22 第九章 壓桿穩(wěn)定(2)

1、第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定 9- -1 壓桿穩(wěn)定性的概念壓桿穩(wěn)定性的概念 9- -2 細長中心受壓直桿臨界力的歐拉公式細長中心受壓直桿臨界力的歐拉公式 9- -3 不同桿端約束下細長壓桿臨界力的不同桿端約束下細長壓桿臨界力的 歐拉公式歐拉公式壓桿的長度因數(shù)壓桿的長度因數(shù) 9- -4 歐拉公式的應用范圍歐拉公式的應用范圍臨界應力總圖臨界應力總圖 9- -5 實際壓桿的穩(wěn)定因數(shù)實際壓桿的穩(wěn)定因數(shù) 9- -6 壓桿的穩(wěn)定計算壓桿的穩(wěn)定計算壓桿的合理截面壓桿的合理截面 2021-6-14 2 9-4 9-4 歐拉公式的應用范圍歐拉公式的應用范圍 臨界應力總圖臨界應力總圖 A Fcr cr 一、一、

2、 基本概念基本概念 1.臨界應力：壓桿處于臨界狀態(tài)時橫截面上的平均應力。臨界應力：壓桿處于臨界狀態(tài)時橫截面上的平均應力。 3.柔度：柔度： 2 2 2 2 2 2 )/()( E iL E AL EI A Fcr cr 2.細長壓桿的細長壓桿的臨界應力：臨界應力： 慣性半徑。 A I i ）桿的柔度（或長細比 i L 2 2 E cr 即即： 2021-6-14 3 4.大大柔度桿的分界：柔度桿的分界： Pcr E 2 2 1 2 P E 1 1 12 2 2 2 2 2 )( cr l EI F ba cr scr 2021-6-14 4 i L cr 2 2 E cr 臨界應力總圖臨界應力

3、總圖 ba cr P S b a s 2 2 P 1 E 2 scr 2021-6-14 5 2.拋物線型經(jīng)驗公式拋物線型經(jīng)驗公式 2 11 ba cr S c E AA 56. 0 43. 016 2 53 ，錳鋼：鋼和鋼、對于 。時，由此式求臨界應力 c 我國建筑業(yè)常用：我國建筑業(yè)常用： P s 時：時： 2 1 c scr 1.直線型經(jīng)驗公式直線型經(jīng)驗公式 P S scr ba 2 b a s ba cr 1 12 2 2021-6-14 6 國鋼結(jié)構(gòu)設計中，采用下列形式的拋物線公式國鋼結(jié)構(gòu)設計中，采用下列形式的拋物線公式 2 43. 01 c scr c s c E 57. 0 式中式

4、中 對對Q-235A鋼：鋼： ， ， 則有則有 ， ， MPa s 235 GPaE206 123 c 2 00666. 0235 cr 123 臨界應力總圖 cr 2 )(43. 01 c scr s c E 57. 0 2021-6-14 7 * 注：注：若壓桿上存在釘孔等造成局部削弱的因若壓桿上存在釘孔等造成局部削弱的因 素，不予考慮，一律采用未削弱前的橫素，不予考慮，一律采用未削弱前的橫 截面形狀和尺寸。截面形狀和尺寸。 原因：臨界力大小是壓桿整體變形決定的。原因：臨界力大小是壓桿整體變形決定的。 注意注意: 這里研究的是理想壓杠。這里研究的是理想壓杠。 s 時：時：scr 例題例題1

5、 壓桿截面如圖所示。兩端為柱形鉸鏈約束，若繞壓桿截面如圖所示。兩端為柱形鉸鏈約束，若繞 y 軸失軸失 穩(wěn)可視為兩端固定，若繞穩(wěn)可視為兩端固定，若繞 z 軸失穩(wěn)可視為兩端鉸支。已知，桿長軸失穩(wěn)可視為兩端鉸支。已知，桿長 l=1m ,材料的彈性模量材料的彈性模量E=200GPa， p=200MPa。 求壓桿的臨界應力。求壓桿的臨界應力。 30mm 20mm y z 解：解： 99 1 P E m0058. 0 02. 003. 0 )02. 003. 0( 12 1 3 A I i y y 2 2 2 2 )( cr l EI F Pcr 2 2 2 2 E m0087. 0 A I i z z

