計算機圖形學_第三章-5(形體表示)

1、清華大學計算機科學與技術系清華大學計算機科學與技術系計算機圖形學基礎計算機圖形學基礎3.2形體在計算機內的表示清華大學 3.2.1 引言 計算機中表示形體，通常用線框、表面和實體三種模型。 對于任一形體，如果它是3維歐氏空間中非空、有界的封閉子集，且其邊界是二維流形（即該形體是連通的），我們稱該形體為正則形體，否則稱為非正則形體。清華大學計算機科學與技術系清華大學計算機科學與技術系計算機圖形學基礎計算機圖形學基礎 些非正則形體的實例(a)有懸面(b)有懸邊（c）一條邊有兩個以上 的鄰面（不連通）圖3.2.1 非正則形體實例清華大學計算機科學與技術系清華大學計算機科學與技術系計算機圖形學基礎計算

2、機圖形學基礎 集合運算（并、交、差）是構造形體的基本方法。正則形體經(jīng)過集合運算后，可能會產(chǎn)生懸邊、懸面等低于三維的形體。 Requicha在引入正則形體概念的同時，還定義了正則集合運算正則集合運算的概念。正則集合運算保證集合運算的結果仍是一個正則形體，即丟棄懸邊、懸面等。清華大學計算機科學與技術系清華大學計算機科學與技術系計算機圖形學基礎計算機圖形學基礎ABabab圖3.2.2 二個二維圖形的交產(chǎn) 生一個退化的結果懸邊ABABC=AB集合論的求交計算正則集合下的求交運算*C=A*B圖3.2.3 集合和正則的交運算清華大學計算機科學與技術系清華大學計算機科學與技術系計算機圖形學基礎計算機圖形學基

3、礎 為了能夠處理非正則形體，產(chǎn)生了非正則造型技術。 九十年代以來，基于約束的參數(shù)化、變量化造型和支持線框、曲面、實體統(tǒng)一表示的非正則形體造型技術已成為幾何造型技術的主流。清華大學計算機科學與技術系清華大學計算機科學與技術系計算機圖形學基礎計算機圖形學基礎3.2.2 形體表示模型在實體模型的表示中，基本上可以分為分分解表示、構造表示和邊界表示解表示、構造表示和邊界表示三大類。1、分解表示將形體按某種規(guī)則分解為小的更易于描述的部分，每一小部分又可分為更小的部分，這種分解過程直至每一小部分都能夠直接描述為止。(a)將形體空間細分為小的立方體單元。這種表示方法的優(yōu)點是簡單，容易實現(xiàn)形體的交、并、差計算

4、，但是占用的存儲量太大，物體的邊界面沒有顯式的解析表達式，不便于運算。清華大學計算機科學與技術系清華大學計算機科學與技術系計算機圖形學基礎計算機圖形學基礎(b)八叉樹法表示形體.首先對形體定義一個外接立方體，再把它分解成八個子立方體，并對立方體依次編號為0，1，2，7。如果子立方體單元已經(jīng)一致，即為滿（該立方體充滿形體）或為空（沒有形體在其中），則該子立方體可停止分解；否則，需要對該立方體作進一步分解，再一分為八個子立方體。在八叉樹中，非葉結點的每個結點都有八個分支。優(yōu)點主要是：（1）形體表示的數(shù)據(jù)結構簡單。清華大學計算機科學與技術系清華大學計算機科學與技術系計算機圖形學基礎計算機圖形學基礎

5、（2）簡化了形體的集合運算。只需同時遍歷參加集合運算的兩形體相應的八叉樹，無需進行復雜的求交運算。 （3）簡化了隱藏線（或面）的消除，因為在八叉樹表示中，形體上各元素已按空間位置排成了一定的順序。 （4）分析算法適合于并行處理。八叉樹表示的缺點：占用的存儲多，只能近似表示形體，以及不易獲取形體的邊界信息等。清華大學計算機科學與技術系清華大學計算機科學與技術系計算機圖形學基礎計算機圖形學基礎012356712337（a）（b）（c）具有子孫的節(jié)點空節(jié)點實節(jié)點圖3.2.4 用八叉樹表示形體清華大學計算機科學與技術系清華大學計算機科學與技術系計算機圖形學基礎計算機圖形學基礎 2構造表示。通常有掃描表

