小學數(shù)學奧數(shù)基礎(chǔ)教程(六年級)目30講(附答案)(全)

1、小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程（六年級）- 1 -小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程 ( 六年級 )第 1 講 比較分數(shù)的大小第 2 講 巧求分數(shù)第 3 講 分數(shù)運算的技巧第 4 講 循環(huán)小數(shù)與分數(shù)第 5 講 工程問題 ( 一 )第 6 講 工程問題 ( 二 )第 7 講 巧用單位“ 1”第 8 講 比和比例第 9 講 百分數(shù)第 10 講 商業(yè)中的數(shù)學第 11 講 圓與扇形第 12 講 圓柱與圓錐第 13 講 立體圖形 ( 一)第 14 講 立體圖形 ( 二)第 15 講 棋盤的覆蓋第 16 講 找規(guī)律第 17 講 操作問題第 18 講 取整計算第 19 講 近似值與估算第 20 講 數(shù)值代入法第 21 講 枚舉法第 22

2、講 列表法第 23 講 圖解法第 24 講 時鐘問題第 25 講 時間問題第 26 講 牛吃草問題第 27 講 運籌學初步（一）第 28 講 運籌學初步（二）第 29 講 運籌學初步（三）第 30 講 趣題巧解- 1 -小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程（六年級）- 2 -第一講比較分數(shù)的大小同學們從一開始接觸數(shù)學，就有比較數(shù)的大小問題。比較整數(shù)、小數(shù)的大小的方法比較簡單，而比較分數(shù)的大小就不那么簡單了，因此也就產(chǎn)生了多種多樣的方法。對于兩個不同的分數(shù)，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三種情況，其中前兩種情況判別大小的方法是：分母相同的兩個分數(shù)，分子大的那個分數(shù)比較大；分子相同的兩個分數(shù)，分母大的那個

3、分數(shù)比較小。第三種情況，即分子、分母都不同的兩個分數(shù)，通常是采用通分的方法，使它們的分母相同，化為第一種情況，再比較大小。由于要比較的分數(shù)千差萬別，所以通分的方法不一定是最簡捷的。下面我們介紹另外幾種方法。1. “通分子”。當兩個已知分數(shù)的分母的最小公倍數(shù)比較大，而分子的最小公倍數(shù)比較小時，可以把它們化成同分子的分數(shù)，再比較大小，這種方法比通分的方法簡便。如果我們把課本里的通分稱為“通分母”，那么這里講的方法可以稱為“通分子”。2. 化為小數(shù)。這種方法對任意的分數(shù)都適用，因此也叫萬能方法。但在比較大小時是否簡便，就要看具體情況了。3. 先約分，后比較。有時已知分數(shù)不是最簡分數(shù)，可以先約分。4.

4、 根據(jù)倒數(shù)比較大小。5. 若兩個真分數(shù)的分母與分子的差相等、 則分母（子）大的分數(shù)較大； 若兩個假分數(shù)的分子與分母的差相等， 則分母（子）小的分數(shù)較大。也就是說，6. 借助第三個數(shù)進行比較。有以下幾種情況：（ 1）對于分數(shù) m和 n，若 mk ， kn，則 mn。- 2 -小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程（六年級）- 3 -（ 2）對于分數(shù)m和 n，若 m-k n-k ，則 m n。前一個差比較小，所以mn。（ 3）對于分數(shù)m和 n，若 k-m k-n ，則 m n。注意，（ 2）與（ 3）的差別在于，（2）中借助的數(shù)k 小于原來的兩個分數(shù)m和 n；（ 3）中借助的數(shù)k 大于原來的兩個分數(shù)m和 n。（ 4）把

5、兩個已知分數(shù)的分母、分子分別相加，得到一個新分數(shù)。新分數(shù)一定介于兩個已知分數(shù)之間，即比其中一個分數(shù)大，比另一個分數(shù)小。利用這一點， 當兩個已知分數(shù)不容易比較大小，新分數(shù)與其中一個已知分數(shù)容易比較大小時，就可以借助于這個新分數(shù)。比較分數(shù)大小的方法還有很多，同學們可以在學習中不斷發(fā)現(xiàn)總結(jié)，但無論哪種方法，均來源于：“分母相同，分子大的分數(shù)大；分子相同，分母小的分數(shù)大”這一基本方法。練習 11. 比較下列各組分數(shù)的大小：答案與提示 練習 1- 3 -小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程（六年級）- 4 -第二講巧求分數(shù)我們經(jīng)常會遇到一些分數(shù)的分子、分母發(fā)生變化的題目，例如分子或分母加、減某數(shù)，或分子與分母同時加、減某數(shù)