6、15 . 0 zy uu 30mm 20mm y z 11586 z z z y y y i lu i lu kN. crcr 5 58989 2 2 2 2 z E AAF 例題例題2 外徑外徑 D = 50 mm，內(nèi)徑，內(nèi)徑 d = 40 mm 的鋼管，兩端鉸的鋼管，兩端鉸 支，材料為支，材料為 Q235鋼，承受軸向壓力鋼，承受軸向壓力 F。試求。試求 （1）能用歐拉公式時壓桿的最小長度；）能用歐拉公式時壓桿的最小長度； （2）當壓桿長度為上述最小長度的）當壓桿長度為上述最小長度的 3/4 時，壓桿的臨界時，壓桿的臨界 應力。應力。 已知：已知： E = 200 GPa， P = 200

7、MPa ， S = 240 MPa ， 用直線公式時，用直線公式時，a = 304 MPa， b =1.12 MPa。 1 10 00 0 1 1 P E 22 22 44 4 1 4 )( 64 )( dD dD dD A I i 100 4 1 22 dD l i l m6 . 1 14 04. 005. 0100 22 min l m2 . 1 4 3 min ll 1 22 75 4 dD l i l 57 12. 1 240304 s 2 b a kN.)()( crcr 5 51 15 55 5 4 4 2 22 2 dDbaAF 2021-6-14 13 9- -5 實際壓桿的穩(wěn)

8、定因數(shù)實際壓桿的穩(wěn)定因數(shù) 為保證實際壓桿具有足夠的穩(wěn)定性，在穩(wěn)定計算中需納 入穩(wěn)定安全因數(shù)nst，取穩(wěn)定條件(stability condition)為 式中，st=cr/nst為壓桿的穩(wěn)定許用應力。 st cr nA F st A F 亦即 由于cr與壓桿的柔度有關(guān)，而且考慮到不同柔度的壓 桿其失穩(wěn)的危險性也有所不同，故所選用的穩(wěn)定安全因數(shù)nst 也隨 變化，因此st是一個與壓桿柔度的關(guān)系比較復雜的量。 2021-6-14 14 為了應用方便，將穩(wěn)定許用應力st寫為材料的強度許用 應力乘以一個隨壓桿柔度變化的穩(wěn)定因數(shù)j =j ()，即 j st cr st cr st nn 我國鋼結(jié)構(gòu)設計規(guī)

9、范根據(jù)對常用截面形式、尺寸和加工 工藝的96根鋼壓桿，并考慮初曲率和加工產(chǎn)生的殘余應力所 作數(shù)值計算結(jié)果，在選取適當?shù)陌踩驍?shù)后，給出了鋼壓桿 穩(wěn)定因數(shù)j與柔度的一系列關(guān)系值。 該規(guī)范按鋼壓桿中殘余應力對臨界應力的影響從小到大 分為a，b，c三類截面。大多數(shù)鋼壓桿可取作b類截面壓桿。 1. 1. 穩(wěn)定性條件穩(wěn)定性條件 (The stability condition) 2.2.計算步驟計算步驟 (Calculation procedure) 計算最大的柔度系數(shù)計算最大的柔度系數(shù) max (2)根據(jù)根據(jù) max 選擇公式計算臨界應力選擇公式計算臨界應力 (3)根據(jù)穩(wěn)定性條件，判斷壓桿的穩(wěn)定性或確

