第五章概率與正態(tài)分布

1、第五章第五章 概率與正態(tài)分布概率與正態(tài)分布 概率基本知識概率基本知識 隨機(jī)事件隨機(jī)事件 概率的兩個基本法則概率的兩個基本法則 正態(tài)分布正態(tài)分布 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 正態(tài)分布特點(diǎn)正態(tài)分布特點(diǎn)(標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布) 正態(tài)分布表正態(tài)分布表 正態(tài)分布曲線下面積的應(yīng)用正態(tài)分布曲線下面積的應(yīng)用概率基本知識概率基本知識 隨機(jī)現(xiàn)象與確定性現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象與確定性現(xiàn)象 拋硬幣，落地時，正面向上。拋硬幣，落地時，正面向上。 擲一粒骰子，擲出點(diǎn)（不可能事件）。擲一粒骰子，擲出點(diǎn)（不可能事件）。 向空中拋一塊石頭，落到地上（必然事件）。向空中拋一塊石頭，落到地上（必然事件）。 隨機(jī)事件：隨機(jī)現(xiàn)象的各種可能結(jié)果（也隨機(jī)

2、事件：隨機(jī)現(xiàn)象的各種可能結(jié)果（也稱為稱為“事件事件”，用大寫字母，用大寫字母a，b，c等表等表示）示） 基本事件：不能分解的基本事件：不能分解的 復(fù)合事件：可分解的復(fù)合事件：可分解的事件的概率事件的概率 1.頻率頻率 事件發(fā)生的概率與頻率有關(guān)。對于隨機(jī)事件事件發(fā)生的概率與頻率有關(guān)。對于隨機(jī)事件a，如果在如果在n次試驗(yàn)中出現(xiàn)次試驗(yàn)中出現(xiàn)a次，則次，則a發(fā)生的頻率記作發(fā)生的頻率記作 f（a）=a/n 頻率滿足不等式頻率滿足不等式0f（a） 1事件的概率事件的概率 經(jīng)驗(yàn)概率經(jīng)驗(yàn)概率對多次重復(fù)相同或相似試驗(yàn)所得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行分對多次重復(fù)相同或相似試驗(yàn)所得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，獲得事件發(fā)生的相對頻率，作為對此

3、事件析，獲得事件發(fā)生的相對頻率，作為對此事件發(fā)生概率的一個估計(jì)。發(fā)生概率的一個估計(jì)。( ),ap ann 事件的概率事件的概率 先驗(yàn)概率先驗(yàn)概率 當(dāng)試驗(yàn)滿足當(dāng)試驗(yàn)滿足:試驗(yàn)中各種可能結(jié)果（基本事件）是試驗(yàn)中各種可能結(jié)果（基本事件）是有限的，并且每種結(jié)果發(fā)生的可能性是不變時，有限的，并且每種結(jié)果發(fā)生的可能性是不變時，則某事件發(fā)生的概率等于該事件包含的基本事件則某事件發(fā)生的概率等于該事件包含的基本事件數(shù)除以試驗(yàn)中可能發(fā)生的基本事件總件數(shù)之商。數(shù)除以試驗(yàn)中可能發(fā)生的基本事件總件數(shù)之商。 設(shè)設(shè)n代表可能發(fā)生的基本事件總數(shù)，代表可能發(fā)生的基本事件總數(shù)，k代表事件代表事件a包含的基本事件數(shù)，則包含的基本事

4、件數(shù)，則a事件發(fā)生的概率為：事件發(fā)生的概率為：( )kp an 關(guān)于兩種概率的理解關(guān)于兩種概率的理解拋一枚硬幣，落地時正面朝上的概率是多少？拋一枚硬幣，落地時正面朝上的概率是多少？先驗(yàn)概率：先驗(yàn)概率：經(jīng)驗(yàn)概率經(jīng)驗(yàn)概率：大數(shù)定律：試驗(yàn)次數(shù)越大，大數(shù)定律：試驗(yàn)次數(shù)越大，p(a)的相對頻率估計(jì)越好。的相對頻率估計(jì)越好。5 . 021)(nkap50粒不同顏色的石子放入一只瓶子并且完全粒不同顏色的石子放入一只瓶子并且完全混合在一起，石子中有混合在一起，石子中有25粒藍(lán)色，粒藍(lán)色，20粒綠粒綠色和色和5粒紅色。如果閉上眼睛從瓶子中取出粒紅色。如果閉上眼睛從瓶子中取出一粒石子，計(jì)算以下概率：一粒石子，計(jì)算

