大學(xué)文科數(shù)學(xué)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1大學(xué)文科數(shù)學(xué)大學(xué)文科數(shù)學(xué)第1頁/共51頁 導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在一點處的變化率，它反映函數(shù)在一點導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在一點處的變化率，它反映函數(shù)在一點處的局部變化性態(tài)，而微分中值定理是在理論上給出函處的局部變化性態(tài)，而微分中值定理是在理論上給出函數(shù)在某區(qū)間的整體性質(zhì)與該區(qū)間內(nèi)部一點的導(dǎo)數(shù)之間的數(shù)在某區(qū)間的整體性質(zhì)與該區(qū)間內(nèi)部一點的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。關(guān)系。由此討論函數(shù)極大值和極小值問題。由此討論函數(shù)極大值和極小值問題。 在前面我們介紹了導(dǎo)數(shù)與微分的概念及計算。為了在前面我們介紹了導(dǎo)數(shù)與微分的概念及計算。為了用導(dǎo)數(shù)和微分去解決一些比較復(fù)雜的應(yīng)用間題，并進一用導(dǎo)數(shù)和微分去解決一些比較復(fù)雜的應(yīng)用間題，并進一步研究函

2、數(shù)的整體性質(zhì)，將介紹微分學(xué)應(yīng)用的理論基礎(chǔ)步研究函數(shù)的整體性質(zhì)，將介紹微分學(xué)應(yīng)用的理論基礎(chǔ)微分中值定理。微分中值定理。 在微分中值定理的基礎(chǔ)上，通過求導(dǎo)數(shù)，還可以找到在微分中值定理的基礎(chǔ)上，通過求導(dǎo)數(shù)，還可以找到求若干特殊類型極限的方法求若干特殊類型極限的方法洛必達法則。洛必達法則。 第2頁/共51頁1 1中值定理中值定理局部與整體的局部與整體的紐帶紐帶 1.1 費馬定理費馬定理 l極值問題極大值和極小值l費馬定理第3頁/共51頁 1 費馬定理費馬定理 定義定義1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x)在點在點 x0 的鄰域的鄰域 (x0, x0)內(nèi)有定內(nèi)有定義，若對任何義，若對任何 x (x0, x0)，都

3、有都有 f (x) f (x0)， ( f (x) f (x0) 極值是一個局部性概念，它只是在與極值點鄰近的所極值是一個局部性概念，它只是在與極值點鄰近的所有點的函數(shù)值相比較而言，并不意味著它在函數(shù)的整個定有點的函數(shù)值相比較而言，并不意味著它在函數(shù)的整個定義區(qū)間內(nèi)最大或最小。義區(qū)間內(nèi)最大或最小。 則稱則稱 f (x0)為函數(shù)為函數(shù) f (x)的的極大值（極小值），極大值（極小值），而點而點 x0稱為稱為f (x)的的極大值點極大值點（極小值點極小值點）。）。 函數(shù)的極大值、極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極大值、極小值統(tǒng)稱為極值極值，極大值點、極小，極大值點、極小值點統(tǒng)稱為值點統(tǒng)稱為極值點極值點。 第4頁

4、/共51頁定義定義2 若若 , 則點則點 x0稱為函數(shù)稱為函數(shù) f (x)的的駐點駐點或或穩(wěn)定點穩(wěn)定點。0)(0 xf0)(0 xf第5頁/共51頁xy 23xy 0,0,2)(xxxxxf0)(0 xf第6頁/共51頁2 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上的圖形是一條連續(xù)上的圖形是一條連續(xù)光滑的曲線弧光滑的曲線弧 ，顯然，顯然 是是連接點連接點A(a, f (a)和點和點B(b, f (b)的弦的弦 的的斜率，如圖，容易看出，在斜率，如圖，容易看出，在(a,b)內(nèi)至少存在內(nèi)至少存在一點一點使弧使弧 上的點上的點C(, f ()的切線與弦的切線與弦

5、平行。平行。 ABABabafbf)()(ABAB圖圖y o x ACBab 由上述的討論，我們可以得到如下定理由上述的討論，我們可以得到如下定理拉格朗日中拉格朗日中值定理。值定理。 第7頁/共51頁)()()()(bafabafbf拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 設(shè)函數(shù) f (x)滿足條件： （1）在閉區(qū)間a,b上連續(xù)； （2）在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)； 則在(a,b)內(nèi)至少存在一點 ，使得 )()()()(baabfbfaf或第8頁/共51頁由拉格朗日定理可以得出兩個重要的推論由拉格朗日定理可以得出兩個重要的推論。 證證 在在(a,b)內(nèi)任意取兩點內(nèi)任意取兩點 x1，x2，不妨設(shè)不妨設(shè)

