4向量組的線性相關(guān)性

1、CH4 CH4 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性n n維向量的概念維向量的概念向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性線性相關(guān)性的判別定理線性相關(guān)性的判別定理向量組的秩向量組的秩向量空間向量空間 1 1 N N維向量的概念維向量的概念個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組12,na aa稱為一個(gè)稱為一個(gè)維向量維向量，其中稱為第個(gè)，其中稱為第個(gè)分量分量（坐標(biāo)坐標(biāo)）. .iai維向量寫成一行，稱為維向量寫成一行，稱為行矩陣行矩陣，也就是，也就是行向量行向量，12naaa 如：如：記作記作, , ,. .維向量寫成一列，稱為維向量寫成一列，稱為列矩陣列矩陣，也就是，

2、也就是列向量列向量，（VectorVector）（naaa,.,21 2 2、元素全為零的向量稱為元素全為零的向量稱為零向量零向量（Null VectorNull Vector）. .3 3、維數(shù)相同的列（行）、維數(shù)相同的列（行）向量同型向量同型. .元素是復(fù)數(shù)的向量稱為元素是復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量復(fù)向量（Complex VectorComplex Vector）.1 1、元素是實(shí)數(shù)的向量稱為元素是實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量實(shí)向量（Real VectorReal Vector）. .4 4、對(duì)應(yīng)分量相等的、對(duì)應(yīng)分量相等的向量相等向量相等. 1122(),nnababab 12,nkkkakaka 11

3、22,nnababab 1212(),(),nnaaab bb ,.,.,向量的加法與數(shù)乘合稱為向量的向量的加法與數(shù)乘合稱為向量的線性運(yùn)算線性運(yùn)算. .Rkaaan ），（,.,21 （1 1） （交換律）（交換律） （2 2） （結(jié)合律）（結(jié)合律）()()（3 3）O （4 4）()O ( (設(shè)設(shè), , ,均是維向量均是維向量, ,，為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)) )（5 5）1 （6 6）()()() （7 7）() （8 8）() .,),(21T21維維向量空間向量空間叫做叫做集合集合維向量的全體所組成的維向量的全體所組成的nRxxxxxxXRnnnn .,),(3叫做叫做三維向量空間三維向量空間的集

4、合的集合三維向量的全體所組成三維向量的全體所組成RzyxzyxrRT 11,1,0T ，設(shè)設(shè)3(3,4,0)T 20,1,1T ，12331,(,)21 .11 其中( , )求求解解 12312332， (4,4, 1) .T 123321033 12 11 4010 (0,1,2) .T 123 012 1031 11 11 4010 441 1122nnxxxb 線性方程組的向量表示線性方程組的向量表示方程組與增廣矩陣的列向量組之間一一對(duì)應(yīng)方程組與增廣矩陣的列向量組之間一一對(duì)應(yīng)11112211211222221122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xbaxaxax

5、b 1212(,.,)nnxxbx 即即Axb 或或12mA 其第其第個(gè)列個(gè)列向量向量記作記作12jjjmjaaa 12(,.,)nA 個(gè)維個(gè)維行向量行向量. .按行分塊按行分塊111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa 按列分塊按列分塊個(gè)維個(gè)維列向量列向量. .其第其第個(gè)行個(gè)行向量向量記作記作 12,iiiinaaa 矩陣與向量的關(guān)系中矩陣與向量的關(guān)系中注意什么是向量的注意什么是向量的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)、什么是向量的、什么是向量的維維數(shù)數(shù)，二者必須分清，二者必須分清. .2 2 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性一、向量組的線性相關(guān)性定義一、向量組的線性相關(guān)性定義1212,0k kkk