5、以下概率：（1）p(紅色石子紅色石子)（2）p(藍(lán)色或紅色石子藍(lán)色或紅色石子)在某大城市一家醫(yī)院的產(chǎn)房，去年出生在某大城市一家醫(yī)院的產(chǎn)房，去年出生1060個男嬰個男嬰和和1000個女嬰，假設(shè)這些數(shù)據(jù)表示了全部出生情個女嬰，假設(shè)這些數(shù)據(jù)表示了全部出生情況，在該醫(yī)院下一個出生的嬰兒是男嬰的概率是況，在該醫(yī)院下一個出生的嬰兒是男嬰的概率是多少？是女嬰的概率是多少？多少？是女嬰的概率是多少？49. 020601000)(51. 020601060)(napnap女嬰男嬰 概率的性質(zhì)概率的性質(zhì)(1)任何隨機(jī)事件的概率都是不小于零且不大于的任何隨機(jī)事件的概率都是不小于零且不大于的數(shù)。數(shù)。1)(0ap(2)

6、不可能事件的概率等于零。不可能事件的概率等于零。(3)必然事件的概率等于。必然事件的概率等于。(4)兩個互逆事件（對立事件）的概率之和等于，兩個互逆事件（對立事件）的概率之和等于，逆事件的概率逆事件的概率(5)小概率事件，小概率事件，p(a)0.05)(1)(apap 概率的兩個基本法則概率的兩個基本法則 概率的加法法則：兩個互不相容事件概率的加法法則：兩個互不相容事件a、b之和的概之和的概率等于兩個事件分別發(fā)生的概率之和。率等于兩個事件分別發(fā)生的概率之和。)()()(bpapbap互不相容事件：一次試驗(yàn)中不可能同時出現(xiàn)的事件互不相容事件：一次試驗(yàn)中不可能同時出現(xiàn)的事件稱為互不相容事件。稱為互

7、不相容事件。在在9道試題中，有道試題中，有6道選擇題，道選擇題，2道是非題，道是非題，1道填空道填空題，隨機(jī)抽出一道題為是非題或選擇題的概率是題，隨機(jī)抽出一道題為是非題或選擇題的概率是多少？多少？解：解：89.0989692)(96)(92)(是非題或選擇題選擇題是非題ppp 概率的兩個基本法則概率的兩個基本法則 乘法法則：兩個相互獨(dú)立事件乘法法則：兩個相互獨(dú)立事件a、b同時發(fā)生的概率同時發(fā)生的概率等于兩個事件分別發(fā)生的概率的積。等于兩個事件分別發(fā)生的概率的積。)()()(bpapbap相互獨(dú)立事件：一個事件的發(fā)生概率與另一個相互獨(dú)立事件：一個事件的發(fā)生概率與另一個事件的發(fā)生與否無關(guān)。事件的發(fā)

8、生與否無關(guān)。 兩道四選一題，憑猜測做對一題的概率是兩道四選一題，憑猜測做對一題的概率是多少？多少？3/8 設(shè)第一題做對為事件設(shè)第一題做對為事件a，做錯為事件，做錯為事件 ，第，第二題做對為事件二題做對為事件b，做錯為事件，做錯為事件 ，做對第，做對第一題的概率為一題的概率為 ,做對第二題的概率為做對第二題的概率為abp abp ab正態(tài)分布正態(tài)分布 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 正態(tài)分布特點(diǎn)正態(tài)分布特點(diǎn)(標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布) 正態(tài)分布表正態(tài)分布表 正態(tài)分布曲線下面積的應(yīng)用正態(tài)分布曲線下面積的應(yīng)用隨機(jī)變量：隨機(jī)現(xiàn)象的函數(shù)化隨機(jī)變量：隨機(jī)現(xiàn)象的函數(shù)化隨機(jī)變量：表示隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果的變量隨機(jī)變量：表示隨機(jī)現(xiàn)象

