9連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)之集中質(zhì)量法、假設(shè)模態(tài)法、模態(tài)綜合法和有限元法

1、 連續(xù)系統(tǒng)的精確解僅適用于簡單構(gòu)件形狀和邊界條件連續(xù)系統(tǒng)的精確解僅適用于簡單構(gòu)件形狀和邊界條件 當(dāng)構(gòu)件形狀復(fù)雜或邊界條件復(fù)雜時(shí)可以采用近似解法當(dāng)構(gòu)件形狀復(fù)雜或邊界條件復(fù)雜時(shí)可以采用近似解法 各種近似解法的共同特點(diǎn)：用有限自由度的系統(tǒng)對(duì)無限自各種近似解法的共同特點(diǎn)：用有限自由度的系統(tǒng)對(duì)無限自由度的系統(tǒng)進(jìn)行近似由度的系統(tǒng)進(jìn)行近似集中質(zhì)量法集中質(zhì)量法 假設(shè)模態(tài)法假設(shè)模態(tài)法有限元法有限元法集中質(zhì)量法集中質(zhì)量法是將連續(xù)系統(tǒng)的質(zhì)量集中到有限個(gè)點(diǎn)或截面上是將連續(xù)系統(tǒng)的質(zhì)量集中到有限個(gè)點(diǎn)或截面上假設(shè)模態(tài)法假設(shè)模態(tài)法是用有限個(gè)函數(shù)的線性組合來構(gòu)造連續(xù)系統(tǒng)的解是用有限個(gè)函數(shù)的線性組合來構(gòu)造連續(xù)系統(tǒng)的解有限元法有限

2、元法兼有以上兩種方法的特點(diǎn)兼有以上兩種方法的特點(diǎn)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 集中質(zhì)量法集中質(zhì)量法 集中質(zhì)量法集中質(zhì)量法 工程系統(tǒng)的物理參數(shù)常常分布不均勻工程系統(tǒng)的物理參數(shù)常常分布不均勻 慣性和剛性較大的部件可看作質(zhì)量集中的質(zhì)點(diǎn)和剛體慣性和剛性較大的部件可看作質(zhì)量集中的質(zhì)點(diǎn)和剛體 慣性小和彈性強(qiáng)的部件可抽象為無質(zhì)量的彈簧，它們的質(zhì)量慣性小和彈性強(qiáng)的部件可抽象為無質(zhì)量的彈簧，它們的質(zhì)量可以不計(jì)或折合到集中質(zhì)量上可以不計(jì)或折合到集中質(zhì)量上 物理參數(shù)分布均勻的系統(tǒng)，也可近似地分解為有限個(gè)集中質(zhì)量物理參數(shù)分布均勻的系統(tǒng)，也可近似地分解為有限個(gè)集中質(zhì)量 集中質(zhì)量的數(shù)量取決于所要求的計(jì)算精度集中質(zhì)量的

3、數(shù)量取決于所要求的計(jì)算精度 連續(xù)系統(tǒng)離散為有限自由度系統(tǒng)后，可以采用多自由度系統(tǒng)的連續(xù)系統(tǒng)離散為有限自由度系統(tǒng)后，可以采用多自由度系統(tǒng)的分析方法進(jìn)行分析分析方法進(jìn)行分析連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 集中質(zhì)量法集中質(zhì)量法 集中質(zhì)量法集中質(zhì)量法以等截面梁為例以等截面梁為例材料密度材料密度長度長度 l抗彎剛度抗彎剛度 EI將梁均分為四段將梁均分為四段l4/ l4/ l4/ l4/ l4/m4/m4/m并將每段的質(zhì)量平均分到該段的兩端并將每段的質(zhì)量平均分到該段的兩端支座處的集中質(zhì)量不影響梁的彎曲支座處的集中質(zhì)量不影響梁的彎曲連續(xù)梁可用三個(gè)集中質(zhì)量代替：連續(xù)梁可用三個(gè)集中質(zhì)量代替：4321mmmm

4、質(zhì)量矩陣：質(zhì)量矩陣： 1000100014mM梁質(zhì)量：梁質(zhì)量：Slm 橫截面積度橫截面積度 S連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 集中質(zhì)量法集中質(zhì)量法三個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的梁段具有相同三個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的梁段具有相同的彈性性質(zhì)的彈性性質(zhì)l4/ l4/ l4/ l4/ l4/m4/m4/m由材料力學(xué)，得柔度影響系數(shù)：由材料力學(xué)，得柔度影響系數(shù)：EIlff768933311 質(zhì)量矩陣：質(zhì)量矩陣： 1000100014mMEIlffff76811332232112 EIlf76816322 EIlff768733113 柔度矩陣：柔度矩陣： 911711161171197683EIlF可以求解系統(tǒng)可以求解系統(tǒng)固有頻

5、率固有頻率連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 集中質(zhì)量法集中質(zhì)量法也可將連續(xù)梁離散為兩自由度也可將連續(xù)梁離散為兩自由度或單自由度系統(tǒng)或單自由度系統(tǒng)l4/ l4/ l4/ l4/ l4/m4/m4/m3/ l3/m3/m3/ l3/ l2/ l2/m2/ l在求得質(zhì)量矩陣和柔度矩陣后在求得質(zhì)量矩陣和柔度矩陣后，可以計(jì)算出相應(yīng)的系統(tǒng)固有，可以計(jì)算出相應(yīng)的系統(tǒng)固有頻率頻率連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 集中質(zhì)量法集中質(zhì)量法連續(xù)梁三自由度系統(tǒng)兩自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)固有頻率精確解近似解誤差近似解誤差近似解誤差0.03%0.73%6.3%0.1%3.3%0.7%SEIl2870. 9123SEIl248

6、.39SEIl283.88SEIl2867. 9SEIl2859. 9SEIl2798. 9SEIl219.39SEIl218.38SEIl221.83（1）隨著自由度數(shù)目的增加，計(jì)算精度提高；（）隨著自由度數(shù)目的增加，計(jì)算精度提高；（2）基頻精度較高；（）基頻精度較高；（3）頻率階數(shù)增高，誤差增大）頻率階數(shù)增高，誤差增大注：在采用集中質(zhì)量法時(shí)，計(jì)算精度與邊界條件有關(guān)，例如將同一模型用于注：在采用集中質(zhì)量法時(shí)，計(jì)算精度與邊界條件有關(guān)，例如將同一模型用于懸臂梁系統(tǒng)，計(jì)算精度明顯下降懸臂梁系統(tǒng)，計(jì)算精度明顯下降連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 集中質(zhì)量法集中質(zhì)量法 假設(shè)模態(tài)法假設(shè)模態(tài)法利用有限個(gè)已

