結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)21(運(yùn)動(dòng)方程的建立1)

1、1/43 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)2/43結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué) 第 2 章 分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)及 運(yùn)動(dòng)方程的建立3/43第2章 分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)及運(yùn)動(dòng)方程的建立 2.1 基本概念 廣義坐標(biāo)與動(dòng)力自由度 功和能 實(shí)位移、可能位移和虛位移 廣義力 慣性力 彈簧的恢復(fù)力 阻尼力 線彈性體系和粘彈性體系 非彈性體系4/432.1 基本概念2.1.1 廣義坐標(biāo)與動(dòng)力自由度廣義坐標(biāo)：能決定質(zhì)點(diǎn)系幾何位置的彼此獨(dú)立的量稱為該質(zhì)點(diǎn)系的廣義坐標(biāo)。廣義坐標(biāo)可以取長(zhǎng)度量綱的量，也可以用角度甚至面積和體積來(lái)表示。 靜力自由度的概念：確定結(jié)構(gòu)體系在空間中位置所需的獨(dú)立參數(shù)的數(shù)目稱為結(jié)構(gòu)的自由度。 動(dòng)力自由度的定義：結(jié)構(gòu)體系在任意瞬時(shí)的一切可能的變形

2、中，決定全部質(zhì)量位置所需的獨(dú)立參數(shù)的數(shù)目稱為結(jié)構(gòu)的動(dòng)力自由度。5/432.1 基本概念2.1.2 功和能q功的定義q有勢(shì)力和勢(shì)能q動(dòng)能 略 6/432.1 基本概念2.1.3 實(shí)位移、可能位移和虛位移可能位移： 滿足所有約束方程的位移稱為體系的可能位移。實(shí)位移： 如果位移不僅滿足約束方程，而且滿足運(yùn)動(dòng)方程 和初始條件，則稱為體系的實(shí)位移。虛位移： 在某一固定時(shí)刻，體系在約束許可的情況下可能 產(chǎn)生的任意組微小位移，稱為體系的虛位移。 7/432.1 基本概念2.1.4 廣義力略 8/432.1 基本概念2.1.5 慣性力（inertial force） 慣性：保持物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的能力。慣性力：大小

3、等于物體的質(zhì)量與加速度的乘積， 方向與加速度的方向相反。 i 表示慣性（inertial）；m 質(zhì)量（mass）； 坐標(biāo)方向：向右為正 質(zhì)點(diǎn)的加速度。umfi 9/432.1 基本概念2.1.6 彈簧的恢復(fù)力（resisting force of spring） 對(duì)彈性體系，彈簧的恢復(fù)力也被稱為彈性恢復(fù)力 彈性恢復(fù)力：大小等于彈簧剛度與位移(彈簧變形)的乘積 方向指向體系的平衡位置。 s 表示彈簧（spring）k 彈簧的剛度（spring stiffness）u 質(zhì)點(diǎn)位移 kufsfsfsk1k1abcdouu0-u0u(a)(b)10/432.1 基本概念單層框架結(jié)構(gòu)的水平剛度 h框架結(jié)構(gòu)

4、的高度l梁的長(zhǎng)度e彈性模量ib和ic梁和柱的截面慣性矩32461;/64cbceikhilih336:024:heikheikcc11/432.1 基本概念2.1.7 阻尼力（damping force） 阻尼：引起結(jié)構(gòu)能量的耗散，使結(jié)構(gòu)振幅逐漸變小的一種作用。阻尼的來(lái)源（物理機(jī)制）：(1)固體材料變形時(shí)的內(nèi)摩擦，或材料快速應(yīng)變引起的熱耗散；(2)結(jié)構(gòu)連接部位的摩擦，結(jié)構(gòu)構(gòu)件與非結(jié)構(gòu)構(gòu)件之間的摩擦；(3)結(jié)構(gòu)周圍外部介質(zhì)引起的阻尼。例如，空氣、流體等。粘性(滯)阻尼力可表示為： d 表示阻尼（damping） c 阻尼系數(shù)（damping coefficient） 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度 ucfdu