6、 向向量量共共線線不不全全為為零零的的數(shù)數(shù)使使得得123123,0k kkkkk 向向量量共共面面不不全全為為零零的的數(shù)數(shù), , 使使得得1212,0,0kkkk 向向量量不不共共線線若若則則123123,0,0kkkkkk 向向量量不不共共面面若若則則線性相關(guān)線性無(wú)關(guān)的一個(gè)的一個(gè)線性組合線性組合則稱則稱 為向量為向量 定義定義 2 2mmakakak 2211 使得使得一組實(shí)數(shù)一組實(shí)數(shù)若存在若存在設(shè)設(shè)n n維向量維向量,2121mmkkkaaa， ,maa12a線性表示線性表示或稱或稱 能由向量能由向量 ,maa12a)(組成的集合叫做組成的集合叫做向量組向量組. .所所或同維數(shù)的行向量或同

7、維數(shù)的行向量若干個(gè)同維數(shù)的列向量若干個(gè)同維數(shù)的列向量1612,.,(s1),s 向向量量組組稱稱為為線線性性相相關(guān)關(guān) 如如果果定義312,., ,sk kk存存在在不不全全為為零零的的數(shù)數(shù)使使得得0.2211 sSkkk 112212.0,.0Ssskkkkkk若若則則否否則則稱稱線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān), , 如果向量組中有零向量,則向量組一定線性相關(guān). 一個(gè)向量a=0線性相關(guān),而 時(shí)線性無(wú)關(guān)0 兩個(gè)向量線性相關(guān) 它們對(duì)應(yīng)分量成比例即即1712,., s 向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān)方方程程1122.0 .ssxxx 有有非非零零解解i.e.1211121211212222n11n22(,.,) ,

8、.0.0 .0Tiiiinssssnssaaaa xa xa xa xa xa xa xa xa x 設(shè)設(shè)方方程程組組 有有非非零零解解二、判別方法1.向量個(gè)數(shù) 未知數(shù)的個(gè)數(shù) 向量維數(shù) 方程的個(gè)數(shù) (無(wú))(沒(méi))(沒(méi))18121(1,2,3,4,3) ,(1,2,0,5,1) ,TT 例例 . .設(shè)設(shè)34(2,4, 3, 19,6) ,(3,6, 3, 24,7)TT 1234,. 試試判判斷斷的的線線性性相相關(guān)關(guān)性性11223344:0kkkk 解解 設(shè)設(shè)123412341341234123423 02246 03 33 04519240367 0kkkkkkkkkkkkkkkkkkk 即即1

9、9對(duì)對(duì)系系數(shù)數(shù)矩矩陣陣進(jìn)進(jìn)行行初初等等行行變變換換1123224630334519243167A 10110134.000000000000同同解解方方程程組組1342340340kkkkkk 341,0,kk 有有無(wú)無(wú)窮窮多多解解. .取取得得到到方方程程組組的的一一組組解解12341, 3,1,0kkkk ( (, , , ,) )= =( () )1234300, 即即有有: :1234,. 故故線線性性相相關(guān)關(guān)12126 ,(,)( ).mmaaaAaaamR Am 定定理理向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān)它它所所構(gòu)構(gòu)成成的的矩矩陣陣的的秩秩小小于于向向量量個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)；向向量量組組線線性性無(wú)

10、無(wú)關(guān)關(guān)0|,| 121 naaan n線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)維維向向量量個(gè)個(gè)推推論論線線性性相相關(guān)關(guān)維維向向量量個(gè)個(gè)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)推推論論nm nm, 2 線性相關(guān)線性相關(guān)維向量維向量個(gè)個(gè)特別地特別地n n1: 2.2112s,.,(2)s 定定理理1:1:向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān)存存在在一一個(gè)個(gè)向向量量是是其其余余向向量量的的線線性性組組合合或或可可被被其其他他向向量量線線性性表表出出( (示示).).維維單單位位向向量量為為），（例例n,.,2 , 1.,0 1 . 0 2n ii 12,.,n 故故線線性性相相關(guān)關(guān)第i個(gè)分量12,.,),nn ( (為為任任意意 維維向向量量1122 .nn 則

