【四維備課】高中數(shù)學(xué)_1.1《任意角和弧度制》課件_新人教A版必修4

1、1.1 任意角和弧度制任意角和弧度制1、角的概念、角的概念初中是如何定義角的？初中是如何定義角的？ 從一個(gè)點(diǎn)出發(fā)引出的從一個(gè)點(diǎn)出發(fā)引出的兩條射線兩條射線構(gòu)成的幾構(gòu)成的幾何圖形何圖形. 這種概念的優(yōu)點(diǎn)是形象、直觀、容易理這種概念的優(yōu)點(diǎn)是形象、直觀、容易理解，但它是從圖形形狀來定義角，因此角的解，但它是從圖形形狀來定義角，因此角的范圍是范圍是0, 360)， 這種定義稱為這種定義稱為靜態(tài)定義靜態(tài)定義，其弊端在于，其弊端在于“狹隘狹隘”. 生活中很多實(shí)例會(huì)不在該范圍。生活中很多實(shí)例會(huì)不在該范圍。 體操運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)體體操運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)體720，跳水運(yùn)動(dòng)員向內(nèi)、，跳水運(yùn)動(dòng)員向內(nèi)、向外轉(zhuǎn)體向外轉(zhuǎn)體1080； 經(jīng)過經(jīng)

2、過1小時(shí)，時(shí)針、分針、秒針各轉(zhuǎn)了多小時(shí)，時(shí)針、分針、秒針各轉(zhuǎn)了多少度？少度？ 這些例子不僅不在范圍這些例子不僅不在范圍0, 360) ，而且，而且方向不同，有方向不同，有必要必要將角的概念將角的概念推廣推廣到到任意角任意角， 想想用什么辦法才能推廣到想想用什么辦法才能推廣到任意角任意角？ 關(guān)鍵是用關(guān)鍵是用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來看待角的變化。來看待角的變化。 2角的概念的推廣角的概念的推廣“旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)”形成角形成角 一條射線由原來的位置一條射線由原來的位置OA，繞著它的端點(diǎn)繞著它的端點(diǎn)O按按逆時(shí)針方向逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)到另一位置到另一位置OB，就形成角，就形成角 旋轉(zhuǎn)開始時(shí)的射線旋轉(zhuǎn)開始時(shí)的射線O

3、A叫做叫做角角的的始邊始邊，旋轉(zhuǎn)終止的射線，旋轉(zhuǎn)終止的射線OB叫做角叫做角的的終邊終邊，射線的，射線的端端點(diǎn)點(diǎn)O叫做角叫做角的的頂點(diǎn)頂點(diǎn)“正角正角”與與“負(fù)角負(fù)角”、“0角角” 我們把我們把按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做所形成的角叫做正角正角，把，把按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做所形成的角叫做負(fù)角負(fù)角，如圖，以，如圖，以O(shè)A為始邊的角為始邊的角=210，=150，=660， 特別地，當(dāng)一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)時(shí)，特別地，當(dāng)一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)時(shí)，我們也認(rèn)為這時(shí)形成了一個(gè)角，并把這個(gè)角我們也認(rèn)為這時(shí)形成了一個(gè)角，并把這個(gè)角叫做零度角（叫做零度角（0） 角的記法：角

4、的記法：角角或可以簡(jiǎn)記成或可以簡(jiǎn)記成.角的概念擴(kuò)展的意義：角的概念擴(kuò)展的意義：用用“旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)”定義角之后，定義角之后，角的范圍角的范圍大大地大大地?cái)U(kuò)大擴(kuò)大了了 角有正負(fù)之分角有正負(fù)之分; 如：如： =210 , = 150 , =660 . 角可以任意大角可以任意大; 實(shí)例：體操動(dòng)作：旋轉(zhuǎn)實(shí)例：體操動(dòng)作：旋轉(zhuǎn)2周（周（360 2=720 ） 3周（周（360 3=1080 ） 還有零角還有零角, 一條射線，沒有旋轉(zhuǎn)一條射線，沒有旋轉(zhuǎn). 角的概念推廣以后，它包括角的概念推廣以后，它包括任意大小的正任意大小的正角、負(fù)角和零角角、負(fù)角和零角 要注意，正角和負(fù)角是表示具有要注意，正角和負(fù)角是表示具有相

