2019高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.2 拋物線 2.2.1 拋物線及其標準方程課件 北師大版選修1-1

1、2 拋物線2 2.1 1拋物線及其標準方程拋物線及其標準方程1.拋物線的定義(1)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不過F)的距離相等的點的軌跡叫作拋物線.(2)點F叫作拋物線的焦點,直線l叫作拋物線的準線.(3)圖形展示:名師點撥名師點撥拋物線的定義可歸納為“一動三定”:一個動點,設(shè)為點M;一個定點F(即拋物線的焦點);一條定直線(即拋物線的準線);一個定值(即點M到點F的距離與它到定直線的距離之比等于常數(shù)1). 【做一做1】平面內(nèi)到定點F的距離等于到定直線l的距離的點的軌跡是()A.拋物線B.直線C.拋物線或直線D.不存在答案:C2.拋物線的標準方程y2=2px(p0)叫作拋物線的標準方

2、程.這條拋物線的焦點在x軸正半軸上,焦點坐標是 ,它的準線方程是 .特別提醒特別提醒1.“p”的幾何意義是拋物線的焦點到準線的距離,所以p的值恒大于0.2.只有頂點在坐標原點,焦點在坐標軸上的拋物線方程才是標準方程.【做一做2】 (1)拋物線y2=8px(p0),F是焦點,則p表示()A.F到準線的距離D.F到y(tǒng)軸的距離(2)拋物線y2=4x的焦點坐標為. (3)若拋物線的準線方程為x=-7,則拋物線的標準方程為. 解析:(1)化為標準形式y(tǒng)2=2(4p)x(p0),則4p就是焦點F到準線的距離,所以p表示焦點F到準線的距離的 .(2)因為y2=4x,所以2p=4,即p=2,所以焦點坐標為(1

3、,0).(3)由題意可知- =-7,故p=14,且焦點在x軸正半軸上,所以拋物線的標準方程為y2=28x.答案:(1)B(2)(1,0)(3)y2=28x思考辨析思考辨析判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“”,錯誤的打“”.(1)平面內(nèi)與定點(1,0)和直線y=x-1距離相等的點的軌跡是拋物線.()(2)拋物線與二次函數(shù)的圖像是完全相同的.()(3)拋物線y2=-8x的焦點坐標是(-2,0).()(4)若拋物線的方程是x=4y2,則其中的焦參數(shù)p=2.()答案:(1)(2)(3)(4)探究一探究二探究三思維辨析【例1】 (1)過點A(1,0),且與直線l:x=-1相切的圓的圓心的軌跡

4、是()A.圓 B.橢圓C.雙曲線D.拋物線(2)設(shè)點A是拋物線y2=4x上一點,點B(1,0),點M是線段AB的中點,若|AB|=6,則M到直線x=-1的距離為. 分析(1)判斷到一定點與到一定直線距離相等的點的軌跡是否是拋物線,要看定點與定直線的位置關(guān)系.(2)利用拋物線的定義求解.探究一探究二探究三思維辨析解析:(1)如圖,設(shè)動圓的圓心為M,由題意,M到直線l的距離等于圓的半徑|MA|,由拋物線的定義知,點M的軌跡是以A(1,0)為焦點,以直線l為準線的拋物線.(2)B(1,0)是拋物線y2=4x的焦點,直線l:x=-1是拋物線的準線,過A作AAl于A,則|AA|=|AB|=6.則M到直線

5、x=-1的距離為答案:(1)D(2)4反思感悟反思感悟應(yīng)用定義解決的兩類問題:(1)判斷動點的軌跡的類型;(2)利用拋物線的定義,將到焦點的距離與到準線的距離進行相互轉(zhuǎn)化.探究一探究二探究三思維辨析變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1若點P到點F(4,0)的距離比它到定直線x+5=0的距離小1,則點P的軌跡方程是()A.y2=-16xB.y2=-32xC.y2=16xD.y2=32x解析:點P到點F(4,0)的距離比它到定直線x+5=0的距離小1,點P到F(4,0)的距離等于它到定直線x=-4的距離.點P的軌跡方程為y2=16x.答案:C探究一探究二探究三思維辨析【例2】 求滿足下列條件的拋物線的標準方程:(2

6、)以x軸為對稱軸,焦點在直線3x-4y-12=0上.分析對于(1),需要確定p的值,因為點 在第四象限,所以拋物線的標準方程可設(shè)為y2=2px(p0);對于(2),因為標準方程的焦點在x軸上,所以求出直線3x-4y-12=0與x軸的交點(4,0),即可求出.探究一探究二探究三思維辨析探究一探究二探究三思維辨析反思感悟反思感悟求拋物線標準方程的常用方法(1)直接法:建立恰當?shù)淖鴺讼?利用拋物線的定義列出動點滿足的條件,寫出對應(yīng)方程,化簡方程可得;(2)待定系數(shù)法:根據(jù)已知條件設(shè)出拋物線的標準方程,再根據(jù)題干中的條件,求出參數(shù)p;(3)定義法:直接根據(jù)定義求p,最后寫出標準方程.探究一探究二探究三

