滬教版高中數(shù)學(xué)高二下冊第十二章12.3 橢圓的參數(shù)方程 教案

1、圓錐曲線的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程教學(xué)設(shè)計(jì)說明教學(xué)目標(biāo)（1）掌握橢圓的參數(shù)方程的形式，以及橢圓的參數(shù)方程與普通方程的互化；（2）能選取適當(dāng)?shù)膮?shù)求橢圓的參數(shù)方程并能利用橢圓的參數(shù)方程來解決最值、軌跡、距離等問題。教學(xué)重點(diǎn)：（1）橢圓的參數(shù)方程與普通方程的相互轉(zhuǎn)化（2）橢圓的參數(shù)方程的應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用教材分析相對于曲線的一般方程，參數(shù)方程是曲線的另一種代數(shù)表現(xiàn)形式，在設(shè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)減少參數(shù)的個(gè)數(shù)、刻畫動(dòng)點(diǎn)幾何性質(zhì)方面具有一定的優(yōu)越性，而橢圓的參數(shù)方程是其中一個(gè)重要的內(nèi)容。從教材的編排看，橢圓的參數(shù)方程被安排在圓的參數(shù)方程與雙曲線的參數(shù)方程之間，它起著銜接，過渡，承前啟后的作用。學(xué)情分析學(xué)

2、生已經(jīng)掌握了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖像和性質(zhì)，能夠簡單的應(yīng)用，但是對于一些求最值的問題感到計(jì)算比較困難。因此本節(jié)課橢圓的參數(shù)方程的教學(xué)應(yīng)該幫助學(xué)生解決好：1、能從類比圓的參數(shù)方程的建立得出橢圓的參數(shù)方程；2、引導(dǎo)學(xué)生通過設(shè)置參數(shù)，建立橢圓的參數(shù)方程，體會(huì)橢圓規(guī)的設(shè)計(jì)原理；3、能利用橢圓的參數(shù)方程解決有關(guān)的問題，橢圓的應(yīng)用是本節(jié)的難點(diǎn)。教學(xué)過程設(shè)計(jì)本節(jié)課采用“問題探究”的教學(xué)過程，能夠在每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中設(shè)置問題，引導(dǎo)學(xué)生去解決問題。而學(xué)習(xí)探究的題目后面的提示是在學(xué)生還不能正確建立M點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)給一定的啟發(fā)，在多媒體屏幕上展示M點(diǎn)的動(dòng)畫，提示學(xué)生哪些量變化，哪些量保持不變，如何建立參數(shù)方程，在學(xué)生發(fā)現(xiàn)軌跡

3、是橢圓時(shí)，讓學(xué)生更清楚自己化簡結(jié)果的準(zhǔn)確性。思考題的設(shè)置便于學(xué)生對橢圓的參數(shù)方程有一個(gè)全面的理解，更加深刻的理解橢圓參數(shù)的幾何意義，利用類比的思想，課后自己推到雙曲線的參數(shù)方程。例1、主要是讓學(xué)生準(zhǔn)確掌握橢圓參數(shù)方程的形式以及橢圓參數(shù)方程與普通方程的互化；例2、說明橢圓的參數(shù)方程可使橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)一元化，從而使復(fù)雜問題簡單化，最值問題得以解決，提現(xiàn)參數(shù)方程的優(yōu)越性；例3主要說明橢圓的參數(shù)不是我們誤認(rèn)為的傾斜角，加深對參數(shù)的理解；例4主要從實(shí)際問題出發(fā)，選擇參數(shù)，建立參數(shù)方程，運(yùn)用所學(xué)的知識探究一個(gè)實(shí)際的軌跡問題，在探究的過程中進(jìn)一步掌握橢圓的參數(shù)方程，以及如何將實(shí)際問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，

