人教版數(shù)學(xué)八年級上冊教案 13.4 課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題2

1、13.4課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題教學(xué)目標(biāo)1.目標(biāo):能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題,體會(huì)圖形的變化在解決最值問題中的作用;感悟轉(zhuǎn)化思想.能利用軸對稱將線段和最小問題轉(zhuǎn)化為“連點(diǎn)之間，線段最短”問題；在探索最算路徑的過程中，體會(huì)軸對稱的“橋梁”作用,感悟轉(zhuǎn)化思想.重點(diǎn):利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“連點(diǎn)之間,線段最短”問題難點(diǎn)：如何利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為線段和最小問題教學(xué)過程教學(xué)內(nèi)容與教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖一、創(chuàng)設(shè)情景 引入課題師：前面我們研究過一些關(guān)于“兩點(diǎn)的所有連線中,線段最短”、“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中,垂線段最短”等的問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}.現(xiàn)實(shí)生活中

2、經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題，本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識探究數(shù)學(xué)史中著名的“將軍飲馬問題”. (板書）課題學(xué)生思考教師展示問題，并觀察圖片，獲得感性認(rèn)識.從生活中問題出發(fā)，喚起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣及探索欲望.二、自主探究 合作交流 建構(gòu)新知追問1：觀察思考,抽象為數(shù)學(xué)問題 這是一個(gè)實(shí)際問題,你打算首先做什么? 活動(dòng)1:思考畫圖、得出數(shù)學(xué)問題將A，B 兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn),將河 抽象為一條直線. B。Al追問2 你能用自己的語言說明這個(gè)問題的意思, 并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？師生活動(dòng):學(xué)生嘗試回答， 并互相補(bǔ)充，最后達(dá)成共識:(）從 地出發(fā)，到河邊l 飲馬,然后到B 地；（)在河邊飲馬的地點(diǎn)有無窮多處，把這些地點(diǎn)與

3、A，B連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A 地到飲馬地點(diǎn)，再回到B 地的路程之和;（3)現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線l上的點(diǎn).設(shè) 為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),上面的問題就轉(zhuǎn)化為:當(dāng)點(diǎn)C 在l 的什么位置時(shí),C 與B 的和最小（如圖). lABCB強(qiáng)調(diào):將最短路徑問題抽象為“線段和最小問題”活動(dòng)2：嘗試解決數(shù)學(xué)問題問題2 :如圖,點(diǎn)A,B 在直線 的同側(cè),點(diǎn)C 是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)C在l 的什么位置時(shí)，AC 與CB 的和最小？ 追問你能利用軸對稱的有關(guān)知識，找到上問中符合條件的點(diǎn)B嗎？ B。Al問題 如圖，點(diǎn)A，B 在直線l 的同側(cè),點(diǎn) 是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)C 在l 的什

4、么位置時(shí),C 與B的和最小？B。AlBlAC師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考,畫圖分析,并嘗試回答,互相補(bǔ)充如果學(xué)生有困難,教師可作如下提示作法:（)作點(diǎn)B 關(guān)于直線l 的對稱點(diǎn)B；(2）連接B，與直線l 相交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C 即為所求 如圖所示：BlCAB問題3你能用所學(xué)的知識證明C+BC最短嗎？ 教師展示：證明：如圖，在直線 上任取一點(diǎn)C(與點(diǎn)C不重合）,連接A,C,BC. 由軸對稱的性質(zhì)知, C=C，BC=C. BC AC BC A， A+BC =A+BC.BlABCC方法提煉:將最短路徑問題抽象為“線段和最小問題”問題4練習(xí)如圖,一個(gè)旅游船從大橋AB的P 處前往山腳下的Q 處接游客,然后將游客送往

5、河岸C 上，再返回 處,請畫出旅游船的最短路徑ABCPQ山河岸大橋基本思路:由于兩點(diǎn)之間線段最短,所以首先可連接Q,線段Q 為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線路.將河岸抽象為一條直線BC，這樣問題就轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)P,Q 在直線BC的同側(cè),如何在B上找到一點(diǎn)R，使PR與R 的和最小” 問題5 造橋選址問題如圖，和B兩地在一條河的兩岸,現(xiàn)要在河上造一座橋.喬早在何處才能使從到的路徑MB最短?（假定河的兩岸是平行的直線,橋要與河垂直)BA思維分析：、如圖假定任選位置造橋，連接A和B，從A到B的路徑是M+MBN,那么怎樣確定什么情況下最短呢？2、利用線段公理解決問題我們遇到了什么障礙呢？BA思維點(diǎn)撥：改變AM+M

