數(shù)學物理方法第四版(梁昆淼)期末總結(jié)

1、1教教 材材：梁昆淼編寫的梁昆淼編寫的數(shù)學物理方法數(shù)學物理方法第四版第四版 內(nèi)內(nèi) 容容第一篇第一篇 復(fù)變函數(shù)論復(fù)變函數(shù)論第二篇第二篇 數(shù)學物理方程數(shù)學物理方程數(shù)數(shù) 學學 物物 理理 方方 法法2第一章第一章 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)1 1、復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的定義一、復(fù)數(shù)一、復(fù)數(shù)zxRezyIm實部實部： 虛部虛部： 模模： 22yxz輻角輻角： kzArgz2arg), 2, 1, 0(k主輻角：主輻角： )(argxyarctgz ,2arg0z共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù):iyxz*zxiyiyxz三角式三角式)sin(cosiziez 指數(shù)式指數(shù)式代數(shù)式代數(shù)式* *復(fù)數(shù)三種表示式之間的轉(zhuǎn)換復(fù)數(shù)三種表示式之間

2、的轉(zhuǎn)換 32、復(fù)數(shù)的運算、復(fù)數(shù)的運算: : 加、減、乘、除、乘方、開方加、減、乘、除、乘方、開方 (1)、加法和減法、加法和減法 )()(212121yyixxzz111iyxz222iyxz(2)、乘法和除法、乘法和除法 )(221121iyxiyxzz)()(12212121yxyxiyyxx22222211)(yxiyxiyx2222211222222121yxyxyxiyxyyxx*22*21zzzz21zz4(2)、乘法和除法、乘法和除法 兩復(fù)數(shù)相除就是把模數(shù)相除兩復(fù)數(shù)相除就是把模數(shù)相除, , 輻角相減。輻角相減。)sin()cos(21212121izz)(2121ie121111

3、122222(cossin)(cossin)iiziezie1 2121212cos()sin()z zi )(2121ie 兩復(fù)數(shù)相乘就是把模數(shù)相乘兩復(fù)數(shù)相乘就是把模數(shù)相乘, , 輻角相加輻角相加; ;5(3) 復(fù)數(shù)的乘方和復(fù)數(shù)的乘方和開方開方ninez)(inne)sin(cosninn或或( n為正整數(shù)的情況為正整數(shù)的情況)12 2 cossinnnkkzinn)1,2, 1,0( nknkine2 復(fù)數(shù)的乘、除、乘方和開方運算，采用三角式復(fù)數(shù)的乘、除、乘方和開方運算，采用三角式或指數(shù)式往往比代數(shù)式來得方便或指數(shù)式往往比代數(shù)式來得方便。 棣莫弗公式棣莫弗公式： nininsincos)s

4、in(cos6二、六種初等復(fù)變函數(shù)二、六種初等復(fù)變函數(shù)： 1. 冪函數(shù)冪函數(shù)nzw 2 .指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) zew 周期為周期為2 i， 3. 3. 三角函數(shù)三角函數(shù)cos,2izizeezsin,2izizeezi周期為周期為2 74、雙曲函數(shù)、雙曲函數(shù) 2zzeeshz2zzeechz5、根式函數(shù)、根式函數(shù) iez nkinew2)(,1210nk周期為周期為2 i6、對數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù) zwlnln ziArgzkzArgz2arg, 10 k8222zzxy13例例1：已知已知 ，則，則 。23zizz13例例2：復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)ez 的模為的模為 ，輻角為，輻角為 . xe2,0, 1,

5、2,ykk zx iyeexiye e9三、解析函數(shù)三、解析函數(shù)),(),()(yxivyxuzf1 1、柯西、柯西- -黎曼方程黎曼方程 xvyuyvxu直角坐標系：直角坐標系：極坐標系：極坐標系：vuvu112 2、解析函數(shù)性質(zhì)：、解析函數(shù)性質(zhì)： (1)、若、若 是解析函數(shù)，則是解析函數(shù)，則 。 ),(),()(yxivyxuzf0vu(2)、若函數(shù)、若函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域 B上解析，則上解析，則 u和和v必為必為B上的上的相互共軛調(diào)和函數(shù)相互共軛調(diào)和函數(shù)。 ivuzf)(103 3、構(gòu)建解析函數(shù)：、構(gòu)建解析函數(shù)： 給出一個二元調(diào)和函數(shù)作為解析函數(shù)的實部給出一個二元調(diào)和函數(shù)作為解析函數(shù)的實部

