北京市高考真題數(shù)學(xué)試卷及答案(理科)WORD版

1、2013北京高考理科數(shù)學(xué)試題第一部分 （選擇題 共40分）一、選擇題共8小題.每小題5分，共40分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合a=1，0，1，b=x|1 x1，則ab= a.0 b.1，0 c.0，1 d.1,0,12.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)(2i)2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( )a.第一象限 b. 第二象限 c.第三象限 d. 第四象限3.“=”是“曲線y=sin(2x)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的”a.充分而不必要條件 b.必要而不充分條件c.充分必要條件 d.既不充分也不必要條件4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為開始是否輸出結(jié)束a.1 b. c. d.5.函數(shù)f(x)的圖

2、象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象與y=ex關(guān)于y軸對(duì)稱，則f(x)=a. b. c. d. 6.若雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為a.y=2x b.y= c. d.7.直線l過(guò)拋物線c: x2=4y的焦點(diǎn)且與y軸垂直，則l與c所圍成的圖形的面積等于a. b.2 c. d.8.設(shè)關(guān)于x,y的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)p(x0，y0)，滿足x02y0=2，求得m的取值范圍是a. b. c. d. 第二部分（非選擇題 共110分）二、填空題共6題，每小題5分，共30分.9.在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)(2，)到直線sin=2的距離等于 .10.若等比數(shù)列an滿足a2a4=20，a3a5=40，則公比q=

3、；前n項(xiàng)和sn= .11.如圖，ab為圓o的直徑，pa為圓o的切線，pb與圓o相交于d.若pa=3，則pd= ；ab= .12.將序號(hào)分別為1，2，3，4，5的5張參觀券全部分給4人，每人至少1張，如果分給同一人的2張參觀券連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)是 .13.向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若c=ab (，r)，則= .14.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體abcda1b1c1d1中，e為bc的中點(diǎn)，點(diǎn)p在線段d1e上，點(diǎn)p到直線cc1的距離的最小值為 .三、解答題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.15. (本小題共13分)在abc中，a=3，b=2，b=2a.(

4、i)求cosa的值； (ii)求c的值.16.( 本小題共13分)下圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染，某人隨機(jī)選擇3月1日至3月13日中的某一天到達(dá)該市，并停留2天.（）求此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率;（）設(shè)x是此人停留期間空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)，求x的分布列與數(shù)學(xué)期望;（）由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？（結(jié)論不要求證明）17. (本小題共14分)如圖，在三棱柱abca1b1c1中，aa1c1c是邊長(zhǎng)為4的正方形，平面abc平面aa1c1c，ab=3，bc=5.（）求證：aa1平面ab

5、c；（）求二面角a1bc1b1的余弦值；（）證明：在線段bc1存在點(diǎn)d，使得ada1b，并求的值.18. (本小題共13分)設(shè)l為曲線c：在點(diǎn)(1，0)處的切線.(i)求l的方程；(ii)證明：除切點(diǎn)(1，0)之外，曲線c在直線l的下方.19. (本小題共14分)已知a、b、c是橢圓w：上的三個(gè)點(diǎn)，o是坐標(biāo)原點(diǎn).(i)當(dāng)點(diǎn)b是w的右頂點(diǎn)，且四邊形oabc為菱形時(shí)，求此菱形的面積;(ii)當(dāng)點(diǎn)b不是w的頂點(diǎn)時(shí)，判斷四邊形oabc是否可能為菱形，并說(shuō)明理由.20. (本小題共13分)已知an是由非負(fù)整數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列，該數(shù)列前n項(xiàng)的最大值記為an，第n項(xiàng)之后各項(xiàng)，,的最小值記為bn，dn=anbn

