《最優(yōu)控制》第4章線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題

1、12021-6-15123第4章線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題一：概述mjijiijTyyaAyyf1,實二次型：半負定負定，半正定正定，0000ffff1.問題的提法：設(shè)線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為：)()()(),()()()()(txtctytutBtxtAtx其中，x(t)是n維狀態(tài)向量，u(t)是p維控制向量，y(t)是q維輸出向量，u(t)不受約束。A(t),B(t),C(t)是分段的時間連續(xù)函數(shù)4Yr(t)表示預(yù)期輸出，e(t)為廣義誤差。尋求最優(yōu)控制u*(t)，使下面二次型性能指標(biāo)最小。dttutRtutetQtetttFeteJTTfffT)()()()()()(21

2、)()(210其中，F(xiàn)是qq半正定常數(shù)矩陣 Q(t)是qq半正定矩陣 R(t)是pp正定矩陣。要存在）（)(1tR2.性能指標(biāo)J用以衡量誤差大小)()()(211tetQteT第4章線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題5的總誤差表示fTfttQedtett0021小用以衡量控制功率的大)()()(212tutRtuT表示控制能量RudtuttTf0正定且均為時變半正定，加權(quán)矩陣)()()(),(3tRtQtRtQFtetFetefffT時，特別要求終端固定，即求突出對終端的誤差的要0)()()(214第4章線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題63.分類調(diào)節(jié)器問題.yr(t)=0狀態(tài)調(diào)節(jié)器以零狀

3、態(tài)為平衡狀態(tài))()()(21)()()(21txtQtXtetQteTT輸出調(diào)節(jié)器)()()(21)()()(21tytQtytetQteTT)()()(txtcty第4章線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題7伺服系統(tǒng)（隨動系統(tǒng)）)()()(tytyter以不大的能量是系統(tǒng)輸出跟隨給定的輸出而變化。二.狀態(tài)調(diào)節(jié)器1.已知00)(),()()()()(xtxtVtBtxtAtxdttutRtutxtQtxtttFxtxTJTTfff)()()()()()(21)()(210尋求u*(t),使J最小。第4章線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題8求解：構(gòu)造哈密頓函數(shù)：fFHTBuAxRuUQxXHT

4、TTT2121協(xié)調(diào)方程：xHTTTTTAQxAQxQx)()(2121橫截條件)(21)()(fTfftxFXxtxt則)()(fftFxt第4章線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題9控制方程：0uH)()()()(*0)(01221ttBtRtuRuHBRtuBRuuHTTT則狀態(tài)方程TAQxxxABBRQAxAQxBBRAxxTTTT11,)()(),()()(0000ftttttxttttx第4章線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題10nntt22),(0的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,0ffttttt時，又當(dāng)都可作為初始時刻,)()(),(),(),(),()()(022122111ffffffftt

5、tttxttttttttttx121122211211)()()()()()()(xFtFxttxtttxtxfff又由橫截條件：)()(fftFXt則=xFFFxFx)()2111122212122221（第4章線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題11)()()()(211111222txFFt可以證明11222)(F存在因此，)()(tXt 與呈線性關(guān)系，可表示為)()()(txtPt 則)()()()()(*1txtPtBtRtuT2.黎卡提矩陣微分方程考察)()()(txtPt 兩邊對t求導(dǎo))()()()()(txtPtxtPt第4章線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題12將狀態(tài)方程帶

6、去上式，則)()()()()()()()()()()()(1txtPtBtRtBtPtxtAtPtxtPtT又協(xié)態(tài)方程:)()()()()(txtPtAtxtQT最后可得黎卡提矩陣微分方程如下：)()()()()()()()()()()(01tPtBtRtBtPtQtPtAtAtPtPTT)()()(ffftxtPt又橫截條件)()(fftFxt則FtPf)(黎卡提微分方程邊界條件第4章線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題13說明： 黎氏方程的解存在且唯一 (常微分方程解的存在性唯一性定理)P(t)是對稱陣)()(tPtPTP(t)0 J00)(, 0)(21*0)()(21*000tPxtP

7、xJtxtPxJTT則第4章線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題143.結(jié)構(gòu)00111)(),()()()()()()(*)()()()()()()()()()()(*xtxtxtPtBtRtBtAtxtPtBtRtktxtktxtPtBtRtuTTT反饋增益矩陣上式確定最優(yōu)軌線第4章線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題154.說明求J*考察二次型)()()(txtPtxTxPxxPxPxxtxtPtxdtdTTTT)()()(將狀態(tài)方程與黎卡提方程帶入上式，之后兩邊對t作t0tf積分，移項，配方法21)()()(2111000PxBRURPxBRUtxtPtxJTTTT得最小時，時，即當(dāng)JP

8、XBRtuPXBRuTT11)(*0則000)(21*XtPXJT第4章線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題16 本問題最優(yōu)控制的解是存在的且唯一的a.存在性)()(*1tPxBRtuTP唯一存在b.唯一性00*22*11*2*1)()()()()(11xtxxtPxBRAxxtPxBRAxtutuTT和設(shè)（微分方程解的存在性和唯一性定理）*2*1*2*1xxxx即第4章線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題175.總結(jié)狀態(tài)調(diào)節(jié)器控制規(guī)律)()()()()(*1txtPtBtRtuT其中P(t)滿足下面的矩陣黎卡提微分方程及邊界條件0)()()()()()()()()()()()(1tPtBtR