10、定許可根據(jù)穩(wěn)定性條件，判斷壓桿的穩(wěn)定性或確定許可 載荷載荷 一、一、 壓桿的穩(wěn)定校核壓桿的穩(wěn)定校核 (Check the stability of columns) st cr n F F st cr n F F n 16 例例 1 校核斜撐桿的穩(wěn)定性。校核斜撐桿的穩(wěn)定性。F = 12 kN, , 桿外經(jīng)桿外經(jīng)D = 45 mm, , 桿內(nèi)徑桿內(nèi)徑d = 36 mm, , nst = 2.5, , 低碳鋼低碳鋼Q235制成制成 解：解：kN 30.9 , 0 N FM A FN cr=235 MPa- -(0.00669 MPa) 2 2 p=100 17 A I i i l kN 116.8

11、 MPa) (0.00669MPa 235 4 )( 2 22 cr dD F kN 41.4 st cr cr n F F crN kN 30.9 FF kN 30.9 N F )( 4 64 )( 22 44 dD dD m 0144. 0 4 22 dD 1 .98 m 0144. 0 )m 2(1 p crcr AF 例題例題2 活塞桿由活塞桿由45號鋼制成，號鋼制成， S = 350MPa ， P = 280MPa E=210GPa 。長度。長度 l = 703mm ，直徑，直徑 d=45mm 。最大壓力。最大壓力 Fmax = 41.6kN 。規(guī)定穩(wěn)定安全系數(shù)為。規(guī)定穩(wěn)定安全系數(shù)為

12、 nSt = 810 。試校核。試校核 其穩(wěn)定性。其穩(wěn)定性。 活塞桿兩端簡化成鉸支活塞桿兩端簡化成鉸支 解：解： 截面為圓形截面為圓形 8686 1 1 P E 4 d A I i 1 5 .62 i l 不能用歐拉公式計算臨界壓力。不能用歐拉公式計算臨界壓力。 如用直線公式，需查表得：如用直線公式，需查表得： a= 461MPab= 2.568 MPa 2.43 s 2 b a 可由直線公式計算臨界應力可由直線公式計算臨界應力 2 1，所以前面用歐拉公式進行試算是正確的。所以前面用歐拉公式進行試算是正確的。 200 4 d l i l 9797 1 1 P E 例題例題4 AB的直徑的直徑

13、d=40mm，長，長 l=800mm，兩端可視，兩端可視 為鉸支。材料為為鉸支。材料為Q235鋼，彈性模量鋼，彈性模量 E=200GPa。比例極限比例極限 P =200MPa，屈服極限屈服極限 S =240MPa，由由AB桿的穩(wěn)定條件桿的穩(wěn)定條件 求求F。(若用直線公式若用直線公式 a = 304 MPa， b =1.12 MPa )。 A B C F 0.60.3 0.8 0 0 c m 0 06 60 09 90 0 .sin. N FF 8 . 0 6 . 08 . 0 sin 22 FF27272 2. N 99 1 P E 4 d A I i A B C F 0.60.3 0.8 F

14、N 1 80 i l 57 2 b a s 12 MPa cr 214214 ba kN Ncrcr FAF 2 26 68 8 FFN27. 2 A B C F 0.60.3 0.8 2021-6-14 29 例題例題6 圖a，b，c所示兩端球形鉸支的組合截面中心壓 桿，由兩根110 mm70 mm7 mm的角鋼用綴條和綴板 聯(lián)成整體，材料為Q235鋼，強度 許用應力 =170 MPa。試求該壓 桿的穩(wěn)定許用應力。 2021-6-14 30 解：解：1. 確定組合截面形心和形心主慣性軸 圖c所示組合截面的形心離角鋼短肢的 距離顯然就是 y035.7 mm，并落在對稱軸y 軸上。根據(jù)y軸為對稱