6、示、構造實體幾何表示和特征表示三種。(a)掃描表示?；谝粋€基體（一般是一個封閉的平面輪廓）沿某一路徑運動而產(chǎn)生形體。 掃描是生成三維形體的有效方法 用掃描變換產(chǎn)生的形體可能出現(xiàn)維數(shù)不一致的問題。 掃描方法不能直接獲取形體的邊界信息，表示形體的覆蓋域非常有限。清華大學計算機科學與技術系清華大學計算機科學與技術系計算機圖形學基礎計算機圖形學基礎掃描方向基面回轉軸基面基面基面（a）（b）（c）（d）圖3.2.5 生成掃描形體的例子清華大學計算機科學與技術系清華大學計算機科學與技術系計算機圖形學基礎計算機圖形學基礎（a）（b）（c）（d）圖3.2.6 生成掃描體時維數(shù)不 一致的情況清華大學計算機科學

7、與技術系清華大學計算機科學與技術系計算機圖形學基礎計算機圖形學基礎(b)構造實體幾何表示(CSG).通過對體素定義運算而得到新的形體的一種表示方法。體素可以是立方體、圓柱、圓錐等，也可以是半空間，其運算為變換或正則集合運算并、交、差。CSG表示可以看成是一棵有序的二叉樹。 其終端節(jié)點或是體素、或是形體變換參數(shù)。 非終端結點或是正則的集合運算，或是變換（平移和/或旋轉）操作，這種運算或變換只對其緊接著的子結點（子形體）起作用。清華大學計算機科學與技術系清華大學計算機科學與技術系計算機圖形學基礎計算機圖形學基礎差（-）差（-）212平移xxx=體素圖3.2.7 CSG表示清華大學計算機科學與技術系

8、清華大學計算機科學與技術系計算機圖形學基礎計算機圖形學基礎 CSG樹是無二義性的，但不是唯一的.CSG表示的優(yōu)點： 數(shù)據(jù)結構比較簡單，數(shù)據(jù)量比較小，內部數(shù)據(jù)的管理比較容易； CSG表示可方便地轉換成邊界（Brep）表示； CSG方法表示的形體的形狀，比較容易修改。CSG表示的缺點： 對形體的表示受體素的種類和對體素操作的種類的限制，也就是說，CSG方法表示形體的覆蓋域有較大的局限性。清華大學計算機科學與技術系清華大學計算機科學與技術系計算機圖形學基礎計算機圖形學基礎 對形體的局部操作不易實現(xiàn)，例如，不能對基本體素的交線倒圓角； 由于形體的邊界幾何元素（點、邊、面）是隱含地表示在CSG中，故顯示

9、與繪制CSG表示的形體需要較長的時間。 (c)特征表示從應用層來定義形體，因而可以較好的表達設計者的意圖。從功能上可分為形狀、精度、材料和技術特征。清華大學計算機科學與技術系清華大學計算機科學與技術系計算機圖形學基礎計算機圖形學基礎特征是面向應用、面向用戶的。特征模型的表示仍然要通過傳統(tǒng)的幾何造型系統(tǒng)來實現(xiàn)。不同的應用領域，具有不同的應用特征。在幾何造型系統(tǒng)中，根據(jù)特征的參數(shù)我們并不能直接得到特征的幾何元素信息，而在對特征及在特征之間進行操作時需要這些信息。特征方法表示形體的覆蓋域受限于特征的種類。清華大學計算機科學與技術系清華大學計算機科學與技術系計算機圖形學基礎計算機圖形學基礎特征造型器幾