6、x1 0時，有 證證 令令f (t) = ln(1t)，則則 f (t)在在0，x上滿足拉格朗日定上滿足拉格朗日定理條件，且理條件，且 ，在，在0，x上應(yīng)用拉格朗日定理，上應(yīng)用拉格朗日定理，有有 ttf11)(第13頁/共51頁由于由于11111x)0()0(11)01ln()1ln(xxx所以有所以有xxxx11從而有從而有.)1ln(1xxxx第14頁/共51頁 證證 考慮函數(shù) f (x) = sinx，它在(,)上連續(xù)且可導(dǎo)，則對任意a,b (,) ，由拉格朗日中值定理有 例例2 求證不等式 babasinsin，之間在),()(cossinsinbabababababacossinsi

7、n所以有所以有第15頁/共51頁 例例3 設(shè)函數(shù) f (x)在 a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。證明：在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點 ，使得 ).()()()(ffabaafbbf 分析分析 利用微分中值定理證明某一命題時，關(guān)鍵問題是：對哪個函數(shù)，在什么區(qū)間上，用哪個定理。解決了這些問題，證明命題成立就容易了。如從本題的結(jié)論看出，記 F (x) x f (x) ，則本題結(jié)論即為 ，只需對輔助函數(shù)F (x) ，用拉格朗日中值定理。 )()()(fabaFbF 例例4 證明：若函數(shù) f (x)在 (,)內(nèi)滿足關(guān)系式 且 f (0)1 ，則 f (x) ex .)(xf).(xf第16頁/共51

8、頁 在前面介紹極限時，我們計算過兩個無窮小量以及兩個無在前面介紹極限時，我們計算過兩個無窮小量以及兩個無窮大量之比的極限。在那里我們都是具體問題具體分析窮大量之比的極限。在那里我們都是具體問題具體分析，屬于特定方法，無一般法則可循，這里我們將用導(dǎo)數(shù)，屬于特定方法，無一般法則可循，這里我們將用導(dǎo)數(shù)為工具，給出計算極限為工具，給出計算極限 的一般方法的一般方法洛必達法則。洛必達法則。 2 2 洛必達法則洛必達法則 第17頁/共51頁 定理定理1 如果函數(shù)如果函數(shù) f (x) 和和 g(x)滿足：滿足：；時，當0)(, 0)() 1 (xgxfax型型不不定定式式0 00 01 1. . (2)在點

9、在點a的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，即的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，即 存在存在，且，且 )(),(xgxf; 0)( xg (3)極限極限 存在（或為無窮大）存在（或為無窮大）. )()(limxgxfax則則)()(lim)()(limxgxfxgxfaxax第18頁/共51頁 f (a) = g (a) = 0求上式兩邊的極限，得時顯然，當, aax 證證 我們在點我們在點 x = a 處補充定義函數(shù)值處補充定義函數(shù)值 則則 f (x) 與與 g(x)在點在點 a 處連續(xù)。設(shè)處連續(xù)。設(shè) x為此鄰域內(nèi)任意一點，若為此鄰域內(nèi)任意一點，若 x a ，(或或 x a )，則在區(qū)間，則在區(qū)間a, x (或或x, a )

10、上，上， f (x) 和和 g(x)滿足柯西定理滿足柯西定理的全部條件，因此有的全部條件，因此有 )()()()()()()()()(axxagfagxgafxfxgxf或)()(lim)()(lim)()(limxgxfgfxgxfaxaax第19頁/共51頁)()(lim)()(lim)()(limxgxfxgxfxgxfaxaxax 注注3 如果把定理中的如果把定理中的a換為換為，其他條件不變，那么定理仍，其他條件不變，那么定理仍然成立，即然成立，即 ax 注注2 如果如果 時，時， 仍為仍為 型不定式，并且型不定式，并且 和和 像像 f (x) 與與 g(x)一樣滿足定理的條件，則可繼