6、，或分子、分母分別加、減不同的數(shù)，得到一個新分數(shù)，求加、減的數(shù)，或求原來的分數(shù)。這類題目變化很多，因此解法也不盡相同。數(shù)。分析：若把這個分數(shù)的分子、分母調(diào)換位置，原題中的分母加、減1 就變成分子加、減1，這樣就可以用例1 求平均數(shù)的方法求出分子、分母調(diào)換位置后的分數(shù)，再求倒數(shù)即可。個分數(shù)。分析與解： 因為加上和減去的數(shù)不同，所以不能用求平均數(shù)的方法求解。，這個分數(shù)是多少？分析與解： 如果把這個分數(shù)的分子與分母調(diào)換位置，問題就變?yōu)椋哼@個分數(shù)是多少？于是與例3 類似，可以求出在例 1例 4 中，兩次改變的都是分子，或都是分母，如果分子、分母同時變化，那么會怎樣呢？- 4 -小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程（六年級

7、）- 5 -數(shù) a。分析與解： 分子減去 a，分母加上 a，（約分前） 分子與分母之和不變，等于 29+43=72。約分后的分子與分母之和變?yōu)?+5=8，所以分子、分母約掉45-43=2 。求這個自然數(shù)。同一個自然數(shù)，得到的新分數(shù)如果不約分，那么差還是45，新分數(shù)約分后變例 7 一個分數(shù)的分子與分母之和是23，分母增加19 后得到一個新分數(shù)，分子與分母的和是1+5=6，是由新分數(shù)的分子、分母同時除以426=7 得到分析與解： 分子加 10，等于分子增加了105=2（倍），為保持分數(shù)的大小不變，分母也應增加相同的倍數(shù)，所以分母應加8 2=16。在例 8 中，分母應加的數(shù)是在例 9 中，分子應加的

8、數(shù)是由此，我們得到解答例8、例 9 這類分數(shù)問題的公式：分子應加（減）的數(shù)=分母所加（減）的數(shù)原分數(shù)；分母應加（減）的數(shù)=分子所加（減）的數(shù)原分數(shù)。- 5 -小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程（六年級）- 6 -分析與解： 這道題的分子、分母分別加、減不同的數(shù)，可以說是這類題中最難的，我們用設(shè)未知數(shù)列方程的方法解答。（ 2x+2） 3=（x+5 ） 4，6x+6=4x+20，2x=14，x=7。練習 2是多少？答案與提示 練習 2- 6 -小學奧數(shù)基 教程（六年 ）- 7 -5.5 。解： (53+79) (4+7)=12 ， a=53-4 12=5。6.13 。解：（ 67-22 ）（ 16-7 ） =5，

9、7 5-22=13 。解： 分子 x，根據(jù)分母可列方程第三 分數(shù)運算的技巧 于分數(shù)的混合運算， 除了掌握常 的四 運算法 外， 掌握一些特殊的運算技巧， 才能提高運算速度，解答 的 。1. 湊整法與整數(shù)運算中的“湊整法”相同，在分數(shù)運算中，充分利用四 運算法 和運算律（如交 律、 合律、分配律），使部分的和、差、 、商成 整數(shù)、整十數(shù)從而使運算得到 化。2. 分法- 7 -小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程（六年級）- 8 -3. 裂項法若能將每個分數(shù)都分解成兩個分數(shù)之差，并且使中間的分數(shù)相互抵消，則能大大簡化運算。例 7 在自然數(shù)1 100 中找出 10 個不同的數(shù)，使這10 個數(shù)的倒數(shù)的和等于1。分析與解：

10、 這道題看上去比較復雜，要求10 個分子為1，而分母不同的就非常簡單了。- 8 -小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程（六年級）- 9 -括號。此題要求的是10 個數(shù)的倒數(shù)和為1，于是做成：所求的 10 個數(shù)是 2，6， 12， 20， 30， 42， 56， 72， 90， 10。的 10 和 30，仍是符合題意的解。4. 代數(shù)法5. 分組法分析與解： 利用加法交換律和結(jié)合律，先將同分母的分數(shù)相加。分母為n 的分數(shù)之和為原式中分母為220 的分數(shù)之和依次為練習 3- 9 -小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程（六年級）- 10 -8. 在自然數(shù) 160 中找出 8 個不同的數(shù)，使這8 個數(shù)的倒數(shù)之和等于1。答案與提示練習 31.3

