徐新斌：新課程高中數(shù)學教學設(shè)計例說[精品]

1、12引言數(shù)學教學設(shè)計的內(nèi)涵 數(shù)學教學設(shè)計的案例分析 3引 言 數(shù)學教學實踐中的一些現(xiàn)象：（1）有些教師前20分鐘就把課前準備的內(nèi)容講完了，剩下的時間不知道該做些什么。（2）有些教師的板書比較凌亂，在課堂教學進程中，想寫在哪里就寫在哪里，隨意性太強，板書缺乏美感和整體感。（3）有些教師的課題引入、課堂提問等教學環(huán)節(jié)單一，難以引起學生學習的積極性。4（4）有些教師在講解數(shù)學概念、數(shù)學定理、數(shù)學題目時，偏重“照字面意義講解”， 過多強調(diào)機械記憶，學生只能達到表面理解。（5）有些教師僅copy一些優(yōu)秀教案，缺乏結(jié)合學生的實際情況來進行有關(guān)的思考，教學效果并不太理想。 以上這些現(xiàn)象導致教學效率不高、教學

2、效果不佳。這些現(xiàn)象的出現(xiàn)有很多原因，其中一條重要的原因就是教師缺乏教學設(shè)計的方法和思想。5一、數(shù)學教學設(shè)計的內(nèi)涵 1什么是數(shù)學教學設(shè)計 2為什么要進行數(shù)學教學設(shè)計 3數(shù)學教學設(shè)計的基本要素 4數(shù)學教學設(shè)計中教師所需要具備的幾個意識 5數(shù)學教學設(shè)計的前期分析6 1什么是數(shù)學教學設(shè)計 教學設(shè)計是指教師為達到一定的教學目標，對教學活動進行的系統(tǒng)規(guī)劃、安排與決策。7 2為什么要進行數(shù)學教學設(shè)計（1）教學設(shè)計依據(jù)教學原理，遵循教學過程的基本規(guī)律，制定教學目標，以解決教什么的問題。（2）教學設(shè)計對怎樣才能達到教學目標進行創(chuàng)造性的決策，以解決怎么教的問題。（3）教學設(shè)計把教學過程各要素看成一個系統(tǒng)。分析教學

3、問題和需求，確立解決的程序綱要，使教學過程最優(yōu)化。8 （4）教學設(shè)計是提高學習者獲得知識、技能的效率和興趣的技術(shù)過程，其功能在于運用適宜的教學方法設(shè)計教學過程，使之成為一種具有操作性的程序。 簡而言之，教師進行教學設(shè)計的最終目的是為了使學生更高效地學習，開發(fā)學生的學習潛能，塑造學生的健全人格，以促進學生的全面發(fā)展。 93數(shù)學教學設(shè)計的基本要素數(shù) 學 教 學目標分析數(shù) 學 教 學內(nèi)容分析學 生 情 況分析形 成 教 學設(shè)計意圖數(shù) 學 教 學設(shè)計方案數(shù)學教學設(shè)計方案的實施與評價10 在進行數(shù)學教學設(shè)計時，需要格外注意以下兩個問題：（1）“預(yù)設(shè)”與“生成”的關(guān)系。教師在實施教學之前需要進行教學設(shè)計，

4、但在教學過程中又不可拘泥于教學設(shè)計，防止被教學設(shè)計束縛了手腳，一切應(yīng)以學生為學習的主體，以教促學，對課堂教學的各種變化進行綜合把握，及時作出正確的判斷，采取有效的應(yīng)對措施。這也是教學中的“預(yù)設(shè)”與“生成”的關(guān)系。（2）處理好“模仿”與“創(chuàng)新”的關(guān)系。“仿”是“創(chuàng)”的必經(jīng)之路，“創(chuàng)”是“仿”的目的所在。114.數(shù)學教學設(shè)計中教師所需要具備的 幾個意識 對于教學設(shè)計而言，數(shù)學教師的觀念更新意識、問題意識、反思意識、創(chuàng)新意識顯得尤其重要。 這些意識是教師素質(zhì)的重要組成部分，是形成教育、教學能力的前提，是影響教師行為的誘因，因而對教學設(shè)計有直接的制約作用。12（1）觀念更新意識 所謂觀念，指教育觀念，

5、即教師對教育本質(zhì)的認識和體悟。作為數(shù)學教師，其教育觀念就是對數(shù)學教育本質(zhì)的認識和體悟。 觀念更新意識，指教師對自已所持的教育觀念有清晰的認識，對不斷萌生和發(fā)展的新的教育觀念有敏銳的洞察力，進而產(chǎn)生更新自身舊觀念的經(jīng)常性愿望和行為。 數(shù)學教育觀念分為數(shù)學觀和教育觀兩個層面。數(shù)學觀是對數(shù)學學科本質(zhì)的認識；教育觀是對學與教本質(zhì)的認識。13 對數(shù)學本質(zhì)的理解，歷史上曾有許多不同的觀點，有學者將其梳理為15種學說：萬物皆數(shù)說、哲學說、符號說、科學說、工具說、邏輯說、創(chuàng)新說、直覺說、集合說、結(jié)構(gòu)說、模型說、活動說、精神說、審美說、藝術(shù)說。 這些觀點實際上是人們從不同側(cè)面對數(shù)學作出的解釋，顯然，這些對數(shù)學本

