山東省臨沂市2020―2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（含解析）

1、山東省臨沂市2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（含解析）注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.一、選擇題：本題共8小題.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先將橢圓方程化標(biāo)準(zhǔn)形式，即可求出焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由可得，因此，且焦點(diǎn)在軸上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：A.2. 過點(diǎn)且方向

2、向量為的直線的方程為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線的方向向量，確定直線斜率，再由直線的點(diǎn)斜式方程，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)樗笾本€的方向向量為，所以該直線的斜率為，又該直線過點(diǎn)，因此所求直線方程為，即.故選：C.3. 如圖，在正方體中，（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)，結(jié)合向量加減法的幾何意義有，即可知所表示的向量.【詳解】，而，故選：B4. 若直線平分圓的周長(zhǎng)，則的值為（ ）A. 2B. 2C. 3D. 3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題中條件，得到直線過圓心，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€平分圓的周長(zhǎng)，所以直線過

3、該圓的圓心，又圓的圓心坐標(biāo)為，所以，解得.故選：D.5. 如圖為某種禮物降落傘的示意圖，其中有根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為.已知禮物的質(zhì)量為，每根繩子的拉力大小相同.若重力加速度取，則降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)根繩子的合力大小與禮物的重力大小相等可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由題意知：根繩子的合力大小與禮物的重力大小相等，設(shè)每根繩子的拉力為，則，解得：（）.故選：B.6. 已知兩點(diǎn)、，直線過點(diǎn)且與線段有交點(diǎn)，則直線的傾斜角的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】作出圖

4、形，求出直線、的斜率，數(shù)形結(jié)合可得出直線的斜率的取值范圍，進(jìn)而可求得直線的傾斜角的取值范圍.【詳解】如下圖所示：直線的斜率為，直線的斜率為，由圖形可知，當(dāng)直線與線段有交點(diǎn)時(shí)，直線的斜率.因此，直線的傾斜角的取值范圍是.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求直線傾斜角的取值范圍的關(guān)鍵就是求出直線的斜率的取值范圍，結(jié)合圖象，利用直線、的斜率可得所要求的斜率的取值范圍.7. 設(shè)是圓：上的一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，線段的垂直平分線交線段于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用垂直平分線的性質(zhì)有，由結(jié)合線段的幾何關(guān)系得，根據(jù)橢圓的定義即可寫出點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】線段的垂直平分線

5、交線段于點(diǎn)，而，又，即是到定點(diǎn)距離和為定長(zhǎng)6的動(dòng)點(diǎn)，由橢圓第一定義知：且長(zhǎng)軸在y軸上，故的軌跡方程為，故選：B8. 在一個(gè)平面上，機(jī)器人從與點(diǎn)的距離為5的地方繞點(diǎn)順時(shí)針而行，在行進(jìn)過程中保持與點(diǎn)的距離不變.它在行進(jìn)過程中到過點(diǎn)與的直線的最近距離為（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A【解析】【分析】用截距式求直線的方程，求出圓心到直線的距離，再用此距離減去半徑5，即為所求【詳解】解：直線的方程為，即機(jī)器人的運(yùn)行軌跡為一個(gè)圓，以為圓心，半徑等于5，圓的方程為，圓心到直線的距離為，故點(diǎn)到直線的距離最小為，故選：二、選擇題：本題共4小題.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9. 下列

6、說法正確的是（ ）A. 直線必過定點(diǎn)（2，1）B. 直線在軸上的截距為2C. 直線的傾斜角為120D. 若直線沿軸向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿軸向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后，回到原來的位置，則該直線的斜率為【答案】ACD【解析】【分析】代入點(diǎn)的坐標(biāo)判斷A，求出縱截距判斷B，求出斜率得傾斜角，判斷C，寫出平移直線后的方程，與原方程一致，由此求得，判斷D【詳解】，所以點(diǎn)在直線上，A正確；對(duì)，令，得，直線在軸上截距為2，B錯(cuò)誤；直線的斜率為，傾斜角為，C正確；設(shè)直線方程為，沿軸向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿軸向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得，即它就是，所以，所以，D正確故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線方程，

7、利用直線方程研究直線的性質(zhì)是解析幾何的基本方法掌握直線的概念與特征是解題關(guān)鍵10. 如圖，在長(zhǎng)方體中，以直線，分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則（ ）A. 點(diǎn)的坐標(biāo)為B. 點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為C. 點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為D. 點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題中條件，由空間直角坐標(biāo)系，利用關(guān)于誰對(duì)稱誰不變的原則，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意知：點(diǎn)的坐標(biāo)為，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；的坐標(biāo)為，坐標(biāo)為，故點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為，選項(xiàng)B正確；在長(zhǎng)方體中，所以四邊形為正方形，與垂直且平分，即點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，選項(xiàng)C正確；點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)為，選項(xiàng)D錯(cuò)；故選：BC.11. 若圓：與圓：