7、思維辨析變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2如圖,過拋物線y2=2px(p0)的焦點F作傾斜角為60的直線l,交拋物線于A,B兩點,且|FA|=3,則拋物線的方程是. 答案:y2=3x 探究一探究二探究三思維辨析【例3】 設(shè)點P是拋物線y2=4x上的一個動點,F為拋物線的焦點.(1)求點P到點A(-1,1)的距離與點P到直線x=-1的距離之和的最小值;(2)若點B的坐標為(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.分析(1)中將點P到直線x=-1的距離轉(zhuǎn)化為到焦點的距離;(2)中將點P到點F的距離轉(zhuǎn)化為點P到準線的距離.這是解答本題的關(guān)鍵.探究一探究二探究三思維辨析解(1)如圖所示,易知拋物線的焦點為F(1,0)

8、,準線方程是x=-1,由拋物線的定義知點P到直線x=-1的距離等于點P到焦點F的距離.于是問題轉(zhuǎn)化為:在曲線上求一點P,使點P到點A(-1,1)的距離與點P到F(1,0)的距離之和最小.顯然,連接AF,AF與拋物線的交點即為點P,探究一探究二探究三思維辨析(2)如圖所示,把點B的橫坐標代入y2=4x中,得y=2 .因為2 2,所以點B在拋物線內(nèi)部,過點B作BQ垂直于準線,垂足為Q,交拋物線于點P1,連接P1F.此時,由拋物線的定義知,|P1Q|=|P1F|.所以|PB|+|PF|P1B|+|P1Q|=|BQ|=3+1=4,即|PB|+|PF|的最小值為4.反思感悟反思感悟解關(guān)于拋物線的最值、定

9、值問題時,首先要注意拋物線上的點到焦點的距離與點到準線的距離的轉(zhuǎn)化,其次是注意平面幾何知識的應(yīng)用,例如兩點之間線段最短、三角形中三邊之間的不等關(guān)系、點與直線上點的連線中垂線段最短等.探究一探究二探究三思維辨析變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練3已知點P在拋物線y2=4x上,那么點P到點Q(2,-1)的距離與點P到拋物線焦點的距離之和取得最小值時,點P的坐標為()解析:點Q(2,-1)在拋物線內(nèi)部,如圖所示.由拋物線的定義知,拋物線上的點P到點F的距離等于點P到準線x=-1的距離,過Q點作x=-1的垂線,與拋物線交于K,則K為所求,當y=-1時,x= ,答案:A探究一探究二探究三思維辨析因沒有理解方程中p值的幾何

10、意義而導(dǎo)致失誤【典例】 從拋物線y2=8x上一點P引拋物線準線的垂線,垂足為M,且|PF|=5,F為拋物線的焦點,則MPF的面積為. 易錯分析易誤認為p=8,導(dǎo)致p的值求錯,而致使最后結(jié)果錯誤.解析:拋物線為y2=8x,2p=8,p=4.準線方程為x=-2.設(shè)P(x0,y0),由拋物線定義得|PF|=|PM|=x0+2=5,糾錯心得1.正確掌握拋物線的標準方程,認清p的幾何意義.2.理解拋物線的定義,合理進行到焦點與到準線的距離的轉(zhuǎn)化.探究一探究二探究三思維辨析變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練已知點P到F(4,0)的距離和到直線x=-5的距離相等,求點P的軌跡方程.整理得y2=18x+9,即y2=18x+9為

11、所求軌跡方程.1 2 3 4 51.在直角坐標平面內(nèi),到點(1,1)和直線x+2y=3距離相等的點的軌跡是()A.直線 B.拋物線C.圓D.橢圓解析:定點(1,1)在直線x+2y=3上,軌跡為直線.答案:A1 2 3 4 52.設(shè)拋物線y2=8x上一點P到y(tǒng)軸的距離是4,則點P到該拋物線焦點的距離是()A.4B.6C.8D.12解析:如圖所示,拋物線的焦點坐標為F(2,0),準線方程為x=-2,PE垂直于準線且垂足為E,由拋物線的定義知,|PF|=|PE|=4+2=6.答案:B1 2 3 4 53.已知拋物線的頂點在原點,焦點在x軸的正半軸上,拋物線上的點M(3,m)到焦點的距離等于5,則拋物線的標準方程和m的值分別為和.1 2 3 4 51 2 3 4 54.已知圓x2+y2-6x-7=0與拋物線y2=2px(p0)的準線相切,則p=. 解析:由x2+y2-6x-7=0,得(x-3)2+y2=16,答案:21 2 3 4 55.已知動圓M與直線x=2相切,