15、軸可知，圖c中所示通 過組合截面形心的y軸和z軸就是該組合截面 的形心主慣性軸。 2. 計算組合截面的形心主慣性矩 4444 mm10306mm101532 z I 44 2 244 mm10235 mm5 . 7mm1 .16mm1230mm1001.492 y I 2021-6-14 31 可見，在組合截面對于所有形心軸的慣性矩中，Imax= Iz ， Imin= Iy , 按通常的說法就是 z 軸為強軸，而y軸為弱軸。 3. 計算壓桿的柔度 此壓桿兩端為球形鉸支座，在各個縱向平面內(nèi)對桿端的 約束相同，故失穩(wěn)時橫截面將繞弱軸 y 軸轉(zhuǎn)動。壓桿的柔度 應據(jù)此計算。 mm9 .30 mm123

16、02 mm10235 2 44 A I i y y 97 m109 .30 m31 3 i l 2021-6-14 32 4. 計算壓桿的穩(wěn)定許用應力 按b類截面中心壓桿，由表93 查得97時j0.575，從而得 MPa8 .97 MPa170575. 0 st j 2021-6-14 33 例例7一壓桿長一壓桿長L=1.5m，由兩根，由兩根 56 56 8 等邊角鋼組成，兩端鉸等邊角鋼組成，兩端鉸 支，壓力支，壓力F=150kN，角鋼為，角鋼為A3鋼，試用歐拉公式或拋物線公式鋼，試用歐拉公式或拋物線公式 求求臨界壓力和安全系數(shù)。臨界壓力和安全系數(shù)。 4 1 2 1 cm63.23 ,cm36

17、7.8 y IA zy II cm68. 1 367. 82 26.47 min A I i 1 150 89.3123 1.68 l i 解：一個角鋼：解：一個角鋼： 兩根角鋼圖示組合之后兩根角鋼圖示組合之后 4 1min cm26.4763.2322 yy III 所以，應由拋物線公式求所以，應由拋物線公式求臨界壓力。臨界壓力。 y z 2021-6-14 34 MPa7 .18) 123 3 .89 (43. 01 235)(43. 01 22 c scr kN304107 .18110367. 82 64 crcr AF 304 2.02 150 cr F n F 安全系數(shù)安全系數(shù) 2

18、021-6-14 35 9- -6 壓桿的穩(wěn)定計算壓桿的穩(wěn)定計算壓桿的合理截面壓桿的合理截面 中心壓桿的穩(wěn)定條件可以表達為 j A F 需要注意的是，式中A所表示的橫截面面積，即使當壓桿被 釘孔等局部削弱時也還采用不考慮削弱的毛面積，因為壓桿 的穩(wěn)定性取決于整體的抗彎能力，受局部削弱的影響很小。 這與強度計算中必須以橫截面被釘孔等削弱后的凈面積為依 據(jù)是有所不同的。 2021-6-14 36 在穩(wěn)定計算中如需按穩(wěn)定條件選擇壓桿的橫截面尺寸， 那么由于查表確定穩(wěn)定因數(shù)j 時需要依據(jù)與截面尺寸相關(guān)的 柔度，所以要用試算法。 壓桿的臨界應力隨柔度 的減小而增大， 因而當桿端約束在各縱向平面內(nèi)相同時，

19、壓桿的合理截面應 是： . 對兩個形心主慣性軸的慣性半徑相等的截面，亦即兩個 形心主慣性矩相等( Imax= Imin)的截面； . 在橫截面面積相同的條件下，對形心主慣性軸的慣性半 徑盡可能大的截面，亦即形心主慣性矩盡可能大的截面。 A I l i l 2021-6-14 37 對于桿端約束在壓桿各縱向平面內(nèi)不同的情況，其橫截面 以使壓桿在各縱向平面內(nèi)的柔度相同或接近相同為合理。 圖示截面中，對于桿端 約束在各縱向平面內(nèi)相同的 壓桿來說，正方形截面較矩 形截面合理；圓截面合理， 且空心圓截面較實心圓截面 更合理。圖e所示組合截面 其兩個槽鋼的形心間距離h 以能使Iy等于或稍大于Iz者為 合理

