儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定的數(shù)學(xué)模型

1、儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定的數(shù)學(xué)模型摘要：本文研究?jī)?chǔ)油罐的變位對(duì)罐容表的影響問(wèn)題，利用微積分理論知識(shí)，采用截面面積積分求體積的方法，建立儲(chǔ)油罐油量與油位高度之間的關(guān)系模型，運(yùn)用matlab編程求解，從而分析、討論儲(chǔ)油罐變位前、后對(duì)罐容表的影響。首先研究問(wèn)題中兩端平頭的小橢圓形儲(chǔ)油罐，討論其變位前、后對(duì)罐容表的影響。在變位前對(duì)儲(chǔ)油罐沿著油面水平截面得到矩形，對(duì)矩形積分建立儲(chǔ)油量與油位高度之間的關(guān)系模型I，即 ,代入幾何參數(shù)，給出了正常的罐容表對(duì)應(yīng)值，再將附件1所給的油位高度代入模型中，得到相應(yīng)的儲(chǔ)油量，并與實(shí)際的儲(chǔ)油量相比，誤差在0.35之內(nèi)，從而檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼_性；變?yōu)楹?，建立積分模型II，得

2、到縱向傾斜（）時(shí)的罐容表的修定值，與正常情況下的罐容表標(biāo)定值相比較，分析變位對(duì)罐容表的影響，隨著油位示數(shù)的增大，對(duì)體積的影響先增后減。然后研究問(wèn)題中兩端為球冠體的儲(chǔ)油罐變?yōu)楹髮?duì)罐容表的影響。在儲(chǔ)油罐無(wú)變位時(shí)，將儲(chǔ)油罐分為兩部分，中間的柱體部分在模型I的基礎(chǔ)上求解，兩端的球罐體沿水平方向積分求解，將各部分結(jié)果求和，得到無(wú)變位時(shí)儲(chǔ)油量與油位高度的關(guān)系模型III；在發(fā)生變位（縱向傾斜 a和橫向傾斜 b）后，考慮到，儲(chǔ)油罐可能出現(xiàn)一端有油和兩端有油的情況，我們將儲(chǔ)油罐分為三部分，找到兩種情況下油位示數(shù)的臨界值，先考慮縱向變位，得到儲(chǔ)油量與油位高度、變位參數(shù) 的關(guān)系，然后將油位示數(shù)與b 的關(guān)系代入其中，

3、得到模型IV，即 ，利用附件2中的數(shù)據(jù)確定變位參數(shù)得到,從而建立了變位后罐容表的修定值，由模型III得到罐容表正常情況下的標(biāo)定值，與其進(jìn)行比較。并且利用附件2中的數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行了檢驗(yàn)，驗(yàn)證了模型的可行性。文中模型采用截面面積積分的方法具有一定的理論基礎(chǔ)，而且針對(duì)不同的情況，采取不同的截法，方法簡(jiǎn)單、可行，可以應(yīng)用于實(shí)際生活當(dāng)中。最后文中提出了模型的改進(jìn)方向，在實(shí)際生活中，可以考慮儲(chǔ)油罐厚度對(duì)模型的影響，提高模型的準(zhǔn)確性。關(guān)鍵詞： 微積分模型 matlab 截面 變位1.問(wèn)題重述1.1問(wèn)題的實(shí)際意義通常加油站都有若干個(gè)儲(chǔ)存燃油的地下儲(chǔ)油罐，并且一般都有與之配套的“油位計(jì)量管理系統(tǒng)”，采用流量計(jì)和

4、油位計(jì)來(lái)測(cè)量進(jìn)/出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，通過(guò)預(yù)先標(biāo)定的罐容表（即罐內(nèi)油位高度與儲(chǔ)油量的對(duì)應(yīng)關(guān)系）進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算，以得到罐內(nèi)油位高度和儲(chǔ)油量的變化情況。許多儲(chǔ)油罐在使用一段時(shí)間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會(huì)發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化（以下稱(chēng)為變位），從而導(dǎo)致罐容表發(fā)生改變。按照有關(guān)規(guī)定，需要定期對(duì)罐容表進(jìn)行重新標(biāo)定。圖1是一種典型的儲(chǔ)油罐尺寸及形狀示意圖，其主體為圓柱體，兩端為球冠體。圖2是其罐體縱向傾斜變位的示意圖，圖3是罐體橫向偏轉(zhuǎn)變位的截面示意圖。1.2要解決的問(wèn)題用數(shù)學(xué)建模方法研究解決儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定的問(wèn)題。 （1）為了掌握罐體變位后對(duì)罐容表的影響，利用如圖4的小