10、何造型器特征模型幾何模型用戶應用系統(tǒng)圖3.2.8 基于特征的造型系統(tǒng)WLHHRHR（a）方塊（b）圓柱（c）圓錐圖3.2.9 特征形狀表示清華大學計算機科學與技術系清華大學計算機科學與技術系計算機圖形學基礎計算機圖形學基礎 構造表示的特點：構造表示通常具有不便于直接獲取形體幾何元素的信息、覆蓋域有限等缺點，但是，便于用戶輸入形體，在CAD/CAM系統(tǒng)中，通常作為輔助表示方法。清華大學計算機科學與技術系清華大學計算機科學與技術系計算機圖形學基礎計算機圖形學基礎 3邊界表示（BR表示或BRep表示）按照體面環(huán)邊點的層次，詳細記錄了構成形體的所有幾何元素的幾何信息及其相互連接的拓撲關系。邊界表示的一

11、個重要特點是在該表示法中，描述形體的信息包括幾何信息（Geometry）和拓撲信息（Topology）兩個方面。 拓撲信息描述形體上的頂點、邊、面的連接關系，拓撲信息形成物體邊界表示的“骨架”。 形體的幾何信息猶如附著在“骨架”上的肌肉。清華大學計算機科學與技術系清華大學計算機科學與技術系計算機圖形學基礎計算機圖形學基礎U圖3.2.10 邊界表示清華大學計算機科學與技術系清華大學計算機科學與技術系計算機圖形學基礎計算機圖形學基礎 Brep表示的優(yōu)點是：表示形體的點、邊、面等幾何元素是顯式表示的，使得繪制Brep表示的形體的速度較快，而且比較容易確定幾何元素間的連接關系；容易支持對物體的各種局部

12、操作，比如進行倒角。便于在數(shù)據(jù)結構上附加各種非幾何信息，如精度、表面粗糙度等。清華大學計算機科學與技術系清華大學計算機科學與技術系計算機圖形學基礎計算機圖形學基礎 Brep表示的缺點是：數(shù)據(jù)結構復雜，需要大量的存儲空間，維護內部數(shù)據(jù)結構的程序比較復雜；Brep表示不一定對應一個有效形體，通常運用歐拉操作來保證Brep表示形體的有效性、正則性等。 Brep表示覆蓋域大，原則上能表示所有的形體，而且易于支持形體的特征表示等，Brep表示已成為當前CAD/CAM系統(tǒng)的主要表示方法。清華大學計算機科學與技術系清華大學計算機科學與技術系計算機圖形學基礎計算機圖形學基礎3.2.3 形體的邊界表示模型 3.

13、2.3.1 邊界表示的基本實體邊界表示的基本實體 邊界模型表達形體的基本拓撲實體包括：1. 頂點2. 邊。邊有方向，它由起始頂點和終止頂點來界定。邊的形狀（Curve）由邊的幾何信息來表示，可以是直線或曲線，曲線邊可用一系列控制點或型值點來描述，也可用顯式、隱式或參數(shù)方程來描述。清華大學計算機科學與技術系清華大學計算機科學與技術系計算機圖形學基礎計算機圖形學基礎3. 環(huán)。環(huán)（Loop）是有序、有向邊（Edge）組成的封閉邊界。環(huán)有方向、內外之分，外環(huán)邊通常按逆時針方向排序，內環(huán)邊通常按順時針方向排序。4.面。面（Face）由一個外環(huán)和若干個內環(huán)（可以沒有內環(huán)）來表示，內環(huán)完全在外環(huán)之內。 若一