5、fdfdufd1cu(a)(b)12/432.1 基本概念阻尼系數(shù) c 的確定：不能像結(jié)構(gòu)剛度k那樣可通過(guò)結(jié)構(gòu)幾何尺寸、構(gòu)件尺寸和材料的力學(xué)性質(zhì)等來(lái)獲得，因?yàn)閏是反映了多種耗能因素綜合影響的系數(shù)，阻尼系數(shù)一般是通過(guò)結(jié)構(gòu)原型振動(dòng)試驗(yàn)的方法得到。粘性(滯)阻尼理論僅是多種阻尼中最為簡(jiǎn)單的一種。其它常用的阻尼： 摩擦阻尼：阻尼力大小與速度大小無(wú)關(guān)，一般為常數(shù)；滯變阻尼：阻尼力大小與位移成正比(相位與速度相同)； 流體阻尼：阻尼力與質(zhì)點(diǎn)速度的平方成正比。滯變阻尼時(shí)滯阻尼復(fù)阻尼13/432.1 基本概念2.1.8 線彈性體系和粘彈性體系 (linearly elastic system and visc

6、ous elastic system)線彈性體系線彈性體系：由線性彈簧（或線性構(gòu)件）組成的體系。 最簡(jiǎn)單的理想化力學(xué)模型。 粘彈性體系粘彈性體系：當(dāng)線彈性系統(tǒng)中進(jìn)一步考慮阻尼（粘性阻 尼）的影響時(shí)的體系。 結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中的最基本力學(xué)模型。 14/432.1 基本概念2.1.9 非彈性體系 (inelastic system)結(jié)構(gòu)構(gòu)件的力變形關(guān)系為非線性關(guān)系，結(jié)構(gòu)剛度不再為常數(shù)。構(gòu)件（或彈簧）的恢復(fù)力可表示為 fs是位移和速度的 非線性函數(shù)。圖2.6 非彈性體系中結(jié)構(gòu)構(gòu)件的力與位移關(guān)系 ),(uuffss15/43第2章 分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)及運(yùn)動(dòng)方程的建立 2.2 基本力學(xué)原理與 運(yùn)動(dòng)方程的建立 牛

7、頓（newton）第二定律 dalembert原理 虛位移原理 hamilton原理 lagrange方程16/432.2 基本力學(xué)原理與運(yùn)動(dòng)方程的建立運(yùn)動(dòng)方程： 描述結(jié)構(gòu)中力與位移(包括速度和加速度)關(guān)系 的數(shù)學(xué)表達(dá)式。（有時(shí)也稱為動(dòng)力方程）v運(yùn)動(dòng)方程是進(jìn)行結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析的基礎(chǔ)基礎(chǔ)v運(yùn)動(dòng)方程的建立是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的重點(diǎn)重點(diǎn)和難點(diǎn)難點(diǎn)本章首先通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)體系(單自由度體系)的討論介紹結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中存在的基本物理量及建立運(yùn)動(dòng)方程的方法，然后介紹更復(fù)雜的多自由度體系運(yùn)動(dòng)方程的建立。 17/43基本動(dòng)力體系： 應(yīng)包括結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中涉及的所有物理量。應(yīng)包括結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中涉及的所有物理量。 質(zhì)量；彈簧；阻尼

8、器。質(zhì)量；彈簧；阻尼器。單自由度體系： sdof (single-degree-of-freedom) system 結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)僅需要一個(gè)幾何參數(shù)即可以確定結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)僅需要一個(gè)幾何參數(shù)即可以確定 18/43基本動(dòng)力體系兩個(gè)典型的單自由度體系 (a) 單層框架結(jié)構(gòu) (b) 彈簧質(zhì)點(diǎn)體系 物理元件：物理元件： 質(zhì)量質(zhì)量 集中質(zhì)量m 阻尼器阻尼器 阻尼系數(shù)c 彈簧彈簧 彈簧剛度k兩個(gè)力學(xué)模型完全等效因?yàn)閮蓚€(gè)體系的運(yùn)動(dòng)方程相同 19/432.2 基本力學(xué)原理與運(yùn)動(dòng)方程的建立2.2.0 牛頓（newton）第二定律單質(zhì)點(diǎn)體系的受力分析 sdfftpf)(maf ua )(tpffmasd)(tp