6、或虛部，通過或虛部，通過CR條件求出該解析函數(shù)的虛部或條件求出該解析函數(shù)的虛部或?qū)嵅浚瑥亩鴮懗鲞@個解析函數(shù)。實部，從而寫出這個解析函數(shù)。 算偏導(dǎo)算偏導(dǎo) u或或v 的全微分的全微分 求積分求積分 表成表成 ( )f z11例例 3 3：已知解析函數(shù)：已知解析函數(shù) 的實部的實部 ，求虛部和這個解析函數(shù)。求虛部和這個解析函數(shù)。 )(zf22( , ),(0)0u x yxyxy f2,2uuxyxyxy根據(jù)根據(jù)C-R條件條件， 2,2vuvuyxxyxyyx 解：解：21( )(2)( )2( )2vvdxyyx dxyxyxyx 1221( )(2)( )2( )2vvdxyyx dxyxyxyx

7、 2( )vxyy( )yy21( )2yyC2212()2vxyyxC222222221( )2()21()()212f zuivxyxyixyyxiCxiyixiyiCziziC(0)0f0C221( )2f zziz2,2vyxxvxyy13 例例4：已知解析函數(shù)：已知解析函數(shù) f (z)的虛部的虛部 ，求實部求實部 和這個解析函數(shù)和這個解析函數(shù) f (z) 。22),(yxxyxv),(yxu解：解：提示：提示：當給定的當給定的 u 或或 v 中含有因子中含有因子x2+y2，這種情，這種情況下采用極坐標處理比較方便況下采用極坐標處理比較方便， 即令即令 。 222yx 2cosvcos

8、)cos1 (2sin222sin2142sin2v21212sin2v2sin21212cos2v2cos2vuvu11vu12cos212cos21vu2sin212sin215sin22u 將上面第二式對將上面第二式對 積分，積分， 視作參數(shù)，有視作參數(shù)，有 ( )uudRsin( )22dRsin( )22dR 2cos( )2R其中其中 為為 的任意函數(shù)。的任意函數(shù)。 ( )R將上式兩邊對將上式兩邊對 求導(dǎo)，求導(dǎo)， 1cos( )22uR1cos221cos22u161cos( )22uR1cos22( )0R( )RCCu2cos22sin22cos2)(iCzfCi)2sin2(

9、cos2122 (cossin)iC122 (cossin)iC2zC17第二章第二章 復(fù)變函數(shù)積分復(fù)變函數(shù)積分一、復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)：一、復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)： P23 二、計算復(fù)變函數(shù)回路積分二、計算復(fù)變函數(shù)回路積分 1、單通區(qū)域柯西定理：、單通區(qū)域柯西定理：P242、復(fù)通區(qū)域柯西定理：、復(fù)通區(qū)域柯西定理：P253 3、重要公式應(yīng)用（、重要公式應(yīng)用（P28P28） )(2)(01包圍不包圍lildzzl184 4、柯西公式、柯西公式 ( ) d2( )lf zzifz( )1( )2( )()!nnlf zidzfzn高階導(dǎo)數(shù)的柯西公式高階導(dǎo)數(shù)的柯西公式19 當被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)有奇點時的

10、回路積當被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)有奇點時的回路積分，可利用柯西公式來計算分，可利用柯西公式來計算, , 1( )()nf zz(1)(1)把被積函數(shù)寫成把被積函數(shù)寫成 的形式，的形式，f( (z) )在積在積分區(qū)域上解析分區(qū)域上解析, , 為積分區(qū)域內(nèi)一點；為積分區(qū)域內(nèi)一點； (2) (2) 利用柯西公式利用柯西公式 來計算積分來計算積分.lnnfnidzzzf)(!)()()(2120222sin()4.,:(1)11czdzcxyz例1其中2yxo1sin()411czdzzIz1sin421zziz22i21例2下列積分不為零的是 ( )。 0.51.zAdzz20.51.zBdzz1.0.

11、5zCdzz21.1zDdzzC21111()1211zzz21111()12111(22)20zzzdzdzdzzzzii0()12()lldzzil不包圍包圍22第三章第三章 冪級數(shù)展開冪級數(shù)展開一、收斂半徑一、收斂半徑 方法方法1：比值判別法：比值判別法1limkkkaaR方法方法2 ：根值判別法：根值判別法1limkkkRa收斂圓：收斂圓： 收斂域：收斂域： Rzz00zzR00()kkkazz2010200()()()kkaa zzazzazz23例例1求冪級數(shù)求冪級數(shù) 的收斂圓的收斂圓.1limkkkaaR1lim1kkkkak解解0()kkk zi收斂圓收斂圓:1zi24解解:1

