28.3.1解直角三角形應(yīng)用舉例(航海)

1、28.3 解直角三角形應(yīng)用舉例(航海問題)方向角方向角北東西南A A5858 2828 B B北偏東北偏東5858南偏西南偏西2828例例1 如圖如圖1,某海防哨所某海防哨所O發(fā)現(xiàn)在它的北偏西發(fā)現(xiàn)在它的北偏西30,距離距離500m的的A處處有一艘船有一艘船.該船向正東方向航行該船向正東方向航行,經(jīng)過經(jīng)過3分到達(dá)哨所東北方向的分到達(dá)哨所東北方向的B處處.求這船的航速是每時(shí)多少求這船的航速是每時(shí)多少km( 取取1.7)? 3 3圖圖1解解: 設(shè)設(shè)AB與正北方向線交于點(diǎn)與正北方向線交于點(diǎn)C,則則OCAB. 在在RtAOC中中,OA= ,AOC= ,500m30AC=OAsinAOC=500sin30

2、=500 =250(m).2 21 1 OC=OAcosAOC=500cos30=500 =250 (m).2 23 33 3 在在RtCOB中中, BOC= 45,BC=OC=250 (m).3 3 AB=AC+BC= 250+250 =250(1+ )3 33 367536013500 (m)答答:這船的航速是每時(shí)這船的航速是每時(shí)13.5km.250(1+1.7)=675練一練練一練 如圖如圖2,建筑物建筑物B在建筑物在建筑物A的正北方向的正北方向.在在O地測得在地測得在O地的東南方向地的東南方向60m處處,在在O地的北偏東地的北偏東30方向方向.求求O,B的距離和的距離和A,B的距離的距

3、離.圖圖2C2 23 30 02 23 30 02 26 60 0)2 230306 6(30(30答答:O,B的距離為的距離為 m, A,B的距離為的距離為 m. 2 26 60 06 63 30 006 6仰角、俯角的定義仰角、俯角的定義:仰角和俯角仰角和俯角:指指視線視線和和水平線水平線所成的角所成的角.仰角仰角:視線在水平線上方時(shí)視線在水平線上方時(shí)俯角俯角:視線在水平線下方時(shí)視線在水平線下方時(shí)引例引例2 如圖如圖3,在高為在高為100米的山頂米的山頂A測得地面測得地面C處的處的俯角俯角為為45,地地面面D處的俯角為處的俯角為30(B,C,D三點(diǎn)在一條直線上三點(diǎn)在一條直線上),那么那么圖

4、圖3ACB 45, 30;在在RtABC中中,BC 米米, 在在RtABD中中,BD 米米; CD BC 米米.1003 3BD1001001003 3()DAEADB30CAE45例例2 如圖如圖4,河對岸有水塔河對岸有水塔AB.在在C處測得塔頂處測得塔頂A的仰角為的仰角為30,向塔前進(jìn)向塔前進(jìn)12m到到達(dá)達(dá)D,在在D處測得處測得A的仰角為的仰角為45,求塔高求塔高.解解: 在在RtADB中中, ADB=45 設(shè)設(shè) BD= AB=xm. 在在RtACB中中, ACB=30 BC= AB. 即即( -1 )x=12,答答:塔高為塔高為( )m.663 36 6想一想想一想 :還可以怎還可以怎么

5、解么解?DCBA453012m圖圖4圖圖4評注評注: 因因CD不是可解直角三角形的一邊不是可解直角三角形的一邊, 這時(shí)通常可考慮用線段的和或差這時(shí)通?？煽紤]用線段的和或差這一間接方法這一間接方法.312+x= x336 63 36 61 13 31212cot45cot45cot30cot301212X X+=-=-=例例2 如圖如圖4,河對岸有水塔河對岸有水塔AB.在在C處測得塔頂處測得塔頂A的仰角為的仰角為30,向塔前進(jìn)向塔前進(jìn)12m到到達(dá)達(dá)D,在在D處測得處測得A的仰角為的仰角為45,求塔高求塔高.DCBA453012mm.m.663 36 6另解另解: 若設(shè)若設(shè)ABx , 則易得則易得

