第四章統(tǒng)計量與抽樣分布

1、第四章 統(tǒng)計量與抽樣分布4.1 總體和樣本的統(tǒng)計分布p1.總體分布和樣本性質(zhì) 總體總體 研究對象全體元素組成的集合 所研究的對象的某個(或某些)數(shù)量指標(biāo)的全體,它是一個隨機(jī)變量(或多維隨機(jī)變量).記為x . 即總體的每個數(shù)量指標(biāo),可看作隨機(jī)變量 x 的某個取值.用 表示.ix樣本樣本 從總體中抽取的部分個體.稱 為總體 x 的一個容量為n的樣本觀測值,或稱樣本的一個實現(xiàn).),(21nxxx),(21nxxx用 表示, n 為樣本容量.樣本空間樣本空間 樣本所有可能取值的集合. 若總體 x 的樣本 滿足:),(21nxxx一般,對有限總體,放回抽樣所得到的樣本為簡單隨機(jī)樣本,但使用不方便,常用不

2、放回抽樣代替.nxxx,21(1) 與x 有相同的分布nxxx,21(2) 相互獨立),(21nxxx則稱 為簡單隨機(jī)樣本.簡單隨機(jī)樣本簡單隨機(jī)樣本設(shè)總體 x 的分布函數(shù)為f (x),則樣本niinxfxxxf121)(),(總?cè)艨傮wx 的密 d.f.為 f( x),則樣本niinxfxxxf121)(),(總的聯(lián)合 d.f.為),(21nxxx的聯(lián)合分布函數(shù)為例如例如 設(shè)某批產(chǎn)品共有n 個,其中的次品數(shù)為m, 其次品率為 nmp/若 p 是未知的,則可用抽樣方法來估計它.所取的產(chǎn)品不是次品所取的產(chǎn)品是次品, 0, 1xx 服從參數(shù)為p 的0-1分布,可用如下表示方法:1 , 0,)1 (),

3、(1xpppxfxx從這批產(chǎn)品中任取一個產(chǎn)品,用隨機(jī)變量x來描述它是否是次品:設(shè)有放回地抽取一個容量為 n 的樣本),(21nxxx),(21nxxx的聯(lián)合分布為niiniixnxniinppxfxxxf11)1 ()(),(121總),(21nxxx其樣本值為, 2 , 1, 1 , 0),(21nixxxxin樣本空間為設(shè) 是取自總體x 的一個樣本, ),(21nxxx),(21nrrrg),(21nxxxg為一實值連續(xù)函數(shù),且不含有未知參數(shù),),(21nxxxg則稱隨機(jī)變量為統(tǒng)計量統(tǒng)計量.),(21nxxx若是一個樣本值,稱),(21nxxxg的一個樣本值為統(tǒng)計量定義定義4.2 統(tǒng)計量統(tǒng)

4、計量例例 是未知參數(shù), 22, ),(nx若 , 已知,則為統(tǒng)計量是一樣本,),(21nxxxniiniixxnsxnx122111,1是統(tǒng)計量, 其中),(2nxi則但niix1221不是統(tǒng)計量.常用的統(tǒng)計量常用的統(tǒng)計量niixnx11) 1 (為樣本均值樣本均值niixxns12211)2(為樣本方差樣本方差niixxns1211為樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本標(biāo)準(zhǔn)差),(21nxxx設(shè)是來自總體 x 的容量為 n 的樣本,稱統(tǒng)計量nikikxna11) 3 (為樣本的k 階原點矩原點矩nikikxxnb11) 4(為樣本的k 階中心矩中心矩例如21222111nniisxxnsnnbxa順序統(tǒng)計量順序統(tǒng)

5、計量設(shè)),(21nxxx為樣本,),(21nxxx為樣本值,且*2*1nxxx當(dāng)),(21nxxx取值為),(21nxxx時,定義 r.v.nkxxkk, 2 , 1,*)(則稱統(tǒng)計量)()2()1(,nxxx為順序統(tǒng)計量順序統(tǒng)計量.其中,max,min1)(1)1(knknknkxxxx稱)1()(xxdnn為極差極差11()()nkkiie ae xn() (1,2,)kke xk11() (1,2,)nkkie xkn12 , , nxxx12 , kkknxxxkx11, nkikkipaxnn 1212(,)(,), kkpg a aagn 1,2,k12,nx xx)(xfxkgx

