322平面的法向量與平面的向量表示

1、3.2.2 平面的法向量與平面的向量表示一、復(fù)習(xí)引入一、復(fù)習(xí)引入l定義：定義：如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的任意一條直線，如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的任意一條直線，那么稱這條直線和這個平面垂直。那么稱這條直線和這個平面垂直。判定：判定：如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的兩條相交直線，如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的兩條相交直線，則這條直線與這個平面垂直。則這條直線與這個平面垂直。mnA性質(zhì)：性質(zhì)：(1)(1)垂直于同一個平面的兩條直垂直于同一個平面的兩條直線平行。線平行。(2)(2)垂直于同一條直線的兩個平垂直于同一條直線的兩個平面平行。面平行。 l二、概念形成二、概念形成概念概念1.1.平面的法

2、向量平面的法向量已知平面已知平面 ，如果向量，如果向量 的基線與平面的基線與平面 垂直，則垂直，則 叫做平面叫做平面 的的法向量法向量或說向量或說向量 與平面與平面 正交正交。nnnn m由平面的法向量的定義可知，由平面的法向量的定義可知，平面平面 的法向量有無窮多個的法向量有無窮多個，法向量一定垂直于與平面法向量一定垂直于與平面 共面的所有向量。共面的所有向量。abc由于垂直于同一平面的兩條直線由于垂直于同一平面的兩條直線平行，所以，一個平面的所有法平行，所以，一個平面的所有法向量都是平行的。向量都是平行的。 m模為模為1 1的法向量，叫做的法向量，叫做單位法向量單位法向量，記作記作 顯然顯

3、然0 n0| nnn二、概念形成二、概念形成概念概念2.2.直線與平面垂直的判定定理的向量證明直線與平面垂直的判定定理的向量證明直線與平面垂直的判定定理：直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直如果一條直線和平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面。線垂直于這個平面。abn已知：已知： 是平面是平面 內(nèi)的兩條相交的直線，且內(nèi)的兩條相交的直線，且 求證：求證： , a b,na nbn 正方體正方體ACAC1 1棱長為棱長為1 1，求平面，求平面ADBADB1 1的的一個法向量一個法向量。二、概念形成二、概念形成概念概念1.1.平面的法向量平面的法

4、向量例子：例子：A AB BC CD DA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1一個平面的法向量不只一個，但它們都是平行一個平面的法向量不只一個，但它們都是平行( (或共線或共線) )的，的，我們借助于待定系數(shù)法可求出平面的一個法向量。我們借助于待定系數(shù)法可求出平面的一個法向量。待定系數(shù)法待定系數(shù)法例題例1：已知點 ， ， ，其中求平面 的一個法向量。)0 , 0 ,(aA), 0 , 0(cC)0 , 0(bB0 abcABCn解：由已知得), 0 ,()0 ,(caOAOCACbaOAOBAB ),(zyxnABC 的一個法向量為設(shè)平面 0), 0 ,(),(0)0 ,(),(cz

5、axcazyxACnbyaxbazyxABn則xcazxbay ,解得abzacybcx ,則令),(abacbcn cazbayx , , 1則令), 1 (caban 有何關(guān)系？二、概念形成二、概念形成概念概念3.3.平面的向量表示平面的向量表示空間直線可以用向量來表示，對于空間的平面也可以用向空間直線可以用向量來表示，對于空間的平面也可以用向量來刻畫。量來刻畫。設(shè)設(shè)A A是空間任意一點，是空間任意一點， 為空間任意一個非零向量，適合條為空間任意一個非零向量，適合條件件 的點的點 M M 的集合構(gòu)成什么樣的圖形？的集合構(gòu)成什么樣的圖形？n0AMnnA AM MM M1 1M M2 2我們可