6、 BD= x. BC= x12. 在在RtACB中中,由由ACB=30,得得 , , tan30tan30BCBCABAB. .3 33 3x x1 12 2x x即解得解得x小結(jié)小結(jié):本例告訴我們在應(yīng)用解直角三角形解決測量問題時(shí)本例告訴我們在應(yīng)用解直角三角形解決測量問題時(shí),一般要先畫一般要先畫 出測量示意圖出測量示意圖, 然后借助示意圖然后借助示意圖,利用直角三角形中角、邊之間的利用直角三角形中角、邊之間的 數(shù)量關(guān)系求出所要求的距離或角度數(shù)量關(guān)系求出所要求的距離或角度.圖圖4習(xí)題：某船自西向東航行，在習(xí)題：某船自西向東航行，在A出測得某島在北偏東出測得某島在北偏東60的方向上，前進(jìn)的方向上，

7、前進(jìn)8千米測得某島在船北偏東千米測得某島在船北偏東45 的方向上，問（的方向上，問（1）輪船行到何處離小島距離最近？）輪船行到何處離小島距離最近？ （2）輪船要繼續(xù)前進(jìn)多少千米？）輪船要繼續(xù)前進(jìn)多少千米？A北南西東北南西東某船自西向東航行，在某船自西向東航行，在A出測得某島在北偏東出測得某島在北偏東60的的方向上，前進(jìn)方向上，前進(jìn)8千米測得某島在船北偏東千米測得某島在船北偏東45 的方向的方向上，問（上，問（1）輪船行到何處離小島距離最近？）輪船行到何處離小島距離最近？ （2）輪船要繼續(xù)前進(jìn)多少千米？）輪船要繼續(xù)前進(jìn)多少千米？30458千米ABCD某船自西向東航行，在某船自西向東航行，在A出測

8、得某島在北偏東出測得某島在北偏東60的的方向上，前進(jìn)方向上，前進(jìn)8千米測得某島在船北偏東千米測得某島在船北偏東45 的方向的方向上，問（上，問（1）輪船行到何處離小島距離最近？）輪船行到何處離小島距離最近？ （2）輪船要繼續(xù)前進(jìn)多少千米？）輪船要繼續(xù)前進(jìn)多少千米？解： 練習(xí)練習(xí)1：如圖所示，某船以每小時(shí)：如圖所示，某船以每小時(shí)36海里的速度海里的速度向正東航行，在向正東航行，在A點(diǎn)測得某島點(diǎn)測得某島C在北偏東在北偏東60方方向上，航行半小時(shí)后到向上，航行半小時(shí)后到B點(diǎn)，測得該島在北偏東點(diǎn)，測得該島在北偏東30方向上，已知該島周圍方向上，已知該島周圍16海里內(nèi)有暗礁海里內(nèi)有暗礁（1）試說明）試說

9、明B點(diǎn)是點(diǎn)是否在暗礁區(qū)域外否在暗礁區(qū)域外（2）若繼續(xù)向東）若繼續(xù)向東航行，有無觸礁危航行，有無觸礁危險(xiǎn)？請說明理由險(xiǎn)？請說明理由 北北東東ABCD解：（解：（1）AB=360.5=18，ADB=60，DBC=30，ACB=30又又CAB=30，BC=AB=1816，B點(diǎn)在暗礁區(qū)域外點(diǎn)在暗礁區(qū)域外（2）過）過C點(diǎn)作點(diǎn)作CHAF，垂足為，垂足為H，在，在RtCBH中，中，BCH=30，令令BH=x，則，則CH=x，在，在RtACH中，中，CAH=30，AH=CH，18x=-x，x=9，CH=916，船繼續(xù)向東航行有觸礁的危險(xiǎn)船繼續(xù)向東航行有觸礁的危險(xiǎn)答：答：B點(diǎn)在暗礁區(qū)域外，船繼續(xù)向東航行有觸礁的