7、知的模態(tài)函數(shù)來確定系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律利用有限個(gè)已知的模態(tài)函數(shù)來確定系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律在采用模態(tài)疊加法討論連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)，是將連續(xù)系統(tǒng)的在采用模態(tài)疊加法討論連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)，是將連續(xù)系統(tǒng)的解寫作全部模態(tài)函數(shù)的線性組合：解寫作全部模態(tài)函數(shù)的線性組合：1)()(),(iiitqxtxy)(xi：模態(tài)函數(shù)：模態(tài)函數(shù))(tqi：模態(tài)坐標(biāo)：模態(tài)坐標(biāo)若取前若取前 n 個(gè)有限項(xiàng)作為近似解，則有：個(gè)有限項(xiàng)作為近似解，則有： niiitqxtxy1)()(),()(xi：應(yīng)該是系統(tǒng)的模態(tài)函數(shù)，但實(shí)際中由于無法得到等原：應(yīng)該是系統(tǒng)的模態(tài)函數(shù)，但實(shí)際中由于無法得到等原因而代以假設(shè)模態(tài)，即滿足部分或全部邊界條件，但因而代以假

8、設(shè)模態(tài)，即滿足部分或全部邊界條件，但不一定滿足動(dòng)力學(xué)方程的不一定滿足動(dòng)力學(xué)方程的試函數(shù)族試函數(shù)族)(tqi：與假設(shè)模態(tài)所對(duì)應(yīng)的廣義坐標(biāo)：與假設(shè)模態(tài)所對(duì)應(yīng)的廣義坐標(biāo) 動(dòng)力學(xué)方程動(dòng)力學(xué)方程 瑞利法瑞利法 里茲法里茲法連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 假設(shè)模態(tài)法假設(shè)模態(tài)法假定模態(tài)函數(shù)假定模態(tài)函數(shù) 已經(jīng)確定已經(jīng)確定)(xi梁的近似解可寫為：梁的近似解可寫為：q niiitqxtxy1)()(),(nnR 121,121, nTnRqqqq以均質(zhì)梁的橫向振動(dòng)為例以均質(zhì)梁的橫向振動(dòng)為例動(dòng)能：動(dòng)能： ldxttxyST02),(21 lTTdxS0)(21qqqMqT21 nnlTRdxS 0M質(zhì)量陣質(zhì)量陣

9、yxl0 ljijiijdxxxSmm0)()(質(zhì)量陣為對(duì)稱陣質(zhì)量陣為對(duì)稱陣連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 假設(shè)模態(tài)法假設(shè)模態(tài)法假定模態(tài)函數(shù)假定模態(tài)函數(shù) 已經(jīng)確定已經(jīng)確定)(xi梁的近似解可寫為：梁的近似解可寫為：q niiitqxtxy1)()(),(nnR 121,121, nTnRqqqq以均質(zhì)梁的橫向振動(dòng)為例以均質(zhì)梁的橫向振動(dòng)為例yxl0勢(shì)能：勢(shì)能： ldxxtxyEIV0222),(21 lTTdxEI0)(21qqKqqT21 nnlTRdxEI 0K剛度陣剛度陣 ljijiijdxxxEIkk0)()(剛度陣為對(duì)稱陣剛度陣為對(duì)稱陣連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 假設(shè)模態(tài)法假設(shè)

10、模態(tài)法有激勵(lì)存在的拉格朗日方程：有激勵(lì)存在的拉格朗日方程：qMqTT21 nnlTRdxS 0MKqqTV21 nnlTRdxEI 0KiiiiQqVqTqTdtd iiiQqLqLdtd 或或VTL 拉氏函數(shù)拉氏函數(shù)iQ：對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)：對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo) 的廣義力的廣義力iq設(shè)沿梁作用有分布力設(shè)沿梁作用有分布力 p (x, t)當(dāng)梁有虛位移當(dāng)梁有虛位移 時(shí)，時(shí)， niiiqy1分布力的虛功：分布力的虛功： lydxtxptW0),()( lniiidxqtxp01),( niiliqdxxtxp10)(),(連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 假設(shè)模態(tài)法假設(shè)模態(tài)法有激勵(lì)存在的拉格朗日方程：有激勵(lì)

11、存在的拉格朗日方程：qMqTT21 nnlTRdxS 0MKqqTV21 nnlTRdxEI 0KiiiiQqVqTqTdtd iiiQqLqLdtd 或或VTL 分布力的虛功：分布力的虛功： niiliqdxxtxptW10)(),()(按照廣義力的定義：按照廣義力的定義： niiiqQtW1)(比較，得：比較，得： liidxxtxptQ0)(),()(矩陣形式：矩陣形式：121)(,),(),()( nTnRtQtQtQtQ連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 假設(shè)模態(tài)法假設(shè)模態(tài)法有激勵(lì)存在的拉格朗日方程：有激勵(lì)存在的拉格朗日方程：qMqTT21 nnlTRdxS 0MKqqTV21 nnl

12、TRdxEI 0KiiiiQqVqTqTdtd iiiQqLqLdtd 或或VTL T、V、Q 代入拉格朗日方程：代入拉格朗日方程：121)(,),(),()( nTnRtQtQtQtQ廣義力：廣義力： liidxxtxptQ0)(),()(拉格朗日方程的矩陣形式：拉格朗日方程的矩陣形式：Qqqq VTTdtd)(tQKqqM 彈性體的受迫振動(dòng)轉(zhuǎn)換成了彈性體的受迫振動(dòng)轉(zhuǎn)換成了 n 自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)問題自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)問題連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 假設(shè)模態(tài)法假設(shè)模態(tài)法yxl0axm梁的近似解：梁的近似解：q niiitqxtxy1)()(),(動(dòng)能：動(dòng)能： ldxttxyST02