11、 。8.2 ，6， 8 ， 12 ， 20 ， 30 ， 42 ， 56 。- 10 -小學奧數(shù)基 教程（六年 ）- 11 -9.5680 。解：從前向后，分子與分母之和等于2 的有 1 個，等于 3 的有 2 個，等于 4 的有 3個人一般地，分子與分母之和等于 n 的有 (n-1) 個。分子與分母之和小于 9+99=108 的有 1+2+3+106=5671（個）5671+9=5680（個）。第四 循 小數(shù)與分數(shù)任何分數(shù)化 小數(shù)只有兩種 果，或者是有限小數(shù)， 或者是循 小數(shù)， 而循 小數(shù)又分 循 小數(shù)和混循 小數(shù)兩 。那么，什么 的分數(shù)能化成有限小數(shù)？什么 的分數(shù)能化成 循 小數(shù)、混循 小

12、數(shù)呢？我 先看下面的分數(shù)。（ 1）中的分數(shù)都化成了有限小數(shù)，其分數(shù)的分母只有 因數(shù)2 和 5，化因 40=23 5，含有 3 個 2， 1 個 5，所以化成的小數(shù)有三位。（ 2）中的分數(shù)都化成了 循 小數(shù)，其分數(shù)的分母沒有 因數(shù)2和 5。（ 3）中的分數(shù)都化成了混循 小數(shù)，其分數(shù)的分母中既含有 因數(shù)2或 5，又含有2 和 5 以外的 因數(shù)，化成的混循 小數(shù)中的不循 部分的位數(shù)與5，所以化成混循 小數(shù)中的不循 部分有兩位。于是我 得到 ：一個最 分數(shù)化 小數(shù)有三種情況：（1）如果分母只含有 因數(shù)2 和 5，那么 個分數(shù)一定能化成有限小數(shù)，并且小數(shù)部分的位數(shù)等于分母中 因數(shù)2 與5 中個數(shù) 多的那

13、個數(shù)的個數(shù)；（ 2）如果分母中只含有 2 與 5 以外的 因數(shù)，那么 個分數(shù)一定能化成 循 小數(shù)；（ 3）如果分母中既含有 因數(shù) 2 或 5，又含有 2 與 5 以外的 因數(shù)，那么 個分數(shù)一定能化成混循 小數(shù)，并且不循 部分的位數(shù)等于分母中 因數(shù)2 與 5 中個數(shù) 多的那個數(shù)的個數(shù)。例 1 判斷下列分數(shù)中， 哪些能化成有限小數(shù)、 循 小數(shù)、 混循 小數(shù)？能化成有限小數(shù)的，小數(shù)部分有幾位？能化成混循 小數(shù)的，不循 部分有幾位？分析與解： 上述分數(shù)都是最 分數(shù)，并且32=25，21=37，250=253 ，78=2 313，117=33 13，850=252 17，根據(jù)上面的 ，得到：- 11 -

14、小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程（六年級）- 12 -不循環(huán)部分有兩位。將分數(shù)化為小數(shù)是非常簡單的。反過來， 將小數(shù)化為分數(shù)，同學們可能比較熟悉將有限小數(shù)化成分數(shù)的方法，而對將循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)的方法就不一定清楚了。我們分純循環(huán)小數(shù)和混循環(huán)小數(shù)兩種情況，講解將循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)的方法。1. 將純循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)。將上兩式相減，得將上兩式相減，得從例 2、例 3 可以總結(jié)出將純循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)的方法。純循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)的方法：分數(shù)的分子是一個循環(huán)節(jié)的數(shù)字組成的數(shù)，分母的各位數(shù)都是9，9 的個數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同。2. 將混循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)。將上兩式相減，得將上兩式相減，得從例 4、例 5 可以總結(jié)出將混循環(huán)小數(shù)化成