9、kuucum kufsucfd單質(zhì)點(diǎn)體系運(yùn)動(dòng)時(shí)要滿足的控制方程運(yùn)動(dòng)方程20/432.2 基本力學(xué)原理與運(yùn)動(dòng)方程的建立利用牛頓第二定律的優(yōu)點(diǎn)：利用牛頓第二定律的優(yōu)點(diǎn)：牛頓第二定律是基于物理學(xué)中已有知識(shí)的直接應(yīng)用 以人們最容易接受的力學(xué)知識(shí)建立體系的運(yùn)動(dòng)方程 )(tpkuucum 21/432.2 基本力學(xué)原理與運(yùn)動(dòng)方程的建立2.2.1 dalembert原理（直接動(dòng)力平衡法）dalembert原理：在體系運(yùn)動(dòng)的任一瞬時(shí)，如果除了實(shí)際作用結(jié)構(gòu)的主動(dòng)力（包括阻尼力）和約束反力外，再加上（假想的）慣性力，則在該時(shí)刻體系將處于假想的平衡狀態(tài)（動(dòng)力平衡）。 單質(zhì)點(diǎn)體系的受力分析 )(tpkuucum ku

10、fsucfd0)(sdiffftpumfi 22/432.2 基本力學(xué)原理與運(yùn)動(dòng)方程的建立2.2.1 dalembert原理dalembert原理的優(yōu)點(diǎn)原理的優(yōu)點(diǎn)： 靜力問(wèn)題是人們所熟悉的，有了dalembert 原理之后，形式上動(dòng)力問(wèn)題就變成了靜力問(wèn)題，靜力問(wèn)題中用來(lái)建立控制方程的方法，都可以用于建立動(dòng)力問(wèn)題的平衡方程，使對(duì)動(dòng)力問(wèn)題的思考有一定的簡(jiǎn)化。對(duì)很多問(wèn)題，dalembert原理是用于建立運(yùn)動(dòng)方程的最直接、最簡(jiǎn)便的方法。dalembert原理的貢獻(xiàn)原理的貢獻(xiàn)： 建立了動(dòng)力平衡（簡(jiǎn)稱：動(dòng)平衡）的概念。23/432.2 運(yùn)動(dòng)方程的建立 可能位移；實(shí)位移；虛位移 2.2.2 虛位移原理虛位移

11、原理：在一組外力作用下的平衡系統(tǒng)發(fā)生一個(gè)虛位移時(shí)， 外力在虛位移上所做的虛功總和恒等于零。虛位移是指滿足體系約束條件的無(wú)限小位移。設(shè)體系發(fā)生一個(gè)虛位移u，則平衡力系在u上做的總虛功為: 單質(zhì)點(diǎn)體系的受力分析)(tpkuucum kufsucfd0)(sdiffftpumfi 0)(ufufufutpsdi24/432.2 基本力學(xué)原理與運(yùn)動(dòng)方程的建立2.2.2 虛位移原理虛位移原理的優(yōu)點(diǎn)虛位移原理的優(yōu)點(diǎn)：虛位移原理是建立在對(duì)虛功分析的基礎(chǔ)之上，而虛功是一個(gè)標(biāo)量，可以按代數(shù)方式運(yùn)算，因而比newton第二定律，或dalembert原理中需要采用的矢量運(yùn)算更簡(jiǎn)便。對(duì)如下圖所示結(jié)構(gòu)體系，用虛位移原理