13、),(21qMqT21 nnlTRdxS 0M質(zhì)量陣質(zhì)量陣系統(tǒng)的動(dòng)能：系統(tǒng)的動(dòng)能：202),(21),(21 ttxymdxttxySTalqMMq)(2110 TnnlTRdxS 00M質(zhì)量陣：質(zhì)量陣：如果梁上有集中質(zhì)量如果梁上有集中質(zhì)量 m ，nnaTaRxxm )()(1M10MMM )()()()(0ajailjijiijxxmdxxxSmm 對(duì)稱陣對(duì)稱陣連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 假設(shè)模態(tài)法假設(shè)模態(tài)法系統(tǒng)的勢(shì)能：系統(tǒng)的勢(shì)能：如果梁上有卷簧如果梁上有卷簧 k1 和彈簧和彈簧 k2，勢(shì)能：勢(shì)能： ldxxtxyEIV0222),(21KqqT21 nnlTRdxEI 0K剛度陣剛度

14、陣梁的近似解：梁的近似解：q niiitqxtxy1)()(),(yxl0cx2kbx1k),(21),(21),(2122210222txykxtxykdxxtxyEIVcbl qKKKq)(21210 TnnlTRdxEI 00K剛度陣：剛度陣：nnbbTRxxk )()(11KnnccTRxxk )()(22K210KKKK )()()()()()(210cjcibjbiljijiijxxkxxkdxxxEIkk 對(duì)稱陣對(duì)稱陣連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 假設(shè)模態(tài)法假設(shè)模態(tài)法例：等截面簡支梁例：等截面簡支梁梁中部有一集中質(zhì)量梁中部有一集中質(zhì)量 Ma，大小等于梁的質(zhì)量大小等于梁的質(zhì)量采

15、用假設(shè)模態(tài)法，求：采用假設(shè)模態(tài)法，求：（1）梁的前三階固有頻率）梁的前三階固有頻率（2）梁的穩(wěn)態(tài)橫向強(qiáng)迫振動(dòng)）梁的穩(wěn)態(tài)橫向強(qiáng)迫振動(dòng)yx2/ l2/ l0tPsin0Ma集中質(zhì)量上有外力集中質(zhì)量上有外力tPsin0450SlEI 假設(shè)模態(tài)取為：假設(shè)模態(tài)取為：), 2 , 1(,sin)( ilxixi連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 假設(shè)模態(tài)法假設(shè)模態(tài)法解：解：nnlTRdxS 00MnnaTaRxxm )()(1M 3020102032SlM若對(duì)第三階固有頻率的精若對(duì)第三階固有頻率的精度要求不高，取度要求不高，取 n3質(zhì)量陣：質(zhì)量陣：yx2/ l2/ l0tPsin0Ma模態(tài)函數(shù)陣：模態(tài)函數(shù)陣

16、：3sin,2sin,sin)(),(),(321lxlxlxxxx nnlTRdxEI 00K 81000160001234lEIK剛度陣：剛度陣：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 假設(shè)模態(tài)法假設(shè)模態(tài)法 3020102032SlM 81000160001234lEIK0MK )(2416825. 5SlEI 424784.39SlEI 439944.68SlEI 特征值問題：特征值問題： 0048. 005742. 02)1(Sl 0102)2(Sl 7746. 005199. 02)3(Sl固有頻率：固有頻率：正則化特征向量：正則化特征向量：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 假設(shè)模態(tài)法假設(shè)

17、模態(tài)法梁的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：梁的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)： 3131sin)( )()(),(iiiiilxitqtqxtxy外力寫成分布力形式：外力寫成分布力形式：yx2/ l2/ l0tPsin0Ma強(qiáng)迫振動(dòng)方程：強(qiáng)迫振動(dòng)方程：)2()sin(),(0lxtPtxp 廣義力：廣義力： liidxxtxptQ0)(),()()3 , 2 , 1(,2sinsinsin)2(sin)(000 iitPdxlxilxtPtQli)(tQKqqM TtPt 1, 0, 1 sin)(0 Q廣義力列陣：廣義力列陣：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 假設(shè)模態(tài)法假設(shè)模態(tài)法離散化強(qiáng)迫振動(dòng)方程：離散化強(qiáng)迫振動(dòng)方程：)(tQKqqM

18、 101sin)(0tPtQ 3020102032SlM 81000160001234lEIK 0048. 005742. 02)1(Sl 0102)2(Sl 7746. 005199. 02)3(Sl416825. 5SlEI 424784.39SlEI 439944.68SlEI 令：令：),(321diag ,)3()2()1( 坐標(biāo)變換：坐標(biāo)變換：q )(tTQ 梁的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：梁的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)： 31sin)( ),(iilxitqtxy求得求得得得q代入梁的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)方程中得解代入梁的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)方程中得解連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 假設(shè)模態(tài)法假設(shè)模態(tài)法 假設(shè)模態(tài)法假設(shè)模態(tài)法 動(dòng)力學(xué)方程

19、動(dòng)力學(xué)方程 瑞利法瑞利法 里茲法里茲法連續(xù)系統(tǒng)的瑞利法是基于能量法的假設(shè)模態(tài)法，是多自由度系連續(xù)系統(tǒng)的瑞利法是基于能量法的假設(shè)模態(tài)法，是多自由度系統(tǒng)的瑞利法的推廣統(tǒng)的瑞利法的推廣以梁的彎曲振動(dòng)為例以梁的彎曲振動(dòng)為例假設(shè)梁以某階模態(tài)函數(shù)作頻率為假設(shè)梁以某階模態(tài)函數(shù)作頻率為 的自由振動(dòng)：的自由振動(dòng)：txtxysin)(),( 設(shè)系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，機(jī)械能守恒設(shè)系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，機(jī)械能守恒maxmaxVT 即即 ldxttxyST02),(21 ldxxST022max)(21 ldxxtxyEIV0222),(21 ldxxEIV02max)(21引入系統(tǒng)的參考動(dòng)能：引入系統(tǒng)的參考動(dòng)能： ldxxSTT

20、022max*)(21連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 假設(shè)模態(tài)法假設(shè)模態(tài)法定義定義瑞利商瑞利商：maxmaxVT ldxxST022max)(21 ldxxEIV02max)(21參考動(dòng)能：參考動(dòng)能： ldxxSTT022max*)(212*max)( TVR當(dāng)當(dāng) 為準(zhǔn)確的第為準(zhǔn)確的第 i 階模態(tài)函數(shù)時(shí)，瑞利商即為相應(yīng)的特征值，階模態(tài)函數(shù)時(shí)，瑞利商即為相應(yīng)的特征值，即第即第 i 階固有頻率階固有頻率)(x2i若若 是試函數(shù)，它滿足梁的幾何邊界條件，但不滿足動(dòng)力學(xué)是試函數(shù)，它滿足梁的幾何邊界條件，但不滿足動(dòng)力學(xué)方程，則瑞利商是一個(gè)依賴于方程，則瑞利商是一個(gè)依賴于 的標(biāo)量的標(biāo)量)(x)(x20)