12、!lim1(1)!kkk, 例例2冪級數(shù)冪級數(shù) 的收斂域。的收斂域。1limkkkaaRlim1kk收斂域收斂域:z 0!kzkzek25二、把圓域或環(huán)域或某一點的鄰域上解析函數(shù)展二、把圓域或環(huán)域或某一點的鄰域上解析函數(shù)展成冪級數(shù)成冪級數(shù) 根據(jù)解析函數(shù)泰勒級數(shù)和洛朗級數(shù)展根據(jù)解析函數(shù)泰勒級數(shù)和洛朗級數(shù)展開的唯一性開的唯一性，一般可利用熟知的泰勒展開式，通過一般可利用熟知的泰勒展開式，通過變量變換，結(jié)合級數(shù)的四則運算、逐項求導(dǎo)和積分、變量變換，結(jié)合級數(shù)的四則運算、逐項求導(dǎo)和積分、分解成最簡分式等分解成最簡分式等方法去展開方法去展開 。間接展開法：間接展開法：2601)!kzkzek012)1kk

13、zz013)( 1)1kkkzz2104)sin( 1)(21)!kkkzzk)1( z)1( z)( z)( z205) cos( 1)(2 )!kkkzzk)( z常見函數(shù)的泰勒展開式常見函數(shù)的泰勒展開式:270.( )0f zarctgzz例3 把在鄰域展成泰勒級數(shù).解：解： 211arctgzdzz2201( 1),11kkkzzz210( 1)21kkkarctgzck00 arctg0c1,12) 1(012zzkarctgzkkk01( 1),11kkkttt2811( )dzi dz z 21.( )1()f zzizzi 例4 把在圓環(huán)展成冪級數(shù).解：解： 22111( )(

14、)f zzzizi z03101111()11( 1) ()( ) ()kkkkkkiziziziziiziziizi 31320011( )( ) ()( ) (1)()kkkkkkdf ziziikzizi dzzi 33(3)(2)() , (1)kkkkizizi 01( 1),11kkkttt29奇點名稱奇點名稱可去奇點可去奇點極點極點本性奇點本性奇點不含負冪項不含負冪項含無限個負冪項含無限個負冪項含有限個負冪項含有限個負冪項的洛朗級數(shù)的洛朗級數(shù)00zzR極限性質(zhì)極限性質(zhì)0lim( )zzf z 有限值0lim( )zzf z 0lim( )zzf z無定值三、有限遠孤立奇點分類及其

15、類型判定三、有限遠孤立奇點分類及其類型判定30極限判定法來判定可去奇點，極點，本性奇點。極限判定法來判定可去奇點，極點，本性奇點。幾個名詞的定義：幾個名詞的定義：孤立奇點，非孤立奇點，可去奇點，孤立奇點，非孤立奇點，可去奇點， m階極點，本性奇點階極點，本性奇點532( ):_.4zif zzz的極點為0,2i1/2( ):_;:_.9zef zz的極點為本性奇點為3 , 3ii031 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(z)在回路在回路 l 所圍區(qū)域所圍區(qū)域 B上除有限個孤上除有限個孤立奇點立奇點b1，b2，bn外解析，在閉區(qū)域外解析，在閉區(qū)域 上除上除b b1 1，b2，bn外連續(xù)，則外連續(xù)，則f( (z)

16、 )沿沿l正向積分正向積分 之值之值等于等于f( (z) )在在l所圍區(qū)域內(nèi)各奇點的留數(shù)和的所圍區(qū)域內(nèi)各奇點的留數(shù)和的2 2 i倍倍. . Bldzzf)( )lf z dz12Re()njjisf b左邊的積分是沿左邊的積分是沿l 的正向進行的；的正向進行的； 注意注意: :右邊的奇點是指右邊的奇點是指l 所圍區(qū)域內(nèi)的，并非是所圍區(qū)域內(nèi)的，并非是f(z)所有的奇點。所有的奇點。 一、留數(shù)定理：一、留數(shù)定理：P52P5232二、計算留數(shù)二、計算留數(shù) 各孤立奇點留數(shù)的計算公式各孤立奇點留數(shù)的計算公式奇點類型奇點類型0Re()sf z可去奇點可去奇點0m階極點階極點01011lim()( )(1)

17、!mmmzzdzzf zmdz一一階階極極點點普遍公式普遍公式00lim() ( )zzzzf z本性奇點本性奇點0010( )Re()zzRf zsf za在展開得00()()P zQ z( )( )( )P zf zQ z000()0,()0()0P zQ zQ z33 極點階數(shù)判定極點階數(shù)判定 非零的有限值mmzzazfzz)()(lim00法一法一0ma00lim()( )nzzzzf z把極點階數(shù)估計得過高把極點階數(shù)估計得過高n就是極點的階數(shù)就是極點的階數(shù)把極點階數(shù)估計得過低把極點階數(shù)估計得過低(nm)(n=m)(nm)法二法二零點和極點的關(guān)系零點和極點的關(guān)系 若若z = z0是是

