積分問(wèn)題的matlab求解

1、積分問(wèn)題的解析解 不定積分的推導(dǎo)： 格式： F=int(fun,x) 例：用diff() 函數(shù)求其一階導(dǎo)數(shù)，再積分，檢驗(yàn)是否可以得出一致的結(jié)果。 syms x; y=sin(x)/(x2+4*x+3); y1=diff(y); y0=int(y1); pretty(y0) % 對(duì)導(dǎo)數(shù)積分 sin(x) sin(x) - 1/2 - + 1/2 - x + 3 x + 1 對(duì)原函數(shù)求對(duì)原函數(shù)求4 4 階導(dǎo)數(shù)，再對(duì)結(jié)果進(jìn)行階導(dǎo)數(shù)，再對(duì)結(jié)果進(jìn)行4 4次積分次積分 y4=diff(y,4); y0=int(int(int(int(y4); pretty(simple(y0) sin(x) - 2 x

2、+ 4 x + 3 例:證明 syms a x; f=simple(int(x3*cos(a*x)2,x)f = 1/16*(4*a3*x3*sin(2*a*x)+2*a4 *x4+6*a2*x2*cos(2*a*x)-6*a*x*sin(2*a*x)-3*cos(2*a*x)-3)/a4 f1=x4/8+(x3/(4*a)-3*x/(8*a3)*sin(2*a*x)+. (3*x2/(8*a2)-3/(16*a4)*cos(2*a*x); simple(f-f1) % 求兩個(gè)結(jié)果的差ans = -3/16/a4 定積分與無(wú)窮積分計(jì)算: 格式： I=int(f,x,a,b) 格式： I=int

3、(f,x,a,inf) 例： syms x; I1=int(exp(-x2/2),x,0,1.5) 無(wú)解I1 =1/2*erf(3/4*2(1/2)*2(1/2)*pi(1/2) vpa(I1,70) ans = 1.085853317666016569702419076542265042534236293532156326729917229308528 I2=int(exp(-x2/2),x,0,inf) I2 =1/2*2(1/2)*pi(1/2) 2/ 2( )xfxe202( )xterf xe dt 多重積分問(wèn)題的MATLAB求解 例： syms x y z; f0=-4syms x

4、 y z; f0=-4* *z z* *exp(-x2exp(-x2* *y-z2)y-z2)* *(cos(x2(cos(x2* *y)-y)-1010* *cos(x2cos(x2* *y)y)* *y y* *x2+.x2+. 4 4* *sin(x2sin(x2* *y)y)* *x4x4* *y2+4y2+4* *cos(x2cos(x2* *y)y)* *x4x4* *y2-sin(x2y2-sin(x2* *y);y); f1=int(f0,z);f1=int(f1,y);f1=int(f1,x); f1=int(f0,z);f1=int(f1,y);f1=int(f1,x);

5、f1=simple(int(f1,x) f1=simple(int(f1,x)f1 =f1 = exp(-x2 exp(-x2* *y-z2)y-z2)* *sin(x2sin(x2* *y)y) f2=int(f0,z); f2=int(f2,x); f2=int(f2,x); f2=simple(int(f2,y)f2 =2*exp(-x2*y-z2)*tan(1/2*x2*y)/(1+tan(1/2*x2*y)2) simple(f1-f2)ans =0 順序的改變使化簡(jiǎn)結(jié)果不同于原函數(shù)，但其誤差為0，表明二者實(shí)際完全一致。這是由于積分順序不同，得不出實(shí)際的最簡(jiǎn)形式。 例： syms x

6、 y z int(int(int(4*x*z*exp(-x2*y-z2),x,0,1),y,0,pi),z,0,pi)ans =(Ei(1,4*pi)+log(pi)+eulergamma+2*log(2)*pi2*hypergeom(1,2,-pi2)Ei(n,z)為指數(shù)積分，無(wú)解析解，但可求其數(shù)值解： vpa(ans,60) ans = 3.10807940208541272283461464767138521019142306317021863483588 例：求解 f=inline(exp(-x.2/2).*sin(x.2+y),x,y); y=dblquad(f,-2,2,-1,1)

7、y = 1.57449318974494 任意區(qū)域上二元函數(shù)的數(shù)值積分 (調(diào)用工具箱NIT），該函數(shù)指定順序先x后y.例 fh=inline(sqrt(1-x.2/2),x); % 內(nèi)積分上限 fl=inline(-sqrt(1-x.2/2),x); % 內(nèi)積分下限 f=inline(exp(-x.2/2).*sin(x.2+y),y,x); % 交換順序的被積函數(shù) y=quad2dggen(f,fl,fh,-1/2,1,eps)y = 0.41192954617630 解析解方法： syms x y i1=int(exp(-x2/2)*sin(x2+y), y, -sqrt(1-x2/2),

8、 sqrt(1-x2/2); int(i1, x, -1/2, 1)Warning: Explicit integral could not be found. In D:MATLAB6p5toolboxsymbolicsymint.m at line 58 ans = int(2*exp(-1/2*x2)*sin(x2)*sin(1/2*(4-2*x2)(1/2), x = -1/2 . 1) vpa(ans) ans = .41192954617629511965175994017601222112211sin()yxyIexy dxdy222221sin()xxyIexy dxdy例：計(jì)

