大學(xué)物理作業(yè)

1、5-9 5-9 若電荷均勻地分布在長(zhǎng)為若電荷均勻地分布在長(zhǎng)為L(zhǎng) 的細(xì)棒上，求證：的細(xì)棒上，求證：（1 1）在棒的延長(zhǎng)線上，且離棒中心為）在棒的延長(zhǎng)線上，且離棒中心為r處的電場(chǎng)強(qiáng)度為：處的電場(chǎng)強(qiáng)度為：（2 2）在棒的垂直平分上，且離棒中心為）在棒的垂直平分上，且離棒中心為r r處的電場(chǎng)強(qiáng)度為：處的電場(chǎng)強(qiáng)度為：220124QErrL22014QErL證明：證明：（1 1）考慮棒的延長(zhǎng)線上距棒中心為）考慮棒的延長(zhǎng)線上距棒中心為r的的P點(diǎn)；點(diǎn)；取坐標(biāo)如右圖所示；取坐標(biāo)如右圖所示；在棒上在棒上x處取線元處取線元dx，線元線元dx的帶電量的帶電量dq為：為：QdqdxL若棒為無(wú)限長(zhǎng)（即若棒為無(wú)限長(zhǎng)（即L）

2、，試將結(jié)果與無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線），試將結(jié)果與無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線的電場(chǎng)強(qiáng)度相比較。的電場(chǎng)強(qiáng)度相比較。即，即，的大小的大小dE為：為：dEdE的方向?yàn)椋旱姆较驗(yàn)椋?沿沿x軸正向；軸正向；204()QdxdELrx應(yīng)用電場(chǎng)強(qiáng)度的疊加原理，應(yīng)用電場(chǎng)強(qiáng)度的疊加原理，得到總場(chǎng)強(qiáng)的大小得到總場(chǎng)強(qiáng)的大小E為：為：EdE22024()LLQdxLrx011422QLrLrL即，即，22014QErL總場(chǎng)強(qiáng)的方向?yàn)椋嚎倛?chǎng)強(qiáng)的方向?yàn)椋?沿沿x軸正向。軸正向。dq在在P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)的大小的大小dE為：為：dE2014()dqdErx（2 2）考慮棒的垂直平分線上距棒中心為）考慮棒的垂直平分線上距棒中心為r的的B點(diǎn)

3、；點(diǎn)；在棒上在棒上x處取線元處取線元dx，線元，線元dx的帶的帶電量電量dq為：為：QdqdxL取坐標(biāo)如右圖所示；取坐標(biāo)如右圖所示；該該dq在在B點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)dE的大小的大小dE為：為：22014dqdErx2204QdxdEL rx即，即，dE的方向：的方向： 如右圖所示；如右圖所示；將將dE分解為：分解為：sinxdEdEcosydEdE22sinxrx注意到：注意到：22cosrrx222204xQdxxdEL rxrx所以所以222204yQdxrdEL rxrx即，即，223 204()xQxdxdEL rx223 204()yQrdxdELrxxxEdE2223 202

4、4()LLQxdxLrx0yyEdE2223 2024()LLQrdxLrx220124QrLr積分得：積分得：xyEE iE j所以，所以，B點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為：點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為：220124QjrLr當(dāng)當(dāng)L時(shí)，注意到：時(shí)，注意到：QL220/1lim214LQLErrL02r結(jié)果與無(wú)限長(zhǎng)帶電直線周圍的電場(chǎng)強(qiáng)度分布相同；結(jié)果與無(wú)限長(zhǎng)帶電直線周圍的電場(chǎng)強(qiáng)度分布相同；這說(shuō)明，只滿足這說(shuō)明，只滿足221rL ，帶電長(zhǎng)直細(xì)棒就可看作為無(wú)，帶電長(zhǎng)直細(xì)棒就可看作為無(wú)限長(zhǎng)帶電直線。限長(zhǎng)帶電直線。 5-10 一半徑為R的半球殼，均勻地帶有電荷，電荷面密度為 ， 求球心處電場(chǎng)強(qiáng)度的大小。 dSdqdR sin22將