6、質(zhì)的不同看法會對應(yīng)不盡相同的教育理念。 如果一個教師注重數(shù)學的學科結(jié)構(gòu)，他就會自覺地把數(shù)學視為模式的科學；如果注重過程，就會認為數(shù)學是直覺和邏輯的產(chǎn)物；如果注重社會價值，又會把數(shù)學理解為是一種工具，等等。這些個人的數(shù)學觀反映在教學設(shè)計中，就會產(chǎn)生不同的教學目標和價值取向。14 從認識論的層面看，由把數(shù)學視為絕對真理的絕對主義演化而成的靜態(tài)數(shù)學觀，與把數(shù)學視為相對真理的可誤主義演化而成的動態(tài)數(shù)學觀對數(shù)學教育的影響最大。 如果把數(shù)學看成絕對真理，看成是靜態(tài)知識的堆砌，那么教學的目的就是教師把這些知識原樣地傳授給學生，教學設(shè)計就是一種“結(jié)果型”范式，教學評價則以學生掌握的知識量作為評價指標。 如果認

7、為數(shù)學真理不是絕對的，而是可誤的，把數(shù)學看作由問題、語言、命題、理論和觀念組成的復(fù)合體，是動態(tài)的知識發(fā)展系統(tǒng)，那么反映在教育上便是一種實現(xiàn)人的發(fā)展的教育觀，以培養(yǎng)學生的批判意識和創(chuàng)造力為主要目的，其教學設(shè)計是一種“過程型”的范式。15 同樣，不同的教學理論對教學的本質(zhì)有不同的解釋，從而對應(yīng)著不同的教學設(shè)計思想。 行為主義強調(diào)剌激與反應(yīng)的聯(lián)結(jié)，教學設(shè)計就只關(guān)注教師的教學操作和學生學習結(jié)果的操作。 認知主義以信息加工學說解釋學習的本質(zhì)，教學設(shè)計就要涉及教師的教學操作、學習者的特征、學習的信息加工過程、學習所獲得的知識類型以及學生學習結(jié)果的操作。 人本主義強調(diào)以人的發(fā)展為本，教學設(shè)計就會更多地體現(xiàn)使

8、學生達到自我實現(xiàn)的目的。 建構(gòu)主義認為知識學習是學習者自我建構(gòu)和社會建構(gòu)的結(jié)果，教學設(shè)計就會滲透著促進學生知識建構(gòu)的策略。16 新觀念的產(chǎn)生不是對舊觀念的完全揚棄，而是一種整合。事實上，每一種觀念都有自身合理的一面，因教學內(nèi)容不同，教學設(shè)計可以以不同的理論作為基礎(chǔ)。 因此，更確切地說，觀念更新意識要求教師有整合觀念的意識、接受新觀念的意識、替代舊觀念的意識。17 （2）問題意識 問題意識是指在人們的認識活動中，活動主體對既有的知識經(jīng)驗和一些難于解決的實際問題或理論問題所產(chǎn)生的懷疑、困惑、焦慮、探究的心理狀態(tài)，并在其驅(qū)動下，不斷提出問題和解決問題。18 在數(shù)學教學設(shè)計中，教師的問題意識主要表現(xiàn)在

9、兩個方面， 其一，追溯問題產(chǎn)生的背景和緣由的意識。 其二，不斷提出新問題的意識。 19 例 對于問題：已知a，br，并且ab。則上述結(jié)論會變?yōu)槭裁葱问?？bambma20 （3）反思意識 反思是立足于自我之外的批判地考察自己的行動及情境的能力。 反思意識即教師自覺產(chǎn)生對自己的活動目的、活動計劃、活動策略、活動過程及活動評價的反思欲望和信念。 反思不是單純的事后行為，還包括事前和辦事過程中的反思。21 在數(shù)學教學設(shè)計中， 首先，設(shè)計者要對教學目的進行反思。 一個教學設(shè)計應(yīng)反映出教學目的的多維性。數(shù)學知識的建構(gòu)、數(shù)學技能的形成、數(shù)學能力的發(fā)展、數(shù)學思想方法的滲透、數(shù)學精神的領(lǐng)悟、數(shù)學知識產(chǎn)生過程的體

10、驗等，都是數(shù)學教學的目的。 22 第二，要對教學設(shè)計的理論基礎(chǔ)進行反思。在教學設(shè)計中，自己所持有的數(shù)學觀是什么？是以哪一種教育或心理學理論作為基礎(chǔ)的？為什么要這樣做？等等。 第三，對教學程序的設(shè)計及教學策略的選擇的反思。反思知識展示的順序是否合理；選擇的教學策略是否恰當；例題與習題的搭配是否符合教學目的的要求；采用的媒體是否能真正發(fā)揮輔助教學的功能；為什么要這樣設(shè)計教學程序？為什么要選擇這樣的教學策略？等等。 第四，教學實施后的反思。主要是對教學效果評價的反思，如何改進教學設(shè)計的反思。23（4）創(chuàng)新意識 創(chuàng)新意識指教師的創(chuàng)新的欲望和信念，其核心是自我批判的意識，不受固有思維模式的束縛，勇于立新