12、建立方程更簡(jiǎn)便一些 25/432.2 基本力學(xué)原理與運(yùn)動(dòng)方程的建立2.2.3 hamilton原理可以應(yīng)用變分法（原理）建立結(jié)構(gòu)體系的運(yùn)動(dòng)方程。 在數(shù)學(xué)上，變分問(wèn)題就是求泛函的極值問(wèn)題。 在這里，泛函就是結(jié)構(gòu)體系中的能量（功）。 變分法是求體系能量（功）的極值。 體系的平衡位置是體系的穩(wěn)定位置，在穩(wěn)定位置，體系的能量取得極值,一般是極小值。 hamilton原理是動(dòng)力學(xué)中的變分法（原理）。26/432.2 基本力學(xué)原理與運(yùn)動(dòng)方程的建立2.2.3 hamilton原理(積分形式的動(dòng)力問(wèn)題的變分方法) hamilton原理：在任意時(shí)間區(qū)段t1, t2內(nèi)，體系的動(dòng)能和位能的變分加上非保守力做功的變分

13、等于0。 t 體系的總動(dòng)能；v 體系的位能，包括應(yīng)變能及任何保守力的勢(shì)能；wnc 作用于體系上非保守力(包括阻尼力及任意外荷載)所做的功； 在指定時(shí)間段內(nèi)所取的變分。 對(duì)于靜力問(wèn)題 : 最小勢(shì)能原理。 0)(2121dtwdtvtttttncjjncjncupw0) ncwv（27/432.2 基本力學(xué)原理與運(yùn)動(dòng)方程的建立2.2.3 hamilton原理 hamilton原理的優(yōu)點(diǎn)：原理的優(yōu)點(diǎn)：不明顯使用慣性力和彈性力，而分別用對(duì)動(dòng)能和位能的變分代替。因而對(duì)這兩項(xiàng)來(lái)講，僅涉及處理純的標(biāo)量，即能量。而在虛位移中，盡管虛功本身是標(biāo)量，但用來(lái)計(jì)算虛功的力和虛位移則都是矢量。動(dòng)能：集中質(zhì)量 轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)量位

14、能：拉伸彈簧 轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧多自由度體系： 動(dòng)能 位能221umt221jt 221kuv 221kv jiijijuukv2122121jjjjiijijumuumt0)(2121dtwdtvtttttnc28/432.2 基本力學(xué)原理與運(yùn)動(dòng)方程的建立用hamilton原理建立體系的運(yùn)動(dòng)方程體系的動(dòng)能： 位能(彈簧應(yīng)變能)：因此能量的變分：非保守所做的功的變分(等于非保守力在位移變分上作的功) 將以上兩式代入hamilton原理的變分公式，得：對(duì)上式中的第一項(xiàng)進(jìn)行分部積分221umt221kuv uucutpwnc)(ukuuumvt)(0)(21dtutpukuuucuumtt212121212

15、12121)()()(ttttttttttttttudtumdtumuuumudumdtudtdumdtudtdumdtuum 210)(ttudttpkuucum )(tpkuucum 0)(2121dtwdtvtttttnc29/432.2 基本力學(xué)原理與運(yùn)動(dòng)方程的建立2.2.4 lagrange方程 hamilton原理是一種積分形式的動(dòng)力問(wèn)題的變分方法，實(shí)際還有另外與之等價(jià)的微分形式的動(dòng)力問(wèn)題的變分原理，就是運(yùn)動(dòng)的lagrange方程，其表達(dá)式如下： 其中： t 體系的動(dòng)能； v 體系的位能，包括應(yīng)變能及任何保守力的勢(shì)能； pncj與uj相應(yīng)的非保守力（包括阻尼力及任意外荷載）。njt

16、puvututdtdncjjjj, 2, 1,)()(30/432.2 運(yùn)動(dòng)方程的建立用hamilton原理推導(dǎo)lagrange方程 0)(2121dtwdtvtttttncnjtpuvututdtdncjjjj, 2, 1,)()(31/432.2 運(yùn)動(dòng)方程的建立用hamilton原理推導(dǎo)lagrange方程 0)(2121dtwdtvtttttncnjtpuvututdtdncjjjj, 2, 1,)()(32/432.2 基本力學(xué)原理與運(yùn)動(dòng)方程的建立2.2.4 運(yùn)動(dòng)的lagrange方程 用lagrange方程方程建立體系的運(yùn)動(dòng)方程體系的動(dòng)能： 位能： 非保守力：因此，代入lagrang