18、f(z)的的m階零點，則階零點，則z = = z0 0必是必是 的的m階極點。階極點。1( )f z34三、留數(shù)定理的應(yīng)用三、留數(shù)定理的應(yīng)用 1、計算閉合回路積分；、計算閉合回路積分； 例例1 133sin(4) (1)(2)zzdzzzz計算積分解： 3sin( )(4) (1)(2)zf zzzz，其奇點為：z1=4, z2=2, z3=1 只有單極點z2=2, z3=1 在積分回路內(nèi)。 31sinsin1Re(1)lim(4) (2)27zzsfzz2Re(1)Re(2)Iisfsfsin1sin22()278i32sinsin2Re(2)lim(4) (1)8zzsfzz 351120

19、1(cos ,sin )(,)22zzzzzdzRxx dxRiiz類型一：類型一：類型二：類型二：( )2 ( )f x dxi f z在上半平面所有奇點的留數(shù)和 ( )f zi在實軸上所有單極點的留數(shù)和2、計算三種類型實變函數(shù)定積分；、計算三種類型實變函數(shù)定積分； 類型三：類型三：01( )cos( )2imxF xmxdxF x edx01( )sin( )2imxG xmxdxG x edxi(2)imzF z ei在實軸上所有單極點的留數(shù)之和( )imzF z ei在上半平面所有奇點的留數(shù)之和)(2留數(shù)之和在實軸上所有單極點的imzezG( )imzG z e在上半平面所有奇點的留數(shù)

20、之和36201254cosIdxx例計算 =解：解： 21011154cos542zdzdxzzxiz111542zdzzziz2111522zdzizz111( 21)(2)zdzizz37111( 21)(2)zIdzizz且其留數(shù)為且其留數(shù)為 只有單極點只有單極點 在圓在圓 內(nèi)，內(nèi)， 21z1z1( )( 21)(2)f zzz1211lim()2 ( 21)(2)zzzz1Re( )2sf1323111( 21)(2)zIdzizz112Re( )2isfi3844,0.dxaxa例3 計算其中解：解： 441)(azzf 設(shè)設(shè)，解方程解方程044 az3, 2, 1, 0,:04)1

21、2(44 kaezazikk 有有四四個個根根，即即ikeaaz )12(444 所以所以47345243140iiiiaezaezaezaez ，即即：10, zz 明顯，只有明顯，只有 在上半平面，且為在上半平面，且為 f (z) 的一階極點，因此的一階極點，因此01442Re()Re( )dxisf zsf zxa39Re()lim() ( )kkkzzsf zzzf z44limkkzzzzza44()lim()kkzzzzza31lim4kzzz34031Re()4isf zea3122()422ia94131Re()4isf zea3122()422ia4314iea3312212

22、22()()422422iiiaa322a01442Re()Re( )dxisf zsf zxa341izae40izae402220sin4,0()xmxdx axa例計算解：解： 222( )( )()imzimzzf zG z eeza有兩個二階極點有兩個二階極點 ， ai其中其中 在上半平面，在上半平面， ai22221Re()lim()1!()imzzaidzesf aizaidzza2lim()imzzaidzedzzai4mamea2222220sin1()2()imxxmxxedxdxxaixa12Re()2Iisf aiiRe()sf ai4mameaRe()Isf ai4m

23、ameaP61 例例741第五章第五章 傅里葉變換傅里葉變換 一、傅里葉級數(shù)一、傅里葉級數(shù)1 1、周期函數(shù)、周期函數(shù)(T=2l)的傅里葉展開的傅里葉展開 一般周期函數(shù)：一般周期函數(shù)： (5.1.3)、(5.1.5)；P88 奇函數(shù)：奇函數(shù)： (5.1.8)、(5.1.9)； P90 偶函數(shù)：偶函數(shù)： (5.1.10)、(5.1.11)；P90 傅里葉正弦級數(shù)傅里葉正弦級數(shù)傅里葉余弦級數(shù)傅里葉余弦級數(shù)傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)422 2、定義在有限區(qū)間、定義在有限區(qū)間(0,(0,l) )上的函數(shù)的傅里葉展開上的函數(shù)的傅里葉展開 對函數(shù)對函數(shù)f(x)的邊界的邊界（區(qū)間的端點區(qū)間的端點x=0, x=l）上

24、的行為提出上的行為提出限制，即滿足一定的邊界條件，這常常就決定了如何延拓。限制，即滿足一定的邊界條件，這常常就決定了如何延拓。 (1)、邊界條件為邊界條件為f(0)=0,(0)=0,f( (l)=0)=0 應(yīng)延拓成以應(yīng)延拓成以2 2l為周期的奇函數(shù)為周期的奇函數(shù) ( (奇延拓奇延拓) ) 1( )sinkkkf xbxl02( )sinlkkbfdll(2)、邊界條件為邊界條件為應(yīng)延拓成以應(yīng)延拓成以2l為周期的偶函數(shù)為周期的偶函數(shù) ( (偶延拓偶延拓) ) (0)0,( )0ffl01( )coskkkf xaaxl02( )coslkkkafdll43(3)、邊界條件為邊界條件為(0)0,(