11、。24 一般說來，教學設(shè)計中的創(chuàng)新主要包括： 教學內(nèi)容組織的創(chuàng)新。譬如，以不同的材料作為“先行組織者”；對教材內(nèi)容的解構(gòu)與重組；對概念、命題賦予不同的現(xiàn)實模型或不同的數(shù)學模型；對例題、習題的改造與擴充等，均是在原有基礎(chǔ)上的創(chuàng)新。 教學模式構(gòu)建的創(chuàng)新。根據(jù)不同的教學內(nèi)容合理地選擇教學模式，在此基礎(chǔ)上，更注意綜合一些教學模式，創(chuàng)建一些新的教學模式。模式創(chuàng)新的最高境界，或許是一種不受模式的約束，融有模式于無模式之中。 教學組織形式的創(chuàng)新。 教育技術(shù)的創(chuàng)新。表現(xiàn)為多媒體的合理組合，課件編制更富創(chuàng)意等。 25 值得強調(diào)的是，教師的創(chuàng)新意識不僅能體現(xiàn)在教學設(shè)計的“外部產(chǎn)品”上，而且更重要的在于這種榜樣式的

12、創(chuàng)新意識能夠滲透在教學實施的過程中，給學生以潛移默化地熏陶，從而達到培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識的目的。26 5.數(shù)學教學設(shè)計的前期分析 數(shù)學教學設(shè)計的前期分析可以從目標分析、內(nèi)容分析、學生分析3個方面來進行。 （1）數(shù)學教學的目標分析 數(shù)學教學設(shè)計首先要進行目標設(shè)計，即分析教什么？達到什么程度？這是數(shù)學教學設(shè)計的核心問題之一。 27 教學目標有不同的類型，也有不同的要求。有些教師的教學之所以效果不佳、達不到課程的要求，最主要的原因是教學目標設(shè)計出現(xiàn)了一些問題。比如目標內(nèi)涵不清楚；目標串位；目標層次要求不清楚；目標空洞無物；目標與內(nèi)容不協(xié)調(diào)；目標與學生實際不相符合。28 數(shù)學教學目標的類型 數(shù)學教學目標的

13、類型可以分為總體目標、具體目標、內(nèi)容目標和課堂教學目標四類。 普通高中數(shù)學課程標準明確指出了高中數(shù)學課程的總體目標、具體目標和內(nèi)容目標，這三種目標是宏觀目標，是遠期目標。至于課堂教學目標，則是一節(jié)課的教學目標，是近期目標。遠期目標要由課堂教學目標來體現(xiàn)、落實，近期目標受制于遠期目標，是實現(xiàn)遠期目標的基礎(chǔ)。 鏈接1 29 數(shù)學課堂教學目標的設(shè)計 數(shù)學課堂教學目標的設(shè)計可以按照知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價值觀這3個維度來進行設(shè)計。 知識與技能 知識與技能目標的內(nèi)容主要包括3類：一類是數(shù)學概念、數(shù)學命題（數(shù)學定理、性質(zhì)、公式、法則等）和基本的數(shù)學事實結(jié)論；一類是數(shù)學概念、數(shù)學命題和基本的數(shù)學

14、事實結(jié)論的運用；一類是數(shù)學操作性技能（作圖等）。 知識與技能目標的要求可分為4個層次：了解、理解、掌握和綜合運用。 在寫知識與技能目標時，根據(jù)其知識與技能的內(nèi)容與層次要求來寫。比如，“了解什么”、“理解什么”、“掌握什么”、“綜合運用什么”。30 過程與方法 過程與方法的內(nèi)容是：通過數(shù)學學習過程，把握數(shù)學思想方法、形成數(shù)學能力，發(fā)展數(shù)學思想和數(shù)學意識（如統(tǒng)計意識、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識），提高解決問題能力。 描述過程與方法的常見術(shù)語有：經(jīng)歷過程、培養(yǎng)能力、領(lǐng)悟數(shù)學思想方法、發(fā)展意識、學習的問題解決方法；觀察、參與、嘗試；探索、研究、發(fā)現(xiàn)；合作、交流、反思。31 情感態(tài)度與價值觀 這里的情感是指，在

15、數(shù)學活動過程中的比較穩(wěn)定的情緒體驗。 數(shù)學態(tài)度是指，對數(shù)學活動、數(shù)學對象的心理傾向或立場，表現(xiàn)出興趣、愛好、喜歡與否、看法立場。數(shù)學態(tài)度可以演變?yōu)閿?shù)學信念對數(shù)學持有的較為穩(wěn)定的總體看法、觀念。 數(shù)學態(tài)度包括對數(shù)學學科的態(tài)度（數(shù)學信念）、對數(shù)學的興趣、對數(shù)學具體內(nèi)容的態(tài)度。 這一維度目標的內(nèi)容還包括宏觀的價值觀和數(shù)學審美觀。例如，對數(shù)學的科學價值、應(yīng)用價值和文化價值的看法；辯證法的觀點；數(shù)學的簡潔整齊之美、統(tǒng)一和諧之美、抽象概括之美、對稱之美、精確之美。 刻畫情感態(tài)度目標的術(shù)語有：感受、體會、領(lǐng)悟；形成觀點、養(yǎng)成習慣、欣賞之美。32 需要注意的是，情感態(tài)度與價值觀屬于內(nèi)隱的心理結(jié)構(gòu)，不是顯性知識