5、橢圓型儲(chǔ)油罐（兩端平頭的橢圓柱體），分別對(duì)罐體無(wú)變位和傾斜角為的縱向變位兩種情況做了實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如附件1所示。請(qǐng)建立數(shù)學(xué)模型研究罐體變位后對(duì)罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值。（2）對(duì)于圖1所示的實(shí)際儲(chǔ)油罐，試建立罐體變位后標(biāo)定罐容表的數(shù)學(xué)模型，即罐內(nèi)儲(chǔ)油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度a和橫向偏轉(zhuǎn)角度b ）之間的一般關(guān)系。請(qǐng)利用罐體變位后在進(jìn)/出油過(guò)程中的實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)（附件2），根據(jù)你們所建立的數(shù)學(xué)模型確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值。進(jìn)一步利用附件2中的實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)分析檢驗(yàn)?zāi)銈兡Ｐ偷恼_性與方法的可靠性。2.問(wèn)題分析

6、本題要研究解決儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定的問(wèn)題。依據(jù)題意，考慮到無(wú)論是儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別還是罐容表的標(biāo)定，都得從罐內(nèi)儲(chǔ)油量與油位高度的變化情況出發(fā)，也就是要建立兩者之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，并且分為變位前、后兩種情況。由題中所給的示意圖，并聯(lián)系實(shí)際生活，我們采用截面面積積分法求油品體積。2.1關(guān)于問(wèn)題（1）的分析首先，在無(wú)變位時(shí)，沿水平方向截油罐，運(yùn)用微積分知識(shí)，建立模型。在變位（即縱向傾斜）時(shí)，沿垂直油罐的方法截油罐，建立微積分模型。然后，使用matlab軟件積分求解，得到有無(wú)變位時(shí)油量與油位高度的表達(dá)式，結(jié)合附件1所給的數(shù)據(jù)，對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)。其次，將不同的代入模型、中，計(jì)算得到正常的罐容表對(duì)應(yīng)值和變

7、位后罐容表的修正值。最后，根據(jù)罐容表正常的對(duì)應(yīng)值和變位后的修正值，在matlab中建立直角坐標(biāo)系，繪制儲(chǔ)油量與油位高的關(guān)系曲線圖，分析比較在縱向傾斜a時(shí)，對(duì)罐容表的影響。2.2關(guān)于問(wèn)題（2）的分析題中要求建立罐體變位后標(biāo)定罐容表的數(shù)學(xué)模型,尋找罐內(nèi)儲(chǔ)油量與油位高度及變位參數(shù)之間的關(guān)系。在問(wèn)題的基礎(chǔ)上，我們?nèi)匀唤⑽⒎e分模型，采用截面面積積分法解決。第一步:考慮罐體無(wú)變位的情況，將罐體分為兩部分，一部分為柱體，根據(jù)模型可以求解；另一部分是兩端的冠球體，沿水平方向截取，將面積進(jìn)行積分計(jì)算體積，再將兩部分體積求和。第二步：考慮罐體縱向偏轉(zhuǎn)a角度的情況，由于油罐可能出現(xiàn)兩端有油和一端有油的情況，所以我

8、們將油罐分為三部分，左、右端的球冠體和中間的柱體，尋找各部分油位示數(shù)之間的關(guān)系，便可不必考慮上述問(wèn)題。對(duì)于左、右兩端都沿水平方向截取，分別對(duì)截面面積進(jìn)行積分求得體積。中間柱體部分的油量與油位高度的關(guān)系可代入模型求得。同樣將三部分體積求和，得到罐內(nèi)實(shí)際儲(chǔ)油量與縱向變位參數(shù)a和油位高度的關(guān)系模型III。第三步：考慮罐體同時(shí)縱向傾斜a角度和橫向偏轉(zhuǎn)b角度的情況，建立顯示油高和b的關(guān)系式，將此關(guān)系式代入第二步最終結(jié)果，得到模型IV，即罐內(nèi)實(shí)際儲(chǔ)油量與縱向變位參數(shù)a、橫向變位b和油位高度的關(guān)系。最后將附件2中的實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)、代入模型IV中的結(jié)果，確定變位參數(shù)a、b的值，建立罐容表的標(biāo)定值，再用模型，得到

