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1、無窮級數(shù)斂散性的判斷 學號:2012811070 姓名:高晗 班級:商學院工商管理二班無窮級數(shù)斂散性的判斷無窮級數(shù)是高等數(shù)學中的一個重要組成部分,它包括常數(shù)項級數(shù)、函數(shù)項級數(shù)。其中,常數(shù)項級數(shù)又可分為正項級數(shù)、交錯級數(shù)和一般級數(shù);函數(shù)項級數(shù)又可分為冪級數(shù)、傅里葉級數(shù)等。本文主要探討的是常數(shù)項級數(shù)和函數(shù)項級數(shù)中的冪級數(shù)的斂散性。首先,我們要明確一個概念:什么叫做級數(shù)的收斂與發(fā)散?根據(jù)一個無窮項數(shù)列有沒有極限,我們引進無窮級數(shù)的收斂和發(fā)散的概念:如果級數(shù)的部分和數(shù)列有極限,即=,則稱無窮級數(shù)收斂,這時極限叫做這個級數(shù)的和,并寫成=+;如果沒有極限,則稱無窮級數(shù)發(fā)散。接下來,我們來具體分析一下常數(shù)項

2、級數(shù)和函數(shù)項級數(shù)的審斂法。1、 正項級數(shù)1、 基本審斂法正項級數(shù)收斂的充分必要條件是:它的部分和數(shù)列有界。2、 比較審斂法和都是正項級數(shù),且(n=1,2,)。若級數(shù)收斂,則級數(shù)收斂;反之,若級數(shù)發(fā)散,則級數(shù)發(fā)散。例1:證明級數(shù)是發(fā)散的。解:因為,而級數(shù)=+是發(fā)散的。根據(jù)比較審斂法克制所給級數(shù)也是發(fā)散的。3、 比較審斂法的推論設和都是正項級數(shù),如果級數(shù)收斂,且存在正整數(shù)n ,使當nn時,有(0)成立,則級數(shù)收斂。如果級數(shù)發(fā)散,且當nn時,有(0)成立,則級數(shù)發(fā)散。4、 比較審斂法的極限形式設和都是正項級數(shù),如果=,則(1) 當0,而級數(shù)發(fā)散,由上述審斂法可知此級數(shù)發(fā)散。5、 比值審斂法(達朗貝爾

3、判別法)設為正項級數(shù),如果=,則當1(或=+)時級數(shù)發(fā)散;=1時,級數(shù)可能發(fā)散也可能收斂。例3:判斷+的斂散性解:令=,所以=,=,所以=0, 所以該級數(shù)也收斂。6、 根值審斂法(柯西判別法)設為正項級數(shù),如果=,則當1(或=+)時級數(shù)發(fā)散;=1時,級數(shù)可能發(fā)散也可能收斂。例4:判斷級數(shù)的斂散性解:=,因為有界,故=0。從而=。因此根據(jù)根值審斂法可知所給級數(shù)收斂。7、 極限審斂法設為正項級數(shù)(1) 如果=0 (或=+),則級數(shù)發(fā)散。(2) 如果p1,而=(00時,級數(shù)收斂。且當時條件收斂,當1(含=+)時,級數(shù)絕對收斂,=1時,可能是條件收斂也可能是絕對收斂;(2) 當1(含=+)時,級數(shù)絕對

4、收斂;(2) 當=1時,級數(shù)可能絕對收斂也可能條件收斂;(3) 當-1時,級數(shù)條件收斂;(4) 當=-時,級數(shù)可能條件收斂也可能發(fā)散。4、 雙項交錯級數(shù)的審斂法3對于雙項交錯級數(shù),如果滿足(1) (n=0,1,2,3,);(2)則級數(shù)收斂。例7:判別級數(shù)的斂散性解:因為數(shù)列和數(shù)列均單調(diào)減少且趨向于零,所以雙向交錯 級數(shù)滿足定理中的兩個條件,故原級數(shù)收斂。3、 一般常數(shù)項級數(shù)1、 定義法如果級數(shù)的部分和數(shù)列有極限,即=,則稱無窮級數(shù)收斂,這時極限叫做這個級數(shù)的和,并寫成=+;如果沒有極限,則稱無窮級數(shù)發(fā)散。例8:判斷無窮級數(shù)+的斂散性解:由于=-,因此,=+ =()+()+(-) =1-從而,從

5、而這個級數(shù)收斂,它的和是12、 利用基本性質(zhì)判斷(1) 性質(zhì)一:如果級數(shù)收斂于和s,則級數(shù)也收斂,且其和為。(2) 性質(zhì)二:如果級數(shù)和分別收斂于和和,則級數(shù)也收斂,且其和為+。3、 利用基本性質(zhì)的推論進行判斷(1) 如果某級數(shù)任意加括號后所成的級數(shù)發(fā)散,則原來的級數(shù)也發(fā)散。(2) 如果某級數(shù)一般項的極限,則原級數(shù)發(fā)散。4、 利用與的關系判斷若收斂,則也收斂。若發(fā)散,則必定發(fā)散。4、 冪級數(shù)審斂法1、 阿貝爾定理如果級數(shù)當時收斂,則適合不等式的一切使這冪級數(shù)絕對收斂。反之,如果級數(shù)當時發(fā)散,則適合不等式的一切使這冪級數(shù)發(fā)散。判別無窮級數(shù)斂散性的方法有很多,但有一些判別法由于自身的理解能力有限就沒有寫在文章里面。以上就是我所整理的所有的有關無窮級數(shù)的審斂法。參考文獻:1、 張永明,交錯級數(shù)審斂法綜述j,北京印刷學院學報,2011 年4月第19卷第2期,第71頁2、

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