6、12,nxxxx222(), (), ()e xd xe sn11()()niie xexn11()niie xn11()()niid xdxn211()niid xn2n2 (1)ns2(),()e xd x21()()niixx21()niixx2211()2()()()nniiiixxxnx221()()niixn x2221()2 ()()niixn xn x2221 (1) ()()()niine se xne x221ninn2(1)n22 ()e s11niixxn2211()1niisxxn12,nx xx12,nx xx12,nx xx12,nx xx4.3 抽樣分布12,n

7、x xx12(,)ng x xx2,t,f0 , 0 0,)2/(21)(2/12/2/yyeynyfynn222212nxxx3 2 1 o6 5 49 8 721 11 0151 41 3101 . 002 . 003 . 004 . 0y)(yf1n2 n4n6n11n2) 1 , 0 ( nx12,nx xx2222.( )nn210( ) (0)xz zxe dxz22221212 ()nn22221122(),(),nn2212,22221212()kknnn22() ,1,2, ,iinik22212,k222212nyyy122212nxxx122212nxxx222212ny

8、yy22( ),n22(), ()2en dn12r.v ,nxxxn) 1 , 0(n222212nxxx221()()niixee21()niie x1()niid x11nin21()nd x42211 () () n e xe x2421(1)2xnxedxnn2) 13(221()()niidd x2()( )fxf x( )0 (0)fxx( )0 (0)fxx ( 0,1)n/xty nt,x y2(0,1), ( ),xnyntt.( )tt nnt 2(1)/2(1)/2( )1+, ( /2)nnxf xxnn n lim( )0 xf xo1x( )fx234512345

9、)2( t)9( t)1 ,0(nlim( )0 xf x22xe()n ()n 1222 (1)lim ( )2xnfexxn( )(0,1) (45)t nnn12/nufnvf ,u v2212( ), (),unvnff12.( ,)ff n n12( ,)n nf ( )f x112121212/2/21212212()/2,0(/2)(/2)()nnnnnnnxnnx n nn xn0 , 0 x ( )fxo0 . 1x0 . 2)4,10(f)50,10( ff 12(,),ff n n211(,)f nnff 2.抽樣分布定理2( ,)xn 12, ,nx xx2, 2, 1

10、2(,)ng xxx? ?12(,)ng xxx),(2nx12,nxxx2( ,)xnn121()nxxxxn2( ,)n 12 ,nxxx2() , ()e xd xn2 ( ,)xnn),(2nx12,nxxx2,x s222(1)(1)nsn2,x s2221 (1)()()niinsxn x2 2 2 221/niixxn22221(1) /niinsxxn2 ( ,)xnn(0,1)/xnn2 /xn2(1) (0,1)ixn21 niix2( )n2( )n2(1)2(1)n),(2nx12,nxxx2,x s) 1(/ntnsx) 1 , 0 (/nnxy 2222(1), (

11、1)nsn y2t2/ys n22/(1)/1xnnsn/xsn (1)t n222(1) (1)nsn2222(1)(1) 1, 2(1)nsnsendn42222 (),()1e sd sn2s22s2) 1 , 0 (/nnx) 1(/ntnsx,211(,)xn 112,nxxx222(,)yn 212,ny yy2212,.x y ss2221,ss211121222222(1)(1)(1)(1)nsnnsn22112222/ss12(1 ,1)f nn2211122222/(1,1)/sf nns22112222122212(1)(1)(1), (1)nsnsnn21(,)xn 1

12、12,nxxx22(,)yn 212,ny yy2212,.x y ss121212()() (2)11xyt nnsnn2211222212(1)(1), 2nsnssssnn.221212 (,), (,)xnynnn , x y221221 (,)xynnn12()() (0,1) xyn2111 nn221122221222(1)(1)(1), (1)nsnsnn2212,ss2222112212212222(1)(1)(2)(2)nsnsnnsnnf12()() xy1211nn 12 (2)t nn212122(2)/(2)nnsnn 1212()()11xysnnoxy)(xfy ffdxxffxp)( f)(xf( ),xf x 01,f(0,1)nzfdxxffxp)( f)(xf( ),xf x 01,f(0,1)nzoz05. 0z645. 1265. 164. 195. 0z05. 0z645. 1025. 0z96. 11z1zzfdxxffxp)( f)(xf( ),xf x 01,f ( )t n ( )tno( )tn1( )tn1( )( )tntn )6(05. 0t9432. 1)12(90. 0t3562. 1)12(1 . 0t)55(05. 0t645. 105. 0 z