高中數(shù)學(xué)知識清單完整版[共9頁]

1、高中數(shù)學(xué)知識清單一、集合的含義與表示（1）集合中元素的三個特征：確定性、互異性、無序性。（2）元素與集合的關(guān)系有且僅有兩種：屬于（用符號“”表示）和不屬于（用符號“”表示）。 （3）常用數(shù)集及其表示符號名稱自然數(shù)集（非負(fù)整數(shù)集）正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號 （4）集合的表示法：列舉法；描述法；圖示法。二、集合間的基本關(guān)系 表示關(guān)系定義記法集合間的基本關(guān)系相等集合與集合中的所有元素都相同 子集集合中任意一元素都在集合中或 真子集集合中任意一元素都在集合中，且集合中至少有一個元素不在集合中空集（沒有任何元素的集合）空集是任何集合的子集 空集是任何集合的真子集三、集合的基本運(yùn)算集合的并集集合的交

2、集集合的補(bǔ)集符號表示集合和集合的所有元素，記作 集合和集合的共同元素，記作 若全集為，集合是的子集，集合除去集合中所有的元素，剩余的所有元素，記作 圖形表示意義或且且性質(zhì)(1);(2);(3);(4) (1);(2);(3);(4) (1);(2);(3);(4)(5)知識拓展：設(shè)有限集合中元素的個數(shù)為，則（1）（1）的子集個數(shù)是；（2）的真子集個數(shù)是-1；（3）的非空子集個數(shù)是-1；（4）的非空真子集個數(shù)是-2。一、不等式的定義用數(shù)學(xué)符號“ 、 、 、 、 ”連接兩個數(shù)或代數(shù)式以表示它們之間的不等關(guān)系，含有這些不等號的式子，稱為不等式。二、不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容注意對稱性 傳遞性 可加

3、性 可乘性 的符號同向可加性同向同正可乘性可乘方 可開方同正三、比較大小的基本方法作差法：理論依據(jù)：?；静襟E：（1）作差；（2）變形（方法主要有通分、平方差和公式、因式分解、配方法、分子分母有理化、指數(shù)對數(shù)的恒等變形）；（3）結(jié)論（與0比較）。四、不等式的解法1、一元一次不等式組（）：（1） 的解集為； （2）的解集為；（3）的解解為；（4）的解集為2、二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式 二次函數(shù) 的圖像一元二次方程的根有兩個不相等實(shí)根 有兩個相等實(shí)根沒有實(shí)數(shù)根的解集或 的解集或 的解集的解集3、絕對值不等式（1）當(dāng)時，有或；（2）當(dāng)時，有； ；（3）當(dāng)時，； ；（4）當(dāng)時，有或；.（5

4、）當(dāng)時，有； 。（6）當(dāng)時，有；。4、分式不等式（1） ；（2）（3）（4）一、函數(shù)的概念1、定義（1）兩個非空的數(shù)集、；（2）如果按照某種確定關(guān)系，使對于集合中的任意一個數(shù)，在集合中都有唯一確定的數(shù) 和它對應(yīng)；（3）稱為從集合到集合的一個函數(shù)，記作。2、函數(shù)的定義域、值域（1）定義域：自變量的取值范圍；（2）值域：與相對應(yīng)的取值范圍。3、函數(shù)的三要素：定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系。二、函數(shù)的相關(guān)結(jié)論1、相等函數(shù)：定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系相同。2、表示函數(shù)的方法：解析法、圖像法、列表法。3、分段函數(shù)：自變量的取值范圍不同，需要不同的對應(yīng)法則。（1）定義域：各個部分的并集；（2）是一個函數(shù)；（3）求，

5、要判斷自變量在哪個范圍內(nèi)，在代入相應(yīng)的表達(dá)式。4、求函數(shù)定義域的方法：（1）已知函數(shù)解析式，求函數(shù)定義域，即整式為；分母；偶次根式下；奇次根式為；次冪底；指數(shù)為；對數(shù) 。（2）若已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù) 的定義域由求出。（3）若已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?在時的值域。5、求函數(shù)解析式的方法（1）待定系數(shù)法：若已知 的解析式類型，設(shè)出它的一般式，根據(jù)特殊值，確定相關(guān)系數(shù)即可；例1、已知是一次函數(shù)，且 ，則的解析式。（2）換元法：設(shè) ，解出 ，代入，求的解析式即可；（3）解方程組法：利用已經(jīng)給出的關(guān)系式，構(gòu)造新的關(guān)系式，通過解關(guān)于 的方程組求出 ；例2、已知函數(shù) ，求的解析式。（4）