25、 )0ff l01()2( )sinkkkxf xbllkdlkflb0)21(sin)(2根據(jù)邊界條件根據(jù)邊界條件f(0)=0應(yīng)將函數(shù)應(yīng)將函數(shù)f(x)對區(qū)間對區(qū)間(0,l)的端點的端點x=0作奇延拓。作奇延拓。 又根據(jù)邊界條件又根據(jù)邊界條件 ，應(yīng)將函數(shù)，應(yīng)將函數(shù) f( (x) )對區(qū)間對區(qū)間(0,(0,l) )的端點的端點x= =l作偶延拓，作偶延拓， ( )0fl 然后以然后以4l為周期向整為周期向整個實軸延拓，延拓以后的函數(shù)是個實軸延拓，延拓以后的函數(shù)是以以4l為周期的奇函數(shù)為周期的奇函數(shù)。 44(4)、邊界條件為邊界條件為(0)0,( )0ff l01()2( )coskkkxf xa

26、llkdlkfla0)21(cos)(2 又根據(jù)邊界條件又根據(jù)邊界條件f (l)=0 ，應(yīng)將函數(shù)，應(yīng)將函數(shù)f( (x) )對區(qū)間對區(qū)間(0,(0,l) )的端點的端點x= =l作奇延拓，作奇延拓， 然后以然后以4l為周期向整為周期向整個實軸延拓，延拓以后的函數(shù)是個實軸延拓，延拓以后的函數(shù)是以以4l為周期的偶函數(shù)為周期的偶函數(shù)。 根據(jù)邊界條件根據(jù)邊界條件 應(yīng)將函數(shù)應(yīng)將函數(shù)f(x)對區(qū)間對區(qū)間(0,l)的端點的端點x=0作偶延拓。作偶延拓。 (0)0f 45實數(shù)形式的傅里葉積分和傅里葉變換實數(shù)形式的傅里葉積分和傅里葉變換: : 00 xdBxdAxfsin)(cos)()(其中其中 dfAcos)

27、()(1dfBsin)()(1復(fù)數(shù)形式的傅里葉積分復(fù)數(shù)形式的傅里葉積分: :*1( )( )2i xFf x edxdeFxfxi)()(二、傅里葉積分二、傅里葉積分 f(x)非周期函數(shù)非周期函數(shù) x (- , )可以寫成對稱的形式可以寫成對稱的形式: : deFxfxi)(21)(*1( )( )2i xFf x edx46三、三、 函數(shù)函數(shù)1、 函數(shù)函數(shù)定義定義2、 函數(shù)函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)挑選性：挑選性： 00( ) ()()f xxx dxf xdexxi21)(3、 函數(shù)函數(shù)的傅里葉積分的傅里葉積分滿足下面兩個條件滿足下面兩個條件: : 的函數(shù)的函數(shù) ( x- x0)稱為稱為 函數(shù)函數(shù)。 0

28、000()()()xxxxxx(1)(2)1)(0dxxx47定解問題定解問題泛定方程泛定方程定解條件定解條件初始條件初始條件: :說明物理現(xiàn)象初始狀態(tài)的條件說明物理現(xiàn)象初始狀態(tài)的條件 邊界條件邊界條件: :說明邊界上的約束情況的條件說明邊界上的約束情況的條件 波動方程波動方程輸運方程輸運方程穩(wěn)定場方程穩(wěn)定場方程2( , )ttxxua uf x t2( , )txxua uf x t( )uf r 第七章第七章 數(shù)學物理定解問題數(shù)學物理定解問題 銜接條件銜接條件480( , , , )( , , )tu x y z tx y z桿或弦的振動：桿或弦的振動：0( , , , )( , , )t

29、tu x y z tx y z表示初始的位移表示初始的位移表示初始的速度表示初始的速度初始條件：初始條件： 給出某一初始時刻給出某一初始時刻整個系統(tǒng)整個系統(tǒng)的已知狀態(tài)。的已知狀態(tài)。 在在熱傳導(dǎo)現(xiàn)象熱傳導(dǎo)現(xiàn)象中，初始條件就是給出初始時刻中，初始條件就是給出初始時刻系統(tǒng)中每點的系統(tǒng)中每點的溫度溫度u之值。之值。 0( )tuT r其中其中T(r)是已知函數(shù)。是已知函數(shù)。 49如：如： 2ttxxua uf 00( )( )tttuxux2txxua uf 0( )tux( , , )ug x y z 不需要初始條件不需要初始條件 一般地說，一般地說，初始條件的個數(shù)等于初始條件的個數(shù)等于數(shù)理方程所含

