概率論習題課

1、第三章 習題課其它,xy,x),x(cy)y, x(f00102求求 (1) c的值；的值； （2）兩個邊緣密度。）兩個邊緣密度。= 5c/24 ,c =24/5.100(2)xdxcyx dy 解解 (1) 21,Rfx y dxdy 故故yx xy01x 123022cxx dx 例例1 設設 (X,Y) 的概率密度是的概率密度是解解求求 (1) c 的值的值; (2) 兩個邊緣密度兩個邊緣密度 .其它,00, 10),2(),(xyxxcyyxf dyyxfxfX, 00,.Xxxfxf x y dyf x y dyf x y dy (2)xxy0yx 1xxx 10,0,0.Xxxyf

2、 x yfx 或或都都有有故故當當 時時當當 時時,01x ),2(5122xx注意取值范圍注意取值范圍xdyxy0)2(524綜上綜上 , .,0,10,25122其它其它xxxxfXxxyx xy01xx 00,.Xxxfxf x y dyf x y dyf x y dy 當當 時時,01x 解解 (2) dxyxfyfY, .0,0,01yfyxfxyyY故故都有都有對對時時或或當當 .,1011dxyxfdxyxfdxyxfyfyyyY時時當當yx yyy11y0yx),2223(5242yyy1)2(524ydxxy其它, 010),2223(524)(2yyyyyfY綜上綜上 ,練

3、習：練習： 設設(X,Y)的概率密度是的概率密度是 ,0,0,yexyxfx y 其其它它求求( X,Y )關于關于 X 和和 Y 的邊緣概率密度的邊緣概率密度.xyx xy0 xx ,Xfxfx y dy 解解當當 時時,0 x 當當 時時,0 x 00Xfxdy yXxfxedy xe yxe 故故 ,0,0,0.xXexfxx yx xy0 ,Yfyfx y dx yyy當當 時時,0y 當當 時時,0y 00Yfydx 0yyYfyedx yye 故故 ,0,0,0.yYyeyfyy 設設G是平面上的有界區(qū)域，其面積為是平面上的有界區(qū)域，其面積為A.若二若二維隨機變量（維隨機變量（ X

4、,Y）具有概率密度）具有概率密度其它, 0),(,1),(GyxAyxf則稱（則稱（X,Y）在）在G上服從均勻分布上服從均勻分布. 向平面上有界區(qū)域向平面上有界區(qū)域G上任投一質(zhì)點，若質(zhì)點落上任投一質(zhì)點，若質(zhì)點落在在G內(nèi)任一小區(qū)域內(nèi)任一小區(qū)域B的概率與小區(qū)域的面積成正比，的概率與小區(qū)域的面積成正比，而與而與B的形狀及位置無關的形狀及位置無關. 則質(zhì)點的坐標則質(zhì)點的坐標 (X,Y)在在G上服從均勻分布上服從均勻分布.例例例例 2 設設(X,Y)服從如圖區(qū)域服從如圖區(qū)域G上的上的均勻分布，均勻分布，(1)求求(X,Y)的概率密度；的概率密度；(2)求求P(Y2X)；(3)求求F(0.5,0.5)。2

5、11414GG面積面積的的的的O 0.5 1 xG解解 (1)區(qū)域區(qū)域G的面積為的面積為1GyxGyxyxf),(0),(1),(2) G1y=2xy1P(Y2X)114GG的面積的面積(3)F(0.5,0.5)=P(X0.5,Y0.5)G2 例例3 甲乙兩人約定中午甲乙兩人約定中午12時時30分在某地會面分在某地會面.如如果甲來到的時間在果甲來到的時間在12:15到到12:45之間是均勻分布之間是均勻分布. 乙乙獨立地到達獨立地到達,而且到達時間在而且到達時間在12:00到到13:00之間是均勻之間是均勻分布分布. 試求先到的人等待另一人到達的時間不超過試求先到的人等待另一人到達的時間不超過

6、5分鐘的概率分鐘的概率. 又甲先到的概率是多少？又甲先到的概率是多少？解解 設設X為甲到達時刻為甲到達時刻,Y為乙到達時刻為乙到達時刻以以12時為起點時為起點,以分為單位以分為單位,依題意依題意,XU(15,45), YU(0,60)其它, 04515,301)(xxfX所求為所求為P( |X-Y | 5) , 其它其它, 0600,601)(yyfY其它, 0600 ,4515,18001),(yxyxf甲先到甲先到的概率的概率由獨立性由獨立性先到的人等待另一人到達的時間不先到的人等待另一人到達的時間不超過超過5分鐘的概率分鐘的概率P(XY)解一解一 45155x5xdxdy18001P(

7、| X-Y| 5 ) xy015451060405yx5 yx=P( -5 X -Y 5)xy01545106040yx P(XY) 451560 xdxdy180011 2. 1 6. 解二解二5| yx |dxdy18001P(X Y)1 6. P( | X-Y| 5 ) 類似的問題如：類似的問題如： 甲、乙兩船同日欲靠同一碼頭，設兩船各自獨甲、乙兩船同日欲靠同一碼頭，設兩船各自獨立地到達，并且每艘船在一晝夜間到達是等可能的立地到達，并且每艘船在一晝夜間到達是等可能的 . 若甲船需停泊若甲船需停泊1小時，乙船需停泊小時，乙船需停泊2小時，而該碼頭小時，而該碼頭只能停泊一艘船，試求其中一艘船