15、分數(shù)的方法。混循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)的方法：分數(shù)的分子是小數(shù)點后面第一個數(shù)字到第一個循環(huán)節(jié)的末位數(shù)字所組成的數(shù)，減去不循環(huán)數(shù)字所組成的數(shù)所得的差；分母的頭幾位數(shù)字是9，末幾位數(shù)字都是0，其中 9 的個數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，0 的個數(shù)與不循環(huán)部分的位數(shù)相同。掌握了將循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)的方法后，就可以正確地進行循環(huán)小數(shù)的運算了。- 12 -小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程（六年級）- 13 -例 6 計算下列各式：練習 41. 下列各式中哪些不正確？為什么？2. 劃去小數(shù) 0.27483619 后面的若干位，再添上表示循環(huán)節(jié)的兩個圓點，得到一個循環(huán)小數(shù)，例如0.274836 。請找出這樣的小數(shù)中最大的與最小的。3. 將下

16、列純循環(huán)小數(shù)化成最簡分數(shù)：4. 將下列混循環(huán)小數(shù)化成最簡分數(shù)：5. 計算下列各式：答案與提示練習 41.（1）（3（） 4）不正確。第五講工程問題（一）顧名思義， 工程問題指的是與工程建造有關(guān)的數(shù)學問題。其實，這類題目的內(nèi)容已不僅僅是工程方面的問題，也括行路、水管注水等許多內(nèi)容。在分析解答工程問題時，一般常用的數(shù)量關(guān)系式是：- 13 -小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程（六年級）- 14 -工作量 =工作效率工作時間，工作時間 =工作量工作效率，工作效率 =工作量工作時間。工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用數(shù)1 表示，也可工作效率指的是干工作的快慢，其意義是單位時間里所干的工作量。單位時間的選取

17、，根據(jù)題目需要，可以是天，也可以是時、分、秒等。工作效率的單位是一個復合單位，表示成“工作量 / 天”，或“工作量 / 時”等。但在不引起誤會的情況下，一般不寫工作效率的單位。例 1 單獨干某項工程，甲隊需100 天完成，乙隊需150 天完成。甲、乙兩隊合干50 天后，剩下的工程乙隊干還需多少天？分析與解： 以全部工程量為單位1。甲隊單獨干需100 天，甲的工作效例 2 某項工程，甲單獨做需 36 天完成，乙單獨做需 45 天完成。如果開工時甲、乙兩隊合做，中途甲隊退出轉(zhuǎn)做新的工程，那么乙隊又做了 18 天才完成任務。問：甲隊干了多少天？分析： 將題目的條件倒過來想，變?yōu)椤耙谊犗雀?18 天，

18、后面的工作甲、乙兩隊合干需多少天？”這樣一來，問題就簡單多了。答：甲隊干了12 天。例 3 單獨完成某工程，甲隊需 10 天，乙隊需 15 天，丙隊需 20 天。開始三個隊一起干，因工作需要甲隊中途撤走了，結(jié)果一共用了 6 天完成這一工程。問：甲隊實際工作了幾天？分析與解： 乙、丙兩隊自始至終工作了6 天，去掉乙、丙兩隊6 天的工作量，剩下的是甲隊干的，所以甲隊實際工作了例 4 一批零件，張師傅獨做20 時完成，王師傅獨做30 時完成。如果兩人同時做，那么完成任務時張師傅比王師傅多做 60 個零件。這批零件共有多少個？分析與解： 這道題可以分三步。首先求出兩人合作完成需要的時間，- 14 -小

19、學奧數(shù)基礎(chǔ)教程（六年級）- 15 -例 5 一水池裝有一個放水管和一個排水管，單開放水管5 時可將空池灌滿，單開排水管7 時可將滿池水排完。如果一開始是空池，打開放水管1 時后又打開排水管，那么再過多長時間池內(nèi)將積有半池水例 6 甲、乙二人同時從兩地出發(fā)，相向而行。走完全程甲需60 分鐘，乙需40 分鐘。出發(fā)后5 分鐘，甲因忘帶東西而返回出發(fā)點，取東西又耽誤了5 分鐘。甲再出發(fā)后多長時間兩人相遇？分析：這道題看起來像行程問題，但是既沒有路程又沒有速度，所以不能用時間、路程、速度三者的關(guān)系來解答。甲出發(fā) 5 分鐘后返回，路上耽誤 10 分鐘，再加上取東西的 5 分鐘，等于比乙晚出發(fā) 15 分鐘。