4、通過分析說明，建立參數(shù)方程，得到點(diǎn)M運(yùn)行的軌跡為橢圓，從而說明橢圓規(guī)的設(shè)計(jì)原理是利用了橢圓的參數(shù)方程。教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入（1）焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： （2）焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（3）圓的參數(shù)方程為：（為參數(shù)，）（4）圓的參數(shù)方程為：（為參數(shù)，）學(xué)習(xí)探究一：圓的參數(shù)方程的推導(dǎo)過程【設(shè)計(jì)意圖】：通過復(fù)習(xí)焦點(diǎn)在軸、軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的參數(shù)方程引出本節(jié)課的主題：橢圓的參數(shù)方程，讓學(xué)生模仿圓的參數(shù)方程的推導(dǎo)過程自己來推導(dǎo)橢圓的參數(shù)方程。二、橢圓參數(shù)方程的推導(dǎo)1、焦點(diǎn)在軸上的橢圓的參數(shù)方程：因?yàn)?，又；設(shè)即，（為參數(shù)，且），（的周期）這是中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在軸上的橢圓的參數(shù)方程。在橢

5、圓的參數(shù)方程中，通常規(guī)定參數(shù)的范圍為。2、焦點(diǎn)在軸上的橢圓的參數(shù)方程：（為參數(shù)）。知識點(diǎn)小結(jié)：（1）在橢圓的參數(shù)方程中，常數(shù) 分別是橢圓的 長半軸長 和 短半軸長 ；（其中） （2）焦點(diǎn)在軸上的橢圓的參數(shù)方程為： （為參數(shù)，且）；焦點(diǎn)在軸上的橢圓的參數(shù)方程為：（為參數(shù)，）?！驹O(shè)計(jì)意圖】：讓學(xué)生推導(dǎo)出焦點(diǎn)在軸上的橢圓的參數(shù)方程，類比寫出焦點(diǎn)在軸上的橢圓的參數(shù)方程，總結(jié)在橢圓的參數(shù)方程中，常數(shù)的含義。三、橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用例1：普通方程與參數(shù)方程的互化（學(xué)生口答）（1） （2） （3） （4）【設(shè)計(jì)意圖】：讓學(xué)生口答橢圓的參數(shù)方程與普通方程的互化，加深對橢圓參數(shù)方程的理解與認(rèn)識。例2：已知橢圓，求

6、：（1）橢圓的內(nèi)接矩形面積的最大值；（2）若是橢圓上任意一點(diǎn)，求的最值；（3）若點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，求點(diǎn)到直線距離的最小值，并求出此時(shí)的坐標(biāo)?！驹O(shè)計(jì)意圖】：在學(xué)生熟悉橢圓的普通方程的基礎(chǔ)上，利用橢圓的參數(shù)方程來求解。如果直接設(shè)的坐標(biāo)，則所求的表達(dá)式中有兩個(gè)變量，雖然可以借助橢圓方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量，但表達(dá)式比較復(fù)雜，而利用參數(shù)方程來解，只有一個(gè)參變量j，可以簡化表達(dá)式，學(xué)生可以感受曲線的參數(shù)方程在代數(shù)“消元”中具有重要作用，體現(xiàn)了參數(shù)方程的優(yōu)越性。 例3、是橢圓（為參數(shù)，）上一點(diǎn)，且在第一象限，（為原點(diǎn)）的傾斜角為 ，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ） A) B) C) D) 【設(shè)計(jì)意圖】：本例主要說明橢圓參

7、數(shù)方程中的參數(shù)并不是我們想當(dāng)然認(rèn)為的的傾斜角，挑選易犯錯(cuò)的學(xué)生來回答本問題，剛開始為不完整解答，講完例4之后再給出本例的完整解答過程。學(xué)習(xí)探究二：例4：下圖是用來畫某種曲線的一種器械。它的構(gòu)造如圖所示：在一個(gè)十字形的金屬板上有兩條互相垂直的導(dǎo)槽，在直尺上有兩個(gè)固定滑塊, 它們可分別在縱槽和橫槽中滑動(dòng)，在直尺上的點(diǎn)處用套管裝上鉛筆，使直尺轉(zhuǎn)動(dòng)一周就畫出一條曲線，試指出這種曲線的類型并能說明它的構(gòu)造原理（提示：可以用直尺和橫槽所成的角為參數(shù)，求出點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程）。思考：橢圓的參數(shù)方程中參數(shù)的意義與圓的參數(shù)方程（是參數(shù)，）中參數(shù)的意義類似嗎？【設(shè)計(jì)意圖】：本例從實(shí)際問題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生觀察點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)