5、反意義相反意義的的旋轉(zhuǎn)量旋轉(zhuǎn)量，它的正負(fù)規(guī)定純屬于，它的正負(fù)規(guī)定純屬于習(xí)慣習(xí)慣，就好象，就好象與正數(shù)、負(fù)數(shù)的規(guī)定一樣，零角無正負(fù)，就好與正數(shù)、負(fù)數(shù)的規(guī)定一樣，零角無正負(fù)，就好象數(shù)零無正負(fù)一樣象數(shù)零無正負(fù)一樣用旋轉(zhuǎn)來描述角，需要注意三個(gè)要素（用旋轉(zhuǎn)來描述角，需要注意三個(gè)要素（旋旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量） （2）旋轉(zhuǎn)方向：旋轉(zhuǎn)變換的方向分為）旋轉(zhuǎn)方向：旋轉(zhuǎn)變換的方向分為逆時(shí)針逆時(shí)針和順時(shí)針和順時(shí)針兩種，這是一對(duì)兩種，這是一對(duì)意義相反的量意義相反的量，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，我們可以把一對(duì)意義相根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，我們可以把一對(duì)意義相反的量用正負(fù)數(shù)來表示，那么許多問題就反的量用正負(fù)數(shù)來

6、表示，那么許多問題就可以解決了；可以解決了；（1）旋轉(zhuǎn)中心：作為角的頂點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)中心：作為角的頂點(diǎn).（3）旋轉(zhuǎn)量：）旋轉(zhuǎn)量： 當(dāng)旋轉(zhuǎn)超過一周時(shí)，旋轉(zhuǎn)量即超過當(dāng)旋轉(zhuǎn)超過一周時(shí)，旋轉(zhuǎn)量即超過360，角度的絕對(duì)值可大于角度的絕對(duì)值可大于360 .于是就會(huì)出現(xiàn)于是就會(huì)出現(xiàn)720 ， 540等角度等角度.3“象限角象限角” 為了研究方便，我們往往在平面直角坐標(biāo)為了研究方便，我們往往在平面直角坐標(biāo)系中來討論角。系中來討論角。 角的頂點(diǎn)重合于角的頂點(diǎn)重合于坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)，角的始邊重合，角的始邊重合于于x軸的正半軸軸的正半軸，這樣一來，角的終邊落在第幾，這樣一來，角的終邊落在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限

7、的角（角的象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限的角（角的終邊落在坐標(biāo)軸上，則此角不屬于任何一個(gè)象終邊落在坐標(biāo)軸上，則此角不屬于任何一個(gè)象限）限） 例如：例如：30 、390 、 330 是第是第象限角，象限角， 300 、 60 是第是第象限角，象限角， 585 、1300 是第是第象限角，象限角， 135 、 2000 是第是第象限角等象限角等4終邊相同的角終邊相同的角 觀察：觀察：390 ， 330 角，它們的終邊都與角，它們的終邊都與30 角的終邊相同角的終邊相同.探究：探究：終邊相同的角都可以表示成一個(gè)終邊相同的角都可以表示成一個(gè)0 到到360 的角與的角與k(kZ)個(gè)周角的和個(gè)周角的和：

8、390 =30 +360 (k=1), 330 =30360 (k=1) 30 =30 +0360 (k=0), 1470 =30 +4360 (k=4) 1770 =305360 (k=5) 結(jié)論：結(jié)論： 所有與所有與 終邊相同的角連同終邊相同的角連同 在內(nèi)可以構(gòu)在內(nèi)可以構(gòu)成一個(gè)成一個(gè)集合集合：| =+k360(kZ) 即：任何一個(gè)與角即：任何一個(gè)與角 終邊相同的角，都可終邊相同的角，都可以表示成以表示成角角 與整數(shù)個(gè)周角的和與整數(shù)個(gè)周角的和注意以下四點(diǎn)：注意以下四點(diǎn)： kZ； 是任意角；是任意角； k360與與 之間是之間是“+”號(hào)，如號(hào)，如k36030,應(yīng)應(yīng)看成看成k360+(30)；