30、有數(shù)理方程所含有的的對時間最高階偏導(dǎo)數(shù)的階數(shù)對時間最高階偏導(dǎo)數(shù)的階數(shù)。 50(1)(1)、桿或弦兩端固定、桿或弦兩端固定 0),(0 xtxu0),(lxtxu常見的邊界條件：常見的邊界條件：邊界條件：邊界條件： 給出系統(tǒng)的邊界在給出系統(tǒng)的邊界在各個時刻各個時刻的已知狀態(tài)。的已知狀態(tài)。 三類線性邊界條件：三類線性邊界條件：P123(1)(1)、第一類邊界條件：、第一類邊界條件： )(tfu(2)(2)、第二類邊界條件：、第二類邊界條件： )(tfnu(3)(3)、第三類邊界條件：、第三類邊界條件： )()(tfnuHu5100 xxu0 xx lu(2)(2)、桿兩端自由、桿兩端自由 (3)、

31、桿的兩端保持恒溫、桿的兩端保持恒溫T 0( , )xu x tT( , )x lu x tT(4)、兩端絕熱、兩端絕熱 00 xxuuqkix 0lxxu0 x52(5)、兩端有熱流強度為、兩端有熱流強度為f(t)的熱流流出的熱流流出 0 xl f(t) f(t)在在x=0端端:ktfuxx)(0ktfulxx)(0( )xukf tx ( )x lukf tx在在x=l端端:uqkix 同理得，兩端有熱流強度為同理得，兩端有熱流強度為f(t)的熱流的熱流流入流入，則，則 0( )( ),xxxx lf tf tuukk 53數(shù)學物理定解問題的適定性數(shù)學物理定解問題的適定性: (1) 解的存在

32、性解的存在性 看所歸結(jié)出來的定解問題是否有解； (2) 解的唯一性解的唯一性 看是否只有一個解 (3) 解的穩(wěn)定性解的穩(wěn)定性 當定解問題的自由項自由項或定解條件有微小變化時，解是否相應(yīng)地只有微小的變化量 定解問題解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性統(tǒng)稱為定解問題的適定性定解問題的適定性. 54解：弦僅在解：弦僅在x0處受策動力作用，故其定解問題為：處受策動力作用，故其定解問題為： 200sin()ttxxFtxxua u 00 xx luu000tttuu例例1 1：長為：長為l的均勻弦，兩端的均勻弦，兩端x=0和和x=l固定，固定，在點在點x0(0 x0l)受受諧變力諧變力F0sin t的作用的作用而

33、作微小振動，試寫出其定解問題。而作微小振動，試寫出其定解問題。 55解定解問題三步曲：解定解問題三步曲： （1 1）寫出正確的定解問題；）寫出正確的定解問題； （2 2）邊界條件齊次化；）邊界條件齊次化； （3 3）求解）求解傅氏級數(shù)法或分離變數(shù)法傅氏級數(shù)法或分離變數(shù)法. . 第八章第八章 分離變數(shù)法分離變數(shù)法 56分離變數(shù)法分離變數(shù)法 齊次的振動方程和輸運方程齊次的振動方程和輸運方程 齊次的邊界條件齊次的邊界條件 傅里葉級數(shù)法傅里葉級數(shù)法 齊次或非齊次的齊次或非齊次的振動方程和輸運振動方程和輸運方程方程 齊次的邊界條件齊次的邊界條件 57一、分離變數(shù)法解題步驟一、分離變數(shù)法解題步驟 (1)

34、對齊次方程和齊次邊界條件分離變量；對齊次方程和齊次邊界條件分離變量；(2) 解關(guān)于空間因子的常微分方程的本征值問題；解關(guān)于空間因子的常微分方程的本征值問題；(3)求其它常微分方程的解，與本征函數(shù)相乘，得求其它常微分方程的解，與本征函數(shù)相乘，得 到本征解。到本征解。(4) 迭加所有本征解，由初始條件或非齊次邊界條件迭加所有本征解，由初始條件或非齊次邊界條件 確定迭加系數(shù)，而最后得到所求定解問題的解。確定迭加系數(shù)，而最后得到所求定解問題的解。58例例1 1：用分離變數(shù)法求定解問題用分離變數(shù)法求定解問題200000,(0)0,0,0ttxxxx ltttua uxluuuu u先以分離變數(shù)形式的試探