5、半球殼分割為一組平行細(xì)圓環(huán)，任一個(gè)圓環(huán)所帶電荷元在點(diǎn)O激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度為解解ixxd41d23220 cosRx sinRr 由于平行細(xì)圓環(huán)在點(diǎn)O激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度方向相同，利用幾何關(guān)系統(tǒng)一積分變量，有ddRRRrxxdqdEcossin2sin2cos4141023023220積分得球心的電場(chǎng)強(qiáng)度為 20004cossin2dE或iidE200042cossinyz和和zx平面，立方體的一個(gè)頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)?，F(xiàn)將立方體置于電平面，立方體的一個(gè)頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)?，F(xiàn)將立方體置于電場(chǎng)強(qiáng)度為場(chǎng)強(qiáng)度為12()EEkx iE j的非均勻電場(chǎng)中，求立方體各表的非均勻電場(chǎng)中，求立方體各表面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量。面的電場(chǎng)強(qiáng)度

6、通量。解：解：對(duì)立方體的各個(gè)頂點(diǎn)標(biāo)上符號(hào)，對(duì)立方體的各個(gè)頂點(diǎn)標(biāo)上符號(hào)，如右圖所示，如右圖所示，（1 1）對(duì)于）對(duì)于ABOC平面，平面，x = 012EE iE j2Sa i = =恒矢量恒矢量所以，所以，ABOCE S212() ()E iE ja i 21E a （2 2）對(duì)于）對(duì)于DFGH平面，平面，x = a12()EEka iE j= =恒矢量恒矢量2Sa i所以，所以，DFGHE S212() ()Eka iE ja i231E aka5-15 5-15 如圖所示，邊長(zhǎng)為如圖所示，邊長(zhǎng)為a 的立方體，其表面分別平行于的立方體，其表面分別平行于xy、（3 3）對(duì)于）對(duì)于BGHO平面，平

7、面，12()EEkx iE jdSdSk 所以，所以，00BGHSE dS（4 4）對(duì)于）對(duì)于AFDC平面（類似于平面（類似于BGHO平面），平面），所以，所以，0AFDCSE dS12()EEkx iE jdSdSk（5 5）對(duì)于）對(duì)于ABGF平面，平面，12()EEkx iE jdSdSj所以，所以，ABGFSE dS12() ()SEkx iE jdSj22E a（6 6）對(duì)于）對(duì)于CDHO平面（類似于平面（類似于ABGF平面），平面），12()EEkx iE jdSdSj ABGFSE dS12() ()SEkx iE jdSj 22E a 所以，所以，因此，整個(gè)立方體表面的電場(chǎng)強(qiáng)度通

8、量為：因此，整個(gè)立方體表面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量為：ABOCDFGHBGHOAFDCABGFCDHO 223221122()00()E aE akaE aE a 3ka5-17 5-17 設(shè)半徑為設(shè)半徑為R的球體內(nèi)，其電荷為對(duì)稱分布，電荷體密度的球體內(nèi)，其電荷為對(duì)稱分布，電荷體密度 為為0kr解解: :k為一常數(shù)；試用高斯定理求電場(chǎng)強(qiáng)度為一常數(shù)；試用高斯定理求電場(chǎng)強(qiáng)度0rRrRE與與r的函數(shù)關(guān)系。（你能用電場(chǎng)疊加原理的函數(shù)關(guān)系。（你能用電場(chǎng)疊加原理求解這個(gè)問(wèn)題嗎？）求解這個(gè)問(wèn)題嗎？）電場(chǎng)分布也是球?qū)ΨQ的，同心球面電場(chǎng)分布也是球?qū)ΨQ的，同心球面由于電荷分布具有球?qū)ΨQ性，所以由于電荷分布具有球?qū)ΨQ性，所以

9、上各點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為常量；以同心球面為高斯面，則有：上各點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為常量；以同心球面為高斯面，則有：24SE dSEr當(dāng)當(dāng)0rR 時(shí)時(shí), ,高斯面所包圍的電荷電量高斯面所包圍的電荷電量q為為: :211104rqkrr dr31104rkr dr4kr204rkrEe4204rkREer應(yīng)用高斯定理，得：應(yīng)用高斯定理，得：2404Erkr故：故：204kEr或，或，（0rR）當(dāng)當(dāng) r R 時(shí)，時(shí)，高斯面所包圍的電荷電量高斯面所包圍的電荷電量q為為: :211104Rqkrr dr應(yīng)用高斯定理，得：應(yīng)用高斯定理，得：2404ErkR故：故：4204kREr或，或，（ r R ）31104