21、( R試函數(shù)試函數(shù) 越接近某階真實(shí)模態(tài)，瑞利商越接近該階固有頻率越接近某階真實(shí)模態(tài)，瑞利商越接近該階固有頻率)(x與多自由度系統(tǒng)相同，瑞利商大于基頻與多自由度系統(tǒng)相同，瑞利商大于基頻實(shí)際計(jì)算時(shí)可選擇梁的靜變形函數(shù)，或選擇條件相近的梁的實(shí)際計(jì)算時(shí)可選擇梁的靜變形函數(shù)，或選擇條件相近的梁的精確解作為試函數(shù)精確解作為試函數(shù)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 假設(shè)模態(tài)法假設(shè)模態(tài)法maxmaxVT ldxxST022max)(21 ldxxEIV02max)(21 ldxxSTT022max*)(21*max)(TVR yxl0cx2kbx1kaxm若梁上存在集中質(zhì)量和彈性支撐若梁上存在集中質(zhì)量和彈性支撐

22、222102max)()()(21cblxkxkdxxEIV )()(21 2022max*alxmdxxSTT則最大勢(shì)能和參考動(dòng)能相應(yīng)改為：則最大勢(shì)能和參考動(dòng)能相應(yīng)改為：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 假設(shè)模態(tài)法假設(shè)模態(tài)法例：等截面懸臂梁例：等截面懸臂梁yx0lm)64()(22341xllxxAx 端部有一集中質(zhì)量端部有一集中質(zhì)量Slm2 用瑞利法估計(jì)基頻用瑞利法估計(jì)基頻解：解：選擇等截面懸臂梁在均布載荷下的靜撓度曲線作為試函數(shù)：選擇等截面懸臂梁在均布載荷下的靜撓度曲線作為試函數(shù)： )()(21202*alxmdxxST*max)(TVR 411908. 1SlEI 選擇端部集中質(zhì)量作用

23、下的靜撓度曲線作為試函數(shù)：選擇端部集中質(zhì)量作用下的靜撓度曲線作為試函數(shù)：)3()(322xlxAx 411584. 1SlEI 因集中質(zhì)量大于梁的分布質(zhì)量，選用后一種試函數(shù)好因集中質(zhì)量大于梁的分布質(zhì)量，選用后一種試函數(shù)好連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 假設(shè)模態(tài)法假設(shè)模態(tài)法 假設(shè)模態(tài)法假設(shè)模態(tài)法 動(dòng)力學(xué)方程動(dòng)力學(xué)方程 瑞利法瑞利法 里茲法里茲法里茲法是瑞利法的改進(jìn)里茲法是瑞利法的改進(jìn)瑞利法使用單個(gè)試函數(shù)，而里茲法使用若干個(gè)獨(dú)立的試函數(shù)瑞利法使用單個(gè)試函數(shù)，而里茲法使用若干個(gè)獨(dú)立的試函數(shù)的線性組合：的線性組合： niiixax1)( )(滿足幾何邊界條件滿足幾何邊界條件)1(nii 里茲基函數(shù)里

24、茲基函數(shù) ldxxST022max)(21 ldxxEIV02max)(21 ldxxSTT022max*)(21*max)(TVR )1(niai 待定系數(shù)待定系數(shù)),(21maxnaaaT),(21maxnaaaVRTVT、*maxmax都是都是ai 的函數(shù)的函數(shù)瑞利商：瑞利商：),(),()(21*21maxnnaaaTaaaVR 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 假設(shè)模態(tài)法假設(shè)模態(tài)法 ldxxST02*)(21 lnjjjniiidxxaxaS011)()(21瑞利商：瑞利商：),(),()(21*21maxnnaaaTaaaVR 選擇系數(shù)選擇系數(shù) ai （i1,2,n），使得瑞利商取

25、駐值：），使得瑞利商取駐值：), 2 , 1(, 0)(niaRi 得到得到 ai 的齊次代數(shù)方程組，其非零解條件可用來計(jì)算系統(tǒng)的的齊次代數(shù)方程組，其非零解條件可用來計(jì)算系統(tǒng)的固有頻率固有頻率 ninjjiijaam1121考慮梁的彎曲振動(dòng)，其參考動(dòng)能為：考慮梁的彎曲振動(dòng)，其參考動(dòng)能為：), 2 , 1,(,)()(210njidxxxSmljiij 定義：定義：nnijRm M1 niRaaaMa21T 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 假設(shè)模態(tài)法假設(shè)模態(tài)法 ldxxST02*)(21梁的彎曲振動(dòng)的參考動(dòng)能：梁的彎曲振動(dòng)的參考動(dòng)能：), 2 , 1,(,)()(210njidxxxSmlji

26、ij nnijRm M1 niRaaaMa21T yxl0cx2kbx1kaxm若梁上存在集中質(zhì)量若梁上存在集中質(zhì)量 )()(21202*alxmdxxSTaMMa)(2110 TaMa21T ), 2 , 1,(),()()()(210njixxmdxxxSmmajailjijiij 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 假設(shè)模態(tài)法假設(shè)模態(tài)法),(),()(21*21maxnnaaaTaaaVR ), 2 , 1(, 0)(niaRi ninjjiijaamT11*21梁的彎曲振動(dòng)，其最大勢(shì)能：梁的彎曲振動(dòng)，其最大勢(shì)能：), 2 , 1,(,)()(210njidxxxSmljiij ldxxE

27、IV02max)(21 lnjjjniiidxxaxaEI011)()(21 ninjjiijaak1121), 2 , 1,(,)()(210njidxxxEIkljiij 定義：定義：nnijRk KaKa21T 固有頻率的近似值固有頻率的近似值aMaaKa)(TTR 2 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 假設(shè)模態(tài)法假設(shè)模態(tài)法梁的彎曲振動(dòng)最大勢(shì)能：梁的彎曲振動(dòng)最大勢(shì)能： ldxxEIV02max)(21), 2 , 1,(,)()(210njidxxxEIkljiij nnijRk KaKa21T yxl0cx2kbx1kaxm若梁上存在彈性支撐若梁上存在彈性支撐222102max)()(