20、我們將題目改述一下：完成一件工作，甲需 60 分鐘，乙需 40 分鐘，乙先干 15 分鐘后，甲、乙合干還需多少時間？由此看出，這道題應該用工程問題的解法來解答。答：甲再出發(fā)后15 分鐘兩人相遇。練習 51. 某工程甲單獨干 10 天完成，乙單獨干 15 天完成，他們合干多少天才可完成工程的一半？2. 某工程甲隊單獨做需48 天，乙隊單獨做需36 天。甲隊先干了6 天后轉(zhuǎn)交給乙隊干，后來甲隊重新回來與乙隊一起干了 10 天，將工程做完。求乙隊在中間單獨工作的天數(shù)。3. 一條水渠，甲、乙兩隊合挖需 30 天完工?，F(xiàn)在合挖 12 天后，剩下的乙隊單獨又挖了 24 天挖完。這條水渠由甲隊單獨挖需多少天

21、？則完成任務時乙比甲多植50 棵。這批樹共有多少棵？5. 修一段公路，甲隊獨做要用40 天，乙隊獨做要用24 天?，F(xiàn)在兩隊同時從兩端開工，結(jié)果在距中點750 米處相遇。這段公路長多少米？6. 蓄水池有甲、乙兩個進水管，單開甲管需 18 時注滿，單開乙管需 24 時注滿。如果要求 12 時注滿水池，那么甲、乙兩管至少要合開多長時間？7. 兩列火車從甲、乙兩地相向而行，慢車從甲地到乙地需8 時，比快車從40 千米。求甲、乙兩地的距離。答案與提示練習 52.14 天。- 15 -小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程（六年級）- 16 -3.120 天。4.350 棵。5.6000 米。6.8 時。提示：甲管12 時都開

22、著，乙管開7.280 千米。第六講工程問題（二）上一講我們講述的是已知工作效率的較簡單的工程問題。只要我們靈活運用基本的分析方法，問題也不難解決。例 1 一項工程，如果甲先做5 天，那么乙接著做在較復雜的工程問題中，工作效率往往隱藏在題目條件里，這時，20 天可完成；如果甲先做20 天，那么乙接著做8 天可完成。如果甲、乙合做，那么多少天可以完成？分析與解： 本題沒有直接給出工作效率，為了求出甲、乙的工作效率，我們先畫出示意圖：從上圖可直觀地看出：甲 15 天的工作量和乙12 天的工作量相等， 即甲 5 天的工作量等于乙4 天的工作量。 于是可用“乙工作 4 天”等量替換題中“甲工作5 天”這

23、一條件，通過此替換可知乙單獨做這一工程需用20+4=24（天）甲、乙合做這一工程，需用的時間為例 2 一項工程，甲、乙兩隊合作需6 天完成，現(xiàn)在乙隊先做7 天，然后么還要幾天才能完成？分析與解： 題中沒有告訴甲、乙兩隊單獨的工作效率，只知道他們合作- 16 -小學奧數(shù)基 教程（六年 ）- 17 - 把“乙先做7 天，甲再做4 天”的 程 化 “甲、乙合做4 天，乙再 獨例 3 獨完成一件工作，甲按 定 可提前2 天完成，乙 要超 定 3 天才能完成。如果甲、乙二人合做2天后，剩下的 由乙 獨做，那么 好在 定 完成。 ：甲、乙二人合做需多少天完成？分析與解： 乙 獨做要超 3 天，甲、乙合做2

24、 天后乙 做， 好按 完成， 明甲做2 天等于乙做3 天，即完成 件工作，乙需要的 是甲的，乙需要10+5=15（天）。甲、乙合作需要例 4 放 一個水池的水，若同 打開1， 2，3 號 ， 20 分 可以完成；若同 打開2， 3，4 號 ， 21 分 可以完成；若同 打開1，3，4 號 ， 28 分 可以完成；若同 打開1，2，4 號 ， 30 分 可以完成。 ：如果同 打開1，2，3， 4 號 ，那么多少分 可以完成？分析與解： 同 打開 1，2，3 號 1 分 ，再同 打開2，3，4 號 1 分 ，再同 打開1，3，4 號 1 分 ，再同 打開1， 2，4 號 1 分 ， ， 1，2，

25、3，4 號 各打開了3 分 ，放水量等于一例 5 某工程由一、二、三小 合干，需要8 天完成；由二、三、四小 合干，需要10 天完成；由一、四小 合干，需15 天完成。如果按一、二、三、四、一、二、三、四、的 序，每個小 干一天地 流干，那么工程由哪個 最后完成？分析與解： 與例 4 似，可求出一、二、三、四小 的工作效率之和是例 6 甲、乙、丙三人做一件工作，原 劃按甲、乙、丙的 序每人一天 流去做，恰好整天做完，并且 束工作的是乙。若按乙、丙、甲的 序 流- 17 -小學奧數(shù)基 教程（六年 ）- 18 -件工作，要用多少天才能完成？分析與解： 把甲、乙、丙三人每人做一天稱 一 。在一 中，