9、結(jié)果的變量在隨機(jī)現(xiàn)象中有很多樣本點(diǎn)本身就是用數(shù)量表示的，由于樣本在隨機(jī)現(xiàn)象中有很多樣本點(diǎn)本身就是用數(shù)量表示的，由于樣本點(diǎn)出現(xiàn)的隨機(jī)性，其數(shù)量呈現(xiàn)為隨機(jī)變量。點(diǎn)出現(xiàn)的隨機(jī)性，其數(shù)量呈現(xiàn)為隨機(jī)變量。 擲一顆骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)擲一顆骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)x是一個隨機(jī)變量是一個隨機(jī)變量 每天進(jìn)入某超市的顧客數(shù)每天進(jìn)入某超市的顧客數(shù)y；顧客購買商品的件數(shù)；顧客購買商品的件數(shù)u；顧客排隊(duì)等；顧客排隊(duì)等候付款的時間候付款的時間v。y,u,v是三個不同的隨機(jī)變量。是三個不同的隨機(jī)變量。在隨機(jī)現(xiàn)象中還有不少樣本點(diǎn)本身不是數(shù)，這時可根據(jù)研究需在隨機(jī)現(xiàn)象中還有不少樣本點(diǎn)本身不是數(shù)，這時可根據(jù)研究需要設(shè)計(jì)隨機(jī)變量。要設(shè)計(jì)隨機(jī)

10、變量。 檢查一個產(chǎn)品，只考察合格與否，則其樣本空間為檢查一個產(chǎn)品，只考察合格與否，則其樣本空間為合格品，不合合格品，不合格品格品，這時可設(shè)計(jì)一個隨機(jī)變量，這時可設(shè)計(jì)一個隨機(jī)變量x如下：如下：樣本點(diǎn)樣本點(diǎn)x的取值的取值合格品0不合格品1 定義在樣本空間定義在樣本空間 上的實(shí)值函數(shù)上的實(shí)值函數(shù)x=x（w）稱為隨機(jī)變量。稱為隨機(jī)變量。 將事件映射為數(shù)字將事件映射為數(shù)字 可以將概率研究定量化，引入分布函數(shù)可以將概率研究定量化，引入分布函數(shù) 設(shè)設(shè)x是一個隨機(jī)變量，對任意實(shí)數(shù)是一個隨機(jī)變量，對任意實(shí)數(shù)x，稱，稱 f（x）=p（x=x） 為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量x的分布函數(shù)。的分布函數(shù)。 離散型隨機(jī)變量離散型隨

11、機(jī)變量 隨機(jī)變量隨機(jī)變量x只取有限或可列無窮多個值。只取有限或可列無窮多個值。 例：某學(xué)生做一道正誤判斷題，做對記分，例：某學(xué)生做一道正誤判斷題，做對記分，做錯記分。他在這道題的得分為隨機(jī)變量做錯記分。他在這道題的得分為隨機(jī)變量x 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量 隨機(jī)變量隨機(jī)變量x可以取無限的且是不可列的值?？梢匀o限的且是不可列的值。 例：某公共汽車停車點(diǎn)上乘客候車的時間記為例：某公共汽車停車點(diǎn)上乘客候車的時間記為隨機(jī)變量隨機(jī)變量y 概率分布概率分布 隨機(jī)變量各取值的概率構(gòu)成的分布隨機(jī)變量各取值的概率構(gòu)成的分布某學(xué)生參加一次數(shù)學(xué)競賽，共回答三個問題，求該生答某學(xué)生參加一次數(shù)學(xué)競賽，共回答三個問

12、題，求該生答對題數(shù)的概率分布。對題數(shù)的概率分布?？紤]全班考慮全班153位同學(xué)體重的概率分布，若體重位同學(xué)體重的概率分布，若體重以千克為單位，可以精確到無限小數(shù)位，你以千克為單位，可以精確到無限小數(shù)位，你能否列表顯示各種取值的概率？能否列表顯示各種取值的概率？ 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量x有無限多個可能的取值，那么有無限多個可能的取值，那么任何一個特殊值的概率都是任何一個特殊值的概率都是0。 由于由于x的取值是不可數(shù)的，則對應(yīng)的概率密度也的取值是不可數(shù)的，則對應(yīng)的概率密度也是不可數(shù)的。是不可數(shù)的。 連續(xù)型概率分布不能表示為列表的形式，只能連續(xù)型

13、概率分布不能表示為列表的形式，只能表示為連續(xù)型的曲線或者該曲線的函數(shù)表達(dá)式表示為連續(xù)型的曲線或者該曲線的函數(shù)表達(dá)式 連續(xù)型分布不能計(jì)算某一點(diǎn)的概率，只能計(jì)算連續(xù)型分布不能計(jì)算某一點(diǎn)的概率，只能計(jì)算兩點(diǎn)間的概率，以曲線下的面積表示。兩點(diǎn)間的概率，以曲線下的面積表示。圖圖5.1連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布223368.395.499.7密密度度連續(xù)隨機(jī)變量（連續(xù)隨機(jī)變量（x）圖圖5.2 正態(tài)分布曲線正態(tài)分布曲線正態(tài)概率分布（正態(tài)分布）正態(tài)概率分布（正態(tài)分布）)(21)(222)(xexfxx)(xf正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)正態(tài)分布曲線的特點(diǎn) 鐘形軸對稱曲線，對稱軸是隨機(jī)變量的平均數(shù)鐘