14、個面的外法矢向外，稱為正向面；反之，稱為反向面。清華大學計算機科學與技術系清華大學計算機科學與技術系計算機圖形學基礎計算機圖形學基礎 面的形狀可以是平面或曲面。平面可用平面方程來描述，曲面可用控制多邊形或型值點來描述，也可用曲面方程（隱式、顯式或參數(shù)形式）來描述。對于參數(shù)曲面，通常在其二維參數(shù)域上定義環(huán)，這樣就可由一些二維的有向邊來表示環(huán)，集合運算中對面的分割也可在二維參數(shù)域上進行。5.體。體（Body）是面的并集。清華大學計算機科學與技術系清華大學計算機科學與技術系計算機圖形學基礎計算機圖形學基礎3.2.3.2 邊界表示的數(shù)據(jù)結構 翼邊數(shù)據(jù)結構：在1972年，由美國斯坦福大學Baumgart

15、作為多面體的表示模式提出。 它用指針記錄了每一邊的兩個鄰面（即左外環(huán)和右外環(huán)）、兩個頂點、兩側各自相鄰的兩個鄰邊（即左上邊、左下邊、右上邊和右下邊），用這一數(shù)據(jù)結構表示多面體模型是完備的，但它不能表示帶有精確曲面邊界的實體。清華大學計算機科學與技術系清華大學計算機科學與技術系計算機圖形學基礎計算機圖形學基礎左下邊右下邊 右上邊左上邊邊左外環(huán)右外環(huán)圖3.2.11 翼邊數(shù)據(jù)結構清華大學計算機科學與技術系清華大學計算機科學與技術系計算機圖形學基礎計算機圖形學基礎 輻射邊：為了表示非正則形體，1986年，Weiler提出了輻射邊（Radial Edge）數(shù)據(jù)結構。 輻射邊結構的形體模型由幾何信息和拓撲

16、信息兩部分組成。 幾何信息有面（face）、環(huán)（loop）、邊（edge）和點（vertex） 拓撲信息有模型（model）、區(qū)域（region）、外殼（shell）、面引用（face use）、環(huán)引用（loop use）、邊引用（edge use）和點引用（vertex use）。清華大學計算機科學與技術系清華大學計算機科學與技術系計算機圖形學基礎計算機圖形學基礎 點是三維空間的一個位置 邊可以是直線邊或曲線邊，邊的端點可以重合。 環(huán)是由首尾相接的一些邊組成，而且最后一條邊的終點與第一條邊的起點重合；環(huán)也可以是一個孤立點。外殼是一些點、邊、環(huán)、面的集合； 外殼是一些點、邊、環(huán)、面的集合。 區(qū)

17、域由一組外殼組成。 模型由區(qū)域組成。清華大學計算機科學與技術系清華大學計算機科學與技術系計算機圖形學基礎計算機圖形學基礎modelregionface useloop useedge usevertex usefaceloopedgevertex圖3.2.12 輻射邊數(shù)據(jù)結構shellgeometrytopology剖切平面中心線中心線實體圖3.2.13 一個用輻射邊結構表示的非正則形體模型清華大學計算機科學與技術系清華大學計算機科學與技術系計算機圖形學基礎計算機圖形學基礎清華大學國家CAD工程中心開發(fā)的幾何造型系統(tǒng)GEMS5.0中，采用的數(shù)據(jù)結構如圖體組特征表示單體(零件)面組面線框環(huán)環(huán)邊邊

18、頂點曲 面曲 線點實體幾何數(shù)據(jù)實體拓撲數(shù)據(jù)參數(shù)域曲線清華大學計算機科學與技術系清華大學計算機科學與技術系計算機圖形學基礎計算機圖形學基礎 該數(shù)據(jù)結構基于線框、表面、實體和特征統(tǒng)一表示，且具有以下特點：（1）采用自頂向下的設計思想。在形體的表示上，遵循了從大到小，分解表示的原則；（2）支持非流形形體的表示；（3）實體拓撲數(shù)據(jù)與幾何數(shù)據(jù)雙鏈表連接，存放緊湊；（4）能夠支持特征造型。清華大學計算機科學與技術系清華大學計算機科學與技術系計算機圖形學基礎計算機圖形學基礎3.2.3.3 歐拉操作 對于任意的簡單多面體，其面(f)、邊(e)、頂點(v)的數(shù)目滿足 歐拉公式 v - e + f = 2 對于任