11、則12,.,.n 而而線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)3.2212s,.,(2)s 定定理理: :向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān)存存在在一一個(gè)個(gè)向向量量是是它它前前面面向向量量的的線線性性組組合合12s,.,(2)s 推推論論: :設(shè)設(shè)是是由由非非零零向向量量組組成成的的,(2)iis 向向量量組組 若若每每個(gè)個(gè)向向量量都都不不是是它它12s,., 前前面面向向量量的的線線性性組組合合, ,則則線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān). .從向量組中找盡量多的線性無(wú)關(guān)向量例例 2 2,742,520,111321 aaa已知已知.,21321相相關(guān)關(guān)性性的的線線性性及及向向量量組組試試討討論論向向量量組組aaaaa解解，矩陣矩陣梯形梯

12、形施行初等行變換成行階施行初等行變換成行階對(duì)矩陣對(duì)矩陣),(321aaa 321,aaa，可可見(jiàn)見(jiàn)2),(321 aaaR 751421201 550220201 00022020112rr 13rr 2325rr ；線線性性相相關(guān)關(guān)故故向向量量組組321,aaa,2),(21 aaR同同時(shí)時(shí).,21線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)故向量組故向量組aa例例 3 3. ., , , ,., , , )2(. , , 21132221121線線性性相相關(guān)關(guān)性性討討論論設(shè)設(shè)線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)已已知知向向量量組組ssssbbbaabaabaabsaaa 證一證一1 122.0,ssx bx bx b 設(shè)設(shè), 0)(.)

13、()(1322211 aaxaaxaaxss即即, 0)(.)()(122111 ssssaxxaxxaxx亦亦即即，故故有有線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)因因saaa.,21.,21線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)為為奇奇數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)向向量量組組所所以以當(dāng)當(dāng)sbbbs 為偶數(shù)為偶數(shù)為奇數(shù)為奇數(shù)列式列式由于此方程組的系數(shù)行由于此方程組的系數(shù)行ss; 0; 21)(111.000.00.11000.01110.001s1 0 .0 0 0 132211sssxxxxxxxx.,21線性相關(guān)線性相關(guān)為偶數(shù)時(shí)向量組為偶數(shù)時(shí)向量組當(dāng)當(dāng)sbbbs121. 2 ,.m 定定理理如如果果向向量量，線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)，.,21線線性性表表示示且

14、且表表達(dá)達(dá)式式唯唯一一，能能由由則則m 三、性質(zhì)12,.,m 而而向向量量組組，線線性性相相關(guān)關(guān)2812s: ,., 定定理理3 3 若若線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)123: ,., r 2 2. .定定理理若若線線性性相相關(guān)關(guān)整體無(wú)關(guān)部分無(wú)關(guān)部分相關(guān)整體相關(guān)12r+1,.,.,.rm 則則也也線線性性相相關(guān)關(guān).則則它它的的任任一一部部分分組組也也線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān) 3. 4 定定理理設(shè)設(shè)1212,(1,2,),rp jjp jjjjrjp jaaaajmaa 有相同的線性相關(guān)性有相同的線性相關(guān)性與與則則mm ,., ,.,2121的的一一個(gè)個(gè)排排列列為為其其中中npppn,.,2 , 1,.,213012

15、12112s12s12s12(,.,),1,2,.,(,.,),.,.,.,.,.,iiiiniiiininsaaaisaaaa 設(shè)設(shè)則則稱稱為為的的延延長(zhǎng)長(zhǎng)向向量量組組也也稱稱為為的的截截短短向向量量組組定義 12s5: ,.,. 4 4 定定理理若若線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān) 則則其其延延長(zhǎng)長(zhǎng)組組也也線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)1: r, n.nr 推推論論維維向向量量組組線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān) 在在每每個(gè)個(gè)向向量量相相同同的的位位置置添添加加個(gè)個(gè)分分量量后后得得到到的的 維維向向量量組組仍仍線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)12s5 : ,.,. 定定理理 若若線線性性相相關(guān)關(guān) 則則其其截截短短組組也也線線性性相相關(guān)關(guān)練習(xí)練習(xí) 設(shè)向