28、 )(21cblxkxkdxxEIV aKKKa)(21210 TaKa21T )()()()()()(210cjcibjbiljijiijxxkxxkdxxxEIkk 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 假設(shè)模態(tài)法假設(shè)模態(tài)法aMaaKa)(TTR 2 ),(),()(21*21maxnnaaaTaaaVR ), 2 , 1(, 0)(niaRi 得特征值問題：得特征值問題：0aMK )(2可求得可求得n個(gè)特征值個(gè)特征值 和和n特征向量特征向量 2i)(ia 里茲法改善了瑞利法對(duì)基頻的估計(jì)，還可計(jì)算高階固有頻率里茲法改善了瑞利法對(duì)基頻的估計(jì)，還可計(jì)算高階固有頻率 n 愈大，計(jì)算精度愈高愈大，計(jì)算

29、精度愈高 計(jì)算精度也與基函數(shù)計(jì)算精度也與基函數(shù) 的選擇有關(guān)，通常采用冪函的選擇有關(guān)，通常采用冪函數(shù)、三角函數(shù)、貝塞爾函數(shù)或條件相近的有精確解的梁數(shù)、三角函數(shù)、貝塞爾函數(shù)或條件相近的有精確解的梁的模態(tài)函數(shù)作為基函數(shù)的模態(tài)函數(shù)作為基函數(shù)), 2 , 1(nii Tiniiiaaa,)()(2)(1)( a njjijixax1)()()( )(第第 i 階模態(tài)函數(shù)：階模態(tài)函數(shù)：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 假設(shè)模態(tài)法假設(shè)模態(tài)法例：等截面簡支梁例：等截面簡支梁梁中部有一集中質(zhì)量梁中部有一集中質(zhì)量 Ma，大小等于梁的質(zhì)量大小等于梁的質(zhì)量采用里茲法，求：梁的模態(tài)采用里茲法，求：梁的模態(tài)函數(shù)近似解函數(shù)

30、近似解yx2/ l2/ l0Ma選取無集中質(zhì)量時(shí)的梁的模態(tài)函數(shù)作為里茲基函數(shù)：選取無集中質(zhì)量時(shí)的梁的模態(tài)函數(shù)作為里茲基函數(shù)：), 2 , 1(,sin)( ilxixi解：解：基函數(shù)滿足自然邊界條件（兩端撓度和彎矩為零）基函數(shù)滿足自然邊界條件（兩端撓度和彎矩為零）)0(0)(, 0)(lorxxxii 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 假設(shè)模態(tài)法假設(shè)模態(tài)法離散化強(qiáng)迫振動(dòng)方程：離散化強(qiáng)迫振動(dòng)方程：)(tQKqqM 101sin)(0tPtQ 3020102032SlM 81000160001234lEIK 0048. 005742. 02)1(Sla 0102)2(Sla 7746. 00519

31、9. 02)3(Sla416825. 5SlEI 424784.39SlEI 439944.68SlEI 模態(tài)試函數(shù)：模態(tài)試函數(shù)：3131sin)( )(iiiiilxiatax若對(duì)第三階固有頻率的精度要求不高，取若對(duì)第三階固有頻率的精度要求不高，取 n3連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 假設(shè)模態(tài)法假設(shè)模態(tài)法 0048. 005742. 02)1(Sla 0102)2(Sla 7746. 005199. 02)3(Sla模態(tài)試函數(shù)：模態(tài)試函數(shù)：3131sin)( )(iiiiilxiatax梁的模態(tài)函數(shù)近似解：梁的模態(tài)函數(shù)近似解：)3sin0048. 0sin5742. 0(2 )()1(lx

32、lxSlx lxSlx2sin2 )()2( )3sin7746. 0sin5199. 0(2 )()3(lxlxSlx 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 假設(shè)模態(tài)法假設(shè)模態(tài)法例：楔形懸臂梁例：楔形懸臂梁單位厚度單位厚度截面變化截面變化lxAxA0)( bA20 為根部截面積為根部截面積用里茲法求基頻用里茲法求基頻lxbby0解：解：截面對(duì)中性軸的慣性矩：截面對(duì)中性軸的慣性矩：3303)2(121)(lxIlbxxI 30)2(121bI 根部截面對(duì)中性軸的慣性矩根部截面對(duì)中性軸的慣性矩取基函數(shù)：取基函數(shù)：), 2 , 1(,)()1 ()(12nilxlxxii 可以驗(yàn)證，基函數(shù)滿足所有位移

33、邊界條件和力邊界條件可以驗(yàn)證，基函數(shù)滿足所有位移邊界條件和力邊界條件連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 假設(shè)模態(tài)法假設(shè)模態(tài)法單位厚度單位厚度截面變化截面變化lxAxA0)( bA20 為根部截面積為根部截面積lxbby0截面對(duì)中性軸的慣性矩：截面對(duì)中性軸的慣性矩：3303)2(121)(lxIlbxxI 30)2(121bI 根部截面對(duì)中性軸的慣性矩根部截面對(duì)中性軸的慣性矩基函數(shù)：基函數(shù)：), 2 , 1(,)()1 ()(12nilxlxxii ljiijdxxxEIk0)()(21 ljiijdxxxSm0)()(21取取 n2 2801105110513010lAM 52525210lAK

34、質(zhì)量陣：質(zhì)量陣：剛度陣：剛度陣：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 假設(shè)模態(tài)法假設(shè)模態(tài)法 2801105110513010lAM 52525210lAK由：由：02 MK4001319. 5lAEI 若取若取 n1：4001477. 5lAEI 精確解精確解：4001315. 5lAEI 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 假設(shè)模態(tài)法假設(shè)模態(tài)法 模態(tài)綜合法模態(tài)綜合法 對(duì)于由多個(gè)構(gòu)件組成的復(fù)雜系統(tǒng)，很難找到適合于整個(gè)系統(tǒng)對(duì)于由多個(gè)構(gòu)件組成的復(fù)雜系統(tǒng)，很難找到適合于整個(gè)系統(tǒng)的假設(shè)模態(tài)的假設(shè)模態(tài) 子結(jié)構(gòu)的劃分應(yīng)使得子結(jié)構(gòu)易于分析，并且對(duì)接面盡量縮小子結(jié)構(gòu)的劃分應(yīng)使得子結(jié)構(gòu)易于分析，并且對(duì)接面盡量縮小，以