9、tBtPtQtPtAtAtPtPFtPTTf最優(yōu)狀態(tài)x*(t)則是下列線性微分方程解001)(),()()()()()()(*xtxtxtPtBtRtBtAtxT在最優(yōu)控制情況下，系統(tǒng)性能指標(biāo)具有最小值000)(21*xtPxJT第4章線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題18例：設(shè)有一階系統(tǒng)0)0(,21xxuxxdtutxtxJf)(201021)(5222性能指標(biāo)求最優(yōu)控制u*(t)解：0)0(,1010121xxtFBAf，)()()(*1txPtPxBRtuT帶入黎氏方程得)143.155 . 0(5 . 15 . 0)(210)10(222cthtPdtPPdPPPPP第4章線性系統(tǒng)

10、二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題19狀態(tài)方程的解雙曲余切xxxxeeeecth（將定常系統(tǒng)變?yōu)榱藭r變系統(tǒng)）此時tf有限6.定常情況下，tf時的狀態(tài)調(diào)節(jié)器結(jié)論：設(shè)有定常線性可控系統(tǒng)。0)0(),()()(xxtButAxtx二次型性能指標(biāo)dttRututQxtxJTT)()()()(021第4章線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題20u(t)不受約束，Q、R都是正定常數(shù)矩陣則，最優(yōu)控制存在。且可唯一的表示為)()(*1txPBRtuT其中P是nn正定常數(shù)矩陣，滿足下列的非線性黎卡提矩陣代數(shù)方程01PBBRPQPAAPTT此時最優(yōu)軌線x*(t)是下列線性是不變齊次方程的解01)0(),()()(xxt

11、xPBBRAtxT第4章線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題21采用最優(yōu)控制規(guī)律時，系統(tǒng)的性能指標(biāo)J取最小值J*000)(21*xtPxJT說明：系統(tǒng)是可控的 系統(tǒng)是定常的（前提條件）無限時間狀態(tài)調(diào)節(jié)器是大范圍漸進穩(wěn)定的考察二次型)(xVxPxT0)(0)(0)(0)(1txxVtxxV第4章線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題22,)(2xPxxPxdtxdVTT將狀態(tài)方程帶入時當(dāng)0),()()()(1xtxPBBRPQtxdtxdVTT時當(dāng)0, 0)(xdtxdV)(lim3xVx三.輸出調(diào)節(jié)器1.問題。 設(shè)有線性系統(tǒng)).()()()()(tutBtxtAtx第4章線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的

12、最優(yōu)控制問題23),()()(txtuty其中x(t)為n維狀態(tài)向量，y(t)為q維輸出向量，u(t)為p維控制矩陣，u(t)不受約束。假定系統(tǒng)完全能觀，尋找最優(yōu)控制u*(t),使性能指標(biāo)dttutRtutytQtytttFytyJTTfffT)()()()()()(21)()(210最小，其中F和Q(t)是半是正定對稱矩陣，R(t)正定對稱陣2.分析dttutRtutytQtytttFytyJTTfffT)()()()()()(21)()(210第4章線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題24將)()()(txtCty代入則dttutRtutytCtQtCtxtttFCtCtxJTTTfffT

13、fT)()()()()()()()(21)()()(210對稱陣)()()()()()()()()()(tCtQtCtCtQtCtFCtCtFCtCTTTffTTffT半正定陣0)()()(tytQtyT對所有q維向量y(t)都成立第4章線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題25由)()()(txtCty0)()()()()(tytCtQtCtxTT對所有q維向量C(t)x(t)都成立由于系統(tǒng)完全能觀0)()()()()(tytCtQtCtxTT對所有x(t)都成立3.輸出調(diào)節(jié)器控制規(guī)律)()()()()(*1txtPtBtRtuT其中P(t)滿足下面的矩陣黎卡提微分方程及邊界條件0)()()(

14、)()()()()()()()()()(1tPtBtRtBtPtCtQtCtPtAtAtPtPTTT第4章線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題26)()()(ffftFCtCTtP最優(yōu)軌線滿足方程001)()()()()()()()(xtxtxtPtBtRtBtAtxT最優(yōu)性能指標(biāo)為000)(21*xtPxJT結(jié)構(gòu)圖)()(1tBtRT)()()()()(tutBtxtAtx)(tC)(tP第4章線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題27最優(yōu)控制輸出調(diào)節(jié)器仍然是狀態(tài)反饋，不是輸出反饋，需要所有的狀態(tài)變量4.線性定常系統(tǒng)當(dāng)tf時的輸出調(diào)節(jié)器設(shè)有線性系統(tǒng))()()()()(tCxtytButAxtx 系統(tǒng)完全能控完全能觀，性能指標(biāo).)()()()(021dttRutuTtQytyJT第4章線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題2