9、算單位圓域上的積分： 先把二重積分轉(zhuǎn)化： syms x y i1=int(exp(-x2/2)*sin(x2+y), x, -sqrt(1-y.2), sqrt(1-y.2);Warning: Explicit integral could not be found. In D:MATLAB6p5toolboxsymbolicsymint.m at line 58對(duì)x是不可積的，故調(diào)用解析解方法不會(huì)得出結(jié)果，而數(shù)值解求解不受此影響。 fh=inline(sqrt(1-y.2),y); % 內(nèi)積分上限 fl=inline(-sqrt(1-y.2),y); % 內(nèi)積分下限 f=inline(exp

10、(-x.2/2).*sin(x.2+y),x,y); %交換順序的被積函數(shù) I=quad2dggen(f,fl,fh,-1,1,eps)Integral did not converge-singularity likelyI = 0.53686038269795 三重定積分的數(shù)值求解 格式: I=triplequad(Fun,xm,xM,ym,yM, zm,zM， ,quadl) 其中quadl為具體求解一元積分的數(shù)值函數(shù),也可選用quad或自編積分函數(shù),但調(diào)用格式要與quadl一致。 例： triplequad(inline(4*x.*z.*exp(-x.*x.*y-z.*z), x,y,

11、z), 0, 1, 0, pi, 0, pi,1e-7,quadl)ans = 1.7328 曲線積分與曲面積分的計(jì)算 1 曲線積分及MATLAB求解 第一類曲線積分 起源于對(duì)不均勻分布的空間曲線總質(zhì)量的求取.設(shè)空間曲線L的密度函數(shù)為f(x,y,z),則其總質(zhì)量 其中s為曲線上某點(diǎn)的弧長(zhǎng),又稱這類曲線積分為對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分. 數(shù)學(xué)表示 若弧長(zhǎng)表示為( ),( ),( )xx tyy tzz t例： syms t; syms a positive; x=a*cos(t); y=a*sin(t); z=a*t; I=int(z2/(x2+y2)*sqrt(diff(x,t)2+diff(y,t)2

12、+ diff(z,t)2),t,0,2*pi) I =8/3*pi3*a*2(1/2) pretty(I) 3 1/2 8/3 pi a 2例： x=0:.001:1.2; y1=x; y2=x.2; plot(x,y1,x,y2)繪出兩條曲線 syms x; y1=x; y2=x2; I1=int(x2+y22)*sqrt(1+diff(y2,x)2),x,0,1); I2=int(x2+y12)*sqrt(1+diff(y1,x)2),x,1,0); I=I2+I1I =-2/3*2(1/2)+349/768*5(1/2)+7/512*log(-2+5(1/2)2 第二類曲線積分又稱對(duì)坐標(biāo)

13、的曲線積分，起源于變力沿曲線 移動(dòng)時(shí)作功的研究曲線 亦為向量,若曲線可以由參數(shù)方程表示則兩個(gè)向量的點(diǎn)乘可由這兩個(gè)向量直接得出.( , , )f x y zlds例：求曲線積分 syms t; syms a positive; x=a*cos(t); y=a*sin(t); F=(x+y)/(x2+y2),-(x-y)/(x2+y2); ds=diff(x,t);diff(y,t); I=int(F*ds,t,2*pi,0) % 正向圓周 I =2*pi2222lxyxydxdyxyxy例： syms x; y=x2; F=x2-2*x*y,y2-2*x*y; ds=1; diff(y,x);

14、I=int(F*ds,x,-1,1) I = -14/152曲面積分與MATLAB語(yǔ)言求解2.1 第一類曲面積分 其中 為小區(qū)域的面積，故又稱為對(duì)面積的曲面積分。曲面 由 給出，則該積分可轉(zhuǎn)換成x-y平面的二重積分為dSS( , )z f xy例：四個(gè)平面，其中三個(gè)被積函數(shù)的值為0，只須計(jì)算一個(gè)即可。 syms x y; syms a positive; z=a-x-y; I=int(int(x*y*z*sqrt(1+diff(z,x)2+ diff(z,y)2),y,0,a-x),x,0,a) I =1/120*3(1/2)*a5 若曲面由參數(shù)方程曲面積分例： syms u v; syms

15、a positive; x=u*cos(v); y=u*sin(v); z=v;f=x2*y+z*y2; E=simple(diff(x,u)2+diff(y,u)2+diff(z,u)2); F=diff(x,u)*diff(x,v)+diff(y,u)*diff(y,v)+diff(z,u)* diff(z,v); G=simple(diff(x,v)2+diff(y,v)2+diff(z,v)2); I=int(int(f*sqrt(E*G-F2),u,0,a),v,0,2*pi) I =1/4*a*(a2+1)(3/2)*pi2+1/8*log(-a+(a2+1)(1/2) *pi2-1/8*(a2+1)(1/2)*a*pi2 2.2 第二類曲面積分又稱對(duì)坐標(biāo)的曲面積分可轉(zhuǎn)化成第一類曲面積分若曲面由參數(shù)方程給出例：的上半部，且積分沿橢球面的上面。引入?yún)?shù)方程 x=a