16、，而是意會知識（緘默知識），無法通過傳授直接獲得，必須通過學生的過程學習間接獲得。 所以，教師在進行教學設(shè)計時，要以知識技能為基礎(chǔ)，以過程方法為途徑，在引導學生學習數(shù)學的過程中，為學生情感態(tài)度與價值觀的發(fā)展創(chuàng)設(shè)適宜的土壤，把知識與技能的學習與情感態(tài)度與價值觀的培養(yǎng)結(jié)合起來，使學生受到潛移默化的影響，最終形成良好的情感態(tài)度與價值觀。33 案例1 “兩條直線的位置關(guān)系”的教學目標設(shè)計 知識與技能 理解兩條直線平行與垂直充要條件的推導、公式及應(yīng)用。 能夠根據(jù)直線的方程判斷兩條直線的位置關(guān)系。 過程與方法 通過探索兩條直線平行或垂直的充要條件和推導過程，培養(yǎng)學生觀察、歸納的數(shù)學邏輯思維能力，并滲透算法

17、的思想。 通過靈活運用公式的過程，提高學生類比化歸、數(shù)形結(jié)合的能力。 情感態(tài)度與價值觀 培養(yǎng)學生主動探究知識、合作交流的意識。 在體驗數(shù)學美的過程中激發(fā)學生的學習興趣。 34 （2）數(shù)學教學內(nèi)容的內(nèi)容分析 數(shù)學教學內(nèi)容的內(nèi)容分析主要包括基本分析、背景分析、結(jié)構(gòu)分析、數(shù)學分析和重難點分析。 基本分析：學習教材的配套教參，了解教材的編寫意圖和編寫特點，理解課程學習目標，熟悉教學要求。 背景分析：了解相關(guān)數(shù)學知識產(chǎn)生的背景和發(fā)展歷程以及與其他知識、學科、實際的聯(lián)系，挖掘其教學價值。35 結(jié)構(gòu)分析：通覽教材，熟悉教材內(nèi)容知識結(jié)構(gòu)圖，從整體上把握教材。明確本課內(nèi)容在相關(guān)章節(jié)中的地位和作用，弄清楚本節(jié)課內(nèi)

18、容與相關(guān)內(nèi)容之間的上下位關(guān)系，明確例題、習題的編排與教學功能。 數(shù)學分析：研究數(shù)學概念、數(shù)學命題以及例題和習題的解法，把握其數(shù)學本質(zhì)，尤其是所包含的數(shù)學思想方法。例如，數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、化歸思想、函數(shù)與方程思想、統(tǒng)計思想；配方法、換元法、待定系數(shù)法、坐標法、歸納法、演繹法、分析法、綜合法和反證法等。 重難點分析：先分析教材中的重難點，預(yù)估學生易混淆和易出錯之處，再根據(jù)課堂教學目標要求，確定本堂課的教學重難點。36 案例2 “概率的加法公式”的背景分析和重難點分析 背景分析 為了將一些較為復(fù)雜的概率的計算轉(zhuǎn)化為較簡單的概率的計算，首先要學會將所考慮的事件作出相應(yīng)的正確運算。這一節(jié)先講事

19、件的和的意義，然后再講對于怎樣的事件可應(yīng)用哪一種概率加法公式計算事件的概率。接著研究事件的簡單運算：互斥事件的加法運算及相互獨立事件的乘法運算，使可以計算事件概率的范圍得以擴充。37 重點、難點分析 兩個互斥事件的概率加法公式是一個很基本同時又是很重要的公式。之所以說基本，是因為它是一個最簡單的概率運算公式，它是任意兩個事件的概率加法公式的特例。而其重要性主要在于它是從單個事件向多個事件過渡的起點和中介，它起著承前啟后的作用。如果說單個事件的概率問題依靠比例還可以解決的話，那么兩個以上的事件的概率問題僅僅依靠比例就很難解決。對于一些較復(fù)雜的事件的概率，直接依據(jù)概率的定義來進行計算是很不方便的。

20、本章主要包括兩個基本公式：互斥事件概率加法公式及對立事件概率和公式，而前者既是教學重點又是教學難點。 38（3）數(shù)學教學的學生分析 學生是學習的主體，一切教學都要從學生的實際出發(fā)，只有對學生情況熟悉，才可能做到有的放矢、對癥下藥、因材施教，才可能調(diào)動學生的積極性?；厩闆r分析：主要是了解學生學習情況、能力差異、年齡性格特征、興趣愛好、身體狀況、家庭狀況等。認知結(jié)構(gòu)分析：主要是了解學生的知識結(jié)構(gòu)、認知水平的準備情況。例如，教師在講授“指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)”時，教師必須檢測了解學生對函數(shù)概念的認知水平情況，教學才能有效。39學生的認知方式分析：認知方式表現(xiàn)在人的知覺、記憶、思維和解決問題能

