4_Workbench_DS非線性分析

1、ANSYS BASIC TRAININGDS非線性分析非線性分析ANSYS BASIC TRAINING非線性分析非線性分析 本章將會介紹下列內(nèi)容本章將會介紹下列內(nèi)容:非線性理論的背景介紹非線性理論的背景介紹非線性分析設(shè)置非線性分析設(shè)置金屬塑性金屬塑性求解非線性模型求解非線性模型觀察結(jié)果觀察結(jié)果ANSYS BASIC TRAINING線性分析的背景線性分析的背景線性分析進(jìn)行線性靜態(tài)結(jié)構(gòu)分析時(shí)的一些假設(shè)和限制線性分析進(jìn)行線性靜態(tài)結(jié)構(gòu)分析時(shí)的一些假設(shè)和限制 求解的矩陣方程是虎克定律求解的矩陣方程是虎克定律: 由于假定由于假定 K 是常量是常量, 因此本質(zhì)上只允許線性行為。因此本質(zhì)上只允許線性行為。

2、如右圖所示如右圖所示, 如果力加倍如果力加倍, 在線性分析中，位移（和應(yīng)在線性分析中，位移（和應(yīng) 力）也會加倍。力）也會加倍。 但在現(xiàn)實(shí)世界中很多情況下但在現(xiàn)實(shí)世界中很多情況下, 這種小位移理論是無效的這種小位移理論是無效的. 此時(shí)就需要此時(shí)就需要非線性分析非線性分析. FxKKFxANSYS BASIC TRAINING非線性分析背景非線性分析背景非線性特性有三個(gè)主要來源非線性特性有三個(gè)主要來源:幾何非線性幾何非線性: 如果某個(gè)結(jié)構(gòu)出現(xiàn)了大變形如果某個(gè)結(jié)構(gòu)出現(xiàn)了大變形, 其變化其變化 的幾何外形會導(dǎo)致非線性行為。的幾何外形會導(dǎo)致非線性行為。材料非線性材料非線性: 非線性的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系非線性的

3、應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系, 如右圖所示金如右圖所示金 屬的塑性屬的塑性, 也是非線性的另一個(gè)來源。也是非線性的另一個(gè)來源。接觸非線性接觸非線性: 接觸效應(yīng)是一種接觸效應(yīng)是一種 “狀態(tài)改變狀態(tài)改變” 非線性非線性,當(dāng)兩接觸體間互相接觸或分離時(shí)會發(fā)生剛度當(dāng)兩接觸體間互相接觸或分離時(shí)會發(fā)生剛度 的突然變化，此時(shí)也會出現(xiàn)非線性。的突然變化，此時(shí)也會出現(xiàn)非線性。ANSYS BASIC TRAINING非線性分析背景非線性分析背景在非線性靜態(tài)分析中在非線性靜態(tài)分析中, 剛度剛度 K 依賴于位移依賴于位移 x，不再是常量，不再是常量: 從而力與位移的曲線將是非線性的從而力與位移的曲線將是非線性的, 如右圖所示如右圖所示

4、,因此當(dāng)力加倍時(shí)，因此當(dāng)力加倍時(shí)，位移和應(yīng)力不一定會加倍。位移和應(yīng)力不一定會加倍。 非線性分析是迭代求解，因?yàn)檩d荷（非線性分析是迭代求解，因?yàn)檩d荷（F）和位移）和位移,響應(yīng)（響應(yīng)（x）間的關(guān)系）間的關(guān)系之前并不知道。之前并不知道。 不會考慮與時(shí)間相關(guān)的效應(yīng)不會考慮與時(shí)間相關(guān)的效應(yīng). FxxKFxANSYS BASIC TRAININGNewton-Raphson 法法非線性求解需要反復(fù)迭代非線性求解需要反復(fù)迭代 實(shí)際的載荷和位移的關(guān)系預(yù)先并不知道實(shí)際的載荷和位移的關(guān)系預(yù)先并不知道 (見圖中黃色虛線）見圖中黃色虛線） 因此要進(jìn)行一系列帶修正的線性近似。這就是因此要進(jìn)行一系列帶修正的線性近似。這就