6、 。(i)若an為2，1，4，3，2，1，4，3，是一個(gè)周期為4的數(shù)列(即對(duì)任意nn*，)，寫出d1，d2，d3，d4的值；(ii)設(shè)d為非負(fù)整數(shù)，證明：dn=d(n=1,2,3)的充分必要條件為an為公差為d的等差數(shù)列；(iii)證明：若a1=2，dn=1(n=1,2,3，)，則an的項(xiàng)只能是1或者2，且有無(wú)窮多項(xiàng)為1. 參考答案一、 選擇題：1.b 2.d 3.a 4.c 5.d 6.b 7.c 8.c 二、填空題：9.1 10.2， 11. ；4 12.96 13.4 14. 三.解答題：15.解：（i）因?yàn)閍=3，b=2，b=2a. 所以在abc中，由正弦定理得.所以.故.(ii)由（

7、i）知，所以.又因?yàn)閎=2a,所以.所以.在abc中，.所以.16.解：設(shè)表示事件“此人于3月日到達(dá)該市”（ =1,2，13）.根據(jù)題意, ,且.（i）設(shè)b為事件“此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染”，則,所以.(ii)由題意可知，x的所有可能取值為0,1,2，且p(x=1)=p(a3a6a7a11)= p(a3)+p(a6)+p(a7)+p(a11)= ,p(x=2)=p(a1a2a12a13)= p(a1)+p(a2)+p(a12)+p(a13)= ,p(x=0)=1p(x=1)p(x=2)= ,所以x的分布列為：故x的期望.(iii)從3月5日開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大.17.解：（i）因

8、為aa1c1c為正方形，所以aa1 ac.因?yàn)槠矫鎍bc平面aa1c1c,且aa1垂直于這兩個(gè)平面的交線ac,所以aa1平面abc.(ii)由（i）知aa1 ac，aa1 ab. 由題知ab=3，bc=5，ac=4，所以abac. 如圖，以a為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系a,則b(0，3，0),a1(0，0，4),b1(0，3，4),c1(4，0，4)，設(shè)平面a1bc1的法向量為，則,即，令，則，所以.同理可得，平面bb1c1的法向量為,所以. 由題知二面角a1bc1b1為銳角，所以二面角a1bc1b1的余弦值為.(iii)設(shè)d是直線bc1上一點(diǎn)，且. 所以.解得，.所以. 由，即.解得.因?yàn)椋?/p>

9、在線段bc1上存在點(diǎn)d，使得ada1b.此時(shí)，.18.解: （i）設(shè)，則.所以.所以l的方程為.(ii)令，則除切點(diǎn)之外，曲線c在直線的下方等價(jià)于. 滿足，且.當(dāng)時(shí)，所以，故單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，所以，故單調(diào)遞增.所以，（）.所以除切點(diǎn)之外，曲線c在直線l的下方.又解：即變形為，記，則，所以當(dāng)時(shí)，在（0,1）上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在（1，+）上單調(diào)遞增。所以.）19.解：（i）橢圓w：的右頂點(diǎn)b的坐標(biāo)為（2,0）.因?yàn)樗倪呅蝟abc為菱形，所以ac與ob相互垂直平分. 所以可設(shè)a（1，），代入橢圓方程得，即. 所以菱形oabc的面積是.(ii)假設(shè)四邊形oabc為菱形. 因?yàn)辄c(diǎn)b不是w的頂點(diǎn)，且直線ac不過(guò)原點(diǎn)，所以可設(shè)ac的方程為.由消去并整理得.設(shè)a,c，則，.所以ac的中點(diǎn)為m（，）.因?yàn)閙為ac和ob的交點(diǎn)，所以直線ob的斜率為.因?yàn)椋詀c與ob不垂直. 所以oabc不是菱形，與假設(shè)矛盾.所以當(dāng)點(diǎn)b不是w的頂點(diǎn)時(shí)，四邊形oabc不可能是菱形.20.（i）(ii)(充分性)因?yàn)槭枪顬榈牡炔顢?shù)列，且，所以因此，,.(必要性)因?yàn)?，所?又因?yàn)椋?所以.