11、續(xù)使用洛必達法則，一樣滿足定理的條件，則可繼續(xù)使用洛必達法則，即即 )()(xgxf00)(xf )( xg )()(lim)()(limxgxfxgxfxx 注注1 本定理的意義是：當滿足定理的條件時，本定理的意義是：當滿足定理的條件時， 型不定式型不定式 的極限可以化為導(dǎo)數(shù)之比的極限可以化為導(dǎo)數(shù)之比 的極限。的極限。 )()(xgxf00)()(xgxf第20頁/共51頁xxxsinlim0例例5 51coslim0 xx1 用洛必達法則很容易驗證第一個重要極限。用洛必達法則很容易驗證第一個重要極限。 .cos1lim20 xxx求例例6 6第21頁/共51頁.)1ln(lim20 xxx

12、求例例7 7.23lim331xxxxx求例例8 8 運用洛必達法則計算運用洛必達法則計算 型不定式時，應(yīng)逐步考察是否為型不定式時，應(yīng)逐步考察是否為 ，如果不是，則不能繼續(xù)使用該法則，否則會導(dǎo)至錯誤。如果不是，則不能繼續(xù)使用該法則，否則會導(dǎo)至錯誤。 例如例如 ，上例中比式，上例中比式0000當當 時不是時不是 型。如錯誤地再使用洛必達法則，則型。如錯誤地再使用洛必達法則，則將得到錯誤的結(jié)果：將得到錯誤的結(jié)果： 00133322xx0 x166lim1333lim1221xxxxxx第22頁/共51頁型型不不定定式式2 2. . 定理定理2 如果函數(shù)如果函數(shù) f (x) 和和 g(x)滿足：滿足

13、：；時，當)(,)() 1 (xgxfax (2)在點在點a的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，即的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，即 存在，且存在，且 )(),(xgxf; 0)( xg (3)極限極限 存在（或為無窮大）存在（或為無窮大）. )()(limxgxfax 則則)()(lim)()(limxgxfxgxfaxax 注注1 定理證明從略。如果定理證明從略。如果 和和 像像f (x) 和和 g(x)一樣滿一樣滿足定理的條件，則可繼續(xù)應(yīng)用洛必達法則。足定理的條件，則可繼續(xù)應(yīng)用洛必達法則。 )(xf )(xg 注注2 如果定理中的如果定理中的a換為換為，其他條件不變，則定理仍然成立。，其他條件不變，則定理仍然成立。 第

14、23頁/共51頁)(.lnlimNnxxnx求例例9 9.1arctan2limxxx求例例1 10 0.)1ln(2tanlnlim1xxx求例例1 11 1第24頁/共51頁.lnlim0 xxx求例例1 12 2).ln111(lim1xxx求例例1 13 3 3. 其他類型不定式極限其他類型不定式極限 ， 和 ， 等類型的不定式，這此不定式都可以通過適當?shù)淖冃位癁?型或 型，現(xiàn)以例示之 。100000 型， 型是兩種最基本的不定式，除此以外，還有 ， 000.limsin0 xxx求例例1 14 4.)sin(coslim210 xxxxx 求例例1 15 5.)1(lim20 xxx

15、求例例1 16 6第25頁/共51頁 在初等數(shù)學(xué)中我們用初等數(shù)學(xué)的方法研究過函數(shù)的單調(diào)性和某些簡單函數(shù)的極值及最大值和最小值。但是這些方法使用范圍小，并且有些需借助某些特殊技巧，討論難度較大。本節(jié)我們以導(dǎo)數(shù)為工具,介紹解決上述問題的簡便而又具有一般性的方法。第26頁/共51頁 根據(jù)拉格朗日中值定理，容易得到如下定理。 定理定理 設(shè)函數(shù) f (x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那么 f (x)在 (a,b)內(nèi)單調(diào)增加(單調(diào)減少)的充要條件是：),(),0)(0)(baxxfxf而 只在有限個點處成立。0)( xf第27頁/共51頁 推論推論 設(shè)函數(shù) f (x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那么 （1）若在(a