5、是Newton-Raphson 法的簡單解釋法的簡單解釋(圖中紅線圖中紅線) 在在Newton-Raphson 法中法中, 第一次迭代施加全載荷第一次迭代施加全載荷Fa， 結(jié)果結(jié)果為為 x1. 通過位移可計(jì)算內(nèi)力通過位移可計(jì)算內(nèi)力F1 ，如果，如果 Fa F1, 系統(tǒng)就不平衡系統(tǒng)就不平衡。因此，就要利用當(dāng)前條件計(jì)算新的剛度矩陣（紅線的斜率）。因此，就要利用當(dāng)前條件計(jì)算新的剛度矩陣（紅線的斜率）。 Fa - F1 之差就是不平衡力或殘余力之差就是不平衡力或殘余力. 殘余力必須足夠很小才殘余力必須足夠很小才能使求解收斂能使求解收斂. 重復(fù)上述過程直到重復(fù)上述過程直到 Fa = Fi. 在這個(gè)例子中

6、，通過在這個(gè)例子中，通過4次迭代系統(tǒng)次迭代系統(tǒng)平衡，求解收斂。平衡，求解收斂。 Fax1234Newton-Raphson MethodF1x1ANSYS BASIC TRAINING 非線性求解非線性求解了解載荷管理了解載荷管理 載荷步在通用加載中是變化的載荷步在通用加載中是變化的. Simulation 通常在一個(gè)載荷步中求解所有非線性模型。但是通常在一個(gè)載荷步中求解所有非線性模型。但是,在有螺栓在有螺栓預(yù)緊力載荷時(shí)，預(yù)緊力載荷時(shí)，DS采用兩個(gè)在載荷步，首先施加螺栓預(yù)緊力載荷采用兩個(gè)在載荷步，首先施加螺栓預(yù)緊力載荷, 然后然后施加其它所有載荷施加其它所有載荷. 這些載荷步可以認(rèn)為是這些載荷

7、步可以認(rèn)為是Fa和和 Fb. 子步以增量形式施加載荷子步以增量形式施加載荷 由于復(fù)雜的響應(yīng)由于復(fù)雜的響應(yīng), 有可能需要按增量形式施加載荷。例如，有可能需要按增量形式施加載荷。例如， Fa1 大約為大約為Fa 的一半的一半. 當(dāng)當(dāng) Fa1 收斂后收斂后,再施加全部的再施加全部的 Fa 載荷。在這個(gè)例子中載荷。在這個(gè)例子中 Fa 有有 2個(gè)子步而個(gè)子步而Fb有有 3 個(gè)子步。個(gè)子步。 平衡迭代是修正求解以得到收斂子步平衡迭代是修正求解以得到收斂子步 在右邊的例子中，白色虛線間的迭代就是平衡迭代在右邊的例子中，白色虛線間的迭代就是平衡迭代.FaxaFbxbFa1Fb2Fb1ANSYS BASIC T

8、RAINING非線性分析設(shè)置非線性分析設(shè)置非線性靜力分析的過程與線性靜力分析很相似，因此本節(jié)中不再詳述各非線性靜力分析的過程與線性靜力分析很相似，因此本節(jié)中不再詳述各個(gè)步驟。黃色斜體字的步驟包含了非線性分析中的特有選項(xiàng)。個(gè)步驟。黃色斜體字的步驟包含了非線性分析中的特有選項(xiàng)。 導(dǎo)入幾何模型導(dǎo)入幾何模型 指定材料屬性（如果需要：金屬塑性）指定材料屬性（如果需要：金屬塑性） 定義接觸選項(xiàng)定義接觸選項(xiàng) （如果需要）（如果需要） 定義網(wǎng)格控制定義網(wǎng)格控制 （可選擇）（可選擇） 施加載荷或約束施加載荷或約束 選擇需要查看的結(jié)果選擇需要查看的結(jié)果 設(shè)置非線性選項(xiàng)設(shè)置非線性選項(xiàng) 求解模型求解模型 查看結(jié)果查看