8、要等待碼頭空出只能停泊一艘船，試求其中一艘船要等待碼頭空出的概率的概率.定理定理2.3設隨機變量設隨機變量Y是隨機變量是隨機變量X的函數(shù)的函數(shù)Y=g(X), y=g(x)為連續(xù)函數(shù)。為連續(xù)函數(shù)。, 2 , 1, kpxXPkk(1) 若若X為離散型隨機變量，其分布律為為離散型隨機變量，其分布律為11|()|( ) ()().(1)kkkkkkg xpE YE g Xg xp且收斂，則有(2)( )|( )|( )d( ) ()( ) ( )d .(2)Xf xg xf xxE YE g Xg x f xx若 為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為，且收斂，則有定理定理3.2設設(X,Y)為二維隨機變量

9、，為二維隨機變量，g(x,y)為二元連為二元連續(xù)函數(shù)。續(xù)函數(shù)。的數(shù)學期望為的數(shù)學期望為函數(shù)函數(shù)絕對收斂，則隨機變量絕對收斂，則隨機變量且級數(shù)且級數(shù)),(),(11YXgpyxgijijji 1若若(X,Y)為二維離散型隨機變量，其聯(lián)合分布律為為二維離散型隨機變量，其聯(lián)合分布律為, 2 , 1, 2 , 1, jipyYxXPijji11 (, )( ,).(1)ijijijE g X Yg x yp (, )( , ) ( , )d d(2)E g X Yg x y f x yx y絕對收斂，則隨機變量函數(shù)絕對收斂，則隨機變量函數(shù)g(X,Y)的數(shù)學期望為的數(shù)學期望為注意，若注意，若(X,Y)為

10、二維連續(xù)型隨機變量，其聯(lián)合為二維連續(xù)型隨機變量，其聯(lián)合概率密度為概率密度為f(x,y). 有有2若若(X,Y)為二維連續(xù)隨機變量，其聯(lián)合概率密度為為二維連續(xù)隨機變量，其聯(lián)合概率密度為f(x,y)且廣義積分且廣義積分 yxyxfyxgdd),(),(也就是說，對于二維連續(xù)型隨機變量，計算也就是說，對于二維連續(xù)型隨機變量，計算Eg(X)用用定理定理3.2式比用定理式比用定理2.3計算方便。計算方便。但當?shù)?X,Y)為二維離散型隨機變量時，由于求邊為二維離散型隨機變量時，由于求邊緣分布律不復雜，用定理緣分布律不復雜，用定理2.3計算計算Eg(x)稍簡潔些。稍簡潔些。 ()( ) ( , )d dE

11、 g Xg x f x yx yxyyxfxgdd),()( ,)d()(xxfxgX 例例4設二維隨機變量設二維隨機變量(X,Y)只能取下列數(shù)值中的值：只能取下列數(shù)值中的值：(0,- -1),(- -1,1),(0,1),(2,- -1), 且取這些值的概率依次為且取這些值的概率依次為0.2,0.1,0.3,0.4. 求：求：(1)E(X2);(2)E(XY).解解由題意寫出由題意寫出(X,Y)的聯(lián)合分布律并計算邊緣分的聯(lián)合分布律并計算邊緣分布律如下：布律如下： XY-102PY=yj-100.20.40.610.10.300.4PX=xi0.10.50.412222(1)2.3()( 1)

12、0.100.520.41.7.E X 由定理，(2)3.2()( 1)( 1)0( 1) 10.10( 1)0.201 0.32( 1)0.42 1 00.9.ijijijE XYx y p 由定理， XY-10100.070.180.1510.080.320.20練習：設聯(lián)合分布率如下所示，._)5, 3cov(22YX則例例5設設(X,Y)的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為 ., 0,0 , 10,3),(其他其他xyxxyxf).()4();()3();()2();(),()1(2XYEYXEYEXEXE 求：求：解解用定理用定理3.2計算。計算。,43d3d3ddd),()()1(103

13、0210 xxyxxyxyxxfXEx.53d3d3ddd),()(104031022 xxyxxyxyxfxXEx.83d23d3ddd),()()2(103010 xxyxyxyxyxyfYEx.89d29d)(3ddd),()()()3(103010 xxyyxxxyxyxfyxYXEx.103d23d3ddd),()()4(1040210 xxyyxxyxyxxyfXYEx例例6 6 已知已知(X,Y)的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為YX1211/31/62a1/93b1/18X123P1/2a+1/9b+1/18Y12Pa+b+1/31/3試確定常數(shù)試確定常數(shù)a,b，使，使X與與Y相互獨