26、無 先 后，完成的 工作量都相同。所以三種 序前面若干 完成的工作量及用的天數(shù)都相同（ 下 虛 左 ），相差的就是最后一 （ 下 虛 右 ）。由最后一 完成的工作量相同，得到練習 61. 甲、乙二人同 開始加工一批零件，每人加工零件 數(shù)的一半。甲完成有多少個？需的 相等。 ：甲、乙 獨做各需多少天？3. 加工一批零件，王 傅先做6 李 傅再做12 可完成，王 傅先做8 李 傅再做9 也可完成。 在王 傅先做 2 ，剩下的兩人合做， 需要多少小 ？獨修各需幾天？5.蓄水池有甲、乙、丙三個 水管，甲、乙、丙管 獨灌 一池水依次需要10，12，15 。上午8 點三個管同 打開，中 甲管因故關(guān) ， 果

27、到下午2點水池被灌 。 ：甲管在何 被關(guān) ？6. 獨完成某 工作，甲需9 ，乙需 12 。如果按照甲、乙、甲、乙、的 序 流工作，每次1 ，那么完成 工作需要多 ？7. 一 工程，乙 獨干要 17 天完成。如果第一天甲干，第二天乙干， 交替 流干，那么恰好用整天數(shù)完成；如果第一天乙干，第二天甲干， 交替 流干，那么比上次 流的做法多用半天完工。 ：甲 獨干需要幾天？答案與提示 練習 61.360 個。- 18 -小學奧數(shù)基 教程（六年 ）- 19 -2. 甲 18 天，乙 12 天。3.7.2 。解：由下 知，王干2 等于李干3 ，所以 獨干李需12+6 23=21（ ），王需213 2=14

28、（ ）。所求 5. 上午 9 。6.10 時 15 分。7.8.5天。解：如果兩人 流做完的天數(shù)是偶數(shù)，那么不 甲先 是乙先，兩種 流做的方式完成的天數(shù)必定相同（ 左下 ）。甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲 在乙先比甲先要多用半天，所以甲先 ，完成的天數(shù)一定是奇數(shù)，于是得到右上 ，其中虛 左 的工作量相同，右 的工作量也相同， 明乙做 1 天等于甲做半天，所以乙做 17 天等于甲做 8.5 天。第七 巧用 位“ 1”- 19 -小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程（六年級）- 20 -在工程問題中，我們往往設(shè)工作總量為單位“ 1”。在許多分數(shù)應用題中，都會遇到單位“ 1”的問題，根據(jù)題目條件正確使用單位“ 1”，能使解

29、答的思路更清晰，方法更簡捷。分析：因為第一天、第二天都是與全書比較，所以應以全書的頁數(shù)為單位答：這本故事書共有240 頁。分析與解： 本題條件中單位“1”的量在變化，依次是“全書的頁數(shù)”、“第一天看后余下的頁數(shù)”、“第二天看后余下的頁數(shù)”，出現(xiàn)了 3 個不同的單位“ 1”。按照常規(guī)思路，需要統(tǒng)一單位“ 1”，轉(zhuǎn)化分率。但在本題中，不統(tǒng)一單位“1”反而更方便。我們先把全書看成“1”，看成“ 1”，就可以求出第三天看后余下的部分占全書的共有多少本圖書？分析與解： 故事書增加了，圖書的總數(shù)隨之增加。題中出現(xiàn)兩個分率，這給計算帶來很多不便，需要統(tǒng)一單位“ 1”。統(tǒng)一單位“ 1”的一個竅門就是抓“不變量

30、”為單位“ 1”。本題中故事書、圖書總數(shù)都發(fā)生了變化，而其它書的本數(shù)沒有變，可以以圖書室原來共有圖書- 20 -小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程（六年級）- 21 -分析與解：與例 3 類似，甲、乙組人數(shù)都發(fā)生了變化，不變量是甲、 乙組的總?cè)藬?shù)， 所以以甲、 乙組的總?cè)藬?shù)為單位“1”。例 5 公路上同向行駛著三輛汽車，客車在前，貨車在中，小轎車在后。在某一時刻，貨車與客車、小轎車的距離相等；走了 10 分鐘，小轎車追上了貨車；又過了5 分鐘，小轎車追上了客車，再過多少分鐘，貨車追上客車？分析與解： 根據(jù)“在某一時刻，貨車與客車、小轎車的距離相等”，設(shè)這段距離為單位“1”。由“走了10 分鐘，小轎車追上了貨車”