9、結(jié)果ANSYS BASIC TRAINING金屬塑性金屬塑性什么是塑性什么是塑性?當(dāng)韌性材料承受的應(yīng)力超過其彈性極限時(shí)就會屈服產(chǎn)生永久變形當(dāng)韌性材料承受的應(yīng)力超過其彈性極限時(shí)就會屈服產(chǎn)生永久變形. 塑性是只材料響應(yīng)超過屈服極限塑性是只材料響應(yīng)超過屈服極限. 塑性對金屬成形非常重要塑性對金屬成形非常重要. 塑性作為結(jié)構(gòu)在服務(wù)中的能量吸收機(jī)制通樣重要塑性作為結(jié)構(gòu)在服務(wù)中的能量吸收機(jī)制通樣重要. 在小塑性變形時(shí)就會破壞的材料是脆性材料在小塑性變形時(shí)就會破壞的材料是脆性材料. 韌性響應(yīng)在多數(shù)情況下比脆性響應(yīng)安全韌性響應(yīng)在多數(shù)情況下比脆性響應(yīng)安全.ANSYS BASIC TRAINING塑性塑性塑性回顧

10、塑性回顧:塑性變形是由于剪應(yīng)力（偏應(yīng)力）所造成的原子平面的滑動而引起塑性變形是由于剪應(yīng)力（偏應(yīng)力）所造成的原子平面的滑動而引起的。這種錯(cuò)位移動本質(zhì)上是原子在晶體結(jié)構(gòu)重新排列的。這種錯(cuò)位移動本質(zhì)上是原子在晶體結(jié)構(gòu)重新排列 造成卸載后不可恢復(fù)的應(yīng)變或永久變形造成卸載后不可恢復(fù)的應(yīng)變或永久變形. 滑動通常不會帶來體積應(yīng)變（不可壓縮條件）?；瑒油ǔ２粫眢w積應(yīng)變（不可壓縮條件）。 屈服應(yīng)力屈服應(yīng)力 y彈性彈性塑性塑性卸載卸載ANSYS BASIC TRAINING屈服準(zhǔn)則屈服準(zhǔn)則 (屈服點(diǎn)屈服點(diǎn))屈服準(zhǔn)則屈服準(zhǔn)則:屈服準(zhǔn)則是用來聯(lián)系多軸和單軸應(yīng)力狀態(tài)屈服準(zhǔn)則是用來聯(lián)系多軸和單軸應(yīng)力狀態(tài). 試件的拉伸

11、試驗(yàn)提供單軸數(shù)據(jù)，可以很容易的繪制一維應(yīng)力應(yīng)變試件的拉伸試驗(yàn)提供單軸數(shù)據(jù)，可以很容易的繪制一維應(yīng)力應(yīng)變曲線就像本節(jié)前面所提到的那樣曲線就像本節(jié)前面所提到的那樣. 實(shí)際結(jié)構(gòu)通常呈現(xiàn)多軸應(yīng)力狀態(tài)。實(shí)際結(jié)構(gòu)通常呈現(xiàn)多軸應(yīng)力狀態(tài)。 屈服準(zhǔn)則提供了可以和單軸狀態(tài)屈服準(zhǔn)則提供了可以和單軸狀態(tài)相比較的材料應(yīng)力狀態(tài)的標(biāo)量不變測度相比較的材料應(yīng)力狀態(tài)的標(biāo)量不變測度.von Mises 屈服準(zhǔn)則屈服準(zhǔn)則是一個(gè)常用的屈服準(zhǔn)則是一個(gè)常用的屈服準(zhǔn)則 (也稱為八面體剪應(yīng)力或也稱為八面體剪應(yīng)力或 the octahedral shear stress or 能量畸變準(zhǔn)則能量畸變準(zhǔn)則). von Mises 等效應(yīng)等效應(yīng)力定

12、義如下力定義如下:222222621xzyzxyxzzyyxoANSYS BASIC TRAININGMises 屈服準(zhǔn)則屈服準(zhǔn)則在主應(yīng)力空間，在主應(yīng)力空間，von Mises 屈服面是圓柱面屈服面是圓柱面.材料在屈服面內(nèi)呈彈性彈性行為。注意，多軸應(yīng)力狀態(tài)可以存在于圓柱材料在屈服面內(nèi)呈彈性彈性行為。注意，多軸應(yīng)力狀態(tài)可以存在于圓柱面內(nèi)的任何一點(diǎn)。在圓柱面邊上會產(chǎn)生屈服。沒有應(yīng)力狀態(tài)會存在于圓面內(nèi)的任何一點(diǎn)。在圓柱面邊上會產(chǎn)生屈服。沒有應(yīng)力狀態(tài)會存在于圓柱面以外。硬化規(guī)則會描述圓柱面隨響應(yīng)的變化。柱面以外。硬化規(guī)則會描述圓柱面隨響應(yīng)的變化。 彈性彈性塑性塑性 3 2 1 y主應(yīng)力空間主應(yīng)力空間單