35、減少子結(jié)構(gòu)之間的耦合，以減少子結(jié)構(gòu)之間的耦合 實(shí)際工程問題中低階模態(tài)占主要成分，因此對(duì)每個(gè)子結(jié)構(gòu)只實(shí)際工程問題中低階模態(tài)占主要成分，因此對(duì)每個(gè)子結(jié)構(gòu)只需要計(jì)算少量低階模態(tài)，然后加以綜合需要計(jì)算少量低階模態(tài)，然后加以綜合對(duì)策：對(duì)策：將復(fù)雜結(jié)構(gòu)分解成若干個(gè)較簡單的子結(jié)構(gòu)，對(duì)每個(gè)子將復(fù)雜結(jié)構(gòu)分解成若干個(gè)較簡單的子結(jié)構(gòu)，對(duì)每個(gè)子結(jié)構(gòu)選定假設(shè)模態(tài)，然后根據(jù)對(duì)接面上的位移和力的協(xié)調(diào)條結(jié)構(gòu)選定假設(shè)模態(tài)，然后根據(jù)對(duì)接面上的位移和力的協(xié)調(diào)條件，將各個(gè)子結(jié)構(gòu)的假設(shè)模態(tài)綜合成總體系統(tǒng)的模態(tài)函數(shù)件，將各個(gè)子結(jié)構(gòu)的假設(shè)模態(tài)綜合成總體系統(tǒng)的模態(tài)函數(shù)模態(tài)綜合法模態(tài)綜合法連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 模態(tài)綜合法模態(tài)綜合法

36、等截面直角梁的彎曲振動(dòng)問題等截面直角梁的彎曲振動(dòng)問題1o2o1x2x1y2y3o兩根梁，長度兩根梁，長度 l，截面抗彎剛度，截面抗彎剛度 EI梁材料密度梁材料密度 ，截面積，截面積 A3o處固接處固接將直角梁分為兩個(gè)子結(jié)構(gòu)將直角梁分為兩個(gè)子結(jié)構(gòu)坐標(biāo)：坐標(biāo)：111yxo 222yxo 子結(jié)構(gòu)模態(tài)的選?。鹤咏Y(jié)構(gòu)模態(tài)的選取：固定界面法固定界面法，自由界面法自由界面法固定界面法：將兩子結(jié)構(gòu)的界面固定界面法：將兩子結(jié)構(gòu)的界面 o3 加以固定，使兩子結(jié)構(gòu)成為加以固定，使兩子結(jié)構(gòu)成為兩端固定的直梁兩端固定的直梁滿足幾何邊界條件的模態(tài)函數(shù)：滿足幾何邊界條件的模態(tài)函數(shù)：2211)( lxlxxiii不計(jì)梁的縱向

37、振動(dòng)，界面無橫向位移，但界面可自由轉(zhuǎn)動(dòng)不計(jì)梁的縱向振動(dòng)，界面無橫向位移，但界面可自由轉(zhuǎn)動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 模態(tài)綜合法模態(tài)綜合法1o2o1x2x1y2y3o當(dāng)界面當(dāng)界面 o3 產(chǎn)生單位角位移時(shí)，產(chǎn)生單位角位移時(shí)，各子結(jié)構(gòu)滿足幾何邊界條件的各子結(jié)構(gòu)滿足幾何邊界條件的模態(tài)稱為模態(tài)稱為約束模態(tài)約束模態(tài)，取為：，取為：滿足幾何邊界條件的模態(tài)函數(shù)：滿足幾何邊界條件的模態(tài)函數(shù)：2211)( lxlxxiii lxlxxiii1)(22梁的橫向位移的模態(tài)表達(dá)式：梁的橫向位移的模態(tài)表達(dá)式：)()()()(),(21211111txtxtxy )()()()(),(42232122txtxtxy

38、界面應(yīng)滿足：界面應(yīng)滿足：2211),(),(xtlyxtly 22222112),(),(xtlyEIxtlyEI 位移協(xié)調(diào)條件位移協(xié)調(diào)條件彎矩協(xié)調(diào)條件彎矩協(xié)調(diào)條件代入，得約束方程：代入，得約束方程：4231， 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 模態(tài)綜合法模態(tài)綜合法1o2o1x2x1y2y3o)()()()(),(21211111txtxtxy )()()()(),(42232122txtxtxy 記：記：2211),(),(xtlyxtly 22222112),(),(xtlyEIxtlyEI 4231， 令系統(tǒng)廣義坐標(biāo)：令系統(tǒng)廣義坐標(biāo)：2211， qq Tqq)(21 qT)(4321 得

39、：得：系統(tǒng)動(dòng)能：系統(tǒng)動(dòng)能：q 10100101 ldxttxyttxyAT0222211),(),(21系統(tǒng)勢(shì)能：系統(tǒng)勢(shì)能： ldxxtxyxtxyEIV0222222221112),(),(21連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 模態(tài)綜合法模態(tài)綜合法1o2o1x2x1y2y3o)()()()(),(21211111txtxtxy )()()()(),(42232122txtxtxy 2211， qq Tqq)(21 qT)(4321 q 10100101 ldxttxyttxyAT0222211),(),(212211)( lxlxxiii lxlxxiii1)(22M21T qMqT21 M

40、MT ldxxtxyxtxyEIV0222222221112),(),(21K21T KqqT21 105/1280/1280/1630/12 AKKT 1005/183lEI系統(tǒng)得動(dòng)力學(xué)方程：系統(tǒng)得動(dòng)力學(xué)方程：0KqqM 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 模態(tài)綜合法模態(tài)綜合法 有限元法有限元法20世紀(jì)五六十年代發(fā)展起來的方法世紀(jì)五六十年代發(fā)展起來的方法 吸取了集中質(zhì)量法與假設(shè)模態(tài)法的優(yōu)點(diǎn)吸取了集中質(zhì)量法與假設(shè)模態(tài)法的優(yōu)點(diǎn) 有限元法是目前工程中計(jì)算復(fù)雜結(jié)構(gòu)廣泛使用的方法有限元法是目前工程中計(jì)算復(fù)雜結(jié)構(gòu)廣泛使用的方法每個(gè)單元作為彈性體，單元內(nèi)各點(diǎn)的位移用節(jié)點(diǎn)位移的插值每個(gè)單元作為彈性體，單元內(nèi)各