31、，可知小轎可知小轎車 (10+5) 分鐘比客車多行了兩個這樣的距離，每分鐘多行這段距離的兩班各有多少人？乙班有 84-48=36 （人）。練習 7樹上原有多少個桃？- 21 -小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程（六年級）- 22 -剩下的部分收完后剛好又裝滿6 筐。共收西紅柿多少千克？7. 六年級兩個班共有學生94 人，其中女生有39 人，已知一班的女生占本答案與提示練習 71.35 個。2.60 個。3.64 噸。4.384 千克。6. 男生 15 人，女生 21 人。7. 一班 45 人，二班 49 人。第八講 比和比例- 22 -小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程（六年級）- 23 -比的概念是借助于除法的概念建立的。兩個

32、數(shù)相除叫做兩個數(shù)的比。例如，5 6 可記作 56。比值。表示兩個比相等的式子叫做比例（式）。如，3 7=9 21。判斷兩個比是否成比例，就要看它們的比值是否相等。兩個比的比值相等，這兩個比能組成比例，否則不能組成比例。在任意一個比例中，兩個外項的積等于兩個內(nèi)項的積。即：如果ab=cd，那么 ad=b c。兩個數(shù)的比叫做單比，兩個以上的數(shù)的比叫做連比。例如abc 。連比中的“”不能用“”代替，不能把連比看成連除。把兩個比化為連比，關(guān)鍵是使第一個比的后項等于第二個比的前項，方法是把這兩項化成它們的最小公倍數(shù)。例如，甲乙 =56，乙丙 =43，因為 6 ，4=12 ，所以5 6=10 12 ， 4

33、3=129，得到甲乙丙=10 129。例 1 已知 3 (x-1)=7 9，求 x。解：7 (x-1)=39，x-1=3 97，例 2六年級一班的男、女生比例為32，又來了 4 名女生后，全班共有 44 人。求現(xiàn)在的男、女生人數(shù)之比。分析與解： 原來共有學生44-4=40 （人），由男、女生人數(shù)之比為3 2 知，如果將人數(shù)分為 5 份，那么男生占3 份，女生占 2份。由此求出女生增加4 人變?yōu)?16+4=20（人），男生人數(shù)不變，現(xiàn)在男、女生人數(shù)之比為24 20=6 5。在例 2 中，我們用到了按比例分配的方法。將一個總量按照一定的比分成若干個分量叫做按比例分配。按比例分配的方法是將按已知比分

34、配變?yōu)榘捶輸?shù)分配，把比的各項相加得到總份數(shù)，各項與總份數(shù)之比就是各個分量在總量中所占的分率，由此可求得各個分量。例 3 配制一種農(nóng)藥， 其中生石灰、 硫磺粉和水的重量比是1212，現(xiàn)在要配制這種農(nóng)藥2700 千克，求各種原料分別需要多少千克。分析： 總量是 2700 千克，各分量的比是1 212，總份數(shù)是1+2+12=15，答：生石灰、硫磺粉、水分別需要180， 360 和 2160 千克。在按比例分配的問題中，也可以先求出每份的量，再求出各個分量。如例3 中，總份數(shù)是1+2+12=15，每份的量是2700 15=180（千克），然后用每份的量分別乘以各分量的份數(shù)，即用180 千克分別乘以1，

35、 2， 12，就可以求出各個分量。例 4 師徒二人共加工零件400 個，師傅加工一個零件用9 分鐘，徒弟加工一個零件用15 分鐘。完成任務時，師傅比徒弟多加工多少個零件？分析與解： 解法很多，這里只用按比例分配做。師傅與徒弟的工作效率- 23 -小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程（六年級）- 24 -有多少學生？按比例分配得到例 6 某高速公路收費站對于過往車輛收費標準是：大客車30 元，小客車15 元，小轎車10 元。某日通過該收費站的大客車和小客車數(shù)量之比是5 6，小客車與小轎車之比是4 11，收取小轎車的通行費比大客車多210 元。求這天這三種車輛通過的數(shù)量。分析與解： 大客車、小轎車通過的數(shù)量都是與小客