13、軸應(yīng)力應(yīng)變單軸應(yīng)力應(yīng)變ANSYS BASIC TRAINING 硬化規(guī)則硬化規(guī)則硬化規(guī)則硬化規(guī)則:硬化規(guī)則描述屈服面的變化（大小，中心，形狀）而導(dǎo)致塑性變形硬化規(guī)則描述屈服面的變化（大小，中心，形狀）而導(dǎo)致塑性變形硬化規(guī)則決定什么時(shí)候材料會隨加載或卸載再次屈服硬化規(guī)則決定什么時(shí)候材料會隨加載或卸載再次屈服 這和彈性、完全理想塑性材料形成鮮明對比，因?yàn)檫@種材料不會出這和彈性、完全理想塑性材料形成鮮明對比，因?yàn)檫@種材料不會出現(xiàn)硬化現(xiàn)象。就是說，屈服面保持固定?，F(xiàn)硬化現(xiàn)象。就是說，屈服面保持固定。彈性彈性塑性塑性加載厚度的屈服面加載厚度的屈服面初始屈服面初始屈服面ANSYS BASIC TRAINI

14、NG各向同性硬化各向同性硬化各向同性硬化各向同性硬化:各向同性硬化表明在塑性變化時(shí)屈服表面均勻膨脹各向同性硬化表明在塑性變化時(shí)屈服表面均勻膨脹. 術(shù)語術(shù)語 各向同性各向同性 這里是指屈服面在所有方向上均勻膨脹，這有別于這里是指屈服面在所有方向上均勻膨脹，這有別于“各向同性各向同性”屈屈服準(zhǔn)則服準(zhǔn)則(從材料的角度）從材料的角度）. 3 2 1 22 y 初始屈服面初始屈服面變形后的屈服變形后的屈服面面ANSYS BASIC TRAINING各向同性硬化各向同性硬化繪制應(yīng)力應(yīng)變曲線可以方便的了解在加載和反向加載過程中的變化繪制應(yīng)力應(yīng)變曲線可以方便的了解在加載和反向加載過程中的變化: y2 注意在隨

15、后的壓縮屈服中，最注意在隨后的壓縮屈服中，最大應(yīng)力等于拉伸階段的最大應(yīng)大應(yīng)力等于拉伸階段的最大應(yīng)力力. 各向同性硬化通常用于大應(yīng)變各向同性硬化通常用于大應(yīng)變和比例加載的仿真分析。它通和比例加載的仿真分析。它通常不用于循環(huán)載荷的分析。常不用于循環(huán)載荷的分析。ANSYS BASIC TRAINING應(yīng)力應(yīng)變的曲線表示應(yīng)力應(yīng)變的曲線表示曲線形狀曲線形狀2種不同類型的曲線表示種不同類型的曲線表示: 雙線性雙線性多線性多線性ANSYS BASIC TRAINING仿真中的塑性總結(jié)仿真中的塑性總結(jié)在仿真中金屬塑性可以作為模型的一部分。但應(yīng)記住以下幾點(diǎn)在仿真中金屬塑性可以作為模型的一部分。但應(yīng)記住以下幾點(diǎn):

16、 金屬塑性金屬塑性處理彈性和非彈性（永久）變形處理彈性和非彈性（永久）變形. 當(dāng)應(yīng)力高于屈服強(qiáng)度時(shí)當(dāng)應(yīng)力高于屈服強(qiáng)度時(shí)就會發(fā)生非彈性或塑性變形。就會發(fā)生非彈性或塑性變形。 當(dāng)卸載后總會有可恢復(fù)的應(yīng)變當(dāng)卸載后總會有可恢復(fù)的應(yīng)變(彈性彈性應(yīng)變）應(yīng)變）. 基于標(biāo)量數(shù)據(jù)的應(yīng)力應(yīng)變曲線通常來自單軸試驗(yàn)。而系統(tǒng)有可能基于標(biāo)量數(shù)據(jù)的應(yīng)力應(yīng)變曲線通常來自單軸試驗(yàn)。而系統(tǒng)有可能承受多軸應(yīng)力狀態(tài)承受多軸應(yīng)力狀態(tài), 因此在仿真中利用因此在仿真中利用Mises 屈服準(zhǔn)則屈服準(zhǔn)則通過標(biāo)量試通過標(biāo)量試驗(yàn)數(shù)據(jù)來近似多軸應(yīng)力狀態(tài)。在這中情況下，因該提供真實(shí)的應(yīng)力驗(yàn)數(shù)據(jù)來近似多軸應(yīng)力狀態(tài)。在這中情況下，因該提供真實(shí)的應(yīng)力應(yīng)變數(shù)