14、立。相互獨立。解解 先求出先求出(X,Y)關于關于X和和Y的邊緣分布律的邊緣分布律要使要使X與與Y相互獨立，可用相互獨立，可用pij =pipj來確定來確定a,b 。P(X=2,Y=2)= P(X=2)P(Y=2)， P(X=3,Y=2)= P(X=3)P(Y=2)，即即 31181181319191ba9192ba因此，因此， (X,Y)的聯(lián)合分布律和邊緣分布律為的聯(lián)合分布律和邊緣分布律為YX12pi11/31/61/222/91/91/331/91/181/6pj2/31/3經(jīng)檢驗，此時經(jīng)檢驗，此時X與與Y是相互獨立的。是相互獨立的。例例7 7 設二維隨機變量設二維隨機變量(X,Y)在矩形

15、區(qū)域在矩形區(qū)域G=(x,y)|0 x 2,0 y 1上服從上服從均勻分布，若均勻分布，若YXYXU01YXYXV2021試求試求(U,V)的聯(lián)合分布律，并判斷的聯(lián)合分布律，并判斷U與與V是否相互獨立。是否相互獨立。解解 (X,Y)在在G上服從均勻分布，則聯(lián)合密度函數(shù)為上服從均勻分布，則聯(lián)合密度函數(shù)為O 1 2 xy1y=xx=2yGGyxGyxyxf),(0),(21),()()2,()0, 0(YXPYXYXPVUP yxxdydxdxdyyxf1014121),(0)2,() 1, 0(YXYXPVUP)2()2,()0, 1(YXYPYXYXPVUPyxyyydxdydxdyyxf210

16、24121),()2()2,() 1, 1(YXPYXYXPVUP yxxdydxdxdyyxf220202121),(U,V)的聯(lián)合分布律和邊緣分布律為的聯(lián)合分布律和邊緣分布律為VU01pi01/401/411/41/23/4pj1/21/2經(jīng)檢驗，經(jīng)檢驗， U和和V不是相互獨立的。其中不是相互獨立的。其中PU=0,V=0 PU=0 PV=0 中心極限定理可以解釋如下：中心極限定理可以解釋如下： 假設被研究的隨機變量可以表示為大量獨立的隨假設被研究的隨機變量可以表示為大量獨立的隨機變量的和，其中每個隨機變量對于總和的作用都很機變量的和，其中每個隨機變量對于總和的作用都很微小，則可以認為這個隨

17、機變量實際上是服從正態(tài)分微小，則可以認為這個隨機變量實際上是服從正態(tài)分布的。布的。 在實際工作中，只要在實際工作中，只要n足夠大，便可把獨立同分足夠大，便可把獨立同分布的隨機變量之和當作正態(tài)變量。布的隨機變量之和當作正態(tài)變量。 一、獨立同分布的中心極限定理，即一、獨立同分布的中心極限定理，即列維列維-林德貝格林德貝格(Levy-Lindeberg）例例8 將一顆骰子連擲將一顆骰子連擲100次，則點數(shù)之和不少于次，則點數(shù)之和不少于500的概率是多少？的概率是多少？解解 設設Xk為第為第k 次擲出的點數(shù)，次擲出的點數(shù)，k=1,2,100，則，則X1,X2,X100獨立同分布，而且獨立同分布，而且2

18、7)(iXE由獨立同分布中心極限定理由獨立同分布中心極限定理1235102710050015001001iiXP0)78. 8(1123544961)(612iikXD二、德莫佛二、德莫佛-拉普拉斯定理拉普拉斯定理(De Moivre-Laplace)此定理表明，正態(tài)分布是二項分布的極限分布。當此定理表明，正態(tài)分布是二項分布的極限分布。當n充充分大時，服從二項分布的隨機變量的概率計算可以轉(zhuǎn)化分大時，服從二項分布的隨機變量的概率計算可以轉(zhuǎn)化為正態(tài)隨機變量的概率計算。為正態(tài)隨機變量的概率計算。例例9 在一家保險公司里有在一家保險公司里有10000個人參加壽命保險，每個人參加壽命保險，每人每年付人每

19、年付12元保險費。在一年內(nèi)一個人死亡的概率為元保險費。在一年內(nèi)一個人死亡的概率為0.6%，死亡時其家屬可向保險公司領得，死亡時其家屬可向保險公司領得1000元，問：元，問：(1)保險公司虧本的概率有多大？保險公司虧本的概率有多大？(2)其他條件不變，為使保險公司一年的利潤有其他條件不變，為使保險公司一年的利潤有99%的的概率不少于概率不少于60000元，賠償金至多可設為多少？元，賠償金至多可設為多少？解解 設設X表示一年內(nèi)死亡的人數(shù)，則表示一年內(nèi)死亡的人數(shù)，則XB(n,p)，其中，其中n= 10000，p=0.6%， np=60， npq=59.64設設Y表示保險公司一年的利潤，則表示保險公司一年的利潤，則 Y=10000 12- -1000X于是由棣莫佛于是由棣莫佛-拉普拉斯中心極限定理拉普拉斯中心極限定理(1)P(Y 0)=P(10000 12- -1000X 0) =1 P(X 120) 1 (7.769)=0;99. 0994. 0006. 010000006. 01000060000a(2)設賠償金為設賠償金為a元，則元，則 P(Y60000)=P(10000 12- -aX60000) =P(X60000/a