(cè)量次數(shù) 0 . 6 7 1 2 3 4 0.67 1 2 3 4 0.4972 0.6826 0.9544 0.9973 0.9999 0.5028 0.3174 0.0456 0.0027 0.0001 2 3 22 370 15626 1 1 1 1 1 )(2t )(21t 62表 由表可以看出，隨著t的增大，超

38、出|的概 率減小得很快。 當(dāng)t=2，即|=2時(shí)，在 22次測(cè)量中只有1次的誤差絕對(duì)值超出2范 圍；而當(dāng)t=3，即|=3時(shí)，在370次測(cè)量 中只有1次誤差絕對(duì)值超出3范圍。 由于在一般測(cè)量中，測(cè)量次數(shù)很少超過幾十次， 因此可以認(rèn)為絕對(duì)值大于3的誤差是不可能出現(xiàn) 的，通常把這個(gè)誤差稱為單次測(cè)量的極限誤差 3 lim x(2-35) 4545 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 當(dāng)t3時(shí)，對(duì)應(yīng)的概率p99.73。 當(dāng)t2.58時(shí)，對(duì)應(yīng)的概率p99。 當(dāng)t2時(shí)，對(duì)應(yīng)的概率p95。 因此一般情況下，測(cè)量列單次測(cè)量的極限誤差 可用下式表示： tx lim (2-36) 置信系數(shù) 極限誤差-單次 標(biāo)準(zhǔn)差-單次 置信概率 46

39、46 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 （二）算術(shù)平均值的極限誤差（二）算術(shù)平均值的極限誤差 測(cè)量列的算術(shù)平均值與被測(cè)量的真值之差稱為算術(shù)平均 值誤差 ，即 。當(dāng)多個(gè)測(cè)量列的算術(shù)平均值 誤差 為正態(tài)分布時(shí)，根據(jù)概率論知識(shí)， 同樣可得測(cè)量列算術(shù)平均值的極限表達(dá)式為： ox Lx ), 2 , 1(Ni i x x tx lim (2-37) 式中的t為置信系數(shù)， 為算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。通常 取t3，則 x x x3 lim (2-38) 還是隨機(jī)誤差 4747 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 實(shí)際測(cè)量中有時(shí)也可取其它t值來表示算術(shù)平均值的極限 誤差。但當(dāng)測(cè)量列的測(cè)量次數(shù)較少時(shí)，應(yīng)按“學(xué)生氏”分 布(“student” dis

40、tribution)或稱t分布來計(jì)算測(cè)量列算術(shù) 平均值的極限誤差，即 xa tx lim (2-39) 式中的 為置信系數(shù)，它由給定的置信概率 和自由度 來確定，具體數(shù)值見附錄3； 為超出極限誤差的概率（稱顯著度或顯著水平）， 通常取 =0.01或0.02,0.05；n為測(cè)量次數(shù)； 為n次 測(cè)量的算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差。 a t 1p nv1 x 置信系數(shù) 超出極限誤差 的概率（稱顯 著度或顯著水 平），通常取 =0.01或 0.02,0.054848 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 例例2-92-9 對(duì)某量進(jìn)行6次測(cè)量，測(cè)得數(shù)據(jù)如下：802.40， 802.50，802.38，802.48，802.42，802

41、.46。求算術(shù)平均值 及其極限誤差。 解：算術(shù)平均值44.802 66 6 11 i i n i i ll x 標(biāo)準(zhǔn)差 047.0 161 6 1 2 1 2 i i n i i v n v 019. 0 6 047. 0 n x 因測(cè)量次數(shù)較少，應(yīng)按t分布計(jì)算算術(shù)平均值的極限誤差。 已知 ，取 ，51 nv 01. 0則由附錄表3查得? 則有： 03. 4 a t 076. 0019. 003. 4 lim x a tx 4949 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 若按正態(tài)分布計(jì)算，取 ，相應(yīng)的置信概 率 ，由附錄表1查得t 則算術(shù)平均值的極限誤差 為： 由此可見，當(dāng)測(cè)量次數(shù)較少時(shí)，按兩種分布計(jì)算的結(jié)果有明