17、據(jù)應(yīng)變數(shù)據(jù). 當(dāng)屈服發(fā)生后，由于當(dāng)屈服發(fā)生后，由于應(yīng)變硬化應(yīng)變硬化屈服點(diǎn)有可能會提高。這就改變了屈屈服點(diǎn)有可能會提高。這就改變了屈服面，同時(shí)它在仿真中的發(fā)展取決于各向同性硬化假設(shè)服面，同時(shí)它在仿真中的發(fā)展取決于各向同性硬化假設(shè) 應(yīng)力應(yīng)變曲線可以表現(xiàn)為應(yīng)力應(yīng)變曲線可以表現(xiàn)為雙線性或多線性曲線雙線性或多線性曲線ANSYS BASIC TRAINING塑性分析實(shí)例塑性分析實(shí)例作業(yè)：考慮金屬塑性的大變形分析作業(yè)：考慮金屬塑性的大變形分析目標(biāo)：比較和對比針對同一模型所進(jìn)行的小變形、大變形和考慮金屬塑目標(biāo)：比較和對比針對同一模型所進(jìn)行的小變形、大變形和考慮金屬塑性的大變形分析結(jié)果性的大變形分析結(jié)果.ANS

18、YS BASIC TRAINING裝配體裝配體 實(shí)體接觸實(shí)體接觸當(dāng)輸入實(shí)體的組合體時(shí)，兩個(gè)實(shí)體之間自動生成接觸。當(dāng)輸入實(shí)體的組合體時(shí)，兩個(gè)實(shí)體之間自動生成接觸。 面對面接觸允許在兩個(gè)實(shí)體邊界上的不匹配的單元劃分面對面接觸允許在兩個(gè)實(shí)體邊界上的不匹配的單元劃分 用戶可以在用戶可以在“Contact” 菜單下，指定探測自動接觸距離的滑塊來菜單下，指定探測自動接觸距離的滑塊來控制容差控制容差A(yù)NSYS BASIC TRAINING裝配體裝配體 實(shí)體接觸實(shí)體接觸四種接觸類型可供選擇：四種接觸類型可供選擇： 綁定的和不分離的接觸是最基礎(chǔ)的線性行為，僅僅需要一次迭代綁定的和不分離的接觸是最基礎(chǔ)的線性行為，

19、僅僅需要一次迭代 無摩擦以及粗糙接觸是非線性行為，需要多次迭代。但是，無摩擦以及粗糙接觸是非線性行為，需要多次迭代。但是， 需要注意的是仍然利用了小變形理論的假設(shè)。需要注意的是仍然利用了小變形理論的假設(shè)。 當(dāng)需要利用這些選項(xiàng)時(shí)，可以在相應(yīng)的菜單下設(shè)當(dāng)需要利用這些選項(xiàng)時(shí)，可以在相應(yīng)的菜單下設(shè)定定 “Actual Geometry (and Specified Offset)” 或或“Adjusted to Touch”，其中允許用戶調(diào)整，其中允許用戶調(diào)整ANSYS模型的間隙到模型的間隙到 剛剛接觸剛剛接觸 的位置。的位置。ANSYS BASIC TRAINING裝配體裝配體 實(shí)體接觸實(shí)體接觸對于

20、高級用戶，接觸的另外一些選項(xiàng)可以進(jìn)行修對于高級用戶，接觸的另外一些選項(xiàng)可以進(jìn)行修改改 方程式可以從方程式可以從 “Pure Penalty” 修改到修改到 “Augmented Lagrange” 或者或者 “MPC”. “MPC” 僅僅適用于綁定的接觸僅僅適用于綁定的接觸 “Augmented Lagrange” 應(yīng)用于規(guī)則的應(yīng)用于規(guī)則的 ANSYS模型中模型中 在綁定的接觸中，純粹的罰函數(shù)法可以想象為在接在綁定的接觸中，純粹的罰函數(shù)法可以想象為在接觸面間施加了十分大的剛度系數(shù)來阻止相對滑動。觸面間施加了十分大的剛度系數(shù)來阻止相對滑動。這個(gè)結(jié)果是在接觸面間的相對滑動可以忽略的情況這個(gè)結(jié)果是在