10、Rkr dr4kR5-20 5-20 一個(gè)內(nèi)外半徑分別為一個(gè)內(nèi)外半徑分別為R1和和R2的均勻帶電球殼，總電荷為的均勻帶電球殼，總電荷為Q1，球殼外同心罩一個(gè)半徑為，球殼外同心罩一個(gè)半徑為R3的均勻帶電球面，球面電荷為的均勻帶電球面，球面電荷為Q2，求電場(chǎng)分布。電場(chǎng)強(qiáng)度是否為離球心距離的連續(xù)函數(shù)？試分析。求電場(chǎng)分布。電場(chǎng)強(qiáng)度是否為離球心距離的連續(xù)函數(shù)？試分析。解：解： 如右圖所示，如右圖所示，球殼和球面將空間分為四個(gè)部分；球殼和球面將空間分為四個(gè)部分；（1 1）求球殼內(nèi)部空間的場(chǎng)強(qiáng)）求球殼內(nèi)部空間的場(chǎng)強(qiáng)E1由于電荷分布具有球?qū)ΨQ性，由于電荷分布具有球?qū)ΨQ性，所以電場(chǎng)的分布也具有球?qū)ΨQ性；所以電場(chǎng)

11、的分布也具有球?qū)ΨQ性；在球殼內(nèi)部空間作一半徑為在球殼內(nèi)部空間作一半徑為r 的球面為的球面為高斯面高斯面S1，如右圖所示；則，如右圖所示；則S1面上各點(diǎn)面上各點(diǎn)所以，所以，11SE dS 1()rR214Er高斯面高斯面S1內(nèi)的電荷內(nèi)的電荷q為：為：0q 所以，由高斯定理得到球殼內(nèi)部空間所以，由高斯定理得到球殼內(nèi)部空間10E 1()rR的電場(chǎng)強(qiáng)度的電場(chǎng)強(qiáng)度E1為：為：（2 2）求球殼內(nèi)空間的場(chǎng)強(qiáng)）求球殼內(nèi)空間的場(chǎng)強(qiáng)E2在球殼內(nèi)空間作一半徑為在球殼內(nèi)空間作一半徑為r的球面為高的球面為高斯面斯面S2，如右圖所示；，如右圖所示；類似（類似（1 1）的分析，得到：）的分析，得到：22SE dS 12()

12、RrR224Er高斯面高斯面S2內(nèi)的電荷內(nèi)的電荷q為：為：33113342134()() 3QqrRRR33113321()()Q rRRR由高斯定理，得到場(chǎng)強(qiáng)由高斯定理，得到場(chǎng)強(qiáng)E2為：為：331123320214()QrRERR r12()RrR（3 3）求球殼與球面間空間的場(chǎng)強(qiáng)）求球殼與球面間空間的場(chǎng)強(qiáng)E3在球殼與球面間作一半徑為在球殼與球面間作一半徑為r的球面為高的球面為高斯面斯面S3，如右圖所示；，如右圖所示；類似（類似（1 1）的分析，得到：）的分析，得到：33SE dS 23()RrR234Er高斯面高斯面S3內(nèi)的電荷內(nèi)的電荷q為：為：1qQ由高斯定理，得到場(chǎng)強(qiáng)由高斯定理，得到場(chǎng)

13、強(qiáng)E3為：為：132014QEr23()RrR（4 4）求球面外空間的場(chǎng)強(qiáng)）求球面外空間的場(chǎng)強(qiáng)E4在球殼與球面間作一半徑為在球殼與球面間作一半徑為r的球面為高斯面的球面為高斯面S4，如上圖所示；，如上圖所示；類似（類似（1 1）的分析，得到：）的分析，得到：44SE dS 3()Rr244Er高斯面高斯面S4內(nèi)的電荷內(nèi)的電荷q為：為：12qQQ由高斯定理，得到場(chǎng)強(qiáng)由高斯定理，得到場(chǎng)強(qiáng)E4為：為：1242014QQEr3()rR電場(chǎng)強(qiáng)度分布為：電場(chǎng)強(qiáng)度分布為：10E 1()rR331123320214()QrRERR r12()RrR132014QEr23()RrR1242014QQEr3()r