41、點(diǎn)的位移用節(jié)點(diǎn)位移的插值函數(shù)表示（單元的假設(shè)模態(tài)）函數(shù)表示（單元的假設(shè)模態(tài)）由于是僅對(duì)單元、而非整個(gè)結(jié)構(gòu)取假設(shè)模態(tài)，因此模態(tài)函數(shù)由于是僅對(duì)單元、而非整個(gè)結(jié)構(gòu)取假設(shè)模態(tài)，因此模態(tài)函數(shù)可取得十分簡單，并且可令各個(gè)單元的模態(tài)相同可取得十分簡單，并且可令各個(gè)單元的模態(tài)相同將復(fù)雜結(jié)構(gòu)分割成有限個(gè)將復(fù)雜結(jié)構(gòu)分割成有限個(gè)單元單元，單元端點(diǎn)稱為，單元端點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)，將節(jié)點(diǎn)，將節(jié)點(diǎn)的位移作為的位移作為廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)，并將單元的質(zhì)量和剛度集中到節(jié)點(diǎn)上，并將單元的質(zhì)量和剛度集中到節(jié)點(diǎn)上以以桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)和和梁的彎曲振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng)為例進(jìn)行介紹為例進(jìn)行介紹連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 有限元法有限元

42、法桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)單元質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的求解單元質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的求解將桿劃分為多個(gè)單元將桿劃分為多個(gè)單元取出其中一個(gè)單元進(jìn)行分析取出其中一個(gè)單元進(jìn)行分析單元長單元長 l，兩端節(jié)點(diǎn)位移，兩端節(jié)點(diǎn)位移 u1(t)、u2(t)x 位置截面的位移：位置截面的位移： 21)()(),(iiituxNtxu)()(21xNxN、：單元假設(shè)模態(tài)：單元假設(shè)模態(tài)（形函數(shù)）（形函數(shù)）),(txflx0),(txu)(1tu)(2tux1)(1xN1)(2xN取為一個(gè)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)有單位位移、而其余節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)皆為零時(shí)，單取為一個(gè)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)有單位位移、而其余節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)皆為零時(shí)，單元的靜變形函數(shù)元的靜變形函數(shù)lxxN

43、 1)(1lxxN )(2例如：例如：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 有限元法有限元法x 位置截面的位移：位置截面的位移： 21)()(),(iiituxNtxu代入，得：代入，得：),(txflx0),(txu)(1tu)(2tuxlxxN 1)(1lxxN )(2eTtxuuN ),(Tlxlx 1NTetutu )()(21 u單元?jiǎng)幽埽簡卧獎(jiǎng)幽埽篸xttxuATle20),(21 eeTeumu21 dxATleNNm 0單元質(zhì)量矩陣單元質(zhì)量矩陣 21126AlA為常數(shù)時(shí)為常數(shù)時(shí)：材料密度：材料密度A：截面積：截面積連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 有限元法有限元法),(txflx0

44、),(txu)(1tu)(2tuxeTtxuuN ),(Tlxlx 1NTetutu )()(21 u單元?jiǎng)菽埽簡卧獎(jiǎng)菽埽篸xxtxuEAVle20),(21 eeTeuku21 dxEATleNNk 0單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?1111lEAEA為常數(shù)時(shí)為常數(shù)時(shí)E：彈性模量：彈性模量Tll 11Nf(x,t)對(duì)虛位移對(duì)虛位移 的虛功：的虛功：),(txudxtxutxfWl 0),(),(21eTeuF eF：與節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)：與節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)ue 對(duì)應(yīng)的單元廣義力列陣對(duì)應(yīng)的單元廣義力列陣dxtxfle 0),(NF若軸向力若軸向力 f (x,t) 為常力為常力Tfl) 11 (2 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系

45、統(tǒng)的振動(dòng) / 有限元法有限元法全系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程全系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程以上對(duì)單元所作的分析必須進(jìn)行綜合，以擴(kuò)展到總體結(jié)構(gòu)以上對(duì)單元所作的分析必須進(jìn)行綜合，以擴(kuò)展到總體結(jié)構(gòu)lllEAA 22，EAA，1231q2q3q以一個(gè)例子進(jìn)行說明以一個(gè)例子進(jìn)行說明11u2u23u4u35u6u桿劃分為三個(gè)單元桿劃分為三個(gè)單元單元質(zhì)量矩陣：單元質(zhì)量矩陣： 2112321Aleemm 211263Alem 1111221lEAeekk單元?jiǎng)偠染仃嚕簡卧獎(jiǎng)偠染仃嚕?11113lEAekTeuu)(211 uTeuu)(432 uTeuu)(653 u單元坐標(biāo)單元坐標(biāo)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 有限元法有限元法

46、lllEAA 22，EAA，1231q2q3q11u2u23u4u35u6uTeuu)(211 uTeuu)(432 uTeuu)(653 u全部節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)列陣：全部節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)列陣：TTTeTeTeuuuuuu)()(654321321 uuuU節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)約束條件：節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)約束條件：543210uuuuu ，只有三個(gè)獨(dú)立只有三個(gè)獨(dú)立定義獨(dú)立的廣義坐標(biāo)：定義獨(dú)立的廣義坐標(biāo)：63542321,uquuquuq ，廣義坐標(biāo)列陣：廣義坐標(biāo)列陣：Tqqq)(321 q節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)與廣義坐標(biāo)之間的關(guān)系：節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)與廣義坐標(biāo)之間的關(guān)系：qU T 100000011000000110連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 有限

47、元法有限元法lllEAA 22，EAA，1231q2q3q11u2u23u4u35u6uTeuu)(211 uTeuu)(432 uTeuu)(653 uTTTeTeTeuuuuuu)()(654321321 uuuU全系統(tǒng)的動(dòng)能：全系統(tǒng)的動(dòng)能：qU T 100000011000000110 31ieiTT 3121ieieiTeiumuUMU21T 66321 Reeem000m000mMqMqT21 33 RTMMTqqq)(321 q連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 有限元法有限元法eeTeeTumu21 質(zhì)量矩陣質(zhì)量矩陣 M 也可直接利用單元質(zhì)量矩陣組集而成也可直接利用單元質(zhì)量矩陣組集

48、而成方法：方法：將單元質(zhì)量矩陣將單元質(zhì)量矩陣 me1、me2 和和 me3 的各個(gè)元素統(tǒng)一按的各個(gè)元素統(tǒng)一按 qi (i=1,2,3) 的下標(biāo)重新編號(hào)，放入的下標(biāo)重新編號(hào)，放入 M 中與編號(hào)相對(duì)應(yīng)的行和列中中與編號(hào)相對(duì)應(yīng)的行和列中 222112111mmmmemlllEAA 22，EAA，1231q2q3q11u2u23u4u35u6uTeuu)(211 uTeuu)(432 uTeuu)(653 uTTTeTeTeuuuuuu)()(654321321 uuuUTqqq)(321 q63542321,uquuquuq ， 444334332mmmmem 666556553mmmmem 110