8、的交點(diǎn)為，則（ ）A. 公共弦所在直線方程為B. 線段中垂線方程為C. 公共弦的長(zhǎng)為D. 在過，兩點(diǎn)的所有圓中，面積最小的圓是圓【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于，聯(lián)立兩個(gè)圓的方程，分析可得公共弦所在直線方程，可判斷，對(duì)于，有兩個(gè)圓的方程求出兩圓的圓心坐標(biāo)，分析可得直線的方程，即可得線段中垂線方程，可判斷，對(duì)于，分析圓的圓心和半徑，分析可得圓心在公共弦上，即可得公共弦的長(zhǎng)為圓的直徑，可判斷，對(duì)于，由于圓心在公共弦上，在過，兩點(diǎn)的所有圓中，即可判斷【詳解】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于，圓與圓，聯(lián)立兩個(gè)圓的方程可得，即公共弦所在直線方程為，正確，對(duì)于，圓，其圓心為，圓，其

9、圓心為，直線的方程為，即線段中垂線方程，錯(cuò)誤，對(duì)于，圓，即，其圓心為，半徑，圓心，在公共弦上，則公共弦的長(zhǎng)為，錯(cuò)誤，對(duì)于，圓心，在公共弦上，在過，兩點(diǎn)的所有圓中，面積最小的圓是圓，正確，故選：12. 如圖所示，某探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點(diǎn)處變軌進(jìn)入以月球球心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道繞月飛行，之后衛(wèi)星在點(diǎn)處第二次變軌進(jìn)入仍以為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道繞月飛行，且軌道的右頂點(diǎn)為軌道的中心.設(shè)橢圓與的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)分別為和，半焦距分別為和，離心率分別為，則下列結(jié)論正確的是（ ）A. B. C. D. 橢圓比橢圓更扁【答案】ABC【解析】【分析】由，得出正確；由，得到正確；由，得出離心率判斷正確；

10、求出，判斷錯(cuò)誤【詳解】解：對(duì)于、由，所以，所以選項(xiàng)正確；對(duì)于、由，得到：，所以選項(xiàng)正確；對(duì)于、由，得，即，所以選項(xiàng)正確；對(duì)于、根據(jù)選項(xiàng)知，所以，即橢圓比橢圓更扁些，選項(xiàng)錯(cuò)誤故選：三、填空題：本題共4小題.13. 向量，若與共線，則_.【答案】4【解析】【分析】由空間向量共線的坐標(biāo)表示求解【詳解】由題意，解得則故答案為：414. 若中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓過點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為_.【答案】或【解析】【分析】分別討論橢圓焦點(diǎn)在軸和軸上兩種情況，采用待定系數(shù)法，根據(jù)和橢圓過可求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸時(shí)，設(shè)其方程為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)倍，又橢圓過，解得：，標(biāo)準(zhǔn)方程為；當(dāng)

11、橢圓焦點(diǎn)在軸時(shí)，設(shè)其方程為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，又橢圓過，解得：，標(biāo)準(zhǔn)方程為；綜上所述：所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.故答案為：或.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：采用待定系數(shù)法求解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，需注意橢圓焦點(diǎn)位置，若焦點(diǎn)位置不確定，需對(duì)焦點(diǎn)在軸和軸兩種情況進(jìn)行討論.15. 已知圓：，從點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)直線反射后，恰好經(jīng)過圓心，則入射光線的斜率為_.【答案】2【解析】【分析】求得圓心的坐標(biāo)，過作直線的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)，由兩直線垂直的條件和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，解方程可得的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)的斜率公式計(jì)算的斜率可得所求【詳解】解：圓的圓心，如圖過作直線的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)，由，解得，即，連接，與相交于點(diǎn)，可得光線的入射光線，則入射光線的斜

12、率為，故答案為：16. 某圓拱橋的水面跨度為，拱高，此拱橋所在圓的半徑為_；現(xiàn)有一船，寬，載貨后寬度與船的寬度相同，若這條船能從橋下通過，則此船水面以上最高不能超過_.【答案】 (1). 13 (2). 7【解析】【分析】畫出圓拱橋所在的圓，如圖，水面跨度為，拱高，設(shè)圓半徑為，由勾股定理列式可計(jì)算，船關(guān)于水面中心線對(duì)稱，即圖中中點(diǎn)是，只要求出的長(zhǎng)度即得最高高度【詳解】如圖，圓拱橋所在圓圓心為，水面跨度為，拱高，設(shè)圓半徑為，則，解得船寬，若這條船能從橋下通過，則此船水面以上最高高度為，則，解得故答案為：13；7四、解答題：本題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. 已知直線過定