8、的“變”與“不變”，線段長度保持不變，角度發(fā)生變化，因此選擇角度作為參數(shù)，求出點(diǎn)的運(yùn)行軌跡是一個(gè)橢圓，運(yùn)用所學(xué)的新知識探究一個(gè)實(shí)際的軌跡問題，在探究的過程中進(jìn)一步掌握橢圓的參數(shù)方程，感受參數(shù)方程在建立軌跡方程中的重要作用，以及在“如何分析實(shí)際問題中的條件并建立數(shù)學(xué)模型”方面積累經(jīng)驗(yàn)。四、課堂總結(jié)（1）焦點(diǎn)在軸上的橢圓的參數(shù)方程：（為參數(shù)）；（2）焦點(diǎn)在軸上的橢圓的參數(shù)方程：（為參數(shù)）；（3）本節(jié)課利用到的數(shù)學(xué)思想求最值時(shí)用到函數(shù)的思想和推導(dǎo)橢圓參數(shù)方程時(shí)的類比思想（4）利用參數(shù)方程求最值，把三角函數(shù)與解析幾何很好的結(jié)合起來，降低運(yùn)算量，體現(xiàn)參數(shù)方程的優(yōu)越性本課要求大家了解了橢圓的參數(shù)方程及參數(shù)

9、的意義，通過推導(dǎo)橢圓的參數(shù)方程，體會(huì)求曲線參數(shù)方程的方法和步驟。對橢圓的參數(shù)方程常見形式要理解和掌握，并能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)方程正確使用參數(shù)式來求解最值、軌跡、距離等問題?！驹O(shè)計(jì)意圖】再現(xiàn)課堂，小結(jié)提升，有助于學(xué)生明確重點(diǎn)，鞏固所學(xué)的知識內(nèi)容、數(shù)學(xué)思想和方法，以求達(dá)到教學(xué)目標(biāo)。五、課后作業(yè)（1）作業(yè)36（2）課后探究：證明橢圓內(nèi)接矩形面積的最大值.類比橢圓的參數(shù)方程，研究如何建立雙曲線的參數(shù)方程.如右圖，以原點(diǎn)為圓心，分別以為半徑作兩個(gè)圓，以為半徑的圓為大圓，以為半徑的圓為小圓。設(shè)為大圓上的任意一點(diǎn)，連接,與小圓交于點(diǎn)。過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，求當(dāng)半徑繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周時(shí)點(diǎn)的軌跡。分析：設(shè)以為始邊，為終邊的角為，點(diǎn)的坐標(biāo)是。那么點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為。由于點(diǎn)均在角的終邊上，由三角函數(shù)的定義有：；當(dāng)半徑繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，就得到了點(diǎn)的軌跡，它的參數(shù)方程是：（是參數(shù)），這是中心在原點(diǎn)焦點(diǎn)在軸上的橢圓的參數(shù)方程。 圓的參數(shù)方程中是軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的旋轉(zhuǎn)角即，那么橢圓的參數(shù)方程中是不是上圖中軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的旋轉(zhuǎn)角呢？由圖可以看出，參數(shù)是點(diǎn)所對應(yīng)的圓的半徑（或）的旋轉(zhuǎn)角（稱為點(diǎn)的離心角），不是的旋轉(zhuǎn)角。【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生課后自己思考一般橢圓內(nèi)接矩形面積的最大值；由于教學(xué)大綱中對橢圓參數(shù)的幾何意義不做要求，因此可以讓學(xué)生自己