9、終邊相同的角不一定相等，但相等的角，終終邊相同的角不一定相等，但相等的角，終邊一定相同，終邊相同的角有無數(shù)多個(gè)，它們邊一定相同，終邊相同的角有無數(shù)多個(gè)，它們相差相差360的整數(shù)倍的整數(shù)倍.例例1. 在在0到到360范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它是哪個(gè)象限的角相同的角，并判斷它是哪個(gè)象限的角.(1) 120；(2) 640；(3) 95012.解：解：120=360+240， 240的角與的角與120的角終邊相同，的角終邊相同， 它是第三象限角它是第三象限角 640=360+280， 280的角與的角與640的角終邊相同，的角終邊相同， 它是第四象限角它是

10、第四象限角 95012=3360+12948， 12948的角與的角與95012的角終邊相同，的角終邊相同， 它是第二象限角它是第二象限角例例2. 寫出與下列各角終邊相同的角的集合寫出與下列各角終邊相同的角的集合S，并把并把S中在中在360720間的角寫出來：間的角寫出來： (1) 60；(2) 21；(3) 36314.解：解：(1) S=| =k360+60 (kZ) , S中在中在360720間的角是間的角是 1360+60=280； 0360+60=60； 1360+60=420(2) S=| =k36021 (kZ) S中在中在360720間的角是間的角是 036021=21； 13

11、6021=339； 236021=699(3) | =k360+ 36314 (kZ) S中在中在360720間的角是間的角是 2360+36314=35646； 1360+36314=314； 0360+36314=363142已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)系原點(diǎn)重合，始邊已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)系原點(diǎn)重合，始邊落在落在x軸的正半軸上，作出下列各角，并指軸的正半軸上，作出下列各角，并指出它們是哪個(gè)象限的角？出它們是哪個(gè)象限的角？(1)420，(2) 75，(3)855，(4) 510 答：答：(1)第一象限角；第一象限角； (2)第四象限角，第四象限角， (3)第二象限角，第二象限角， (4)第三象限角第三象

12、限角. 二、弧度制二、弧度制 在初中幾何里，我們學(xué)習(xí)過角的度量，在初中幾何里，我們學(xué)習(xí)過角的度量，1度的角度的角是怎樣定義是怎樣定義的呢？的呢？ 周角的周角的 為為1度的角。度的角。 1360 這種用這種用1 角角作作單位單位來度量角的制度叫做來度量角的制度叫做角度制角度制 ，今天我們來學(xué)習(xí)另一種在數(shù)學(xué)和其，今天我們來學(xué)習(xí)另一種在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中常用的度量角的制度他學(xué)科中常用的度量角的制度弧度制弧度制。 1. 圓心角、弧長(zhǎng)和半徑之間的關(guān)系：圓心角、弧長(zhǎng)和半徑之間的關(guān)系： 角是由射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的，在旋角是由射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的，在旋轉(zhuǎn)的過程中射線上的轉(zhuǎn)的過程中射線上的點(diǎn)點(diǎn)必然形成一條

13、必然形成一條圓弧圓弧， 不同的點(diǎn)所形成的圓不同的點(diǎn)所形成的圓 弧的長(zhǎng)度是不同的，弧的長(zhǎng)度是不同的， 但都對(duì)應(yīng)同一個(gè)圓心角。但都對(duì)應(yīng)同一個(gè)圓心角。 ABA Brr=定值定值， 設(shè)設(shè)=n ， 弧長(zhǎng)為弧長(zhǎng)為l，半徑，半徑OA為為r，則則 ，可以看出，等式右端不含可以看出，等式右端不含半徑，表示半徑，表示弧長(zhǎng)與半徑的弧長(zhǎng)與半徑的比值比值跟半徑無關(guān)，只與跟半徑無關(guān)，只與的的大小有關(guān)。大小有關(guān)。 AB22,360360r llnnr結(jié)論：可以用圓的半徑作單位去度量角。結(jié)論：可以用圓的半徑作單位去度量角。2.定義定義：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做所對(duì)的圓心角叫做1弧弧度的角度的角

14、，弧度記作，弧度記作rad。這種以弧度為單位來。這種以弧度為單位來度量角的制度叫做度量角的制度叫做弧度制弧度制。 注：今后在用弧度制表示角的時(shí)候，弧度二字注：今后在用弧度制表示角的時(shí)候，弧度二字或或rad可以可以略去不寫略去不寫。 3. 弧度制與角度制相比：弧度制與角度制相比：(1) 弧度制是以弧度制是以“弧度弧度”為為單位單位的度量角的的度量角的單位制，角度制是以單位制，角度制是以“度度”為單位來度量角為單位來度量角的單位制；的單位制；1弧度弧度1 ； （2）1弧度弧度是弧長(zhǎng)等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓是弧長(zhǎng)等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角的大小，而心角的大小，而1度是圓周度是圓周 的所對(duì)的圓心的所