9、的無(wú)變化情況下罐容表的標(biāo)定值，進(jìn)行分析比較，并利用附件2的實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)，分析檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼_性與方法的可靠性。3.符號(hào)說(shuō)明符 號(hào)涵 義小橢圓油罐截面的長(zhǎng)半軸小橢圓油罐截面的短半軸儲(chǔ)油罐的長(zhǎng)度罐內(nèi)油品液面高度罐內(nèi)油品體積罐內(nèi)油品截面面積變位后油品截面高度圓柱體底面半徑球體半徑球冠體中圓柱的長(zhǎng)度 4.模型假設(shè) 儲(chǔ)油罐罐體變位僅由地基變形引起，不考慮罐體自身變形等因素； 同一儲(chǔ)油罐在罐體變位前、后罐內(nèi)油品的體積不變； 油品和油罐的體積不受壓強(qiáng)、溫度等多方面的影響； 液體的流速對(duì)液體體積的干擾很小，對(duì)數(shù)據(jù)的檢測(cè)誤差不大。5.模型建立與求解5.1儲(chǔ)油罐油位高度與罐容表標(biāo)定模型（第一問(wèn)）1.儲(chǔ)油罐罐體無(wú)變位

10、時(shí)的油位高度與罐容表標(biāo)定模型I如圖(1)所示，沿水平方向截油罐,截面如圖為矩形xL 圖 (1) 圖 而橢圓柱底面示意圖如圖所示：圖 則橢圓方程為：，解得：。設(shè)是截面矩形的面積，則對(duì)截面面積關(guān)于積分， 可得出油罐內(nèi)油的體積， 即求解積分，從而得到油量與油位高度的表達(dá)式 給式代入不同的油位高度H,計(jì)算得到正常的罐容表對(duì)應(yīng)值,如下表:正常情況下罐容表對(duì)應(yīng)值：油位高度/m油量/L油位高度/m油量/L油位高度/m油量/L0.015.294750.411240.5470.812951.8250.0214.938110.421282.0320.822992.5390.0327.373590.431323.7

11、450.833032.9660.0434.3580.441365.6730.843073.0910.0558.598260.451407.8020.853112.8990.0676.83110.461450.1190.863152.3740.0796.567580.471492.610.873191.4990.08117.67570.481535.2630.883230.2580.09140.0480.491578.0640.893268.6340.1163.5940.516210.93306.6080.11188.20.511664.060.913344.1620.12213.90850.5

12、21707.2290.923381.2780.13240.550.531750.4970.933417.9350.14268.10780.541793.850.943454.1140.15296.53390.551837.2750.953489.7930.16325.78440.561880.7620.963524.9490.17355.81920.571924.2970.973559.5610.18386.60110.581967.8690.983593.6030.19418.09570.592011.4650.993627.050.2450.27060.62055.07313659.875

13、0.21483.09590.612098.6811.013692.050.22516.54290.622142.2771.023723.5450.23550.58490.632185.8481.033754.3260.24585.19630.642229.3841.043784.3610.25620.3530.652272.871.053813.6120.26656.03170.662316.2961.063842.0380.27692.21040.672359.6491.073869.5960.28728.86790.682402.9161.083896.2370.29765.98360.6

14、92446.0861.093921.9090.3803.5380.72489.1451.13946.5520.31841.51210.712532.0821.113970.0980.32879.88760.722574.8831.123992.470.33918.64660.732617.5351.134013.5780.34957.77190.742660.0271.144033.3150.35997.24670.752702.3431.154051.5470.361037.0550.762744.4731.164068.1090.371077.180.772786.4011.174082.