35、解先以分離變數(shù)形式的試探解 解：解： 代入泛定方程代入泛定方程(1)和邊界條件和邊界條件(2)，得，得 )()(),(tTxXtxu20XTa X T2XTXa T 0 XX20Ta T(1)(2)(3)(0) ( )0( ) ( )0XT tX l T t(0)0( )0XX l59222lnn(1,2,3,)n 1( )sinnn xXxcl0(0)0,( )0XXXX l 本征值問題本征值問題 本征值：本征值：本征函數(shù)：本征函數(shù)：0)()(2222 tTlantTnn02 TaT其通解為其通解為 相應(yīng)的本征解相應(yīng)的本征解 tlanBtlanAtTnsincos)(1,2,3,)n )()

36、(),(tTxXtxunnn(cossin)sinnnn an anAtBtxlll(1,2,3,)n 一般解是所有本征解的線性迭加，一般解是所有本征解的線性迭加， 1( , )( )( )nnnu x tXx T t1(cossin)sinnnnn an anAtBtxlll(4)60一般解是所有本征解的線性迭加，一般解是所有本征解的線性迭加， 代入初始條件，代入初始條件，00,0tntuB01sinnnnAxul1( , )( )( )nnnu x tXx T t1(cossin)sinnnnn an anAtBtxlll(4)lnxdxlnluA00sin2021 ( 1) nun 00

37、,24,21(21)nkunkk00) 12(sin) 12(cos) 12(4),(kxlktlakkutxu61例例2 2：用分離變數(shù)法求定解問題用分離變數(shù)法求定解問題2000,(0)0,0( )txxxxx ltua uxluuux(1)(2)(3)先以分離變數(shù)形式的試探解先以分離變數(shù)形式的試探解 解：解： 代入泛定方程代入泛定方程(1)和邊界條件和邊界條件(2)，得，得 )()(),(tTxXtxu20XTa X T2XTXa T 0 XX20Ta T(0) ( )0( ) ( )0XT tX l T t(0)0( )0XX l622221()2nnl(0,1,2,3,)n 21()2

38、( )cosnnxXxcl0(0)0,( )0XXXX l 本征值問題本征值問題 本征值：本征值：本征函數(shù)：本征函數(shù)：22221()2( )( )0nnnaTtT tl其通解為其通解為 )()(),(tTxXtxunnn相應(yīng)的本征解相應(yīng)的本征解 20Ta T22221()2( )natlnT tCe22221()21()2cosnatlnnxC el(0,1,2,)n 一般解是所有本征解的線性迭加，一般解是所有本征解的線性迭加， 0( , )( )( )nnnu x tXx T t22221()201()2cosnatlnnnxC el63代入初始條件，代入初始條件，0( )tux01()2c

39、os( )nnnxCxl01()22( )coslnnCdll 所求的定解問題的解為：所求的定解問題的解為： 22221()201()2( , )cosnatlnnnxu x tC el22221()20011()()222( , )( )coscosnaltlnnnxu x tdelll 640(1)0,0;xx luu1( , )( )sinnnn xu x tT tl0(2)0,0;xxxx luu0( , )( )cosnnn xu x tT tl0(3)0,0;xxx luu01()2( , )( )sinnnnxu x tT tl0(4)0,0;xxx luu01()2( , )(

40、 )cosnnnxu x tT tl 運用傅氏級數(shù)法求定解問題，要注意在不同運用傅氏級數(shù)法求定解問題，要注意在不同齊次邊界條件下，所求定解問題的解展開為不同形齊次邊界條件下，所求定解問題的解展開為不同形式的傅里葉級數(shù)式的傅里葉級數(shù)，二、傅里葉級數(shù)法二、傅里葉級數(shù)法65三、熟練掌握如何把非齊次邊界條件齊次化：三、熟練掌握如何把非齊次邊界條件齊次化： (1)、若是第一類非齊次邊界條件、若是第一類非齊次邊界條件 可設(shè)可設(shè) )()(),(tBxtAtxv可將可將w(x,t)的邊界條件齊次化。的邊界條件齊次化。 120( ),( )xx luf tuf t引入輔助函數(shù)引入輔助函數(shù)v(x,t)，令，令u(

41、x,t)=v(x,t)+w(x,t)，使使v(x,t)滿足非齊次邊界條件，可將函數(shù)滿足非齊次邊界條件，可將函數(shù)u(x,t)滿足的非齊次滿足的非齊次邊界條件的定解問題邊界條件的定解問題變換為函數(shù)變換為函數(shù)w(x,t)滿足的齊次邊滿足的齊次邊界條件的定解問題界條件的定解問題。 66120( ),( )xxxx luf tuf t可設(shè)可設(shè) 2( , )( )( )v x tA t xB t x可將可將w( (x, ,t) )的邊界條件是齊次的，的邊界條件是齊次的， (3)、若是第一、二類非齊次邊界條件、若是第一、二類非齊次邊界條件 120( ),( )xxx luf tuf t120( ),( )x

