第4講頻率域圖像增強

1、 4.1 卷積 4.2 傅立葉變換 4.3 平滑頻率域濾波器低通濾波器 4.4 頻率域銳化濾波器高通濾波器 4.5 同態(tài)濾波器第4講 頻率域圖像增強頻率域和空域 頻率域高頻和低頻 在空域中的用模板濾波從效果上看和頻率域中的高頻和低頻濾波的作用相似。 空域和頻率域的對應關系 高頻對應 快變部分 低頻對應 平緩部分 空域與頻率域之間的紐帶卷積卷積定義 空間濾波器線性濾波 卷積方式表達： f(x,y)*h(x,y) 這里的 h(x,y) 相當于模板的響應函數(shù)w() 卷積的定義 對于一個線性系統(tǒng)的輸入f(t)和輸出h(t)，可以用卷積積分來說明他們的關系h(t) = g(t - )f( )d 記為：h

2、 = g * f g(t)稱為沖激響應函數(shù)( , )( , ) (,)absa tbg x yw s t f xs yt 二維卷積的定義 h(x,y) = f*g = f(u,v)g(x u, y v)dudv - 離散二維卷積h(x,y) = f*g = f(m,n)g(x m, y n) m n離散一維卷積 h(i) = f(i)*g(i) = f(j)g(i-j) j卷積定理卷積定理 卷積定理：如果卷積定理：如果 x(t) 和和 h(t) 的傅立葉變換分別為的傅立葉變換分別為 x(f) 和和 h(f) ,則則x(t) * h(t) 的傅立葉變換為的傅立葉變換為 x(f)h(f)。即即()

3、()xfhf( ) *( )x th t空域和頻域之間的基本聯(lián)系卷積定理的描述空域中的卷積等價于頻域中的相乘f(x,y)*g(x,y) f(u,v)g(u,v) ff(x,y)*g(x,y) = f(u,v)g(u,v)即空域中的卷積可以用頻域中的乘積的反傅立葉變換來獲得傅立葉變換來獲得同時有：f(x,y) g(x,y) f(u,v)*g(u,v) 4.1 卷積 4.2 傅立葉變換 4.3 平滑頻率域濾波器低通濾波器 4.4 頻率域銳化濾波器高通濾波器 4.5 同態(tài)濾波器第4講 頻率域圖像增強傅立葉變換的引入傅立葉變換的引入 周期函數(shù)可以表示為不同頻率的正弦和/或余弦和的形式 非周期函數(shù)可以用

4、正弦和/或余弦乘以加權函數(shù)的積分來表示這種情況下的公式就是傅立葉變換 傅里葉變換及其反變換傅里葉變換及其反變換1 一維傅里葉變換一維傅里葉變換（1）連續(xù)形式 單變量連續(xù)函數(shù)f(x)的傅立葉變換f(u)可以定義為：1j 2( )( )1( )( )2juxj xf xf u eduf xfed2( )( )juxf uf x edx傅立葉反變換（2）周期形式（傅里葉級數(shù)）muxjuumuxjumuxjuumuxjmueaeufxfeaxfdxexfmauf/2/2/2/20)()()()(1)(（3）離散形式muxjmumuxjmxeufxfexfmuf/210/210)()()(1)( 系數(shù)1

5、/m也可以放在反變換前， 有時也可在傅立葉正變換和逆變換前分別乘以(1/m )1/2。 但應注意：正變換和逆變換前系數(shù)乘積必須等于1/m。 （4）傅里葉譜)()()()()(ujeufujiuruf)()(arctan)()()(| )(|22uruiuuiuruf傅里葉幅度譜或頻率譜傅里葉相位譜)()(| )(|)(222uiurufup功率譜2 二維傅里葉變換二維傅里葉變換 （1）連續(xù)形式2 ()2 ()( , )( , )( , )( , )jux vyjux vyf u vf x y edxdyf x yf u v edudv （2）離散形式)(21010)(21010),(),(),

6、(1),(nvymuxjnvmunvymuxjmxnyevufyxfeyxfmnvuf 有一個2*2的圖像，其中f(0，0)=3，f(0，1)=5，f(1，0)=4，f(1，1)=2，求該圖像的傅里葉譜。練習3 傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質 （1）可分性（用于快速傅里葉變換）muxjmxmuxjnvyjmxnyevxfmeeyxfnmvuf210221010),(1),(11),( （2）周期性（“周期卷繞”的基礎）),(),(),(),(),(),(),(),(nymxfnyxfymxfyxfnvmufnvufvmufvuf （3）共軛對稱性)()()()()()(1)(1)()(1)(