17、e方程：再一次得到體系的運(yùn)動(dòng)方程：)()(tpuvututdtdnc221umt221kuv )(tpucpncumumdtdutdtd )()(0utkuuv)(tpkuucum 33/43五種建立運(yùn)動(dòng)方程的方法的特點(diǎn)牛頓第二定律：牛頓第二定律：是基于物理學(xué)中已有知識(shí)的直接應(yīng)用，有助于理解和接受dalembert原理。dalembert原理：原理：是一種簡(jiǎn)單、直觀的建立運(yùn)動(dòng)方程的方法，得到廣泛的應(yīng)用。dalembert原理建立了動(dòng)平衡的概念，使得在結(jié)構(gòu)靜力分析中的一些方法可以直接推廣到動(dòng)力問(wèn)題 。 當(dāng) 結(jié) 構(gòu) 具 有 分 布 質(zhì) 量 和 彈 性 時(shí) ， 直 接 應(yīng) 用dalembert原理，

18、用動(dòng)力平衡的方法來(lái)建立體系的運(yùn)動(dòng)方程可能是困難的。虛位移原理：虛位移原理：部分避免了矢量運(yùn)算，在獲得體系虛功后，可以采用標(biāo)量運(yùn)算建立體系的運(yùn)動(dòng)方程，簡(jiǎn)化了運(yùn)算。34/43五種建立運(yùn)動(dòng)方程的方法的特點(diǎn)hamilton原理：原理：是一種建立運(yùn)動(dòng)方程的能量方法(積分形式的變分原理) ，如果不考慮非保守力作的功（主要是阻尼力），它是完全的標(biāo)量運(yùn)算，但實(shí)際上直接采用hamilton原理建立運(yùn)動(dòng)方程并不多。hamilton原理的美妙在于它以一個(gè)極為簡(jiǎn)潔的表達(dá)式概括了復(fù)雜的力學(xué)問(wèn)題。lagrange方程：方程：得到更多的應(yīng)用，它和hamilton原理一樣，除非保守力（阻尼力）外，是一個(gè)完全的標(biāo)量分析方法，不

19、必直接分析慣性力和保守力（主要是彈性恢復(fù)力），而慣性力和彈性恢復(fù)力是建立運(yùn)動(dòng)方程時(shí)最為困難的處理對(duì)象。35/432.2 基本力學(xué)原理與運(yùn)動(dòng)方程的建立五種建立運(yùn)動(dòng)方程的方法的特點(diǎn)五種建立運(yùn)動(dòng)方程的方法的特點(diǎn)表2.1 幾種建立運(yùn)動(dòng)方程方法的特點(diǎn) 方 法 特 點(diǎn) 牛頓第二定律 矢量方法，物理概念明確 dalembert原理 矢量方法，直觀，建立了動(dòng)平衡概念 虛位移原理 半矢量法，可處理復(fù)雜分布質(zhì)量和彈性問(wèn)題 hamilton原理 標(biāo)量方法，表達(dá)簡(jiǎn)潔 lagrange方程 標(biāo)量方法，運(yùn)用面廣 36/432.2 基本力學(xué)原理與運(yùn)動(dòng)方程的建立單自由度體系的運(yùn)動(dòng)方程單自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程反映了結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中將遇到的幾乎所有的物理量(1) 質(zhì)量m,和慣性力：(2) 阻尼c,和阻尼力：(3) 剛度k,和彈性恢復(fù)力：對(duì)于多自由度體系： )(tpkuucum kufsucfdumfi )(tpukucum 37/43例題 分析如下圖所示體系的靜力自由度和動(dòng)力自由度，并利用dalembert原理建立體系的運(yùn)動(dòng)方程。38/43例題 解：1、體系的自由度靜力自由度：確定體系幾何位置所需要的獨(dú)立參數(shù)（廣義坐標(biāo)）的數(shù)目。 動(dòng)力自由度：動(dòng)力分析中為確定體系任一時(shí)刻全部質(zhì)量的幾何位置所需要的 獨(dú)立參數(shù)（廣義坐標(biāo)）的數(shù)