42、顯的差 別。 01. 0 99. 01p 049.0019.060.2 lim x tx =2.60 5050 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 在實(shí)際測(cè)量過程中，由于客觀條件的限制，測(cè)量條件 是變動(dòng)的，得到了不等精度測(cè)量。 對(duì)于精密科學(xué)實(shí)驗(yàn)而言，為了得到極其準(zhǔn)確的測(cè)量結(jié) 果，需要在不同的實(shí)驗(yàn)室，用不同的測(cè)量方法和測(cè)量 儀器，由不同的人進(jìn)行測(cè)量。如果這些測(cè)量結(jié)果是相 互一致的。那么測(cè)量結(jié)果就是真正可以信賴的。這是 人為地改變測(cè)量條件而進(jìn)行的不等精度測(cè)量。 對(duì)于某一個(gè)未知量，歷史上或近年來有許多人進(jìn)行精 心研究和精密測(cè)量，得到了不同的測(cè)量結(jié)果。我們就 需要將這些測(cè)量結(jié)果進(jìn)行分析研究和綜合，以便得到 一個(gè)最為滿意

43、的準(zhǔn)確的測(cè)量結(jié)果。這也是不等精度測(cè) 量。 七、不等精度測(cè)量七、不等精度測(cè)量 對(duì)于不等精度測(cè)量，計(jì)算最后測(cè)量結(jié)果及其精度 （如標(biāo)準(zhǔn)差） ，不能套用前面等精度測(cè)量的計(jì) 算公式，需推導(dǎo)出新的計(jì)算公式。 5151 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 （一）權(quán)的概念（一）權(quán)的概念 在等精度測(cè)量中，各個(gè)測(cè)量值認(rèn)為同樣可靠， 并取所有測(cè)得值的算術(shù)平均值作為最后的測(cè)量結(jié)果。 在不等精度測(cè)量中，各個(gè)測(cè)量結(jié)果的可靠程度不一 樣，因而不能簡(jiǎn)單地取各測(cè)量結(jié)果地算術(shù)平均值作 為最后的測(cè)量結(jié)果，應(yīng)讓可靠程度大的測(cè)量結(jié)果在 最后測(cè)量結(jié)果中占有的比重大些，可靠程度小的占 比重小些。各測(cè)量結(jié)果的可靠程度可用一數(shù)值來表 示，這數(shù)值即稱為該測(cè)量結(jié)果

44、的“權(quán)”，記為 ， 可以理解為當(dāng)它與另一些測(cè)量結(jié)果比較時(shí)，對(duì)該測(cè) 量結(jié)果所給予信賴程度。 p 由每組測(cè)量 次數(shù)的不同 而造成的可 靠程度的不 同 思考？在多 組測(cè)量中， 可靠程度，P， 可以什么參 數(shù)表示？ 5252 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 （二）權(quán)的確定方法（二）權(quán)的確定方法 測(cè)量結(jié)果的權(quán)說明了測(cè)量的可靠程度，因此可根據(jù)這 一原則來確定權(quán)的大小。 最簡(jiǎn)單的方法可按測(cè)量的次數(shù)來確定權(quán)，即測(cè)量條件 和測(cè)量者水平皆相同，則重復(fù)測(cè)量次數(shù)愈多，其可靠 程度也愈大，因此完全可由測(cè)量的次數(shù)來確定權(quán)的大 小，即 。 ii np 思考？這是針對(duì)多組測(cè)量的 特例，那么，更一般的情況 下權(quán)的大小如何表示呢？我 們可根據(jù)

45、這一特例進(jìn)行推導(dǎo) 求出一般，因?yàn)樘厥饪隙ㄊ?包含了一般 5353 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 假設(shè)多組測(cè)量中各單次測(cè)量精度皆相同，其標(biāo)準(zhǔn)差均為，則各組 算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為： mi ni ix , 2 , 1 (2-40) 由此得下列等式 222 22 2 11 mxmxx nnn 因?yàn)?，故上式又可寫成 ii np 222 22 2 11 mxmxx ppp (2-41) 表示為 22 2 2 1 4321 1 : 1 : 1 : mxxx pppp (2-42) 每組測(cè)量結(jié)果的權(quán)（ ）與其相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)偏差平 方（ ）成反比，若已知 （各組算術(shù)平均值的 標(biāo)準(zhǔn)差），則可由（2-42）得到相應(yīng) 的大小。 測(cè)