6、N+BN的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？什么圖形變換能幫助我們呢?（估計(jì)有以下方法)1、把A平移到岸邊.、把B平移到岸邊.3、把橋平移到和相連.4、把橋平移到和B相連.教師:上述方法都能做到使AMM+BN不變呢?請檢驗(yàn)、兩種方法改變了怎樣調(diào)整呢?把A或B分別向下或上平移一個(gè)橋長那么怎樣確定橋的位置呢?問題解決：如圖，平移A到1，使A1等于河寬，連接A1B交河岸于N作橋M，此時(shí)路徑AMM+最短.理由;另任作橋M1N，連接A1,1.由平移性質(zhì)可知,AM=A，AA1NM1N,=1. +MN+N轉(zhuǎn)化為A1+A,而A1+N+BN轉(zhuǎn)化為+.在A1N1中,由線段公理知A1N1+BN11B因此AMN+BN AMM+

7、B 如圖所示:BAA1NM方法提煉:將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“線段和最小問題”動(dòng)手畫直線觀察口答動(dòng)手連線觀察口答獨(dú)立思考合作交流匯報(bào)交流成果,書寫理由.思考感悟活動(dòng)1中的將軍飲馬問題，把剛學(xué)過的方法經(jīng)驗(yàn)遷移過來學(xué)生獨(dú)立完成,集體訂正學(xué)生獨(dú)立完成，集體訂正互相交流解題經(jīng)驗(yàn)獨(dú)立完成，交流經(jīng)驗(yàn)觀察思考，動(dòng)手畫圖，用軸對稱知識進(jìn)行解決各抒己見合作與交流交流體會(huì)為學(xué)生提供參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的生活情境，培養(yǎng)學(xué)生的把生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力.經(jīng)歷觀察-畫圖-說理等活動(dòng),感受幾何的研究方法，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思考能力.達(dá)到軸對稱知識的學(xué)以致用注意問題解決方法的小結(jié):抓對稱性來解決及時(shí)進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo),注重方法規(guī)律的提煉總結(jié)

8、學(xué)以致用,及時(shí)鞏固注意問題解決方法的小結(jié):抓軸對稱來解決經(jīng)歷觀察-畫圖-說理等活動(dòng)，感受幾何的研究方法，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思考能力.提煉思想方法:軸對稱,線段和最短體會(huì)轉(zhuǎn)化思想,體驗(yàn)軸對稱知識的應(yīng)用動(dòng)手體驗(yàn)動(dòng)手作圖體驗(yàn)轉(zhuǎn)化思想教學(xué)內(nèi)容與教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖三、鞏固訓(xùn)練、最短路徑問題(1)求直線異側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問題，只要連接這兩點(diǎn),與直線的交點(diǎn)即為所求如圖所示,點(diǎn),B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，在l上找一個(gè)點(diǎn)C，使AB最短,這時(shí)點(diǎn)是直線l與B的交點(diǎn)(2)求直線同側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問題，只要找到其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于這條直線的對稱點(diǎn),連接對稱點(diǎn)與另一個(gè)點(diǎn)，則與該直

9、線的交點(diǎn)即為所求.如圖所示,點(diǎn)A，分別是直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn),在l上找一個(gè)點(diǎn)C,使CA+C最短，這時(shí)先作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B,則點(diǎn)C是直線l與AB的交點(diǎn).如圖,和B兩地之間有兩條河,現(xiàn)要在兩條河上各造一座橋N和.橋分別建在何處才能使從A到B的路徑最短?（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直）如圖,問題中所走總路徑是A+MNNP+Q+.橋和在中間,且方向不能改變，仍無法直接利用“兩點(diǎn)之間,線段最短”解決問題,只有利用平移變換轉(zhuǎn)移到兩側(cè)或同一側(cè)先走橋長.平移的方法有三種:兩個(gè)橋長都平移到A點(diǎn)處、都平移到B點(diǎn)處、MN平移到A點(diǎn)處，PQ平移到B點(diǎn)處.學(xué)生獨(dú)立思考解決問題獨(dú)立思考,合作交流鞏固所學(xué)知識，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用知識的能力,滲透轉(zhuǎn)化思想.提煉方法，為課本例題奠定基礎(chǔ)四、反思小結(jié) 布置作業(yè)小結(jié)反思（1）本節(jié)課研究問題的基本過程是什么? (2)軸對稱在所研究問題中起什么作用?解決問題中,我們應(yīng)用了哪些數(shù)學(xué)思想方法?你還有哪些收獲？作業(yè)布置、課后延伸必做題:課本93-15題;選做題：生活中,你發(fā)現(xiàn)那些需要用到本課知識解決的最短路徑問題自由發(fā)言,