14、形軸對稱曲線，對稱軸是隨機(jī)變量的平均數(shù)。 正態(tài)分布曲線的位置和形狀分別由平均數(shù)正態(tài)分布曲線的位置和形狀分別由平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差決定。和標(biāo)準(zhǔn)差決定。 平均數(shù)大小決定圖形向左移或右移。平均數(shù)大小決定圖形向左移或右移。 標(biāo)準(zhǔn)差大小決定圖形的陡峭程度，即縱線的最大標(biāo)準(zhǔn)差大小決定圖形的陡峭程度，即縱線的最大值。值。012 3 4 56 7812341015圖圖5.3平均數(shù)不等，標(biāo)準(zhǔn)差相等的正態(tài)分布示意圖平均數(shù)不等，標(biāo)準(zhǔn)差相等的正態(tài)分布示意圖xy10 1 2 3 4 53245xy5 . 016 . 1圖圖5.4平均數(shù)相等，標(biāo)準(zhǔn)差不等的正態(tài)分布示意圖平均數(shù)相等，標(biāo)準(zhǔn)差不等的正態(tài)分布示意圖標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分

15、布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)即服的正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)即服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)： 曲線最高點(diǎn)為（曲線最高點(diǎn)為（z0，y=0.3989）。曲線下的總面積即概率總和為，）。曲線下的總面積即概率總和為，對稱軸兩邊各為對稱軸兩邊各為0.5。 曲線是以過曲線是以過z=0的縱線為對稱軸，兩側(cè)橫坐標(biāo)絕對值相等的對應(yīng)點(diǎn)高度相的縱線為對稱軸，兩側(cè)橫坐標(biāo)絕對值相等的對應(yīng)點(diǎn)高度相等，對應(yīng)的曲線下面積相等。等，對應(yīng)的曲線下面積相等。 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的平均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)三點(diǎn)重合在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的平均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)

16、三點(diǎn)重合在z=0這一點(diǎn)上。這一點(diǎn)上。 曲線與對稱軸交點(diǎn)處曲線與對稱軸交點(diǎn)處y值最大，即此處觀測值的相對次數(shù)最大，概率最大；值最大，即此處觀測值的相對次數(shù)最大，概率最大；正態(tài)分布表正態(tài)分布表 根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線的函數(shù)公式進(jìn)行計(jì)根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線的函數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算編制而成的。通過算編制而成的。通過z值可查值可查y值或值或p值，值，也可通過也可通過p值查值查z值。值。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中各變量的含義標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中各變量的含義 已知下列已知下列z值，查表求值，查表求p值。值。 （1）z-1與與z1之間的概率之間的概率 （2）z-2與與z2之間的概率之間的概率 （3）z-3與與z3之間的概率之間的概率

17、 （4）z-1.96與與z1.96之間的概率之間的概率 （5）z-2.58與與z2.58之間的概率之間的概率 利用正態(tài)分布表求：利用正態(tài)分布表求： （1）正態(tài)曲線下）正態(tài)曲線下z1.34處左側(cè)的面積處左側(cè)的面積 （2）正態(tài)曲線下）正態(tài)曲線下z2.16處右側(cè)的面積處右側(cè)的面積 （3）正態(tài)曲線下）正態(tài)曲線下z-1.64處左側(cè)的面積處左側(cè)的面積 （4）正態(tài)曲線下）正態(tài)曲線下z-1.5處右側(cè)的面積處右側(cè)的面積 利用正態(tài)分布表求：利用正態(tài)分布表求： （1）中央）中央50的面積的下限的面積的下限z值和上限值和上限z值值 （2）正態(tài)曲線下右尾）正態(tài)曲線下右尾20的面積的下限的面積的下限z值值 （3）正態(tài)曲線