15、7720.381117.6070.782828.1141.184095.2080.391158.320.792869.5981.194104.8510.41199.3050.82910.841.24110.1462.儲(chǔ)油罐罐體變位（即縱向傾角為a）時(shí)的油位高度與罐容表標(biāo)定模型II油罐縱向變位后如圖所示： 圖 圖 沿垂直于油罐的方向截油罐，截得的截面如圖所示，圖中橢圓方程為，解得：。設(shè)為截面油的高度,為探針處截面油的高度(即顯示油高)，則 ，將代入上式得: 設(shè)截面面積為，積分得出：，對(duì)截面面積關(guān)于積分，可得出油的體積，即 對(duì)上式兩邊積分得：將式代入上式中得： 給式代入不同的顯示油高，計(jì)算得到縱向

16、變位后的罐容表對(duì)應(yīng)值，如下表：縱向變位后罐容表的修定值：油位高度/m油量/L油位高度/m油量/L油位高度/m油量/L0.013.50.411004.950.812703.550.026.30.423468.290.822745.490.03100.431084.530.832787.220.0414.80.441124.790.842828.740.0520.70.451165.340.852870.020.0627.90.461206.160.862911.060.0736.30.471247.230.872951.830.0846.10.481288.560.882992.330.0957

17、.40.491330.110.893032.530.170.10.51371.880.93072.430.1184.40.511413.850.9131120.12100.30.521456.020.923151.230.13117.70.531498.350.933190.110.14136.90.541540.850.943228.610.15157.80.551583.50.953266.720.16180.30.561626.280.963304.420.172040.571669.190.973341.690.18228.90.581712.210.983378.510.19254.

18、90.591755.320.993414.860.2281.90.61798.5213450.720.21309.80.611841.81.013486.060.22338.50.621885.131.023520.870.23368.10.631928.511.033555.110.24398.50.641971.931.043588.770.25429.70.652015.371.053621.810.26461.50.662058.821.063654.20.274940.672102.281.073685.910.28527.10.682145.711.083716.920.29560

19、.90.692189.131.093747.170.3595.20.72232.51.13776.640.31630.10.712275.821.113805.270.32665.60.722319.081.123833.010.33701.50.732362.271.133859.820.347380.742405.371.143885.620.35774.90.752448.371.153910.330.36812.20.762491.261.163933.860.378500.772534.021.173956.060.38888.20.782576.641.183976.660.399

20、26.70.792619.121.193995.540.4965.70.82661.421.24012.745.2儲(chǔ)油罐罐體變位后油位高度與罐容表標(biāo)定模型（第二問(wèn)）第一步：無(wú)變位時(shí)罐容表內(nèi)的油的體積與顯示油高之間的關(guān)系模型III 我們將罐體分為兩部分，一部分為柱體，一部分為油罐兩端的冠球體。設(shè)兩端冠球體內(nèi)的油量為，柱體內(nèi)油量為,則儲(chǔ)油罐內(nèi)油量。1 先求因?yàn)闊o(wú)變位時(shí)兩端冠球體的油量相等，所以我們只需計(jì)算一端的油量，則。（這里我們只計(jì)算右端冠球體如圖所示），沿水平方向截球冠體，截面如圖所示： 圖 圖 設(shè)探針顯示高度為（即無(wú)變位時(shí)的油面高度），圓柱底面半徑為，球冠體的半徑為,截面所在圓的半徑為，由圖

21、可知 ， ，根據(jù)題意，如圖可得出。將球體補(bǔ)全如圖： 圖 圖 可得 （為冠球體的半徑）截面面積 則2.求由于模型一是求無(wú)變位時(shí)橢圓柱內(nèi)的油量與的關(guān)系，而現(xiàn)在要求圓柱體內(nèi)油量與的關(guān)系，所以我們可以利用模型一得出：圓柱的截面面積 則 給式代入不同的顯示油高，計(jì)算得到無(wú)變位時(shí)球冠體的罐容表對(duì)應(yīng)值如下表：油位高度/m油量/L油位高度/m油量/L0.1578.41.122852.60.21658.81.2258190.33127.61.328803.30.44911.71.431779.80.56961.81.534722.90.69237.61.637607.40.711703.71.740408.40

22、.814327.81.843100.90.917079.71.945660.2119930.5248061.5第二步：縱向變位后罐容表內(nèi)的油的體積與顯示油高之間的關(guān)系模型IV將罐體分為左端球冠體、右端球冠體與柱體三部分，設(shè)它們中的油量分別為、，則儲(chǔ)油罐內(nèi)油量1.求：左端球冠體如圖所示： 設(shè)球冠內(nèi)油高為，探針顯示高度為，柱體底面半徑為，則 沿水平方向截得截面如圖所示（截面圓半徑為）：則 ，截面面積 則將式代入上式中得：2.求：與左端球冠體方法相同，設(shè)球冠內(nèi)油高為，探針顯示高度為，截面圓半徑為，則截面面積 將代入上式中得：3.求：由于模型二是求縱向變位后橢圓柱內(nèi)油量與的關(guān)系，而現(xiàn)在要求圓柱內(nèi)油量與