14、R電場(chǎng)強(qiáng)度的方向均沿矢徑方向。電場(chǎng)強(qiáng)度的方向均沿矢徑方向。各區(qū)域的電場(chǎng)強(qiáng)度分布如右圖所示。各區(qū)域的電場(chǎng)強(qiáng)度分布如右圖所示。在帶電球面的兩側(cè)，電場(chǎng)強(qiáng)度的在帶電球面的兩側(cè)，電場(chǎng)強(qiáng)度的左右極限不同，電場(chǎng)強(qiáng)度不連續(xù)，而左右極限不同，電場(chǎng)強(qiáng)度不連續(xù)，而在緊貼在緊貼r=R3 的帶電球面兩側(cè)，電場(chǎng)強(qiáng)的帶電球面兩側(cè)，電場(chǎng)強(qiáng)度的躍變量度的躍變量E為：為：3343|r Rr REEE22034QR0這一躍變是將帶電球面的厚度抽象為零的結(jié)果，且具有普遍這一躍變是將帶電球面的厚度抽象為零的結(jié)果，且具有普遍性。實(shí)際的帶電球面都是有一定厚度的球殼，球殼內(nèi)外的電場(chǎng)強(qiáng)性。實(shí)際的帶電球面都是有一定厚度的球殼，球殼內(nèi)外的電場(chǎng)強(qiáng)度

15、也是連續(xù)變化的，如本題中帶電球殼內(nèi)外的電場(chǎng)度也是連續(xù)變化的，如本題中帶電球殼內(nèi)外的電場(chǎng)E2 ，如果球殼，如果球殼的厚度變小，的厚度變小，E2的變化就變陡，最后當(dāng)厚度趨向于零時(shí)，的變化就變陡，最后當(dāng)厚度趨向于零時(shí)，E2的變的變化就變成為躍變?；妥兂蔀檐S變。場(chǎng)強(qiáng)度：場(chǎng)強(qiáng)度：（1 1） r R1 ；（2 2） R1 r R2 解：解： 由于電荷分布在無(wú)限長(zhǎng)的同軸圓柱面上，電由于電荷分布在無(wú)限長(zhǎng)的同軸圓柱面上，電場(chǎng)強(qiáng)度也一定呈對(duì)稱性分布，沿矢徑方向。場(chǎng)強(qiáng)度也一定呈對(duì)稱性分布，沿矢徑方向。（1 1）求）求 r R2），單位長(zhǎng)度上的電荷為），單位長(zhǎng)度上的電荷為；求離軸線為；求離軸線為r r處的電處的電（

16、2 2） 求求R1 r R2 的電場(chǎng)強(qiáng)度的電場(chǎng)強(qiáng)度qh作半徑為作半徑為r（ R1 r R2 ）、高為）、高為h的高斯面，的高斯面，如右圖所示，只有側(cè)面有電通量，如右圖所示，只有側(cè)面有電通量，所以，所以，SE dS 2E dSE dS側(cè)面底面22Erh這個(gè)高斯面內(nèi)的電荷這個(gè)高斯面內(nèi)的電荷q為：為：202Erhh應(yīng)用高斯定理，得：應(yīng)用高斯定理，得：所以，所以，202Er（ R1 r R2）、高為）、高為h的高斯的高斯面，如右圖所示，只有側(cè)面有電通量，面，如右圖所示，只有側(cè)面有電通量，所以，所以，SE dS 2E dSE dS側(cè)面底面32Erh這個(gè)高斯面內(nèi)的電荷這個(gè)高斯面內(nèi)的電荷q為：為：320Er

17、h應(yīng)用高斯定理，得：應(yīng)用高斯定理，得：所以，所以，30E （3 3）求）求r R2的電場(chǎng)強(qiáng)度的電場(chǎng)強(qiáng)度()qhh 0在帶電面附近，電場(chǎng)強(qiáng)度大小不連續(xù)，在帶電面附近，電場(chǎng)強(qiáng)度大小不連續(xù)，有一定的躍變；有一定的躍變；02Er02LrL0與題與題8-208-20分析討論的結(jié)果一致。分析討論的結(jié)果一致。（r R2）5-23 5-23 已知均勻帶電直線附近的電場(chǎng)強(qiáng)度近似為已知均勻帶電直線附近的電場(chǎng)強(qiáng)度近似為02rEer解解: :（1 1）求在）求在r = = r1 1和和r = = r2 2 兩點(diǎn)間的電勢(shì)差；兩點(diǎn)間的電勢(shì)差；其中其中為電荷線密度。為電荷線密度。（2 2）在點(diǎn)電荷的電場(chǎng)中，我們?cè)。┰邳c(diǎn)電