6、賦值法：給變量賦予某些特殊值，從而求出解析式。例3、已知 ，對任意的實(shí)數(shù) 都有 ，求的解析式。一、函數(shù)的單調(diào)性1、單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù) 的定義域?yàn)?，如果對于定義域內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值 ，當(dāng) 時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)。當(dāng) 時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)。2、單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)在這一區(qū)間上具有單調(diào)性，區(qū)間叫做的單調(diào)區(qū)間。3、判斷（證明）單調(diào)性的方法（1）圖像法：在區(qū)間上，圖像呈上升趨勢，則函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；反之，圖像呈下降趨勢，則函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)。（2）利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：a. 任取，且

7、；b. 作差；c. 變形（通分、因式分解、配方法、分母分子有理化）；d. 定號（即判斷的正負(fù)，和“0”比較）；e. 下結(jié)論（即指出函數(shù)在給定的區(qū)間上的單調(diào)性）。4、幾種初等函數(shù)單調(diào)性的判斷（證明）（1）一次函數(shù)解（證明）： 在定義域上任取,且，則 當(dāng)時，有 即 故函數(shù)在上是增函數(shù)。而當(dāng)時，有 即 故函數(shù)在上是減函數(shù)。（2）二次函數(shù) 解：單調(diào)區(qū)間為 ， ,當(dāng)時，函數(shù)在是減函數(shù)；在上是增函數(shù)；當(dāng)時，函數(shù)在是增函數(shù)；在上是減函數(shù)證明函數(shù)在是減函數(shù)；在上是增函數(shù)。證明：a. 在上任取,且，則又又 即 故函數(shù)在是減函數(shù)。b.在上任取,且，則又又 即 故函數(shù)在是減函數(shù)。（3）反比例函數(shù) 解：單調(diào)區(qū)間為 ，

8、當(dāng)時，函數(shù)在和上都為減函數(shù)；當(dāng)時，函數(shù)在和上都為增函數(shù)。證明函數(shù)在上是減函數(shù)；在上是減函數(shù)。證明：在上任取,且，則 又又， 即 故函數(shù)在上是減函數(shù)。（4）指數(shù)函數(shù) ，當(dāng) 時，在上是減函數(shù)；當(dāng)時，在上是增函數(shù)。證明：a. 在定義域上任取,且，則又 即 故 所以函數(shù) 在上是減函數(shù)。b. 在定義域上任取,且，則又 即 故 所以函數(shù) 在上是增函數(shù)。例1 討論函數(shù) 在上的單調(diào)性。解：任取，且，則 又 故函數(shù)在上為減函數(shù)。二、函數(shù)的奇偶性1、奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念奇偶性定義圖像特點(diǎn)偶函數(shù)如果對于函數(shù) 的定義域內(nèi)任意一個，都有 ，那么函數(shù)是偶函數(shù)。關(guān)于 軸對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù) 的定義域內(nèi)任意一個，都有 ，那

9、么函數(shù)是奇函數(shù)。關(guān)于原點(diǎn)對稱2、判斷（證明）函數(shù)的奇偶性的步驟（1）求函數(shù)定義域，判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；（2）求；（3）判斷是否等于或：a. 若，則是偶函數(shù)；b. 若,則是奇函數(shù)；c. 若且,則既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)；d. 若且,則既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)；例2 判斷下列函數(shù)的奇偶性（1） （2）（3） 解：（1）因?yàn)橐购瘮?shù)有意義，要滿足，即 或解得 由于定義域關(guān)于原點(diǎn)不對稱，所以函數(shù)既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)。（2）因?yàn)橐购瘮?shù)有意義，要滿足 解得 且 所以函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱。 又 ，即函數(shù)是奇函數(shù)。（3）函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，當(dāng)時，當(dāng)時， ，即函數(shù)是奇函數(shù)三、二次函數(shù)1、二次函數(shù)的定義形如 的函數(shù)叫做二次函數(shù)。2、二次函數(shù)的三種表示形式（1）一般式：；（2）頂點(diǎn)式：；（3）兩根式：。3、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析式圖象定義域 值域最值單調(diào)性在 上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增在 上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減奇偶性當(dāng) 時為偶函數(shù)；當(dāng)時為非奇非偶函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱性圖像關(guān)于直線對稱四、冪函數(shù)1、冪函數(shù)的定義形如 的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中是自變量，為常數(shù)。2、冪函數(shù)的性質(zhì)（1）當(dāng) 時，冪函數(shù)有下列性質(zhì)：a. 圖像都通過點(diǎn) ；b. 在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨的增大而增大。（2）當(dāng) 時，冪函數(shù)有下