6、以通過空間一點和一個我們可以通過空間一點和一個非零向量確定唯一的一個與該非零向量確定唯一的一個與該向量垂直的平面。向量垂直的平面。0AMn稱此為稱此為平面的向量表達式。平面的向量表達式。二、概念形成二、概念形成概念概念4.4.用法向量證明平面與平面平行及垂直用法向量證明平面與平面平行及垂直2 n1 n設(shè)設(shè) 分別是平面分別是平面 的法向量，則有的法向量，則有12, n n, 12/ nn或 與 重合1 n12120 nnnn 已知正方體已知正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，E E，F(xiàn) F分別是分別是BBBB1 1，CDCD的的中點。求證：平面中點。求

7、證：平面DEADEA平面平面A A1 1FDFD1 1 。二、概念形成二、概念形成概念概念4.4.用法向量證明平面與平面平行及垂直用法向量證明平面與平面平行及垂直例子例子A AB BC CD DA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1E EF F利用法向量證明兩個平面垂直的基本思路是證明兩個平面利用法向量證明兩個平面垂直的基本思路是證明兩個平面的法向量互相垂直。的法向量互相垂直。射影：射影：已知平面已知平面 和一點和一點A A，過點，過點A A作作 的垂線的垂線 與與 交交于點于點 ，則，則 就是點就是點A A在平面在平面 內(nèi)的正射影，也可簡內(nèi)的正射影，也可簡稱射影。稱射影。二、概念形

8、成二、概念形成概念概念5.5.用法向量證明用法向量證明“三垂線定理三垂線定理”預(yù)備知識：預(yù)備知識：AlA AAABl斜線在平面上的正射影：設(shè)直斜線在平面上的正射影：設(shè)直線線 與平面與平面 交于點交于點B B，但不，但不和和 垂直，那么直線垂直，那么直線 叫做叫做這個平面的斜線。斜線和平面這個平面的斜線。斜線和平面的交點的交點B B叫做斜足。叫做斜足。ll斜線在平面上的正射影斜線在平面上的正射影：在直在直線線 上任取一點上任取一點A A，作，作A A點在平點在平面面 內(nèi)的射影內(nèi)的射影 ，則平面內(nèi)，則平面內(nèi)直線直線 叫做斜線叫做斜線 在該平在該平面內(nèi)的射影。面內(nèi)的射影。lAA BlA AA已知已知

9、 是平面是平面 的斜線，的斜線， 是是 在平面在平面 內(nèi)的射影內(nèi)的射影, ,直線直線 且且lA BlaaA B二、概念形成二、概念形成概念概念5.5.用法向量證明用法向量證明“三垂線定理三垂線定理”三垂線定理：三垂線定理：如果在如果在平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在這個平面內(nèi)平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，的射影垂直，則它也則它也和這條斜線垂直和這條斜線垂直。BlA AAa求證：求證：al P O A la 證明：證明：如圖如圖,已知已知:,POAOllOA 射射影影且且求證：求證：lPA 在直線在直線l上取向量上取向量 ,只要證只要證a 0a PA ()0a PAa

10、POOAa POa OA ,aPAl 即即P PA A. .為為 P O A la 0,0a POa OA P O A la 逆定理逆定理 (2)三垂線定理：三垂線定理： 如果在平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在這個平如果在平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的面內(nèi)的 垂直，則它也和這條斜線垂直垂直，則它也和這條斜線垂直 (3)三垂線定理的逆定理：三垂線定理的逆定理： 如果平面內(nèi)的一條直線和這個平面的一條斜線垂直，如果平面內(nèi)的一條直線和這個平面的一條斜線垂直，則它也和這條斜線在平面內(nèi)的則它也和這條斜線在平面內(nèi)的 垂直垂直射影射影射影射影 例例3在正方體在正方體ABCDA1B1C1D1中