16、,b)內(nèi) ，則 f (x)在 (a,b)上單調(diào)增加； 0)( xf （2）若在(a,b)內(nèi) ，則 f (x)在 (a,b)上單調(diào)減少。0)( xf 證證 我們只證(1)。 在閉區(qū)間(a,b)內(nèi)任取兩點 x1，x2，不妨設(shè)x1 0。即 f (x1) f (x2)。從而 f (x)在(a,b)上單調(diào)增加。 0)(f第28頁/共51頁 例例17 討論函數(shù)討論函數(shù) f (x) = xsinx在在0, 2上的單調(diào)上的單調(diào)性。性。 解解 因為在因為在(0, 2)內(nèi)有內(nèi)有0cos1)(xxf所以函數(shù)所以函數(shù) f (x) = xsinx在在0, 2上是單調(diào)增加的。上是單調(diào)增加的。 例例18 討論函數(shù)討論函數(shù)

17、f (x) = exx的單調(diào)性。的單調(diào)性。 解解 函數(shù)函數(shù) f (x) 的定義域的定義域D(，)，因為因為第29頁/共51頁1)(xexf當當x(, 0)時，時， ，所以函數(shù)，所以函數(shù) f (x) = exx在在(, 0上上是單調(diào)減少的；當是單調(diào)減少的；當x(0,)時，時， ，所以函數(shù)，所以函數(shù) f (x) = exx在在0,)上是單調(diào)增加的。上是單調(diào)增加的。0)( xf0)( xf 這里函數(shù)這里函數(shù) f (x) = exx在定義區(qū)間在定義區(qū)間(,)上不具有單調(diào)性，它上不具有單調(diào)性，它的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) 在在(,)不保持固定的符號。在點不保持固定的符號。在點 x = 0處處 ，這個導(dǎo)數(shù)等于零的點將定

18、義區(qū)間劃分成兩個部分區(qū)間，而這個導(dǎo)數(shù)等于零的點將定義區(qū)間劃分成兩個部分區(qū)間，而 在每在每個部分區(qū)間分別保持固定符號，因而函數(shù)個部分區(qū)間分別保持固定符號，因而函數(shù) f (x)在每個部分區(qū)間上是單在每個部分區(qū)間上是單調(diào)的。調(diào)的。)(xf )(xf 0)( xf 一般地，在將函數(shù)的定義區(qū)間劃分為部分區(qū)間而分別討論函數(shù)在一般地，在將函數(shù)的定義區(qū)間劃分為部分區(qū)間而分別討論函數(shù)在各部分區(qū)間的單調(diào)性時，除了要考慮使得各部分區(qū)間的單調(diào)性時，除了要考慮使得 的點之外，還要的點之外，還要考慮考慮 不存在的點。不存在的點。)(xf 0)( xf第30頁/共51頁 例例19 求函數(shù)求函數(shù) f (x) = (x1)24

19、的單調(diào)區(qū)間。的單調(diào)區(qū)間?？梢?，運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性比用初等方法簡單的多?？梢?，運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性比用初等方法簡單的多。 解解 函數(shù)函數(shù) f (x) 的定義域是的定義域是(,)，由，由 可可得得 x=1。當。當 x 1時時 ，所以函數(shù)的單，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是調(diào)遞減區(qū)間是(,1) ，單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是(1,) 。0)1(2)(xxf0)( xf0)( xf第31頁/共51頁 ex 1x此不等式告訴我們：除了點此不等式告訴我們：除了點(0,1)之外，曲線之外，曲線 y = ex 在其他點處始終位于直線在其他點處始終位于直線 y = 1x的上方，如圖。的上方，如圖。 先求出

20、先求出 ，那么使，那么使 的點是的點是 x 0，當，當 x 0時時 , 。由推論知，當。由推論知，當 x 0時時 f (x)單調(diào)增加，所以單調(diào)增加，所以 f (0) 0是函數(shù)是函數(shù)f (x) 的最小的最小值，并且當值，并且當 x 0時，有時，有 f (x) f (0) 0 ，即當，即當 x 0時有時有1)(xexf0)( xf0)( xf0)( xfy o x 1y1 = exy = x+1 證證 作輔助函數(shù)作輔助函數(shù) f (x) = ex 1x ，因為因為 f (x) = 0 ，所以我們只需，所以我們只需證明：當證明：當 x 0時，時， f (x) 0。 例例20 證明：當證明：當 x 0時