21、接觸面間的相對滑動可以忽略的情況下得到的。下得到的。 MPC 方程當(dāng)中對接觸面間的相對運(yùn)動定義了約束方程當(dāng)中對接觸面間的相對運(yùn)動定義了約束方程，因此沒有相互的滑動。這個(gè)方程經(jīng)常作為罰方程，因此沒有相互的滑動。這個(gè)方程經(jīng)常作為罰函數(shù)法的最好的替代。函數(shù)法的最好的替代。ANSYS BASIC TRAINING裝配體裝配體 實(shí)體接觸實(shí)體接觸 以下是以下是ANSYS中接觸算法的總結(jié)中接觸算法的總結(jié):ANSYS BASIC TRAINING裝配體裝配體 實(shí)體接觸實(shí)體接觸高級選項(xiàng)高級選項(xiàng) （續(xù)）（續(xù)）: pinball region可以自己定義和顯示出來可以自己定義和顯示出來 pinball region

22、定義了近距離開放式接觸的位定義了近距離開放式接觸的位置。而超出置。而超出pinball region 范圍之外的為遠(yuǎn)距范圍之外的為遠(yuǎn)距離開放式接觸。離開放式接觸。 最初，最初，pinball region 作為十分有效的接觸探作為十分有效的接觸探測器使用，但是它也用于其它方面，例如綁定測器使用，但是它也用于其它方面，例如綁定接觸等。接觸等。 對于綁定或者不分離的接觸，假如間隙或者滲對于綁定或者不分離的接觸，假如間隙或者滲透小于透小于pinball region，則間隙，則間隙/滲透自動被刪滲透自動被刪除。除。 In this case, the gap between the two part

23、s is bigger than the pinball region, so no automatic gap closure will be performed.ANSYS BASIC TRAINING載荷方向載荷方向在大變形分析中，注意載荷的方向及其對結(jié)構(gòu)的作用是很重要的在大變形分析中，注意載荷的方向及其對結(jié)構(gòu)的作用是很重要的載荷類型載荷類型變形前的方向變形前的方向變形后的方向變形后的方向加速度（恒定方向）加速度（恒定方向）集中力，集中力， 彎矩，螺栓彎矩，螺栓載荷載荷 （恒定方向）（恒定方向）壓力（始終垂直于壓力（始終垂直于表面）表面）ANSYS BASIC TRAINING螺栓預(yù)緊載

24、荷螺栓預(yù)緊載荷在在ANSYS Structural中可得到螺栓預(yù)緊載荷中可得到螺栓預(yù)緊載荷 螺栓預(yù)緊載荷施加于單個(gè)圓柱表面上螺栓預(yù)緊載荷施加于單個(gè)圓柱表面上 每個(gè)載荷必須被施加于僅一組圓柱面上每個(gè)載荷必須被施加于僅一組圓柱面上 對多個(gè)載荷，要添加各個(gè)螺栓預(yù)緊載荷分支對多個(gè)載荷，要添加各個(gè)螺栓預(yù)緊載荷分支 通常，在通常，在“Details view” 中要輸入一個(gè)預(yù)加載值中要輸入一個(gè)預(yù)加載值A(chǔ)NSYS BASIC TRAINING非線性求解非線性求解DS 通過自動確定載荷步數(shù)、子步數(shù)以及平衡迭代等，自動進(jìn)行非線性通過自動確定載荷步數(shù)、子步數(shù)以及平衡迭代等，自動進(jìn)行非線性求解求解 。 這樣，這樣， 用戶就不必?fù)?dān)心如何設(shè)置這些參數(shù)。但是，在處理非線性求用戶就不必?fù)?dān)心如何設(shè)置這些參數(shù)。但是，在處理非線性求解時(shí)，理解這些概念還是很重要的，這一點(diǎn)在以后會看到。解時(shí)，理解這些概念還是很重要的，這一點(diǎn)在以后會看到。 在分析