21、力等方面的不同風格。比如， 場依存性與場獨立性： 場依存性的學生在認知活動中傾向于以外部參照作為信息加工的依據(jù)，容易受周圍人們和環(huán)境的影響。他們喜歡有人際交流的集體學習情境，對社會學科材料的學習記憶效果較好，較依賴于學習材料的預(yù)先組織，需要明確的指導和講授，喜歡結(jié)構(gòu)嚴密的教學； 場獨立性學生則相反，他們在認知活動中傾向于以內(nèi)部參照作為信息加工的依據(jù)，不容易受周圍人們和環(huán)境的影響。他們的知覺比較穩(wěn)定，不易為背景改變而改變。善于學習數(shù)理學科，能獨立思考，對學習材料能進行分析和重組。40沉思型和沖動型：在有幾種可能解答的情境中，有些學生傾向于深思熟慮且錯誤較少，但回答速度較慢。這種認知方式稱為沉思型

22、認知方式。另一些學生傾向于很快地作出反應(yīng)和檢驗假設(shè)，但常常出錯。這種認知方式稱為沖動型認知方式。輻合型和發(fā)散型：輻合型認知方式是指學生在解決問題時，通過收集或綜合信息，運用邏輯規(guī)律，縮小解答范圍，直至找到正確的解答。發(fā)散型認知方式是指學生在解決問題時，思維沿著許多不同方向擴展，使觀念發(fā)散到各個有關(guān)方面，最終產(chǎn)生多種答案。整體策略和序列策略：有些學生傾向于把問題看作一個整體，從各個角度對問題進行觀察和思考，采用整體策略，有些學生則傾向于把重點放在解決一系列子問題，一步一步呈直線的方式進展，采用序列策略。41 學生認知方式的差異對學生的學習和教師的教學都會產(chǎn)生一定的影響，通過對學生認知方式的分析，

23、可以更好地針對學生的實際情況進行教學。 了解學習的一般方法有訪談法、觀察法、課堂提問、檢查作業(yè)、問卷法等。具體方法有：向前任老師、班主任或家長了解通過與學生交往了解根據(jù)課堂教學中反饋的信息了解從練習、作業(yè)、個別輔導、測驗中了解42 二、高中數(shù)學教學設(shè)計的案例分析 數(shù)學教學設(shè)計貫穿于整個數(shù)學教學活動過程。 從數(shù)學教學的構(gòu)成元素來看，有板書設(shè)計、教學媒體設(shè)計、問題情境設(shè)計、問題設(shè)計、討論 設(shè)計、小結(jié)設(shè)計等； 從數(shù)學教學內(nèi)容來看，有數(shù)學概念設(shè)計、數(shù)學命題設(shè)計、數(shù)學習題的設(shè)計等； 從數(shù)學課型來看，有數(shù)學新課的教學設(shè)計、數(shù)學復(fù)習課的教學設(shè)計、數(shù)學活動課的教學設(shè)計等。 下面分別擇其一二而闡述。43 1問題

24、情境設(shè)計（1）問題情境的含義 問題情境的核心是通過情境來提出問題，問題是教學設(shè)計的核心。此外，在進行問題情境設(shè)計時，“情境”與“問題”是一個融合的整體，刻意去尋找熱鬧的“情境”或人為編造的問題，都會發(fā)生偏差。 從教學內(nèi)容看，問題情境大致可以分為：實際背景、數(shù)學背景、文化背景等。其中，實際背景主要指現(xiàn)實生活的情境；數(shù)學背景主要指數(shù)學內(nèi)部規(guī)律、數(shù)學內(nèi)部矛盾等；文化背景主要指數(shù)學發(fā)生、發(fā)展的歷史和數(shù)學在認識自然改造過程的作用等。 從教學環(huán)節(jié)看，問題情境包括引入新課的情境、過程展開的情境、回顧反思的情境。 從呈現(xiàn)方式看，問題情境包括敘述、活動、實物、問題、圖形、游戲、欣賞等形式。44 （2）問題情境的

25、設(shè)計 問題情境的設(shè)計主要是為了引起學生學習的興趣，激發(fā)學生的好奇心，使學生能從情境中提出數(shù)學問題，進而為了解決問題而進行積極的學習。 因而，問題情境設(shè)計的原則是有利于學生思維能力的發(fā)展，有利于學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題能力的發(fā)展，有利于學生創(chuàng)新意識的發(fā)展。 在設(shè)計問題情境時應(yīng)注意問題情境的適度性、導向性和探究性。45適度性 問題情境應(yīng)與數(shù)學知識相連，與學生認知起點相吻合。有些情境過分追求數(shù)學理論的嚴謹性，追求數(shù)學的邏輯起點，而沒有與學生已有的數(shù)學知識相連，這樣的問題情境沒有實際內(nèi)容，難以發(fā)揮應(yīng)有的積極效果。46 案例3 “復(fù)數(shù)概念”的引入 設(shè)計1 在遨游數(shù)學王國時，你還記得數(shù)的概念發(fā)生和發(fā)展的過程