19、意的正則形體，引入形體的其它幾個參數(shù)：形體所有面上的內孔總數(shù)(r)、穿透形體的孔洞數(shù)(h)和形體非連通部分總數(shù)(s)，則形體滿足公式： v - e + f = 2(s-h) + r 清華大學計算機科學與技術系清華大學計算機科學與技術系計算機圖形學基礎計算機圖形學基礎 修改過程中保證各幾何元素的數(shù)目保持這個關系式不變，這一套操作就是歐拉操作。 最為常用的幾種歐拉操作有：(1)mvsf(v,f)，生成含有一個點的面，并且構成一個新的體。(2)kvsf，刪除一個體，該體僅含有一個點的面。(3)mev(v1,v2,e)，生成一個新的點v2，連接該點到已有的點v1，構成一條新的邊。(4)kev(e,v)

20、，刪除一條邊e和該邊的一個端點v。(5)mef(v1,v2,f1,f2,e)，連接面f1上的兩個點v1、v2，生成一條新的邊e，并產(chǎn)生一個新的面。清華大學計算機科學與技術系清華大學計算機科學與技術系計算機圖形學基礎計算機圖形學基礎(6)kef(e)，刪除一條邊e和該邊的一個鄰面f。(7)kemr(e)，刪除一條邊e，生成該邊某一鄰面上的一新的內環(huán)。(8)mekr(v1,v2,e)，連接兩個點v1、v2，生成一條新的邊e，并刪除掉v1和v2所在面上的一個內環(huán)。(9)kfmrh(f1,f2)，刪除與面f1相接觸的一個面f2，生成面f1上的一個內環(huán)，并形成體上的一個通孔。(10)mfkrh(f1,f

21、2)，刪除面f1上的一個內環(huán)，生成一個新的面f2，由此也刪除了體上的一個通孔。清華大學計算機科學與技術系清華大學計算機科學與技術系計算機圖形學基礎計算機圖形學基礎為了方便對形體的修改，還定義了兩個輔助的操作：公共端點。(11)semv(e1,v,e2)，將邊e1分割成兩段，生成一個新的點v和一條新的邊e2。(12)jekv(e1,e2)，合并兩條相鄰的邊e1、e2，刪除它們的公共端點。 以上十種歐拉操作和兩個輔助操作，每兩個一組，構成了六組互為可逆的操作。 可以證明：歐拉操作是有效的，即用歐拉操作對形體操作的結果在物理上是可實現(xiàn)的；歐拉操作是完備的，即任何形體都可用有限步驟的歐拉操作構造出來。

22、清華大學計算機科學與技術系清華大學計算機科學與技術系計算機圖形學基礎計算機圖形學基礎3.2.3.4 集合運算 正則集與正則集合運算算子 規(guī)定正則形體是三維歐氏空間中的正則集合，因此可以將正則幾何形體描述如下： 設G是三維歐氏空間中的一個有界區(qū)域，且GbGiG，其中bG是G的n1維邊界，iG是G的內部。G的補空間cG稱為G的外部，此時正則形體G需滿足：（1）bG將iG和cG分為兩個互不連通的子空間；（2）bG中的任意一點可以使iG和bG連通；（3）bG中任一點存在切平面，其法矢指向cG子空間（4）bG是二維流形。清華大學計算機科學與技術系清華大學計算機科學與技術系計算機圖形學基礎計算機圖形學基礎 設是集合運算算子（交、并或差），R3中任意兩個正則形體A、B作集合運算：R=AB 運算結果R仍是R3中的正則形體，則稱為正則集合算子。 正則并、正則交、正則差分別記為*，*、-*。 分類