18、下左側(cè)）正態(tài)曲線下左側(cè)30的面積的上限的面積的上限z值值標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下面積的應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下面積的應(yīng)用 使用前提：使用前提： 隨機(jī)變量（隨機(jī)變量（x）服從或近似正態(tài)分布，其標(biāo)準(zhǔn)）服從或近似正態(tài)分布，其標(biāo)準(zhǔn)化后的變量（化后的變量（z）才能服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，才）才能服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，才能應(yīng)用正態(tài)分布表（標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線）的規(guī)能應(yīng)用正態(tài)分布表（標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線）的規(guī)律進(jìn)行概率的計(jì)算。律進(jìn)行概率的計(jì)算。 解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵 畫出正態(tài)分布曲線示意圖畫出正態(tài)分布曲線示意圖 注意題意轉(zhuǎn)換成注意題意轉(zhuǎn)換成z、p推求考試成績特定區(qū)間內(nèi)的人數(shù)推求考試成績特定區(qū)間內(nèi)的人數(shù) 已知某年級已知某年級200名學(xué)生考試成績呈

19、正態(tài)分布，名學(xué)生考試成績呈正態(tài)分布，平均分為平均分為85分，標(biāo)準(zhǔn)差為分，標(biāo)準(zhǔn)差為10分，學(xué)生甲的分，學(xué)生甲的成績?yōu)槌煽優(yōu)?0分，問全年級成績比學(xué)生甲低的分，問全年級成績比學(xué)生甲低的學(xué)生人數(shù)是多少？學(xué)生人數(shù)是多少？圖圖5.6運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線解題（一）運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線解題（一）70,10,85甲解：已知xx5 . 1108570xxz甲學(xué)生甲的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)人。績低的人數(shù)約為答：全年級中比甲生成人左側(cè)的面積為所以13)(1306681. 020006681. 0433319. 05 . 05 . 1z;433319. 0, 5 . 1pz則查正態(tài)分布表， 已知某省有已知某省有86582名考生參加

20、名考生參加1998年全國年全國普通高校招生入學(xué)數(shù)學(xué)考試，總體成績服普通高校招生入學(xué)數(shù)學(xué)考試，總體成績服從均值為從均值為66分、標(biāo)準(zhǔn)差為分、標(biāo)準(zhǔn)差為19.79分的正態(tài)分分的正態(tài)分布，試問下列范圍內(nèi)的人數(shù)有多少？布，試問下列范圍內(nèi)的人數(shù)有多少？（1）6072分；分；（2）72分以上。分以上。推求考試成績中某一特定人數(shù)比率的分?jǐn)?shù)界限推求考試成績中某一特定人數(shù)比率的分?jǐn)?shù)界限 某次招生考試，學(xué)生成績符合正態(tài)分布，某次招生考試，學(xué)生成績符合正態(tài)分布，學(xué)生成績的平均分為學(xué)生成績的平均分為80分，標(biāo)準(zhǔn)差為分，標(biāo)準(zhǔn)差為10分，分，要擇優(yōu)錄取要擇優(yōu)錄取25的學(xué)生進(jìn)入高一級學(xué)校學(xué)的學(xué)生進(jìn)入高一級學(xué)校學(xué)習(xí)，問最低分?jǐn)?shù)

21、線應(yīng)是多少分？習(xí)，問最低分?jǐn)?shù)線應(yīng)是多少分？25圖圖5.7運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線解題（二）運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線解題（二）a 解：已知解：已知1.擇優(yōu)擇優(yōu)25錄取，設(shè)分?jǐn)?shù)線在錄取，設(shè)分?jǐn)?shù)線在a點(diǎn)，則點(diǎn)，則a點(diǎn)右側(cè)的點(diǎn)右側(cè)的的概率為的概率為0.252.那么那么a 點(diǎn)的點(diǎn)的p為為0.5-0.250.253.查正態(tài)分布表查正態(tài)分布表p=0.25時，時，z=0.674.將將z0.67通過公式通過公式轉(zhuǎn)換成原始分?jǐn)?shù)即可，得到轉(zhuǎn)換成原始分?jǐn)?shù)即可，得到a點(diǎn)的分?jǐn)?shù)為點(diǎn)的分?jǐn)?shù)為86.7分分 答：擇優(yōu)錄取答：擇優(yōu)錄取25的人的話，最低分?jǐn)?shù)線應(yīng)為的人的話，最低分?jǐn)?shù)線應(yīng)為86.7分。分。,10,80xxxz 某次數(shù)學(xué)競賽，學(xué)生成績呈正態(tài)分布，參賽某次數(shù)學(xué)競賽，學(xué)生成績呈正態(tài)分布，參賽學(xué)生學(xué)生200人，平均分人，平均分66.78分，標(biāo)準(zhǔn)差為分，標(biāo)準(zhǔn)差為9.19分