26、嗎？在歷經(jīng)幾次“添加新數(shù)”之后，數(shù)集已經(jīng)擴充到實數(shù)集。但是，由于負數(shù)在實數(shù)范圍內(nèi)不能開平方，所以代數(shù)運算在實數(shù)集內(nèi)仍不能永遠實施。例如，當0時，實系數(shù)一元二次方程沒有實數(shù)根。再例如，一元三次方程x3=1只有一個實數(shù)根。根的個數(shù)與方程的次數(shù)“不一致”，有悖于數(shù)學的“和諧美”。這樣看來，數(shù)的概念需要進一步發(fā)展：實數(shù)集如何擴充？在新的數(shù)集里，怎樣實施數(shù)的運算？ 剖析 這里設(shè)計的問題情境符合“數(shù)”的科學擴充過程，但與學生已有知識相差太遠，脫離了學生的認知起點，過分注重數(shù)學的邏輯起點，因而難以真正實現(xiàn)學生思維的啟動。 47 設(shè)計2 16世紀，意大利數(shù)學家卡爾達諾（gardano）在解決求兩個數(shù)，使其和為

27、10，積為40時，認為這兩個數(shù)是5+ 和5 。這是因為（5+ ）+（5 ）=10，（5+ ）（5 ）=40。在實數(shù)集內(nèi)，一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)，0的平方根是0。然而， 表示什么意義呢？盡管很長一段時間內(nèi)，部分數(shù)學家都認為“5+ ”和“5 ”這兩個式子沒有意義，是虛構(gòu)的、想像的。但在解決許多問題時，使用類似這樣的式子卻帶來極大的方便。那么， 能作為數(shù)嗎？它真的是無意義的、虛構(gòu)的嗎？ 151515151 5151515151548 評析 這個問題情境是通過數(shù)學史上真實發(fā)生的故事作為情境。當年，這個問題困擾過許多數(shù)學家。今天，學生同樣會對這個看似荒謬但又難以否定的問題感興趣，這個問題情

28、境符合學生的認知起點，一般學生都能理解，從而可順利進入復(fù)數(shù)概念的建立階段。 49 教育心理學家奧蘇伯爾曾說：“假如讓我把全部教育心理學僅僅歸結(jié)為一條原理的話，那么，我將一言以蔽之：影響學習的唯一最重要的因素，就是學習者已經(jīng)知道了什么?！痹谶M行問題情境設(shè)計時，首先要考慮的是學生的認知起點。若違背這條原則，表現(xiàn)為過分追求知識的邏輯起點，那么，所謂的問題情境不能真正啟動學生的思維，實際上仍然是教師的“灌輸”。50 導向性 所謂導向性指的是所設(shè)計的問題要有利于學生提出問題。有些情境設(shè)計過分追求視覺效果，追求新奇，追求淺層次的趣味。面對這樣的情境，學生不能產(chǎn)生疑問，不能自覺提出問題。51 案例4 “圓的

29、標準方程”的引入 設(shè)計1 展示一些與圓有關(guān)的生活圖片，創(chuàng)設(shè)情境，引入新課。 評析 這里給出幾幅圖片，表面上看是與圓有關(guān)，與生活實際聯(lián)系密切，但是，整個情境沒有問題，學生只是接受視覺的刺激，沒有思維的發(fā)生。這樣的情境不僅無助于本節(jié)課內(nèi)容的學習，相反可能會分散學生的注意力，給學生帶來負面的影響。 52 設(shè)計2 圓是最美麗的曲線，圓是到定點的距離等于定長的點的集合，定點是圓心，定長是半徑。那么，怎樣求圓的方程？ 評析 這里根據(jù)學生已有的關(guān)于圓的知識，直接給出圓的幾何關(guān)系，單刀直入，引導學生提出解析幾何的基本問題：如何把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題：求圓的方程，就是要建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，并寫出圓上任意一點

30、p（x，y）所滿足的關(guān)系式。 小結(jié) 問題是數(shù)學的心臟，問題是思維的核心。沒有問題，思維便無法啟動。這里的問題是以多種形式出現(xiàn)的，但在問題情境設(shè)計時必須同時考慮問題的提出、解決和拓展，否則問題情境將失去價值，難以達到預(yù)期的目的。這也就是導向性原則。53 探究性 問題情境應(yīng)當是開放的、挑戰(zhàn)的、新奇的，應(yīng)當能夠激發(fā)學生主動發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題的欲望。 鏈接2:案例5 “導數(shù)”的引入54（3）幾點注意防止出現(xiàn)惟生活情境，以生活情境代替問題情境的現(xiàn)象。在許多情況下，數(shù)學內(nèi)部的問題就是好的問題情境。防止出現(xiàn)假情境、為情境而情境、只有情境沒有問題的現(xiàn)象。防止出現(xiàn)過分重視數(shù)學邏輯起點，忽視學生接受能力