16、量組設(shè)向量組 130,Tk ， 212,Tk ， ， 3021 ，線性相關(guān)，則線性相關(guān)，則 . .3 .1kor k4 4 向量組的秩向量組的秩4 4 向量組的秩向量組的秩向量組等價(jià)向量組等價(jià)極大線性無(wú)關(guān)組與向量組的秩極大線性無(wú)關(guān)組與向量組的秩向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系矩陣的秩與矩陣的運(yùn)算矩陣的秩與矩陣的運(yùn)算1212,:,.mlRSSR設(shè)有兩個(gè)向量組：及若組中的每個(gè)向量都能由向 量組線性表示1.1.定義定義4 4SR組組能能由由組組線線性性表表示示，,), 2 , 1(ljj 即對(duì)每個(gè)向量即對(duì)每個(gè)向量使使存在數(shù)存在數(shù),21mjjjkkk一、向量組等價(jià)一、向量組等價(jià).RS若

17、向量組與向量組能相互線性表示，則稱這兩個(gè)向量組等價(jià)SR稱 組能由組線性表示1122jjjmjmkkk 1112121222121212,lllmmmmlkkkkkkkkk 從而從而 1212,jjmmjkkk .)(數(shù)數(shù)矩矩陣陣稱稱為為這這一一線線性性表表示示的的系系矩矩陣陣ijlmkK ，由此可知由此可知 ； ln2122221112112121,bbbbbbbbbaaacccllnnln，若若nllmnmBAC :一表示的系數(shù)矩陣一表示的系數(shù)矩陣為這為這B，線性表示線性表示的列向量組的列向量組組能由矩陣組能由矩陣量量列向列向的的則矩陣則矩陣AC12m 11121121222212llmmm

18、llaaaaaaaaa ：為這一表示的系數(shù)矩陣為這一表示的系數(shù)矩陣的行向量組線性表示，的行向量組線性表示，的行向量能由的行向量能由同時(shí)同時(shí)ABC,2.2.性質(zhì)性質(zhì) 1 1）自反性）自反性 2 2）對(duì)稱性）對(duì)稱性3 3）傳遞性）傳遞性具有以上性質(zhì)的關(guān)系稱為等價(jià)關(guān)系具有以上性質(zhì)的關(guān)系稱為等價(jià)關(guān)系1 1 定義定義7 712,rRaaa設(shè)設(shè)向向量量組組的的一一個(gè)個(gè)部部分分組組，滿滿足足;,)(21線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)raaai()R則則稱稱此此部部分分組組 是是向向量量組組的的一一個(gè)個(gè)極極大大線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱稱極極大大無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組( ).iiR向向量量組組中中任任意意向向量量可可由由此此部部分分

19、組組線線性性表表示示二、極大線性無(wú)關(guān)組與向量組的秩二、極大線性無(wú)關(guān)組與向量組的秩極大線性無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱為向量組的秩.0組組的的秩秩為為規(guī)規(guī)定定只只含含零零向向量量的的向向量量組等價(jià)組等價(jià)向量組與它的極大無(wú)關(guān)向量組與它的極大無(wú)關(guān).般不是惟一的般不是惟一的向量組的極大無(wú)關(guān)組一向量組的極大無(wú)關(guān)組一.含向量的個(gè)數(shù)相等含向量的個(gè)數(shù)相等但每一個(gè)極大無(wú)關(guān)組中但每一個(gè)極大無(wú)關(guān)組中7 定定 理理向向 量量 組組 與與 它它 的的 任任 意意 一一 個(gè)個(gè) 極極 大大 線線 性性 無(wú)無(wú) 關(guān)關(guān) 組組 等等 價(jià)價(jià) R,S,rs定定理理8 8 設(shè)設(shè)向向量量組組的的秩秩為為向向量量組組 的的秩秩為為 RS.rs 若