20、。 2021-6-14 39 例題例題1 圖示為簡易起重裝 置，其扒桿(圖中的斜桿)為平 均直徑d =300 mm的紅松，長 度 l6 m，順紋抗壓強度許用 應力 10 MPa。試求該扒 桿所能承受的許可壓力值。 2021-6-14 40 解解：1. 我國規(guī)范的有關(guān)規(guī)定 我國木結(jié)構(gòu)設計規(guī)范中對木制壓桿，按樹種的彎曲 強度分兩類給出穩(wěn)定因數(shù)j 的計算公式。紅松屬于樹種 強度TC13級(“13”表示彎曲強度為13 MPa)，該等級所屬 分類的穩(wěn)定因數(shù)計算公式為 2 65 1 1 j 91時 91時 2 2800 j 2021-6-14 41 2. 扒桿的柔度 該扒桿在軸向壓力作用下如果在 圖示平面

21、內(nèi)失穩(wěn)，則由于其上端受水 平鋼絲繩的約束而基本上不能產(chǎn)生側(cè) 向位移而只能轉(zhuǎn)動，其下端由于銷釘 的約束也只能轉(zhuǎn)動，故扒桿大致相當 于兩端鉸支壓桿，長度因數(shù)可取為 1。 扒桿在垂直于圖示平面的方向，其上 端通常沒有任何約束，而下端由于受 銷釘約束基本上不能轉(zhuǎn)動而可視為固 定端，故長度因數(shù)可取為2。 2021-6-14 42 比較扒桿在兩個相互垂直平面內(nèi)的長度因數(shù)，并注意到 這是圓截面桿可知，決定該扒桿許可壓力的是垂直于圖示平面 內(nèi)的穩(wěn)定性。從而有 160 m3 . 0 4 1 m62 A I l i l 3. 穩(wěn)定因數(shù)及許可壓力 因 91，故按下式計算穩(wěn)定因數(shù)： 109. 0 160 280028

22、00 22 j 從而有許可壓力： kN77m3 . 0 4 Pa1010109. 0 2 6 AFj 2021-6-14 43 例題例題2 2 廠房的鋼柱由兩根槽鋼組 成，并由綴板和綴條聯(lián)結(jié)成整體，承 受軸向壓力F=270 kN。根據(jù)桿端約束 情況，該鋼柱的長度因數(shù)取為1.3。 鋼柱長7 m，材料為Q235鋼，強度許用 應力=170 MPa。該柱屬于b類截面 中心壓桿。由于桿端連接的需要，其 同一橫截面上有4個直徑為d0=30 mm的 釘孔。試為該鋼柱選擇槽鋼號碼。 2021-6-14 44 解解：1. 按穩(wěn)定條件選擇槽鋼號碼 為保證此槽鋼組合截面壓桿在xz平面內(nèi)和xy平面內(nèi)具有 同樣的穩(wěn)定性

23、，應根據(jù)y=z確定兩槽鋼的合理間距h。現(xiàn)先 按壓桿在xy平面內(nèi)的穩(wěn)定條件通過試算選擇槽鋼號碼。 假設j0.50，得到壓桿的穩(wěn)定許用應力為 MPa85MPa17050. 0 st j 因而按穩(wěn)定條件算得每根槽鋼所需橫截面面積為 24 6 3 st m109 .15 Pa1085 2/N102702/ F A 2021-6-14 45 由型鋼表查得，14a號槽鋼的橫截面面積為 A =18.51 cm2 18.5110-4 m2，而它對z軸的慣性半徑為iz=5.52 cm=55.2 mm。 下面來檢查采用兩根14a號槽鋼的組合截面柱其穩(wěn)定因 數(shù)j 是否不小于假設的j 0.5。 165 m102 .5

24、5 m73 . 1 3 z i l 注意到此組合截面對于z 軸的慣性 矩 Iz 和面積 A 都是單根槽鋼的兩倍， 故組合截面的iz 值就等于單根槽鋼的iz 值。于是有該組合截面壓桿的柔度： 2021-6-14 46 由表9-3查得，Q235鋼b類截面中心壓桿相應的穩(wěn)定因數(shù)為j 0.262。 顯然，前面假設的j0.5這個值過大，需重新假設j 值再來 試算；重新假設的j 值大致上取以前面假設的j0.5和所得 的j0.262的平均值為基礎稍偏于所得j 的值。 重新假設j0.35，于是有 MPa5 .59MPa17035. 0 st j 24 6 3 st m107 .22 Pa105 .59 N10