36、車相比，如果能將5 6 中的 6 與 4 11 中的 4 統(tǒng)一成 4 ，6=12 ，就可以得到大客車小客車小轎車的連比。由 5 6=1012 和 411=12 33，得到大客車小客車小轎車=101233。以 10 輛大客車、12 輛小客車、33 輛小轎車為一組。 因為每組中收取小轎車的通行費比大客車多1033-30 10=30（元），所以這天通過的車輛共有21030=7（組）。這天通過大客車 =107=70（輛），小客車 =127=84（輛），小轎車 =337=231（輛）。練習 81. 一塊長方形的地，長和寬的比是5 3，周長是 96 米，求這塊地的面積。2. 一個長方體，長與寬的比是 4

37、3，寬與高的比是 5 4，體積是 450 分米 3。問：長方體的長、寬、高各多少厘米？3. 一把小刀售價6 元。如果小明買了這把小刀，那么小明與小強的錢數(shù)之比是35；如果小強買了這把小刀，那么小明與小強的錢數(shù)之比是911。問：兩人原來共有多少錢？5.甲、乙、丙三人分 138 只貝殼，甲每取走 5 只乙就取走 4 只，乙每取走5 只丙就取走 6 只。問：最后三人各分到多少只貝殼？6.一條路全長 60 千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程的長度之比是1 23，某人走各段路程所用的時間之比是 345。已知他走平路的速度是5 千米 / 時，他走完全程用多少時間？7.某俱樂部男、女會員的人數(shù)之比是3

38、2，分為甲、乙、丙三組，甲、乙、丙三組的人數(shù)之比是108 7。如果甲組中男、女會員的人數(shù)之比是31，乙組中男、女會員的人數(shù)之比是53，那么丙組中男、女會員的人數(shù)之比是多少？答案與提示 練習 81.540 米 2。- 24 -小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程（六年級）- 25 -2. 長 100 厘米，寬 75 厘米，高 60 厘米。解：長寬高 =201512，450000 (20 1512)=125=5 3 。長 =205=100（厘米），寬 =155=75（厘米），高 =125=60（厘米）。3.86 元。解：設(shè)小明有x 元錢。根據(jù)小強的錢數(shù)可列方程36+50=86（元）。4.2640 元。5. 甲 50

39、只，乙 40 只，丙 48 只。解：甲乙丙=252024，138 (25+20+24)=2 ，甲 =225=50（只），乙 =220=40（只），丙 =224=48（只）。6.12 時。7.5 ：9第九講百分數(shù)百分數(shù)有兩種不同的定義。（ 1）分母是 100 的分數(shù)叫做百分數(shù)。這種定義著眼于形式，把百分數(shù)作為分數(shù)的一種特殊形式。（ 2）表示一個數(shù)（比較數(shù)）是另一個數(shù)（標準數(shù)）的百分之幾的數(shù)叫做百分數(shù)。這種定義著眼于應用，用來表示兩個數(shù)的比。所以百分數(shù)又叫百分比或百分率。百分數(shù)通常不寫成分數(shù)形式，而采用符號“”來表示，叫做百分號。在第二種定義中，出現(xiàn)了比較數(shù)、標準數(shù)、分率（百分數(shù)），這三者的關(guān)系如

40、下：- 25 -小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程（六年級）- 26 -比較數(shù)標準數(shù)=分率（百分數(shù)），標準數(shù)分率 =比較數(shù)，比較數(shù)分率 =標準數(shù)。根據(jù)比較數(shù)、標準數(shù)、分率三者的關(guān)系，就可以解答許多與百分數(shù)有關(guān)的應用題。例 1紡織廠的女工占全廠人數(shù)的80，一車間的男工占全廠男工的25。問：一車間的男工占全廠人數(shù)的百分之幾？分析與解： 因為“女工占全廠人數(shù)的80”，所以男工占全廠人數(shù)的1-80 =20。又因為“一車間的男工占全廠男工的25”，所以一車間的男工占全廠人數(shù)的20 25 =5。例 2學校去年春季植樹 500 棵，成活率為85，去年秋季植樹的成活率為90。已知去年春季比秋季多死了20 棵樹，那么去年學校共種活了多少棵樹？分析與解：去年春季種的樹活了500 85=425（棵），死了 500-425=75（棵）。去年秋季種的樹， 死了 75-20=55（棵