20、若 向向量量組組能能由由向向量量組組 線線性性表表示示，則則0101: : , :, .rsARaaBSbbrs 證證明明 設(shè)設(shè) 向向量量組組 的的一一個(gè)個(gè)極極大大無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組為為向向量量組組 的的一一個(gè)個(gè)極極大大無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組為為，要要證證0, RRRS因因?yàn)闉榻M組能能由由組組 線線性性表表示示組組能能由由 組組線線性性表表示示，使使得得即即存存在在系系數(shù)數(shù)矩矩陣陣),(ijsrkK 000, SSRS組組能能由由組組線線性性表表示示 所所以以組組能能由由組組線線性性表表示示， srsrsrkkkk111111),(),( )0( 0 1 KXxxKsrrsr簡(jiǎn)簡(jiǎn)記記為為，則則方方程程組組如如

21、果果有有非非零零解解，0),( 1 Kxs 有非零解，有非零解，即即0),(1 Xr 0 .Srs 與與線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)矛矛盾盾，所所以以），從從而而方方程程組組有有非非零零解解（因因rsKR )( 7 R,S,rs定定理理設(shè)設(shè)向向量量組組的的秩秩為為向向量量組組 的的秩秩為為 RS.rs 若若 向向量量組組能能由由向向量量組組 線線性性表表示示，則則等等價(jià)價(jià)的的向向量量組組的的秩秩相相等等推推論論 12 推推論論任任意意連連個(gè)個(gè)線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的等等價(jià)價(jià)的的向向量量組組 所所含含向向量量個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)相相等等( (反反之之不不對(duì)對(duì)) )三、向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系三、向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系12

22、mA 其第其第個(gè)列個(gè)列向量向量記作記作12jjjmjaaa 12(,.,)nA 個(gè)維個(gè)維行向量行向量. .按行分塊按行分塊111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa 按列分塊按列分塊個(gè)維個(gè)維列向量列向量. .其第其第個(gè)行個(gè)行向量向量記作記作 12,iiiinaaa 矩陣與向量的關(guān)系中矩陣與向量的關(guān)系中注意什么是向量的注意什么是向量的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)、什么是向量的、什么是向量的維維數(shù)數(shù)，二者必須分清，二者必須分清. .，：向向量量組組對(duì)對(duì)于于只只含含有有限限個(gè)個(gè)向向量量的的maaaA,21. ),(21maaaA 它它可可以以構(gòu)構(gòu)成成矩矩陣陣. 8行秩行秩列秩列秩矩陣的秩矩陣的秩定理定理

23、.)0()(),(21時(shí)時(shí)顯顯然然成成立立當(dāng)當(dāng)，設(shè)設(shè) rrARaaaAm證證，關(guān)關(guān)組組無(wú)無(wú)的的列列向向量量組組的的一一個(gè)個(gè)極極大大列列是是所所在在的的因因此此ArDrrDr得得知知所所在在的的列列線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)；+1Ar又又由由中中所所有有階階子子式式均均為為零零，1Ar 知知中中任任意意個(gè)個(gè)列列向向量量都都線線性性相相關(guān)關(guān). .0 rDr 階階子子式式并并設(shè)設(shè), r所所以以列列向向量量組組的的秩秩等等于于().AR A類類似似可可證證矩矩陣陣的的行行向向量量組組的的秩秩也也等等于于.為為系系數(shù)數(shù)矩矩陣陣的的齊齊次次線線性性方方程程組組只只有有零零解解r否否則則以以這這 列列1r 從從而而原

24、原矩矩陣陣存存在在非非零零的的階階子子式式，矛矛盾盾. .1212,(,).mmaaaR aaa向向量量組組的的秩秩也也記記作作：從上述證明中可見(jiàn)從上述證明中可見(jiàn)rDA若若是是矩矩陣陣的的一一個(gè)個(gè)最最高高階階非非零零子子式式，關(guān)組關(guān)組向量組的一個(gè)極大無(wú)向量組的一個(gè)極大無(wú)的列的列列即是列即是所在的所在的則則ArDr. r列向量組的秩等于列向量組的秩等于的的線線性性組組合合關(guān)關(guān)系系對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的列列向向量量組組有有相相同同與與B10 ABA 初初等等行行變變換換定定理理矩矩陣陣，則則 的的列列向向量量.,ERTif ABP is I MPAB 證明證明 1212,ssn sn sAB， ， ， ，