23、的關(guān)系，所以利用模型二得出： （是截面油的高度）截面面積 則，即縱向變位后油量與之間的關(guān)系如下：第三步：橫向變位后, 與顯示油高之間的關(guān)系設(shè)為顯示高度，為實(shí)際高度，為圓柱底面半徑 圖 圖當(dāng)時(shí)，由圖知：，當(dāng)時(shí)，由圖知: ，則可得出橫向偏轉(zhuǎn)后與之間的關(guān)系為：由第二、三步的結(jié)果得出顯示高度與縱向偏轉(zhuǎn)、橫向偏轉(zhuǎn)之間的關(guān)系模型：因?yàn)闄M向偏轉(zhuǎn)不影響實(shí)際的油位高度，但是顯示油高會(huì)變化，可以將橫向偏轉(zhuǎn)中的實(shí)際油高代入縱向偏轉(zhuǎn)中，最后得出罐內(nèi)油的體積與顯示高度、之間的關(guān)系。（關(guān)系式見(jiàn)附錄）將附件二中的數(shù)據(jù)代入上述關(guān)系式中可得出，。變位后罐容表的修定值：油位高度/m油量/L油位高度/m油量/L0.1320.71.

24、119382.30.21031.31.221991.60.32216.31.324629.40.43737.51.427277.10.55511.51.529916.10.67490.61.632528.50.796391.735096.50.811927.11.837602.30.9143291.940028.4116821.3242357.26.模型結(jié)果分析與模型實(shí)驗(yàn)6.1利用附件1實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)分析實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ虸、II先計(jì)算出實(shí)際結(jié)果與模型結(jié)果的差值，再用差值與實(shí)際值的比分析誤差，通過(guò) MATLAB編程得到無(wú)變位時(shí)實(shí)際油量與計(jì)算油量的誤差表，如下：油位高度/mm實(shí)際油量/L計(jì)算油量/L誤差值

25、油位高度/mm實(shí)際油量/L計(jì)算油量/L誤差值159.02312322.880.034872665.6722622340.90.034881176.14362374.630.03489677.6323122392.70.034905192.59412426.360.034854678.542315.832396.60.034877208.5462478.130.034913690.532365.832448.40.034901223.93512529.850.034863690.822367.062449.60.03487238.97562581.610.034893702.852417.062

26、501.40.034894253.66612633.350.034886714.912467.062553.10.034876268.04662685.080.034864727.032517.062604.90.034898282.16712736.850.034902739.192567.062656.60.03488296.03762788.580.034882751.422617.062708.30.034864309.69812840.330.034889763.72666.9827600.034878323.15862892.060.034872764.162668.832761.

27、90.034873336.44912943.80.034868776.532718.832813.70.034894349.57962995.540.034865788.992768.832865.40.034878362.5610121047.30.034881801.542818.832917.20.034897375.4210621099.10.034934814.192868.832968.90.034882388.1611121150.80.034892826.952918.833020.70.034901400.7911621202.60.03494839.832968.83307

28、2.40.034886413.3212121254.30.034901852.843018.833124.10.034871425.76126213060.0348658663068.833175.90.03489438.1213121357.80.034909879.323118.833227.60.034875450.413621409.50.034875892.823168.833279.40.034893462.6214121461.20.034844892.843168.913279.50.034898474.78146215130.034884906.533218.913331.2

29、0.034884486.8915121564.70.034854920.453268.913382.90.034871498.9515621616.50.034891934.613318.913434.70.034888510.9716121668.20.034864949.053368.913486.40.034875522.95166217200.034898963.83418.913538.20.034891534.917121771.70.034871978.913468.913589.90.034878546.8217621823.50.034904994.433518.913641.70.034894558.7218121875.20.0348791010.433568.913693.40.034882570.61186219270.0349091026.993618.913745.10.03487582.4819121978.70.0348851044.253668.913796.90.034885594.3519622030.40.0348621062.373718.91384