49、00m 22211211mmmm 33322322mmmm連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 有限元法有限元法 222112111mmmmem 444334332mmmmem 666556553mmmmem 11000m 22211211mmmm 33322322mmmm單元質(zhì)量矩陣：單元質(zhì)量矩陣： 2112321Aleemm 211263Alem和廣義坐標(biāo)和廣義坐標(biāo) 相對(duì)應(yīng)的質(zhì)量矩陣：相對(duì)應(yīng)的質(zhì)量矩陣：Tqqq)(321 q 333231232221131211mmmmmmmmmM 210124202446Al 20003Al 21123Al 21126Al連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 有

50、限元法有限元法lllEAA 22，EAA，1231q2q3q11u2u23u4u35u6uTeuu)(211 uTeuu)(432 uTeuu)(653 uTTTeTeTeuuuuuu)()(654321321 uuuU全系統(tǒng)的勢(shì)能：全系統(tǒng)的勢(shì)能：qU T 100000011000000110 31ieiVV 3121ieieiTeiukuUKU21T 66321 Reeek000k000kKKqqT21 KKT Tqqq)(321 q 11011220222lEAK也可組集也可組集得到：得到：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 有限元法有限元法eeTeeVuku21 qQUFTTW 當(dāng)桿上有常

51、值軸向力作用時(shí)，三根桿的廣義外力陣為：當(dāng)桿上有常值軸向力作用時(shí)，三根桿的廣義外力陣為：Teeefl) 11 (2321 FFF系統(tǒng)的廣義力陣：系統(tǒng)的廣義力陣：16321)( RTTeTeTeFFFF作用力的總虛功：作用力的總虛功：與廣義坐標(biāo)與廣義坐標(biāo) q 對(duì)應(yīng)的廣義力陣對(duì)應(yīng)的廣義力陣FQT 也可將也可將Fe1、Fe2 和和 Fe3 的各個(gè)元素統(tǒng)一按的各個(gè)元素統(tǒng)一按 qi (i=1,2,3) 的下標(biāo)重新的下標(biāo)重新編號(hào)，放入編號(hào)，放入 Q 中與編號(hào)相對(duì)應(yīng)的行和列中中與編號(hào)相對(duì)應(yīng)的行和列中TTflfl) 112(2) 1111 (2 Q連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 有限元法有限元法qU 1101

52、32024lEAK 2101620286AlMTfl) 112(2 Q用廣義坐標(biāo)陣用廣義坐標(biāo)陣 q 表示的廣義質(zhì)量陣、廣義剛度陣和廣義外力陣：表示的廣義質(zhì)量陣、廣義剛度陣和廣義外力陣：用廣義坐標(biāo)陣用廣義坐標(biāo)陣 q 表示的全系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程：表示的全系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程：QKqqM 11221101320242101620286321321flqqqlEAqqqAl 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 有限元法有限元法梁的彎曲振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng)單元質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的求解單元質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的求解將梁劃分為多個(gè)單元將梁劃分為多個(gè)單元取出其中一個(gè)單元進(jìn)行分析取出其中一個(gè)單元進(jìn)行分析 41)()(),(i

53、iituxNtxy)4 , 3 , 2 , 1)( ixNi：單元形函數(shù)：單元形函數(shù)單元長單元長 l，節(jié)點(diǎn)橫向位移，節(jié)點(diǎn)橫向位移 u1(t)、u3(t)，節(jié)點(diǎn)截面轉(zhuǎn)角，節(jié)點(diǎn)截面轉(zhuǎn)角u2(t)、u4(t)單元單元 x 位置截面的橫向位移：位置截面的橫向位移：),(txf)(1tu)(3tu)(2tu)(4tulTeuuuu)(4321 u單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)：單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)：選為均質(zhì)梁在端點(diǎn)常值位移作用下的靜撓度曲線：選為均質(zhì)梁在端點(diǎn)常值位移作用下的靜撓度曲線：)4 , 3 , 2 , 1(,)(332210 ixaxaxaaxNi連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 有限元法有限元法 41)()(),(ii

54、ituxNtxy解得：解得：),(txf)(1tu)(3tu)(2tu)(4tulTeuuuu)(4321 u單元形函數(shù)應(yīng)滿足的邊界條件：單元形函數(shù)應(yīng)滿足的邊界條件：)4 , 3 , 2 , 1( ,)(332210 ixaxaxaaxNi1)(1)0()()0(0)(1)0(0)0()0(0)()(1)0(0)0(0)()()0(1)0(4444333322221111 lNNlNNlNNNNlNlNNNlNlNNN，232433223232233221)(23)(2)(231)(lxlxxNlxlxxNlxlxxxNlxlxxN ，1)(1xNxx)(2xNx)(3xNx)(4xN連續(xù)系統(tǒng)

55、的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 有限元法有限元法 41)()(),(iiituxNtxy代入：代入：),(txf)(1tu)(3tu)(2tu)(4tulTeuuuu)(4321 u232433223232233221)(23)(2)(231)(lxlxxNlxlxxNlxlxxxNlxlxxN ，TxNxNxNxN )()()()(4321 N形函數(shù)列陣：形函數(shù)列陣：eTtxyuN ),(單元的動(dòng)能：單元的動(dòng)能：dxttxyATle20),(21 eeTeumu21 ：材料密度：材料密度A：截面積：截面積dxATleNNm 0單元質(zhì)量矩陣單元質(zhì)量矩陣 22242215631341354221564

56、20lllllllAl稱對(duì)A為常數(shù)時(shí)為常數(shù)時(shí)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 有限元法有限元法),(txf)(1tu)(3tu)(2tu)(4tulTeuuuu)(4321 uTxNxNxNxN )()()()(4321 NeTtxyuN ),(單元的勢(shì)能：單元的勢(shì)能：dxxtxyEIVle2022),(21 eeTeuku21 EI：抗彎剛度：抗彎剛度dxEITleNNk 0單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃嘐I為常數(shù)時(shí)為常數(shù)時(shí) 22232363236362llllllllEI稱對(duì)假設(shè)梁上有分布外力，其虛功：假設(shè)梁上有分布外力，其虛功：dxtxytxfWl 0),(),(21eTeuF dxtxfle 0),(NFTellfl)6161 (2 FeF：與節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)：與節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)ue 對(duì)應(yīng)的單元廣