25、， 12， ， ，sPAP iiP 即即 12， ，sPPP 12s 設(shè)設(shè)的某些列的某些列12,piii有關(guān)系有關(guān)系12120piipilll則相應(yīng)的則相應(yīng)的1212piipilll 1212piipil Pl Pl P 1212piipiP lll 0 具有相同的具有相同的線性關(guān)系線性關(guān)系. .12,piii即即中列向量組中列向量組12,piii 與與中列向量組中列向量組 :例例.,(2,4,4,9),2,7)(1,1,9)2,2,1,(,6,6)1,1,(,(2,1,4,3)54321并并將將其其余余向向量量線線性性表表出出的的一一個(gè)個(gè)極極大大線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組，求求向向量量組組TTTT

26、T 解：解：123452111211214(,)4622436979A 設(shè)設(shè)矩矩陣陣A對(duì)對(duì)施施行行初初等等行行變變換換變變?yōu)闉樾行须A階梯梯形形矩矩陣陣1 12 140 11 10.0 00130 0000A 行行10104011030001300000 ，3,故故列列向向量量組組的的極極大大無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組含含 個(gè)個(gè)向向量量1 2 4而而三三個(gè)個(gè)非非零零行行的的非非零零首首元元在在 、 、 三三列列，124,.aaa所所以以為為列列向向量量組組的的一一個(gè)個(gè)極極大大無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組( )3R A 所所以以，1234512345,.a a a a ab b b b b因因?yàn)闉橄蛳蛄苛恐g間與與向向量量之

27、之間間有有相相同同的的線線性性關(guān)關(guān)系系現(xiàn)在現(xiàn)在,3344215bbbb 因此因此3b,21bb ,213aaa .3344215aaaa 總結(jié)：求極大線性無(wú)關(guān)組及向量的線性表示的總結(jié)：求極大線性無(wú)關(guān)組及向量的線性表示的方法方法方法方法1：矩陣的初等行變換法矩陣的初等行變換法（1 1）以向量組中的向量為列向量作矩陣）以向量組中的向量為列向量作矩陣（2 2）對(duì)矩陣作初等行變換，化為行階梯形（行最簡(jiǎn)形）對(duì)矩陣作初等行變換，化為行階梯形（行最簡(jiǎn)形）（3 3）取每行第一個(gè)非零元所在的列，即為所求）取每行第一個(gè)非零元所在的列，即為所求方法方法2：錄選法錄選法（1 1）在向量組中選一個(gè)非零向量）在向量組中選

28、一個(gè)非零向量（2 2）再選一個(gè)與）再選一個(gè)與1 1 的對(duì)應(yīng)分量不成比例的向量的對(duì)應(yīng)分量不成比例的向量2 （3 3）再選一個(gè)不能由）再選一個(gè)不能由1 2 線性表出的向量線性表出的向量3 線性表出的向量線性表出的向量()(,)()()R AR PAR AQR PAQP Q 為為可可逆逆矩矩陣陣四、矩陣的秩與矩陣的運(yùn)算四、矩陣的秩與矩陣的運(yùn)算例例14.14.).,(),(11nkaaAC 設(shè)設(shè)，而而)(ijbB ).(),(min)(BRARABR )()( ARABR 先先證證明明kmknnmCBA 設(shè)設(shè)證證明明 : nknknkbbbbaa111111),(),( 則則).()(ARCR 因因此

29、此),()(, TTTTTBRCRABC 由由上上面面證證明明知知因因的的列列向向量量組組線線性性表表示示，的的列列向向量量組組能能由由即即矩矩陣陣AC).()(BRCR 即即練習(xí)練習(xí). .()()().R ABR AB .線性表示線性表示能由向量組能由向量組只需證明向量組只需證明向量組AB組組組組和和，并并設(shè)設(shè)設(shè)設(shè)兩兩個(gè)個(gè)向向量量組組的的秩秩都都為為BAr .00組組線線性性表表示示組組能能由由組組線線性性表表示示，故故組組能能由由因因BABA證明證明: :rrrKbbaa),(),(11 15 . ,.AB例例向向量量組組 能能由由向向量量組組 線線性性表表示示 且且它它們們的的秩秩相相等