10、危點(diǎn)在暗礁區(qū)域外，船繼續(xù)向東航行有觸礁的危險(xiǎn)險(xiǎn)北北東東ABC練習(xí)練習(xí)2：如圖所示，氣象臺測得臺風(fēng)中心在某港：如圖所示，氣象臺測得臺風(fēng)中心在某港口口A的正東方向的正東方向400公里處公里處,向西北方向向西北方向BD移動(dòng)，移動(dòng)，距臺風(fēng)中心距臺風(fēng)中心300公里的范圍內(nèi)將受其影響，問港公里的范圍內(nèi)將受其影響，問港口口A是否會受到這次臺風(fēng)的影響？是否會受到這次臺風(fēng)的影響？ABD東東北北45 練習(xí)練習(xí)3：正午：正午10點(diǎn)整，一漁輪在小島點(diǎn)整，一漁輪在小島O的北偏東的北偏東30方向，距離等于方向，距離等于10海里的海里的A處，正以每小時(shí)處，正以每小時(shí)10海里海里的速度向南偏東的速度向南偏東60方向航行，那么

11、漁輪到達(dá)小島方向航行，那么漁輪到達(dá)小島O的正東方向是什么時(shí)間（精確到的正東方向是什么時(shí)間（精確到1分）？分）？OA3060 南南東東BC北北西西例例4 如圖如圖6,公路公路MN和公路和公路PQ在點(diǎn)在點(diǎn)P處交匯處交匯,且且QPN=30,點(diǎn)點(diǎn)A處有處有一所中學(xué)一所中學(xué),AP=160米米,假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí),周圍周圍100米內(nèi)會受到噪聲的米內(nèi)會受到噪聲的影響影響,那么拖拉機(jī)在公路那么拖拉機(jī)在公路MN上沿上沿PN方向行駛時(shí)方向行駛時(shí),學(xué)校是否會受到噪學(xué)校是否會受到噪聲影響聲影響?說明理由說明理由;如果受影響如果受影響,已知拖拉機(jī)速度為已知拖拉機(jī)速度為18千米千米/時(shí)時(shí),那么學(xué)那么學(xué)校受到

12、影響的時(shí)間為多少秒校受到影響的時(shí)間為多少秒?BAQNMP30圖圖6CD解解: 作作ABMN于于B, 在在RtABP中中, ABP=90, APB=30,AP=160 AB= AP=80 點(diǎn)點(diǎn)A到直線到直線MN的距離小于的距離小于100米米 這所中學(xué)會受到噪聲的影響這所中學(xué)會受到噪聲的影響. 2 21 1假設(shè)拖拉機(jī)在公路假設(shè)拖拉機(jī)在公路MN上沿上沿PN方向行駛到方向行駛到點(diǎn)點(diǎn)C處處,學(xué)校開始受到噪聲影響學(xué)校開始受到噪聲影響, 那么那么 AC100(米米), 由勾股定理由勾股定理 BC 60(米米)ABABACAC2 22 2 同理拖拉機(jī)行駛到點(diǎn)同理拖拉機(jī)行駛到點(diǎn)D處處,學(xué)校開始脫離學(xué)校開始脫離

13、噪聲影響噪聲影響,那么那么BD60米米. CD120(米米)0.12千米千米 學(xué)校受噪聲影響的時(shí)間學(xué)校受噪聲影響的時(shí)間t 18千米/小時(shí)18千米/小時(shí)0.12千米0.12千米小時(shí)24秒小時(shí)24秒1501501 1圖圖6（中學(xué)）（中學(xué)）1.解直角三角形解直角三角形, ,就是在直角三角形中就是在直角三角形中, ,知道除直角外的其他知道除直角外的其他 五個(gè)元素中的兩個(gè)五個(gè)元素中的兩個(gè)( (其中至少有一個(gè)是邊其中至少有一個(gè)是邊), ),求出其它元素的求出其它元素的 過程過程. .2.與之相關(guān)的應(yīng)用題有與之相關(guān)的應(yīng)用題有: :求山高或建筑物的高求山高或建筑物的高; ;測量河的寬度測量河的寬度 或物體的長度或物體的長度; ;航行航海問題等航行航海問題等. .解決這類問題的關(guān)鍵就是解決這類問題的關(guān)鍵就是 把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題, ,結(jié)合示意圖結(jié)合示意圖, ,運(yùn)用解直角三角運(yùn)用解直角三角 形的知識形的知識. .3.當(dāng)遇到當(dāng)遇到30,45,6030,45,60等特殊角時(shí)等特殊角時(shí), ,常常添加合適的輔助線分割常常添加合適的輔助線分割 出包含這些角度的直角三角形來解決某些斜三角形的問題出