46、量結(jié)果的權(quán)的數(shù)值只表示各組間的相對(duì)可靠程 度，它是一個(gè)無量綱的數(shù)，允許各組的權(quán)數(shù)同時(shí) 增大或減小若干倍，而各組間的比例關(guān)系不變， 但通常皆將各組的權(quán)數(shù)予以約簡(jiǎn)，使其中最小的 權(quán)數(shù)為不可再放簡(jiǎn)的整數(shù)，以便用簡(jiǎn)單的數(shù)值來 表示各組的權(quán)。 i p xi i x i p 5454 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 例例2-102-10 對(duì)一級(jí)鋼卷尺的長度進(jìn)行了三組不等精度測(cè)量，其結(jié)果為 mmmmx mmmmx mmmmx x x x 10.0,60.2000 20.0,15.2000 05.0,45.2000 3 2 1 3 2 1 求各測(cè)量結(jié)果的權(quán)。 解：由式(2-42)得 因此各組的權(quán)可取為 4:1:16 )10

47、. 0( 1 : )20. 0( 1 : )05. 0( 11 : 1 : 1 : 2222 3 2 2 2 1 321 xxx ppp 4, 1,16 321 ppp 5555 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 （三）加權(quán)算術(shù)平均值（三）加權(quán)算術(shù)平均值 若對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行m組不等精度測(cè)量，得到m個(gè)測(cè)量結(jié)果為： ，設(shè)相應(yīng)的測(cè)量次數(shù)為n1,n2, nm，即： (2-43) 根據(jù)等精度測(cè)量算術(shù)平均值原理，全部測(cè)量的算術(shù)平均值 應(yīng)為： m xxx, 21 , 1 1 1 1 1 n l x n i i , 2 1 2 2 2 n l x n i i m n i i m m n l x m 1 , x m i i n

48、 i n i n i i m ii nlllx m 1111 21 /)( 12 將式(2-43)代入上式得： m m m m m m ppp xpxpxp nnn xnxnxn x 21 2 211 21 2 211 5656 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 或簡(jiǎn)寫為 m i i m i i i p xp x 1 1 (2-44) 當(dāng)各組的權(quán)相等，即 時(shí)，加權(quán)算術(shù)平 均值可簡(jiǎn)化為： pppp m 21 m x mp xp x m i i m i i 11 (2-45) 由上式求得得結(jié)果即為等精度的算術(shù)平均值，由此可見等精度測(cè)量是 不等精度測(cè)量得特殊情況。為簡(jiǎn)化計(jì)算，加權(quán)算術(shù)平均值可表示為： m i i m

49、 i oii o p xxp xx 1 1 )( (2-46) 式中的 為接近 的任選參考值。 0 x ix 5757 5858 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 例例2-112-11 工作基準(zhǔn)米尺在連續(xù)三天內(nèi)與國家基準(zhǔn)器比較， 得到工作基準(zhǔn)米尺的平均長度為999.9425mm(三次測(cè)量的)， 999.9416mm(兩次測(cè)量的)，999.9419mm(五次測(cè)量的)，求 最后測(cè)量結(jié)果。 5, 2, 3 321 ppp 解：按測(cè)量次數(shù)來確定權(quán) mmmmmmx9420.999 523 0019. 050016. 020025. 03 94.999 5959 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 ( (四四) ) 單位權(quán)的概念單位權(quán)的概

50、念 由式（2-41）知 ，此式又 可表示為 (2-47) ), 2 , 1( 22 miPix i ) 1( 22 ppPix i 式中 為某精度 因此，具有同一方差 的 值的權(quán)數(shù)為1。 單次測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)差。 2 單次測(cè)量等精度 若已知 ，只要確定 ，根據(jù)（2-47）式就可求出各組的方 差 。由于測(cè)得值的方差 的權(quán)數(shù)為1在此有特殊用途，故 2 i p i x 2 2 稱等于1的權(quán)為單位權(quán)。單位權(quán)。 說法：具有單位權(quán)的 的標(biāo)準(zhǔn)差 測(cè)得值測(cè)得值 6060 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 利用單位權(quán)化的思想，可以將某些不等權(quán)的測(cè)量問題 化為等權(quán)測(cè)量問題來處理。單位權(quán)化的實(shí)質(zhì)， 任何一個(gè)量值乘以自身權(quán)數(shù)的平方根，得