42、xx luf tuf t或或可設(shè)可設(shè) )()(),(tBxtAtxv可將可將w(x,t)的邊界條件齊次化。的邊界條件齊次化。 (2)、若是第二類非齊次邊界條件、若是第二類非齊次邊界條件 67例例3、求定解問題、求定解問題 解：設(shè),uwv000,xx lvu vu令( )( )vA t xB t代入上式000( ),( )( )0B tuA t luuA t0vu 200000000000,(0),(),(0)ttxxxx ltttua uxluu uuuuuxxxluu200000000,0(),ttxxxx ltttwa wwwwuxxwu68由于邊界條件是第一類齊次邊界條件，所以設(shè)1( )

43、sinnnnwT txl代入泛定方程，得02222 nnTlanTcossinnnnn atn atTABll1( , )(cossin)sinnnnn an anw x tAtBtxlll22221sin0nnnnanTTxll200000000,0(),ttxxxx ltttwa wwwwuxxwu691( , )(cossin)sinnnnn an anw x tAtBtxlll代入初始條件，0001sin()ntnn xwAxuxxl所求的定解問題的解為： 001sintntnn anuBx ull0000022()sinsinlnn xnAuxxxdxullll00000()22si

44、n1 ( 1) 4()lnnnunBuxdxun aln ann a 為偶數(shù)為奇數(shù)000000241(2)(21)sincossinsinsin(21)nkun xun atnnatnxuuxllllanll70例例4、求定解問題、求定解問題 2010000,(0),txxxxx ltua uxluu uuuu解： 設(shè)uwv010,xxx lvu vu令( )( )vA t xB t代入上式01( ), ( )B tuA tu10vu xu 201000,0,txxxxx ltwa wwwwu x 71201000,0,txxxxx ltwa wwwwu x 由于邊界條件是第一類齊次邊界條件，

45、所以設(shè)01()2sinnnnxwTl代入泛定方程，得22221()20nnnaTTl22221()2( )natlnnT tC e22221()201()2( , )sinnatlnnnxw x tC el代入初始條件，101()2sinnnnCxu xl 101()22sinlnnxuCxdxll 11222( 1)1()2nu ln定解問題的解為 22221()121012201()2( 1)2( , )sin1()2nantlnnu lu x tuu xexln721 1、掌握勒讓德方程本征值問題的解及其性質(zhì)、掌握勒讓德方程本征值問題的解及其性質(zhì) (1) l階勒讓德方程與自然邊界條件構(gòu)成

46、本征值問題階勒讓德方程與自然邊界條件構(gòu)成本征值問題 1( )xy x 當時有限0) 1(2)1 (2 yllyxyx(自然邊界條件自然邊界條件)本征值問題本征值問題本征值本征值是是l (l+1) 本征函數(shù)本征函數(shù)則是則是l階勒讓德多項式階勒讓德多項式Pl(x)。 (0,1,2)l 第十章第十章 球函數(shù)球函數(shù) 73(2)勒讓德多項式的性質(zhì)勒讓德多項式的性質(zhì) 1)、正交性正交性 不同階的勒讓德多項式在區(qū)間不同階的勒讓德多項式在區(qū)間(-1, 1)上正交，上正交， 11( ) ( )0()klP x P x dxkl2)2)、勒讓德多項式的模、勒讓德多項式的模 221lNl(0,1,2,)l 743)

47、3)、勒讓德多項式的全體構(gòu)成完備組、勒讓德多項式的全體構(gòu)成完備組 如何將一個定義在如何將一個定義在x的區(qū)間的區(qū)間-1, 1上的函數(shù)上的函數(shù)f(x)展開成展開成廣義傅里葉級數(shù)廣義傅里葉級數(shù)： 一般公式：一般公式： 0)()(lllxPfxf展開系數(shù)展開系數(shù) 11)()(212dxxPxflfll待定系數(shù)法待定系數(shù)法 僅適用于僅適用于f(x)是關(guān)于是關(guān)于x的次冪的多項式的次冪的多項式 75(3)勒讓德多項式的母函數(shù)勒讓德多項式的母函數(shù) 母函數(shù)母函數(shù) 2cos211),(rrrw211 2 cosrr101(cos )lllPr0(cos )lllr P) 1( r(1)r 10(cos )llllrPR2212cosRrRr10(cos )llllRPr()rR()rR以半徑為以半徑為R的球代替單位球，則的球代替單位球，則 763、掌握關(guān)于極軸對稱拉掌握關(guān)于極軸對稱拉氏方程在球坐標系下的解：氏方程在球坐標系下的解： 關(guān)于軸對稱的拉氏方程的定解問題的通解為關(guān)于軸對稱的拉氏方程的定解問題