25、1352/ F A 2021-6-14 47 試選16號槽鋼，其 A=25.1510-4 m2，iz=61 mm，從而有組合 截面壓桿的柔度： 2 .149 m1061 m73 . 1 3 由表9-3得j 0.311，它略小于假設的j0.35?，F(xiàn)按采用2根 16號槽鋼的組合截面柱而j0.311進行穩(wěn)定性校核。此時穩(wěn) 定許用應力為 MPa9 .52MPa170311. 0 st j 按橫截面毛面積算得的工作應力為 MPa7 .53 m1015.25 N101352/ 24 3 A F 2021-6-14 48 雖然工作應力超過了穩(wěn)定許用應力，但僅超過1.5，這是允 許的。 2. 計算鋼柱兩槽鋼的

26、合理間距 由于認為此鋼柱的桿端約 束在各縱向平面內(nèi)相同，故要 求組合截面的柔度y=z。 根據(jù) 可知， 也就是要求組合截面的慣性矩 Iy = Iz。 A I l i l 2021-6-14 49 如果z0，Iy0，Iz0，A0分別代表單根槽鋼的形心位置和自身的 形心主慣性矩以及橫截面面積則IyIz的條件可表達為 2 00 2 22 00 h zAII yz 亦即 2 0 2 0 2 0 2 22 00 h ziAiA yz 消去公因子2A0后有 2 0 22 2 00 h zii yz 在選用16號槽鋼的情況下，上式為 2 22 2 mm5 .17mm2 .18mm61 h 2021-6-14

27、50 由此求得 h81.4 mm。實際采用的間距h不應小于此值。 3. 按鋼柱的凈橫截面積校核強度 鋼柱的凈橫截面積為 23 33 24 0 m10830. 3 m1030m10104 m1015.252 42 dA 按凈面積算得的用于強度計算的工作應力為 MPa5 .70 m10830. 3 N10270 42 23 3 0 dA F 它小于強度許用應力=170 MPa，滿足強度條件。 2021-6-14 51 例題例題3 3 機械中的工字形截面連桿，兩端為柱形鉸，從而該 連桿如在xy平面內(nèi)失穩(wěn)，可取長度因數(shù)z=1.0；如在xz平面內(nèi)失 穩(wěn)，則可取y=0.6。已知：連桿由Q235鋼鍛造成型，

28、它屬于a類 截面中心壓桿。該連桿承受的最大軸向壓力為F = 35 kN，材料 的強度許用應力 =206 MPa。試校核其穩(wěn)定性。 2021-6-14 52 解：解：1. 工字形截面面積A和形心主慣性矩Iz，Iy 2 mm552mm22mm62mm24mm12A 44 2 3 3 mm1040. 7 mm15mm6mm22 12 mm6mm22 2 12 mm24mm12 z I 44 33 mm1041. 1 12 mm22mm6 2 12 mm12mm24 y I z 2021-6-14 53 2. 橫截面對z軸和對y軸的慣性半徑iz，iy mm58.11 mm552 mm1040. 7 2 44 A I i z z mm05. 5 mm552 mm1041. 1 2 44 A I i y y 3. 連桿的柔度 連桿兩端在局部為矩形截面，它的形心主慣性矩為 4444 mm1019. 3 mm1055. 8 yz II 分別比工字形截面的 Iz 和 Iy 大了15.5和126， Iy遠大于 Iy。 2021-6-14 54 8 .64 mm58.11 mm7500 . 1 1 z z z i l 9 .68 mm05. 5 mm5806 . 0 2 y y y i l 這就表明兩端的矩形截面部分對中間工字