30、等.等價(jià)等價(jià)與向量組與向量組則向量組則向量組BA,:,:1010rrbbBaaA和和的的極極大大無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組依依次次為為使使階方陣階方陣即有即有rKrraaRKRrr ),()( 1故故.),(10raaRAr 組組線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)，故故因因.)()(rKRrKRrr ，因因此此但但,),(),( 111 rrrrKaabbK可逆，并有可逆，并有于是矩陣于是矩陣.00組組線線性性表表示示組組能能由由即即AB. 組組線線性性表表示示組組能能由由從從而而AB5 5 向量空間向量空間向量空間概念基與維數(shù)向量的坐標(biāo)說(shuō)明說(shuō)明.,VRV 則則若若;,VVV 則則若若一、向量空間的概念一、向量空間的概念.V

31、V所所謂謂封封閉閉，是是指指在在集集合合中中可可以以進(jìn)進(jìn)行行加加法法及及乘乘數(shù)數(shù)兩兩種種運(yùn)運(yùn)算算，結(jié)結(jié)果果還還在在集集合合中中定義定義1 1設(shè)設(shè)V V 為為 n n 維向量的集合，如果集合維向量的集合，如果集合V V非空，非空，且集合且集合V V 對(duì)于對(duì)于加法加法及及數(shù)乘數(shù)乘兩種運(yùn)算兩種運(yùn)算封閉封閉，那么就稱，那么就稱集合集合V V 為為向量空間向量空間例例2 2是向量空間,),0(2T2RxxxxxVnn因?yàn)槿粢驗(yàn)槿?),0(,),0(T2T2VbbbVaaann,), , 0(T22Vbababann則.),0(T2Vaaan例例1 1 .，就是一個(gè)向量空間，就是一個(gè)向量空間維向量的全體維

32、向量的全體nRn例例3 3.,),1 (2T2不是向量空間RxxxxxVnn因?yàn)槿粢驗(yàn)槿?)2,2,2(2T2Vaaan 則則，Vaaan T2),1(例例4 4.)0 , 0 ,0(T，稱稱為為零零空空間間是是一一個(gè)個(gè)向向量量空空間間 xV練習(xí)練習(xí)1 1., 0),(321T321是否是向量空間？RxxxxxxxxVi., 1),(321T321是否是向量空間？RxxxxxxxxVi練習(xí)練習(xí)2 2.是向量空間.不是向量空間例例5 5n設(shè)設(shè)， 為為兩兩個(gè)個(gè)已已知知的的維維向向量量，集集合合,Lx R.是一個(gè)向量空間是一個(gè)向量空間.這這個(gè)個(gè)向向量量空空間間稱稱為為由由向向量量， 生生成成的的向向

33、量量空空間間12maaa一一般般地地，由由向向量量組組， ，生生成成的的向向量量空空間間為為,212211RaaaxLmmm 12(1),;r 線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)12(2),.,.rV 中中任任一一向向量量都都可可由由線線性性表表示示那么，向量組那么，向量組 就稱為向量就稱為向量的一個(gè)的一個(gè)r, 21V基基， 稱為向量空間稱為向量空間 的的維數(shù)，維數(shù)，并稱并稱 為為 維向量維向量空間空間VrVr二、向量空間的基與維數(shù)二、向量空間的基與維數(shù)定義定義2 2 設(shè)設(shè) 是向量空間，如果是向量空間，如果 個(gè)向量個(gè)向量 ，且滿足，且滿足r,21 VVr ,若若V V 的維數(shù)為的維數(shù)為r r，記做，記做dimdimV V= =r r只含有零向量的向量空間只含有零向量的向量空間V