7、*/)(210/)(210/210lflflmflflfexfmexfmlmfexfmufmxljmxmxlmjmxmuxjmx),(),(),(),(*vufvufvufvuf頻域中心化的基礎 （4）平移性質)() 1)(,()2,2()22() 1)(,(vuyxvufnymxfnvmufyxf，特例移中性：用于頻域中心化操作移中的變換：ft移中的變換：能量分布于四角（示意圖）能量集中于中心（示意圖）移中ft原圖像f（x，y）(a) (b) (c) 傅立葉頻譜平移示意圖(a) 原圖像；（b）無平移的傅立葉頻譜；（c）平移后的傅立葉頻譜 ()( , )( 1)(,)22x ymnf x yf

8、 uv移中性移中性頻域圖像（幅度譜）原圖像 4.1 卷積 4.2 傅立葉變換 4.3 平滑頻率域濾波器低通濾波器 4.4 頻率域銳化濾波器高通濾波器 4.5 同態(tài)濾波器第4講 頻率域圖像增強頻率域濾波 把空域的模板看作系統(tǒng)對圖象的響應函數(shù)h(), g()=f() *h()濾波 整個過程： 對f(x,y),h(x,y)進行傅立葉變換變換得f(u,v)h(u,v) f()*h()f(u,v)h(u,v)的逆變換 濾波作用在f(u,v)h(u,v)相乘中完成的 頻域濾波器 低通濾波器 高通濾波器 同態(tài)濾波器g(u,v)=f(u,v)h(u,v) f(u,v)是需要鈍化圖像的傅立葉變換形式 h(u,v

9、)是選取的一個濾波器變換函數(shù) g(u,v)是通過h(u,v)減少f(u,v)的高頻部分來得到的結果 運用傅立葉逆變換得到鈍化后的圖像。低通濾波器的基本思想 理想低通濾波器的定義 一個二維的理想低通濾波器（ilpf）的轉換函數(shù)滿足（是一個分段函數(shù)）其中：d0 為截止頻率 d(u,v)為距離函數(shù) d(u,v)=(u2+v2)1/2 理想低通濾波器的透視圖圖像顯示、截面圖h(u,v)作為距離函數(shù)d(u,v)的函數(shù)的截面圖 物理上不可實現(xiàn) 濾除高頻成分使圖象變模糊 整個能量的92%被一個半徑為5的小圓周包含, 大部分尖銳的細節(jié)信息都存在于被去掉的8%的能量中。小的邊界和其它尖銳細節(jié)信息被包含在頻譜的至

10、多0.5%的能量中 被鈍化的圖像被一種非常嚴重的振鈴效果所影響理想低通濾波器的分析 一個截止頻率在與原點距離為d0的n階butterworth低通濾波器（blpf）的變換函數(shù)：ndvudvuh20/ ),(11),(butterworth低通濾波器的定義 butterworth低通濾波器又稱最大平坦濾波器 它在帶通和帶阻之間沒有明顯的不連續(xù)， 代替的是有一個平滑的過渡 通常把h(u,v)下降到某一值的那一點定為截止頻率d0 butterworth低通濾波器的截面圖等h(u,v)作為d(u,v)/d0的函數(shù)的截面圖 在任何經(jīng)blpf處理過的圖像中都沒有明顯的振鈴效果，這是濾波器在低頻和高頻之間的

11、平滑過渡的結果 尾部含有大量的高頻成分（模糊減少）。而低通濾波是一個以犧牲圖像清晰度為代價來減少干擾效果的修飾過程butterworth低通濾波器的分析理想低通濾波器vs butterworth低通濾波器理想濾波器butterworth低通濾波器高斯低通濾波器 是指數(shù)低通濾波器22( , )/2( , )du vh u ve 令=d0,則220( , )/2( , )du vdh u ve高斯低通濾波器的傳遞函數(shù)等三種低通濾波器的比較ilpf有振鈴二階blpf微弱振鈴二階glpf無振鈴 高斯lpf r=30 ilpf r=30 4.1 卷積 4.2 傅立葉變換 4.3 平滑頻率域濾波器低通濾波

12、器 4.4 頻率域銳化濾波器高通濾波器 4.5 同態(tài)濾波器第4講 頻率域圖像增強頻率域銳化濾波器 對f(u,v)的高頻成分的衰減使圖像模糊低通濾波 對高頻成分的通過使圖像銳化高通濾波 高通和低通的關系 hhp(u,v) = 1 - hlp(u,v) 即低通阻塞的頻率是能夠通過高通的2 理想高通濾波器的定義 一個二維的理想高通濾波器（ilpf）的轉換函數(shù)滿足（是一個分段函數(shù)）其中：d0 為截止頻率 d(u,v)為距離函數(shù) d(u,v)=(u2+v2)1/21 理想高通濾波器的透視圖、圖像表示和橫截面理想高通濾波器的特點：1 .衰減d0以內(nèi)的頻率完全通過d0以外的頻率2. 有振鈴現(xiàn)象3. 和背景接

