無(wú)窮級(jí)數(shù)斂散性的判斷

1、無(wú)窮級(jí)數(shù)斂散性的判斷 學(xué)號(hào)：2012811070 姓名：高晗 班級(jí)：商學(xué)院工商管理二班無(wú)窮級(jí)數(shù)斂散性的判斷無(wú)窮級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要組成部分，它包括常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。其中，常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)又可分為正項(xiàng)級(jí)數(shù)、交錯(cuò)級(jí)數(shù)和一般級(jí)數(shù)；函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)又可分為冪級(jí)數(shù)、傅里葉級(jí)數(shù)等。本文主要探討的是常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中的冪級(jí)數(shù)的斂散性。首先，我們要明確一個(gè)概念：什么叫做級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散？根據(jù)一個(gè)無(wú)窮項(xiàng)數(shù)列有沒(méi)有極限，我們引進(jìn)無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂和發(fā)散的概念：如果級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有極限,即=，則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂，這時(shí)極限叫做這個(gè)級(jí)數(shù)的和，并寫(xiě)成=+；如果沒(méi)有極限，則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)發(fā)散。接下來(lái)，我們來(lái)具體分析一下常數(shù)項(xiàng)

2、級(jí)數(shù)和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法。1、 正項(xiàng)級(jí)數(shù)1、 基本審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是：它的部分和數(shù)列有界。2、 比較審斂法和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且（n=1,2,）。若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)收斂；反之，若級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)發(fā)散。例1：證明級(jí)數(shù)是發(fā)散的。解：因?yàn)?而級(jí)數(shù)=+是發(fā)散的。根據(jù)比較審斂法克制所給級(jí)數(shù)也是發(fā)散的。3、 比較審斂法的推論設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果級(jí)數(shù)收斂，且存在正整數(shù)n ，使當(dāng)nn時(shí)，有（0）成立，則級(jí)數(shù)收斂。如果級(jí)數(shù)發(fā)散，且當(dāng)nn時(shí)，有（0）成立，則級(jí)數(shù)發(fā)散。4、 比較審斂法的極限形式設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果=，則（1） 當(dāng)0，而級(jí)數(shù)發(fā)散，由上述審斂法可知此級(jí)數(shù)發(fā)散。5、 比值審斂法（達(dá)朗貝爾

3、判別法）設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果=，則當(dāng)1(或=+)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；=1時(shí)，級(jí)數(shù)可能發(fā)散也可能收斂。例3：判斷+的斂散性解：令=，所以=，=，所以=0， 所以該級(jí)數(shù)也收斂。6、 根值審斂法（柯西判別法）設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果=，則當(dāng)1(或=+)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；=1時(shí)，級(jí)數(shù)可能發(fā)散也可能收斂。例4：判斷級(jí)數(shù)的斂散性解：=，因?yàn)橛薪?，?0。從而=。因此根據(jù)根值審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂。7、 極限審斂法設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)（1） 如果=0 （或=+），則級(jí)數(shù)發(fā)散。（2） 如果p1,而=（00時(shí)，級(jí)數(shù)收斂。且當(dāng)時(shí)條件收斂，當(dāng)1（含=+）時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，=1時(shí)，可能是條件收斂也可能是絕對(duì)收斂；（2） 當(dāng)1（含=+）時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)

4、收斂；（2） 當(dāng)=1時(shí)，級(jí)數(shù)可能絕對(duì)收斂也可能條件收斂；（3） 當(dāng)-1時(shí)，級(jí)數(shù)條件收斂；（4） 當(dāng)=-時(shí)，級(jí)數(shù)可能條件收斂也可能發(fā)散。4、 雙項(xiàng)交錯(cuò)級(jí)數(shù)的審斂法3對(duì)于雙項(xiàng)交錯(cuò)級(jí)數(shù)，如果滿足（1） （n=0,1,2,3,）；（2）則級(jí)數(shù)收斂。例7：判別級(jí)數(shù)的斂散性解：因?yàn)閿?shù)列和數(shù)列均單調(diào)減少且趨向于零，所以雙向交錯(cuò) 級(jí)數(shù)滿足定理中的兩個(gè)條件，故原級(jí)數(shù)收斂。3、 一般常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1、 定義法如果級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有極限,即=，則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂，這時(shí)極限叫做這個(gè)級(jí)數(shù)的和，并寫(xiě)成=+；如果沒(méi)有極限，則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)發(fā)散。例8：判斷無(wú)窮級(jí)數(shù)+的斂散性解：由于=-，因此，=+ =（）+（）+（-） =1-從而，從

5、而這個(gè)級(jí)數(shù)收斂，它的和是12、 利用基本性質(zhì)判斷（1） 性質(zhì)一：如果級(jí)數(shù)收斂于和s,則級(jí)數(shù)也收斂，且其和為。（2） 性質(zhì)二：如果級(jí)數(shù)和分別收斂于和和，則級(jí)數(shù)也收斂，且其和為+。3、 利用基本性質(zhì)的推論進(jìn)行判斷（1） 如果某級(jí)數(shù)任意加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散，則原來(lái)的級(jí)數(shù)也發(fā)散。（2） 如果某級(jí)數(shù)一般項(xiàng)的極限，則原級(jí)數(shù)發(fā)散。4、 利用與的關(guān)系判斷若收斂，則也收斂。若發(fā)散，則必定發(fā)散。4、 冪級(jí)數(shù)審斂法1、 阿貝爾定理如果級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)收斂，則適合不等式的一切使這冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。反之，如果級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)發(fā)散，則適合不等式的一切使這冪級(jí)數(shù)發(fā)散。判別無(wú)窮級(jí)數(shù)斂散性的方法有很多，但有一些判別法由于自身的理解能力有限就沒(méi)有寫(xiě)在文章里面。以上就是我所整理的所有的有關(guān)無(wú)窮級(jí)數(shù)的審斂法。參考文獻(xiàn)：1、 張永明，交錯(cuò)級(jí)數(shù)審斂法綜述j,北京印刷學(xué)院學(xué)報(bào)，2011 年4月第19卷第2期，第71頁(yè)2、