51、到新的 量值權(quán)數(shù)為1。 6161 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 例如，將不等精確測(cè)量的各組測(cè)量結(jié)果 皆乘以自身權(quán)數(shù)的平方 根 ，此時(shí)得到的新值z(mì)的權(quán)數(shù)就為1。證明之： 證明：設(shè) 取方差 i p mixpz ii , 2 , 1 22 )()( i x iz ii p xDpzD 2222 1111 : zi zi xixixi pp p 2 2 1 1 1 i xiz ii xii p p pp ix 1 z p 由此可知，單位權(quán)化以后得到的新值 的權(quán)數(shù) 為1，用這 種方法可以把不等精度的各組測(cè)量結(jié)果皆進(jìn)行了單位權(quán)化， 使該測(cè)量列轉(zhuǎn)化為等精度測(cè)量列。 z z p 不等精度測(cè)量列，經(jīng)單位權(quán) 化處理后，就可按

52、等精度測(cè) 量列來處理。 6262 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 （五）加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差（五）加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 對(duì)同一個(gè)被測(cè)量進(jìn)行 m 組不等精度測(cè)量，得到 m 個(gè)測(cè)量結(jié)果為： 若已知單位權(quán)測(cè)得值的標(biāo)準(zhǔn)差，則由式（2-40）知, 21m xxx mi ni ix , 2 , 1 全部（mn個(gè)）測(cè)得值的算術(shù)平均值 的標(biāo)準(zhǔn)差為： x m i i x n 1 其實(shí)就是當(dāng)做一個(gè)大組 比較上面兩式可得： m i i i xx n n i 1 (2-48) 6363 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 因?yàn)?代入式（2-48）得 (2-49) m i i m i iii npnp 11 m i i m i i i xx p

53、p p i 1 1 當(dāng)各組測(cè)得的總權(quán)數(shù) 為已知時(shí)，可由任一組的標(biāo)準(zhǔn) 差 和相應(yīng)的權(quán) ，或者由單位權(quán)的標(biāo)準(zhǔn)差求得加 權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 。 m i i p 1 i x i p 由單位權(quán)的標(biāo) 準(zhǔn)差求得 6464 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 當(dāng)各組測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差為未知時(shí)，則不能直接用式 （2-49），而必須由各測(cè)量結(jié)果的殘余誤差來計(jì)算加權(quán) 算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。 已知各組測(cè)量結(jié)果的殘余誤差為： xxv ix i 不等精度測(cè)量列的殘差 將各組 單位權(quán)化，則有： i x xpxpvp iiixi i 等精度測(cè)量列的殘差 則可用等精度測(cè)量時(shí)的Bessel公式推導(dǎo)得到： 11 1 2 2 1 m vp m m i

54、x i m i i 殘差 M為測(cè)量列數(shù)，或組數(shù) (2-50) 將式（2-50）代入式（2-49）得 m i i m i x i x pm vp i 1 1 2 )1( (2-51) 用式（2-51）可由各組測(cè)量 結(jié)果的殘余誤差求得加權(quán)算 術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差，但是只 有組數(shù)m足夠多時(shí)，才能得到 較為精確的 值。一般情 況下的組數(shù)較少，只能得到 近似的估計(jì)值。 x 6565 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 例例2-122-12 求例2-11的加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。 解：由加權(quán)算術(shù)平均值 ，可得各組測(cè)量結(jié)果 的殘余誤差為： ，又已知 代入式(2-51)得 mmx9420.999 mvmvmv xxx 1 .0,4

55、 .0,5 .0 321 5, 2, 3, 3 321 pppm mmmm x 0002. 024. 0 20 12. 1 )523() 13( ) 1 . 0(5)4 . 0(25 . 03 22 思考題：甲、乙兩人分別對(duì)某地的重力加速度進(jìn)行了測(cè)量，甲 共測(cè)量16次，平均值為9.808m/s2，單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差為 0.015m/s2；乙共測(cè)量25次，平均值為9.810/s2，單次測(cè)量的標(biāo) 準(zhǔn)差為0.020m/s2。若由甲、乙兩人的測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算測(cè)量結(jié)果， 求測(cè)量結(jié)果及其標(biāo)準(zhǔn)差？（又假設(shè)各單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差位置， 怎么計(jì)算？） 6666 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 八、隨機(jī)誤差的其他分布八、隨機(jī)誤差的其他分