15、對(duì)的圓心角的大??；角的大小； 1360（3）弧度制是十進(jìn)制，它的表示是用一個(gè)實(shí)）弧度制是十進(jìn)制，它的表示是用一個(gè)實(shí)數(shù)表示，而角度制是六十進(jìn)制；數(shù)表示，而角度制是六十進(jìn)制； （4）以弧度和度為單位的角，都是一個(gè)與）以弧度和度為單位的角，都是一個(gè)與半徑無關(guān)的定值。半徑無關(guān)的定值。 4.公式：公式： ， 表示的是在半徑為表示的是在半徑為r的圓中，弧長(zhǎng)為的圓中，弧長(zhǎng)為l的的弧所對(duì)的圓心角是弧所對(duì)的圓心角是rad。lr5. 弧度制與角度制的換算弧度制與角度制的換算 用角度制和弧度制度量角，零角既是用角度制和弧度制度量角，零角既是0 角，又是角，又是0 rad角，同一個(gè)非零角的度數(shù)和角，同一個(gè)非零角的度數(shù)

16、和弧度數(shù)是不同的弧度數(shù)是不同的. 平角、周角的弧度數(shù)：平角、周角的弧度數(shù)：平角平角= rad、周角、周角=2 rad. 正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.角角 的弧度數(shù)的絕對(duì)值的弧度數(shù)的絕對(duì)值: （l為弧長(zhǎng)，為弧長(zhǎng)，r為半徑）為半徑）rl 360 =2 rad ，180 = rad 1 =rad0.01745rad18018057.3057181 rad6. 用弧度制表示用弧度制表示弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)及及扇形面積扇形面積公式：公式： 弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)等于弧所對(duì)的圓心角（的弧度數(shù)）等于弧所對(duì)的圓心角（的弧度數(shù)）的絕對(duì)值與半徑的積的絕對(duì)值

17、與半徑的積. 弧長(zhǎng)公式：弧長(zhǎng)公式： rl由公式：由公式：rl rl比公式比公式 簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單.180rnl 扇形面積公式扇形面積公式 lRS21其中其中l(wèi)是扇形弧長(zhǎng)，是扇形弧長(zhǎng)，R是圓的半徑。是圓的半徑。證明：設(shè)扇形所對(duì)的圓心角為證明：設(shè)扇形所對(duì)的圓心角為n(rad)，則，則2213602nSRR又又 R=l，所以，所以lRS21證明證明2：因?yàn)閳A心角為：因?yàn)閳A心角為1 rad的扇形面積是的扇形面積是22122RR而弧長(zhǎng)為而弧長(zhǎng)為l的扇形的圓心角的大小是的扇形的圓心角的大小是 rad.lR所以它的面積是所以它的面積是lRS21例例3. （1) 把把1123030化成弧度化成弧度(精確到精確到0.0

18、01)； （2）把）把11230化成弧度（用化成弧度（用表示表示）。）。解：解： （1）11230=112.5，10.0175180 所以所以11230112.50.01751.969rad.(2) 11230=112.5 = .18058例例4. 把把 化成度?；啥?。85858180()5288解：解：1rad= 180()例例5. 填寫下表：填寫下表：角度030456090120弧度角度角度270300315330360弧度02643223345632例例6. 扇形扇形AOB中，中， 所對(duì)的圓心角是所對(duì)的圓心角是60，半徑是半徑是50米，求米，求 的長(zhǎng)的長(zhǎng)l（精確到（精確到0.1米）。米）。ABAB解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)?0= ,所以所以3l=r= 5052.5 .3答：答： 的長(zhǎng)約為的長(zhǎng)約為52.5米米.AB例例7. 在半徑為在半徑為R的圓中，的圓中，240 的中心角所對(duì)的的中心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為弧長(zhǎng)為 ，面積為，面積為2R2的扇形的的扇形的中心角等于中心角等于 弧度。弧度。解：（解：（1）240= ，根據(jù)，根據(jù)l=R，得，得4343lR（2）根據(jù)）根據(jù)S= lR= R2，且，且S=2R2.2121所以所以 =4.例例8.與角與角1825的終邊相同，且絕對(duì)值