13、近的圓產(chǎn)生很弱的邊（a邊上3個園）4. a圖橫直的線條，小點都有失真（因為低頻成分的保留較多），5. b,c圖顯現(xiàn)出對高頻成分的過通：（1）小點變小，線變細；（2）低頻的成分越多，在空間域表現(xiàn)為平緩部分保留越多。如a,c中的白邊等；（3）截止頻率越高，平緩部分保留越少，只留下邊6. c圖更象高通abc butterworth高通濾波器的定義 一個截止頻率在與原點距離為d0的n階butterworth高通濾波器（bhpf）的變換函數(shù)如下ndvudvuh20/ ),(11),(d0 / d(u,v)bhpf透視圖、圖像表示和橫截面 問題：低頻成分也被嚴重地消弱了，使圖像失去層次 改進措施： 加一個

14、常數(shù)到變換函數(shù) h(u,v) + a （高頻強調(diào)） （+a的含義？） 為了解決變暗的趨勢，在變換結果圖像上再進行一次直方圖均衡化。這種方法被稱為后濾波處理butterworth高通濾波器的分析高斯型高通濾波器 是低頻高斯濾波的反，所以上升較butterworth快，即高頻更豐富220( , )/2( , )1du vdh u ve ghpf透視圖、圖像表示和橫截面ihpfbhpfghpfghpf更平滑 4.1 卷積 4.2 傅立葉變換 4.3 平滑頻率域濾波器低通濾波器 4.4 頻率域銳化濾波器高通濾波器 4.5 同態(tài)濾波器第4講 頻率域圖像增強同態(tài)濾波器的引入 若物體受到的光照不勻，那么圖像

15、上較暗部分的細節(jié)就較難辨別 如何能消除不勻性又不損失細節(jié)這就是本節(jié)討論的問題同態(tài)濾波器的基本思想 一個圖像f(x,y)可以根據(jù)它的照度和反射分量的乘積來表示 f (x,y) = i (x,y)r (x,y) 其中：i (x,y)為明度函數(shù)，r (x,y)反射分量函數(shù) 通過同時實現(xiàn)壓縮亮度范圍和增強對比度，來改進圖像的表現(xiàn) 問題集中到如果能把f(x,y)的兩個分量在頻率域能夠分開，如果能分開問題就迎刃而解了 兩個函數(shù)乘積的傅立葉變換不是可分離的，即：ff(x,y) fi(x,y)fr(x,y) 然而假設我們定義z(x,y) = ln f(x,y) = ln i(x,y)r(x,y) = ln i

16、(x,y) + ln r(x,y) 那么有：fz(x,y) = fln f(x,y) = fln i(x,y) + fln r(x,y)或z(u,v) = i(u,v) + r(u,v)其中i(u,v) 和r(u,v) 分別是ln i(x,y) 和ln r(x,y)的傅立葉變換具體算法思路 用濾波器函數(shù)h(u,v)的方法處理z(u,v)，有：s(u,v) = h(u,v)z(u,v) = h(u,v)i(u,v) + h(u,v)r(u,v) 其中s(u,v)是結果圖像的傅立葉變換在空域中：s(x,y) = f-1s(u,v) = f-1h(u,v)i(u,v) + f-1h(u,v)r(u,

17、v) 設：i(x,y) = f-1h(u,v)i(u,v) r(x,y) = f-1h(u,v)r(u,v) 上頁等式可以表示為：s(x,y) = i(x,y) + r(x,y) 最后，通過i(x,y) 和 r(x,y)的逆操作（指數(shù)操作）產(chǎn)生增強后的圖像g(x,y) 也即：g(x,y) = exps(x,y) = expi(x,y) expr(x,y) = i0(x,y)r0(x,y) 其中i0(x,y) = expi(x,y) 和r0(x,y) = expr(x,y)是輸出圖像的照度和反射分量。g 0(x,y) = i0(x,y) r0(x,y)（1）（2）),(ln),(ln),(ln)

18、,(yxryxiyxfyxz),(ln),(ln),(yxryxiyxzfff),(),(),(vurvuivuz 3）壓縮i(x,y)分量的變化范圍，削弱i (u,v)，增強r(x,y)分量的對比度，提升r (u,v)，增強細節(jié)。確定h(u,v),(),(),(),(),(vurvuhvuivuhvus 同態(tài)濾波器的截面圖0d(u,v)h(u,v)1h(u,v)作為d(u,v)的函數(shù)的截面圖h hl l書上p153/（4.5.13)給出h(u,v)，其圖形是圖4.32 (4)反變換 (5) 指數(shù)變換 ),(),(),(1vuivuhyxif),(),(),(1vurvuhyxrf),(exp),(0yxiyxi),(exp),(0yxryxr),(),(),(00yxryxiyxg 利用前述概念進行增強的方法歸納為： 這個方法基于一類稱作同態(tài)系統(tǒng)的特殊情況。lnffth(u,v)fft-1expf