基本不等式求最值方法

1、基本不等式2 2若a,b R，則ab j b_ 2知識(shí)點(diǎn)：（當(dāng)且僅當(dāng)1. (1)若 a,b R，則 a2 b2 _ 2aba =b時(shí)取“=”)2. 若a,b R*，則山_ ab2若 a,b R*，則 a b _2 ab（當(dāng)且僅當(dāng)a二b時(shí)取“=”）若a,bR*，則ab m電主 （ 飛2丿當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)取“=”）=1時(shí)取“=”)13.若x 0，則x一_2（當(dāng)且僅當(dāng)xxx - -1 時(shí)取“=”)1若x : 0，則X 2 （當(dāng)且僅當(dāng)x若XHO，則x+丄22即x+丄22或X（當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)取“=”）x4.若 ab 0 ,則 2 亠b _ 2 b a且僅當(dāng)a = b時(shí)取“=”）若ab = 0

2、,則ba注意:2232&2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”）K-衛(wèi)當(dāng)且僅當(dāng)a二b時(shí)取“=”）a（1）當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積大”.（2）求最值的條件“一正，二定，三取等” 均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實(shí)際問(wèn)題方面有 廣泛的應(yīng)用應(yīng)用：求最值解題技巧例：求下列函數(shù)的值域:(1) y = 3x 2技巧一：湊項(xiàng)5彳例1已知X，求函數(shù)y=4x-2 (2) y = x + 一x 的最大值。44x5變式：已知x-，求函數(shù)y =2x1 的最小值。22x 3技巧二:例2：湊系數(shù)當(dāng)時(shí)，求y

3、 =x(8_2x)的最大值。3變式：設(shè)0 ： x，求函數(shù)y = 4x(3 -2x)的最大值。2技巧三：分離換元2例3 :求y二x 7x 10 & . “)的值域。2 x - 2x 亠 1變式：當(dāng)x 1時(shí)，求y =x 的最小值.x -1技巧五：在應(yīng)用最值定理求最值時(shí)，若遇等號(hào)取不到的情況，結(jié)合函數(shù)調(diào)性。例：求函數(shù)y = X 5的值域。X2 * 4技巧六：整體代換(“1 ”的應(yīng)用)19例：已知x 0, y 0，且1,求x y的最小值。x y1 1變式：正數(shù)x, y滿(mǎn)足x 2y =1，求 的最小值x y設(shè)a 0,b0.若是3玄與3b的等比中項(xiàng)，貝丄的最小值為a b分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，

4、故采用公式同時(shí)還應(yīng)化簡(jiǎn)1 + y 2中y前面的系數(shù)為x 1 + y 2分別看成兩個(gè)因式:3 4 即 x- 1 + y技巧八：已知a, b為正實(shí)數(shù),2b + ab+ a = 30,求函數(shù)y=命的最小值.是通過(guò)消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問(wèn)分析：這是一個(gè)二元函數(shù)的最值問(wèn)題，通常有兩個(gè)途徑,題，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對(duì)本題來(lái)說(shuō)，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等 式，對(duì)本題來(lái)說(shuō)，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考 慮用基本不等式放縮后，再通過(guò)解不等式的途徑進(jìn)行。技巧九、取平方求函數(shù)“.冇疋（1:x ： 5）的最大值。數(shù)列檢測(cè)練習(xí)1. 已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,若|

5、7等于（）A. 18 B. 36 C. 54D. 722. 已知正項(xiàng)等比數(shù)列數(shù)列an , bn=log a an,則數(shù)列bn是（）A、等比數(shù)列B、等差數(shù)列 C、既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列D、以上都不對(duì)3. 在等差數(shù)列 甘中，3 （aUa：） +2 （a +a二+a ） =24，則此數(shù)列的前13項(xiàng)之和為（）A. 156 B. 13 C. 12D. 264. 在等比數(shù)列 &中，已知aanM，則a2a8等于(A. 16B. 6C. 12D. 45. 一個(gè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為48,前2n項(xiàng)和為60,則前3n項(xiàng)和為()A 63B 、108C 、75 D 、836.已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an =且S=

6、 J01 -1,則n的值為（A） 98（ B）99（ C）100（ D） 1017.在正項(xiàng)等比數(shù)列an中，a21+a22+n2 4 - 1 a n=則&+氏+an的值為(A)2n(B)2n-1(C)2n+1(D)2n+1-28.已知首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列g(shù)j滿(mǎn)足：a2010 + a2009 A 0 , a2010a2009 0 ,則使其前n項(xiàng)和Sn0成立的最大自然數(shù)門(mén)是( ).A.4016 B.40179已知數(shù)列1,C. 4018 D. 4019_-，則其前1+2十3十十月n項(xiàng)的和等于10、等差數(shù)列何曲的前n項(xiàng)和分別為Sn%若著畠，則譽(yù)11. 已知等比數(shù)列an滿(mǎn)足an 0, n=1,2,IH,且

7、 氏*22( n 一 3)，則當(dāng)n_1時(shí),log2a1 gas IH gazn廠 12. 設(shè)等比數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn ，若 雖=3 ,則 魚(yú)=S3S613. 設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1 =1, Sn4an 2(I)設(shè)bn二an, - 2an，證明數(shù)列bn是等比數(shù)列(II)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。114已知數(shù)列l(wèi)aj的前n項(xiàng)和Sn =-an -(2嚴(yán) 2 (n為正整數(shù))。(I)令bn =2nan，求證數(shù)列0?是等差數(shù)列，并求數(shù)列fan?的通項(xiàng)公式；n +1(n)令 Cnan，求 TC) c2 -cn 的值15. 已知數(shù)列an滿(mǎn)足 a2anj 21(N*, n _ 2)，且 a81(1) 求數(shù)列的前三項(xiàng)印、a2、a3的值；(2) 是否存在一個(gè)實(shí)數(shù) 使得數(shù)列 an n 為等差數(shù)列？若存在，求出2的值；若不存在，說(shuō)明理由；求數(shù)列an通項(xiàng)公式。(3) 求數(shù)列an的前n項(xiàng)的和1 1116. 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且有S-n2 n，數(shù)列0滿(mǎn)足 bn 2 -2bn 1 bn =0 (n N*)，且 b3 =11，前 9項(xiàng)和為 153；(1)求數(shù)列