13、點(diǎn).（1）若直線與直線垂直，求直線的方程；（2）若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)垂直關(guān)系，先確定直線的斜率，再由直線的點(diǎn)斜式方程，即可求出結(jié)果；（2）討論直線過原點(diǎn)，和不過原點(diǎn)兩種情況，根據(jù)題中條件，設(shè)出對(duì)應(yīng)的方程，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)橹本€的斜率為，直線與直線垂直，直線的斜率為2，又直線經(jīng)過點(diǎn)，直線的方程為，即；（2）當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，直線過定點(diǎn)，即；直線方程為，即；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，直線過定點(diǎn)，直線方程為，即，綜上，直線方程為或.18. 如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線

14、段的中點(diǎn).（1）求直線到平面的距離；（2）求平面與平面所成銳二面角余弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，利用向量法證明向量平行得線線平行，從而有線面平行；（2）求出平面和平面的一個(gè)法向量，由法向量的夾角的余弦得二面角的余弦【詳解】解：（1）以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，則，.，.，平面，點(diǎn)到平面的距離即為直線到平面的距離，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，又，點(diǎn)到平面的距離為.（2）設(shè)平面的法向量為，則，取，則，平面與平面所成銳二面角的余弦值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查用空間向量法證明

15、線面平行，求二面角的余弦用向量法證明線面平行有兩種思路：（1）證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；（2）證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某條直線的方向向量共線19. 已知直線：和圓：.（1）若直線交圓于，兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng)；（2）求過點(diǎn)且與圓相切的直線方程.【答案】（1）2；（2）或.【解析】【分析】（1）先由圓的方程得到圓心和半徑，根據(jù)幾何法求弦長(zhǎng)，即可得出結(jié)果；（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，可直接得出切線方程；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，先設(shè)切線方程為，由圓的性質(zhì)，列出方程求解，得出的值，即可求出直線方程.【詳解】（1）將圓：化成標(biāo)準(zhǔn)方程：，圓的圓心為，半徑.圓心到直線：的距離，弦長(zhǎng)；（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)

16、，過點(diǎn)的直線為，是圓的一條切線；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)圓的切線方程為，即.圓心到直線的距離為，即，解之得此時(shí)切線方程為，化簡(jiǎn)得.綜上所述，所求的直線方程為：或.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解圓的弦長(zhǎng)問題的方法：（1）幾何法：根據(jù)圓的性質(zhì)，圓的半徑的平方等于圓心到直線距離的平方與弦長(zhǎng)一半的平方和，可得弦長(zhǎng)為；（2）代數(shù)法：若斜率為的直線與圓交于，兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)時(shí)，可以聯(lián)立直線與圓的方程，利用韋達(dá)定理，以及弦長(zhǎng)公式，即可求解.20. 如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分.過對(duì)稱軸的截口是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，片門位于另一個(gè)焦點(diǎn)上.由橢圓一個(gè)

17、焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個(gè)焦點(diǎn).已知，.（1）試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求截口所在的橢圓的方程；（2）如圖，若透明窗所在的直線與截口所在的橢圓交于一點(diǎn)，且，求的面積.【答案】（1）；（2）5.【解析】【分析】（1）由已知垂直及線段長(zhǎng)度，應(yīng)用勾股定理求，進(jìn)而可求得、，寫出橢圓方程即可.（2）由橢圓定義，根據(jù)結(jié)合勾股定理有可得，則即可求的面積.【詳解】解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)截口所在橢圓的方程為：，因?yàn)?，所以在直角中，故，又，所以，所求的橢圓方程為.（2）點(diǎn)在橢圓上，又，即為直角三角形，有，即可得：，故的面積為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）由已知線段垂直關(guān)系及線段長(zhǎng)，結(jié)

18、合勾股定理求相關(guān)線段長(zhǎng)，再由橢圓定義寫出方程.（2）由90，應(yīng)用勾股定理、橢圓第一定義得到方程組，進(jìn)而得到，由三角形面積公式即可求面積.21. 如圖，在四棱錐中，平面，為的中點(diǎn).（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）點(diǎn)在線段上，當(dāng)為何值時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為？【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先證明，兩兩互相垂直，然后以，分別為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，由向量和的夾角的余弦得異面直線與所成角的余弦值；（2）設(shè)，求出平面的一個(gè)法向量，由與法向量的夾角余弦值的絕對(duì)值等于直線與平面所成角的正弦值，求得【詳解】解：（1）平面，且，平面，又，兩兩互相垂直.以，分別為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：則由，可得，又為的中點(diǎn)，.，所以，所以異面直線，所成角的余弦值為.（2）設(shè)，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，解得，是平面的一個(gè)法向量.直線與平面所成角的正弦值為，解得，所以當(dāng)為時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間角的方法一般有兩種：（1）根據(jù)空間角的定義作出平面角（異面直線所成的角，直線與平面所成的