18、荷的電場(chǎng)中，我們?cè)處間的電勢(shì)為零，求均勻處間的電勢(shì)為零，求均勻帶電直線附近的電勢(shì)能否這樣??？試說(shuō)明。帶電直線附近的電勢(shì)能否這樣??？試說(shuō)明。2112rrUE dr（1）由于電場(chǎng)力作功與路徑無(wú)關(guān)，所以取徑向?yàn)榉e分路徑，由于電場(chǎng)力作功與路徑無(wú)關(guān)，所以取徑向?yàn)榉e分路徑，則得：則得：（2）不能。不能。因?yàn)橐驗(yàn)閞 處的電勢(shì)與直線上的電勢(shì)相等。處的電勢(shì)與直線上的電勢(shì)相等。2102rrdrr2102rrredrr201ln2rr和和Q2 ；求（；求（1 1）各區(qū)域的電勢(shì)分布，并畫出分布曲線；（）各區(qū)域的電勢(shì)分布，并畫出分布曲線；（2 2）兩球）兩球面上的電勢(shì)差為多少？面上的電勢(shì)差為多少？解：解： （1 1

19、）由高斯定理可求得電場(chǎng)分布為：）由高斯定理可求得電場(chǎng)分布為：10E 12204rQEer123204rQQEer1rR12RrR2rR由電勢(shì)公式由電勢(shì)公式rVE dl，取積分路徑沿矢徑方向，就可，取積分路徑沿矢徑方向，就可求得各區(qū)域的電勢(shì)分布；求得各區(qū)域的電勢(shì)分布；5-27 5-27 兩個(gè)同心球面的半徑分別為兩個(gè)同心球面的半徑分別為R1和和R2 ，各自帶有電荷，各自帶有電荷Q1當(dāng)當(dāng)0rR1 時(shí)，有：時(shí)，有：12121123RRrRRVEdlEdlEdl12121122200044RRrRRQQQdrdrdrrr1120120211044QQQRRR12010244QQRR同理，當(dāng)同理，當(dāng) R1

20、 rR2 時(shí)，有：時(shí)，有：22223RrRVEdlEdl22112220044RrRQQQdrdrrr11202021144QQQrRR1200244QQrR同理，當(dāng)同理，當(dāng)r R2 時(shí)，有：時(shí)，有：33rVEdl12204rQQdrr1204QQr（2 2）兩個(gè)球面間的電勢(shì)差）兩個(gè)球面間的電勢(shì)差21122RRVEdl211204RRQdrr1012114QRR5-28 5-28 一半徑為一半徑為R的無(wú)限長(zhǎng)帶電細(xì)棒，其內(nèi)部的電荷均勻分布，的無(wú)限長(zhǎng)帶電細(xì)棒，其內(nèi)部的電荷均勻分布，電荷體密度為電荷體密度為?，F(xiàn)取棒表面為零電勢(shì)，求空間電勢(shì)分布并畫出?，F(xiàn)取棒表面為零電勢(shì)，求空間電勢(shì)分布并畫出電勢(shì)分布曲線。電勢(shì)分布曲線。2012Erhr h 2qr h 解：解：由于無(wú)限長(zhǎng)帶電細(xì)棒電荷是軸對(duì)稱分布的，由于無(wú)限長(zhǎng)帶電細(xì)棒電荷是軸對(duì)稱分布的，所以其電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)的分布也呈軸對(duì)稱。所以其電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)的分布也呈軸對(duì)稱。如圖，作半徑為如圖，作半徑為r 、高為、高為h 的同軸圓柱面為的同軸圓柱面為高斯面則有高斯面則有: :2SE dSErh應(yīng)用高斯定理，得：應(yīng)用高斯定理，得：即，即，02rE（0 r R）當(dāng)