56、布 正態(tài)分布是隨機(jī)誤差最普遍的一種分布規(guī)律，但不是唯 一分布規(guī)律。下面介紹幾種常見的非正態(tài)分布。 ( (一一) )均勻分布均勻分布 在測(cè)量實(shí)踐中，均勻分布是經(jīng)常遇到的一種分布，其主 要特點(diǎn)是，誤差有一確定的范圍，在此范圍內(nèi)，誤差出 現(xiàn)的概率各處相等，故又稱矩形分布或等概率分布。 6767 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 均勻分布的分布密度 （圖2-5）和分布函數(shù) 分別為： )(f)(F 0 21 )( a f（2-52） a aa a a a F 當(dāng) 當(dāng) 當(dāng) 1 2 0 )( （2-53） 它的數(shù)學(xué)期望E為： a a d a E0 2 （2-54） 它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為： 3 2 2 a （2-55） 3

57、 a （2-56） a a2 1 )(f a 圖 2-5 o 思考：如何計(jì)算？ 6868 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 ( (二二) )反正弦分布反正弦分布 反正弦分布實(shí)際上是一種隨機(jī)誤差的函數(shù)分布規(guī)律，其 特點(diǎn)是該隨機(jī)誤差與某一角度成正弦關(guān)系。反正弦分布的 分布密度 （圖2-6）和分布函數(shù) 分別為：)(f)(F a a a f 當(dāng) 當(dāng) 0 11 )( 22 (2-57) a aa a a F 當(dāng) 當(dāng) 當(dāng) 1 arcsin 1 2 1 0 )( 它的數(shù)學(xué)期望為 0 22 d a E a a （2-58） 6969 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為： 2 2 2 a 2 a （2-59） （2-60

58、） 7070 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 （三）三角形分布（三）三角形分布 當(dāng)兩個(gè)誤差限相同且服從 的隨機(jī)誤差 時(shí)， 其和的分布規(guī)律服從三角形分布，又稱辛普遜（Simpson） 分布。實(shí)際測(cè)量中，若整個(gè)測(cè)量過程必須進(jìn)行 次才能 完成，而每次測(cè)量的隨機(jī)誤差服從相同的 ，則 總的測(cè)量誤差為三角形分布誤差。 均勻分布求和 兩 均勻分布 7171 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 三角形分布的分布密度 （圖2-7）和分布函數(shù) 分別為： (2-61) )(f)(F a a a a a a a f 當(dāng) 當(dāng) 當(dāng) 0 0 0 )( 2 2 a a a a a a a a 當(dāng) 當(dāng) 當(dāng) 當(dāng) 1 0 2 )( 1 0 2 )( 0 )(F

59、2 2 2 2 （2-63） 它的數(shù)學(xué)期望為：0E （2-64） 它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為： 6 2 2 a 6 a （2-65） （2-66） 7272 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 （四）（四） 分布分布 2 令 為 個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量，每個(gè)隨機(jī)變量都服從標(biāo)準(zhǔn) 化的正態(tài)分布。定義一個(gè)新的隨機(jī)變量 v , 21 v 22 2 2 1 2 v (2-67) 隨機(jī)變量 稱為自由度為 的 平方變量。v 2 卡埃 自由度 表示上式中項(xiàng)數(shù)或獨(dú)立變量的個(gè)數(shù)。 分布的分布密度 v 2 )( 2 f 由圖2-8的兩條理論曲線看出， 當(dāng)v逐漸增大時(shí)，曲線逐漸接 近對(duì)稱。可以證明當(dāng)v足夠大 時(shí)，曲線趨近正態(tài)曲線。值 得提出的是，

60、在這里稱v為自 由度，它的改變將引起分布 曲線的相應(yīng)改變。 7373 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 （五）（五）t t 分布分布 令 和 是獨(dú)立的隨機(jī)變量， 具有自由度為 的 分布函數(shù)， 具有標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布函數(shù)，則定義新的隨機(jī)變量為 v 2 v t (2-72) 隨機(jī)變量t稱自由度為 的學(xué)生氏t變量。 v t分布的數(shù)學(xué)期望為零，分布曲線對(duì)稱于縱 坐標(biāo)軸，但它和標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布密度曲線不 同，如圖2-9所示?？梢宰C明，當(dāng)自由度較 小時(shí) ， ，但當(dāng) 自由度 時(shí)，t分布曲 線 。t分布是一種重 要分布，當(dāng)測(cè)量列的測(cè)量次數(shù)較少時(shí)，極限 誤差的估計(jì)，或者在檢驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)的系統(tǒng)誤 差時(shí)經(jīng)常用到它。 t分布與正態(tài)分布有明顯