21、，時，ex 1x。第32頁/共51頁 例例21 確定函數(shù)確定函數(shù) f (x) = x33x的單調(diào)區(qū)間。的單調(diào)區(qū)間。用這兩個點把函數(shù)用這兩個點把函數(shù) f (x)的定義域分成三個區(qū)間：的定義域分成三個區(qū)間： 解解 函數(shù)函數(shù) f (x) 的定義域的定義域 D(,)，因為，因為)1)(1(333)(2xxxxf令令 ，解得，解得0)( xf (, 1， 1, 1 ，1,) 當當 x(, 1)時，時， ，因此，因此函數(shù)函數(shù) f (x)在在(, 1上是單調(diào)增加的；上是單調(diào)增加的；當當 x(1, 1)時，時， ，因此函數(shù)，因此函數(shù) f (x)在在1, 1上是單調(diào)減少的；當上是單調(diào)減少的；當 x(1,)時，時

22、， ，因此函數(shù)，因此函數(shù)f (x)在在1,)上是單調(diào)增加的上是單調(diào)增加的(如圖如圖)。0)( xf0)( xf0)( xfy o x 1 1 2 21, 121xxy = f (x) 第33頁/共51頁 例例22 證明不等式證明不等式 x ln(1x) ( x 0)xxxxf1111)( 最后一個例子是利用函數(shù)的單調(diào)性來討論方程在某區(qū)間內(nèi)根的個數(shù)。最后一個例子是利用函數(shù)的單調(diào)性來討論方程在某區(qū)間內(nèi)根的個數(shù)。 證證 設(shè)設(shè) f (x) xln(1x) ，則在上連續(xù)，且，則在上連續(xù)，且 x ln(1x) ( x 0)當當 x 0時，時， ，所以函數(shù)，所以函數(shù) f (x)在在0,)上是單調(diào)增加的，又上

23、是單調(diào)增加的，又 f (0) 0，從而，當，從而，當 x 0時，有時，有 f (x) f (0)，即，即0)( xf 例例23 證明方程證明方程 x3x22x10在區(qū)間在區(qū)間(0, 1)內(nèi)有且僅有一個實根。內(nèi)有且僅有一個實根。第34頁/共51頁 3.2 函數(shù)極值的判別法函數(shù)極值的判別法 定義定義 設(shè)函數(shù) f (x)在點 x0 的鄰域 (x0, x0)內(nèi)有定義，若對任何 x (x0, x0)，都有 f (x) f (x0)， ( f (x) f (x0) 顯然，極值是一個局部性概念，它只是在與極值點鄰近的所有點的函數(shù)值相比較而言，并不意味著它在函數(shù)的整個定義區(qū)間內(nèi)最大或最小。 則稱 f (x0)

24、為函數(shù) f (x)的極大值（極小值）極大值（極小值），而點 x0稱為f (x)的極大值點（極小值點）極大值點（極小值點）。 定義定義4 若 , 則點 x0稱為函數(shù) f (x)的駐點駐點或穩(wěn)定點穩(wěn)定點。 0)(0 xf 函數(shù)的極大值、極小值統(tǒng)稱為極值，極值，極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點。極值點。 如果 f (x)在點 x0不可導(dǎo)， x0也有可能是 f (x)的極值點。例如函數(shù) 第35頁/共51頁 ，它x0在處不可導(dǎo)，x0是它的極小值。xy 以上事實告訴我們， f (x)的極值點只能是 f (x)的駐點或?qū)?shù)不存在的點，這兩種點稱為 f (x)的可能極值點可能極值點。可能極值點未必一定是極值點，

25、例如，對于函數(shù) y x3 ，有 ， x0是函數(shù)的駐點，但函數(shù)在(,)內(nèi)單調(diào)增加， x0不是函數(shù)的極值點。又如，函數(shù) 0,0,2)(xxxxxf23xy 在處不可導(dǎo)，但由于函數(shù)單調(diào)增加，不是函數(shù)的極值點。 既然定義4給出的只是極值點的必要條件，那么我們根據(jù)定義4或由函數(shù)的不可導(dǎo)點而求出一個函數(shù)的可能極值點之后，還必須進一步加以判定，這些點是不是極值點以及是極大值點還是極小值點。下面，給出極值點的兩個充分條件。第36頁/共51頁 判別法則判別法則I （第一充分條件）第一充分條件） （2） . 0)(0 xf 設(shè)函數(shù)滿足：設(shè)函數(shù)滿足： （1）在點在點 x0鄰域內(nèi)可導(dǎo)；鄰域內(nèi)可導(dǎo)； 那么那么 （1）若