31、的現(xiàn)象。防止出現(xiàn)一個內(nèi)容一個情境，情境遍地開花的現(xiàn)象。要注重學生對所學內(nèi)容的整體認識。552問題設(shè)計 （1）“問題”的含義 “問題”在數(shù)學學習中是十分重要的。在數(shù)學學習中，“問題”是引導學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學、探究數(shù)學的一種心理困境，這種困境是學生有目的準備去追求但尚未找到適當手段解決的一種狀態(tài)。 根據(jù)數(shù)學內(nèi)容與教學環(huán)節(jié)的不同，教學中的“數(shù)學問題”可以分為多種類別，有的是為了揭示核心內(nèi)容的核心問題，有的是為了引出新內(nèi)容的導向性問題，有的是為了滲透數(shù)學思想方法的啟迪性問題。56 （2）問題設(shè)計 如何進行問題設(shè)計？根據(jù)問題在數(shù)學學習中的作用，必須注重問題的核心性、整體性、探究性和開放性等。57注重問題的核心

32、性 案例6 “集合”的引言 藍藍的天空中，一群鳥在歡快地飛翔；茫茫的草原上，一群羊在悠閑地走動；清清的湖水中，一群魚在自由地游泳 鳥群、羊群、魚群都是“同一類對象匯集在一起”，這就是本章將要學習的“集合”。那么，我們要問：第一，集合的含義是什么？第二，集合之間有什么關(guān)系？第三，怎樣進行集合的運算？58 評析 這里的問題就是本章要研究的核心內(nèi)容，本章的學習實際上就是要解決這三個問題。而為了解決這三個問題，又產(chǎn)生出若干小問題，每個小問題的解決，就構(gòu)成整個內(nèi)容的學習與探究過程。核心問題有利于學生對知識的整體把握，通過核心問題的引領(lǐng)，學習過程可以有序、有效。59 案例7 “反函數(shù)”的課堂小結(jié) 問題 為

33、什么叫做反函數(shù)？你覺得這個“反”到底反在什么地方？ 評析 此問題的提出獨具特色，也帶有一定的詼諧，讓學生覺得很有意思。在這樣的教學活動中，學生不需要教師的再三叮囑，也不會忘記反函數(shù)“反”在哪里？同時，此問題又是本學習內(nèi)容的核心所在，因為反函數(shù)的“反”也就是它的主要內(nèi)涵、性質(zhì)所在！60 注重問題的整體性 整個課堂是一個有機的整體，從初始問題開始，到回顧反思為止，應(yīng)該是一個系統(tǒng)的、完整的思維整體。否則，課堂被分解地支離破碎，沒有合力。問題只有以“問題串”的形式出現(xiàn)，在“問題串”的引領(lǐng)下，學生才能進行系列、連續(xù)的思維活動。 鏈接3: 案例8 研究性學習課“怎樣燒開水最省煤氣”中的“問題串” 注重問題

34、的探究性 如何引導學生進行有效的教學探究，關(guān)鍵在于問題的“設(shè)計”，即問題本身應(yīng)具有探究性。61 案例9 “均值不等式”的變式問題 問題 甲、乙兩地相距s千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不超過80km/h。已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成?？勺儾糠峙c速度v（km/h）的平方成正比，比例系數(shù)為1/10，固定部分490元。 (1)把全部運輸成本y表示為v（km/h）的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域。 (2)為了使運輸?shù)某杀咀钚?，汽車以多大的速度行駛?2變式問題1：在問題1中，只把汽車的“速度不超過80km/h”改為“速度不超過60km/h”，其他條件不變，讓學生探索

35、同樣的問題。變式問題2：在問題1中，把汽車的“速度不超過80km/h”改為“速度不超過c（km/h）”，其他條件不變，讓學生探索同樣的問題。變式問題3：在問題1中，把汽車的“速度不超過80km/h”改為“速度不超過c（km/h）”，把“比例系數(shù)為1/10，固定部分490元”改為“比例系數(shù)為b，固定部分a元。”。其他條件不變，讓學生探索同樣的問題。63 評析 問題的基本解答為：全部運輸成本y與v（km/h）的關(guān)系式是（0v80）。運用均值不等式，得到當汽車以70 km/h的速度行駛時，運輸?shù)某杀咀畹汀?在問題的基礎(chǔ)上給出了三個變式問題。教師為什么要在變式問題1中把汽車的“速度不超過80km/h”

36、改為“速度不超過60km/h”？其實它是針對函數(shù)定義域的變化而來的：問題中所求70 km/h在其定義域（0v80）之內(nèi)，但不在變式問題2中的定義域（0v60）內(nèi)。 進一步地，變式問題2-3把有關(guān)問題抽像化了。這樣的問題不僅可推動學生更加主動地、積極地去探究學習，而且也培養(yǎng)了他們的邏輯思維和抽象思維能力。64 注重問題的開放性 有些數(shù)學教師在教學中也力圖提出一些問題來促進學生思考?？墒?，這些問題大多數(shù)都是指向性明確的封閉性問題，即為“是/否”（yes/no）問題。我們不能否認這些問題在有些情況下的價值，但是，若要更好地促進學生的思維建構(gòu)，則需要教師提出開放性的問題。 鏈接4:案例10 “一條直線