11、，求證：中，求證：A1C是平面是平面BDC1的法向量的法向量 思路點撥思路點撥根據(jù)正方體中的垂直關(guān)系，找到根據(jù)正方體中的垂直關(guān)系，找到A1C在平面在平面ABCD和平面和平面CDD1C1內(nèi)的射影，由三垂線定理證內(nèi)的射影，由三垂線定理證明明BDA1C，C1DA1C. 精解詳析精解詳析在正方體中，在正方體中，AA1平面平面ABCD，所以，所以AC是是A1C在平面在平面ABCD內(nèi)的射影，又內(nèi)的射影，又ACBD，所以，所以BDA1C.同理同理D1C是是A1C在平面在平面CDD1C1內(nèi)的射影內(nèi)的射影所以所以C1DA1C.又又C1DBDD，所以，所以A1C平面平面BDC1.1正三棱錐正三棱錐PABC中，求證

12、：中，求證：BCPA.證明：證明：在正三棱錐在正三棱錐PABC中，中，P在底在底面面ABC內(nèi)的射影內(nèi)的射影O為正三角形為正三角形ABC的的中心，連接中心，連接AO，則，則AO是是PA在底面在底面ABC內(nèi)的射影，且內(nèi)的射影，且BCAO，所以，所以BCPA.小結(jié)小結(jié)1.直線與平面垂直的定義直線與平面垂直的定義 2. 平面的法向量：平面的法向量： 3. 平面的向量表示：平面的向量表示： 4. 兩平面平行或重合、垂直的充要條件兩平面平行或重合、垂直的充要條件 6.6.有關(guān)平面的斜線概念，有關(guān)平面的斜線概念， 三垂線定理及其逆定理三垂線定理及其逆定理 o再見例例. . 在空間直角坐標系內(nèi)，設(shè)平面在空間直

13、角坐標系內(nèi)，設(shè)平面 經(jīng)過經(jīng)過 點點 ，平面，平面 的法向量為的法向量為 ， 為平面為平面 內(nèi)任意一點，求內(nèi)任意一點，求 滿足的關(guān)系式。滿足的關(guān)系式。),(000zyxP),(CBAe ),(zyxMzyx,000(,)PMxxyyzz，解：由題意可得解：由題意可得 0PMe000( ,) (,)0A B Cxxyyzz即即000()()()0A xxB yyC zz 化化簡簡得得：PO 平面PAOaPOPAa PAaAOaa平面PAO數(shù)式板書 例例1已知點已知點A(1，0，0)、B(0，2，0)、C(0，0，3)，求平面求平面ABC的一個法向量的一個法向量思路點撥思路點撥平行與垂直關(guān)系的向量表

14、示平行與垂直關(guān)系的向量表示（1）平行關(guān)系）平行關(guān)系設(shè)直線設(shè)直線l，m的方向向量分別為的方向向量分別為 ， ，平面平面 ， 的法向量分別為的法向量分別為 ， abuvml /線線平行線線平行/l線面平行線面平行/面面平行面面平行baba/0uauavuvu/新知探究新知探究 （2）垂直關(guān)系）垂直關(guān)系設(shè)直線設(shè)直線l，m的方向向量分別為的方向向量分別為 ， ，平面平面 ， 的法向量分別為的法向量分別為 ， abuvml 線線垂直線線垂直l線面垂直線面垂直面面垂直面面垂直0baba0vuvuuaua/（3）用向量處理平行問題）用向量處理平行問題 用向量處理垂直問題用向量處理垂直問題第三章第三章 空間向量與立體幾何空間向量與立體幾何人教B版數(shù)學(xué)三、應(yīng)用舉例三、應(yīng)用舉例利用法向量證明兩個平面平行的基本思路是證明兩個平面利用法向量證明兩個平面平行的基本思路是證明兩個平面的法向量平行的法向量平行( (或共線或共線) )。第三章第三章 空間向量與立體幾何空間向量與立體幾何人教B版數(shù)學(xué)第三章第三章 空間向量與立體幾何空間向量與立體幾何人教B版數(shù)學(xué)第三章第三章 空間向量與立體幾何空間向量與立體幾何人教B版數(shù)學(xué)三、應(yīng)用舉例三、應(yīng)用舉例例例2.2.已知正方體已知正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，求證：，求證：(1)A