26、在若在 x0左側(cè)附近左側(cè)附近 ，在，在 x0右側(cè)附近右側(cè)附近 ，則，則0)( xf0)( xff (x0)為極大值。為極大值。 （2）若在若在 x0左側(cè)附近左側(cè)附近 ，在，在 x0右側(cè)附近右側(cè)附近 ，則，則 f (x0)為極大值。為極大值。0)( xf0)( xf （3）如果）如果 在在 x0左右附近不變號，則左右附近不變號，則 f (x)在點在點 x0處無極值。處無極值。 )(xf 第37頁/共51頁 同理可證（2），而（3）是顯然的。 證證 （1）當 x (x0, x0)時 ，則f (x)在 (x0, x0)內(nèi)單調(diào)增加，所以 f (x0) f (x) 。當x (x0 , x0)時 ，則f

27、(x)在(x0, x0)內(nèi)單調(diào)減少，所以 f (x0) f (x)即對x (x0, x0)(x0 , x0) ，總有 f (x0) f (x) ，所以 f (x0)為f (x)的極大值。 0)( xf0)( xf 注注 在證明中，并未要求 一定存在，例如，x = 0是函數(shù) 的極小值點，但此時 并不存在。 )(xf xxf)()0(f 例例24 求 的極值。 3131)(23xxxf 解解 令 得駐點 x1= 0 , x2= 2 , 由于 0)2(2)(3xxxxxf 在區(qū)間(,)內(nèi)處處存在，因此除 x = 0，2外沒有極值點了，列表如下： )(xf 第38頁/共51頁于是得知于是得知 為極大值

28、為極大值 31)0(f)(xf (2,)102(0, 2)00(,0)f (x)x31 為極小值。為極小值。 1)2(f 例例25 求求 函數(shù)函數(shù) 的極值。的極值。 32)1()(xxxf 解解 f (x) 的定義域的定義域 D(,)， 求導(dǎo)數(shù)，得求導(dǎo)數(shù)，得0)2(2)(3xxxxxf因為因為 ， 不存在，所以不存在，所以 f (x)的可能極值點為的可能極值點為 x0和和 ，列表討論如下：，列表討論如下： 0)52(f)0(f 52x第39頁/共51頁)(xf ( ,)極小值0(0, )不存在0(,0)f (x)x525252極大值0325453第40頁/共51頁因此存在點因此存在點 x0的某

29、個鄰域，使在該鄰域內(nèi)恒有的某個鄰域，使在該鄰域內(nèi)恒有 判別法則判別法則II（第二充分條件）設(shè)（第二充分條件）設(shè) ， 存在，那么存在，那么 0)(0 xf)(0 xf （1）如果）如果 ，則，則 f (x0)為為 f (x)的極小值。的極小值。 0)(0 xf （2）如果）如果 ，則，則 f (x0)為為 f (x)的極大值。的極大值。 0)(0 xf 證證 由導(dǎo)數(shù)定義及由導(dǎo)數(shù)定義及 ，得，得 0)(0)(00 xfxf和0)(lim)()(lim)(000000 xxxfxxxfxfxfxxxx 同理可證（同理可證（2）。）。 所以，當所以，當 x x0時，時， , 由判別法則由判別法則I知，

30、知，為極小值。為極小值。 0)( xf0)( xf)(0)(00 xxxxxf第41頁/共51頁 ，所以，所以 f (1) = 2為極大值。為極大值。06)1( f 例例26 求函數(shù)求函數(shù) f (x) = x33 x 的極值。的極值。 ,6)(),1)(1(333)(2xxfxxxxf 解解 令令 得得 x = 1，由于由于 0)( xf ，所以，所以 f (1) = 2為極大值。為極大值。06)1 ( f ，而點，而點 x = 0卻是極小值點。卻是極小值點。0)()(00 xfxf 注注 當當 ，定理失效。例如函數(shù)，定理失效。例如函數(shù) f (x) = x3，有有 ，而點，而點 x = 0不是極值點；函數(shù)不是極值點；函數(shù) f (x) = x4，有有0)()(00 xfxf0)()(00 xfxf第42頁/共51頁 3.3 函數(shù)的最大值和最小值函數(shù)的最大值和最小值 前面我們已經(jīng)講過，閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù) f (x)必存在最大值與最小值。如何求函數(shù)的最大值與最小值呢？一般說來，可以由區(qū)間端點處函數(shù)值