37、到另一條直線的角（到角）”的引入65 案例11 “反函數(shù)”概念及性質(zhì)（請學生回憶前面學習過的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，且根據(jù)學生的回答，在黑板上畫出有關(guān)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)一些性質(zhì)的對照表） 問題 學習完一些知識以后，我們要有一個習慣，就是能不能把這些知識橫向聯(lián)系起來？那么，現(xiàn)在請同學們思考這樣一個問題，你覺得指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)有哪些關(guān)系？你打算如何研究？66 評析 教師的第一句話，其實是培養(yǎng)學生良好的學習方法。 教師的第二句話看似是教師提問，其實是把學習的主動權(quán)交給學生，讓學生來發(fā)現(xiàn)問題：發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系，并用某種方法來研究它們。 給時間讓學生討論、發(fā)言，可得到一個猜想：指數(shù)函數(shù)的圖

38、像與對數(shù)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對稱等。67 教師再給時間讓學生繼續(xù)證明自己的猜想。而在學生思考的時間內(nèi)，老師不要有多余的話語，只是在教室里四處走動，不時停下來解答學生的問題。 等到學生思考出大致的進程后，老師請有想法的學生舉手回答，與全班學生一起分享他的想法。 然后，師生又通過幾何畫板驗證學生自己得出的猜想。 至此，教師對以上學生的有關(guān)討論做出一個小結(jié)，指出指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)有如此的關(guān)系，教材上給一名稱把它們叫做一對反函數(shù)，從而引出反函數(shù)的概念。683數(shù)學概念的教學設(shè)計（1）數(shù)學概念學習的內(nèi)容 數(shù)學概念是反映一類對象本質(zhì)屬性的思維形式。它具有抽象性和具體性雙重特點。 因為數(shù)學概念代表了一類事

39、物的本質(zhì)屬性，因此它是抽象的，沒有實際的物質(zhì)存在。以“三角形”的概念為例，現(xiàn)實世界中，沒有見過抽象的三角形，而只能見到具體的三角形。它是客觀現(xiàn)實的抽象。這是概念抽象性的一面。 另一方面，盡管概念作為一種抽象，物質(zhì)世界中沒有實際的存在，但是從數(shù)學教學方面來看，學生可以獲得概念，概念一旦為學生掌握，對學生來說就是“實在”的東西了，這是概念具體性的一面。 69 數(shù)學概念是進行數(shù)學推理、證明的基礎(chǔ)和依據(jù)，數(shù)學中的推理和證明實質(zhì)上是由一連串的概念、判斷和命題組成的，而數(shù)學中的命題又都是一些概念構(gòu)成的。因此，數(shù)學概念學習是數(shù)學學習的基礎(chǔ) ，數(shù)學概念的教學是數(shù)學教學最重要的組成部分。 一般來說，數(shù)學概念學習

40、包括以下四個方面： 數(shù)學概念名稱。例如“三角形”、“正方體”、“橢圓”等。 數(shù)學概念定義。例如“三角形”的定義是“由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形”。 數(shù)學概念的例子。符合數(shù)學概念定義的事物是數(shù)學概念的正例，不符合數(shù)學概念定義的事物是數(shù)學概念的反例。 數(shù)學概念屬性。例如“三角形”這個數(shù)學概念的屬性是平面圖形、封閉的、有三條邊、有三個角等。70（2）數(shù)學概念學習的形式 數(shù)學概念學習的形式一般有兩種，一是概念的形成，二是概念的同化。 第一，概念的形成 概念的形成是在教學條件下，從大量具體例子出發(fā)，從學生實際經(jīng)驗的肯定例證中，以歸納的方法概括出一類事物的本質(zhì)屬性。 第二，概念的同化

41、 概念的同化是利用學生已有的知識經(jīng)驗，以定義的方式直接向?qū)W生揭示概念的本質(zhì)。 71 （3）數(shù)學概念教學設(shè)計所需要注意的幾個問題 為幫助學生透徹理解并掌握所學的數(shù)學概念，教師要注意以下幾個方面： 加強對數(shù)學概念的解剖分析 數(shù)學概念是借助于數(shù)學語言符號來表達的，其用語、用詞一般都非常嚴密、精練，具有高度的概括性。因此，教師必須抓住概念中的關(guān)鍵詞句進行解剖分析，揭示每一個詞、句、符號、式子的內(nèi)在含義，使學生深刻理解概念的本質(zhì)屬性。 鏈接5:案例12 對“正弦函數(shù)”概念的分析 72 利用變式，突出概念的本質(zhì)屬性 變式是指概念例證在非本質(zhì)屬性方面的變化。利用變式的目的是通過非本質(zhì)屬性的變化來突出本質(zhì)屬性，使學生獲得的概念更精確。 例如，為了使學生全面理解無理數(shù)的概念，教師可以呈現(xiàn)下面的各種變式：開不盡的數(shù)：負無理數(shù)：超越數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)：4.12112111211112 32,2 3, 5,23 3, 2 7,2, ,lg 2,e73注意概念的對比 數(shù)學中許多概念是相互聯(lián)系的。因此，在數(shù)學學習中，可把它們聯(lián)系起來進行對比學習或類比學習。 案例13 “