第三講三次樣條函數

1、計算方法計算方法第第3講講 樣條函數樣條函數本講主要問題本講主要問題一、一、樣條函數樣條函數二、三次樣條插值二、三次樣條插值三、三次樣條函數的構造三、三次樣條函數的構造 分段插值存在著一個缺點分段插值存在著一個缺點, 就是會導致插就是會導致插值函數在子區(qū)間的端點值函數在子區(qū)間的端點(銜接處銜接處)不光滑不光滑, 即導即導數不連續(xù)數不連續(xù), 對于一些實際問題對于一些實際問題, 不但要求一階導數不但要求一階導數連續(xù)連續(xù), 而且要求二階導數連續(xù)而且要求二階導數連續(xù). 為了滿足這些要求為了滿足這些要求, 人們人們引入了樣條插值的概念引入了樣條插值的概念. 所謂所謂 “樣條樣條” (spline)是工程

2、繪圖中的一種工具是工程繪圖中的一種工具, 它是有它是有彈彈性的細長木條性的細長木條. 繪圖時繪圖時, 用細木條連接相近的幾個結點用細木條連接相近的幾個結點, 然后然后再進行拼接再進行拼接,連接全部結點連接全部結點, 使之成為一條光滑曲線使之成為一條光滑曲線, 且在結且在結點處具有連續(xù)的曲率點處具有連續(xù)的曲率. 樣條函數就是對這樣的曲線進行數學模擬得到的樣條函數就是對這樣的曲線進行數學模擬得到的. 它除它除了要求給出各個結點處的函數值外了要求給出各個結點處的函數值外, 只需提供兩個邊界點處只需提供兩個邊界點處導數信息導數信息, 便可滿足對光滑性的不同要求便可滿足對光滑性的不同要求. 定義定義 設

3、設f(x)是區(qū)間是區(qū)間a, b上的一個連上的一個連續(xù)可微函數續(xù)可微函數, 在區(qū)間在區(qū)間a, b上給定一組節(jié)點上給定一組節(jié)點: a=x0 x1x2xn=b設函數設函數S(x)滿足條件滿足條件:一、樣條函數一、樣條函數 (1) S(x)在每個子區(qū)間在每個子區(qū)間xi , xi+1(i=0, 1, 2, , n1)上是次數不超過上是次數不超過m的多項式的多項式; (2) S(x)在區(qū)間在區(qū)間a, b上有上有m1階連續(xù)導數階連續(xù)導數.則稱則稱S(x)是定義在是定義在a, b上的上的m次樣條函數次樣條函數, x0, x1, x2, , xn稱為稱為樣條節(jié)點樣條節(jié)點, 其中其中x1, , xn1稱為稱為內結

4、點內結點, x0,xn 稱為稱為邊界節(jié)點邊界節(jié)點。 當當m=3時時, 便成為最常用的便成為最常用的三次樣條函數三次樣條函數. 樣條插值的樣條插值的思想思想: 逐段選取適當的逐段選取適當的低次多項式低次多項式, 按一定的光滑性要求連接起來按一定的光滑性要求連接起來構成插值函數構成插值函數.二、三次樣條插值二、三次樣條插值 定義定義 設給定區(qū)間設給定區(qū)間a, b上上n+1個點個點 a=x0 x1x2 xn=b, 以及相應的函數值以及相應的函數值 yi=f(xi), i=0, 1, , n. 如果如果函數函數S(x)滿足滿足: (1)在每個子區(qū)間在每個子區(qū)間 xk , xk+1(k=0,1,n1)上

5、上, S(x)是不超過三次的多項式是不超過三次的多項式, 且且S(xi )=yi, i=0, 1, , n; (2) S(x)、 S (x)、 S (x)在在a, b上連續(xù)上連續(xù).則稱則稱S(x)是是f(x)在節(jié)點在節(jié)點x0, x1, x2, , xn上的上的三次樣條插三次樣條插 值函數值函數. 例例1 給定區(qū)間給定區(qū)間0, 3上上 3 個點的函數個點的函數值值 f(0)=0, f(1)=2, f(3)=4, 試求數試求數 a, b, c, d, 使函數使函數 S(x)為給定點上的三次樣條插值為給定點上的三次樣條插值函數函數. 其中其中232,01( ).1, 13xxdxS xaxbxcxx

6、答案答案:1,4,2,0.abcd 給定給定n+1個樣點個樣點(xi, yi )(i=0, 1, , n),確定一個三次樣條插值函數需要確定一個三次樣條插值函數需要4n個獨個獨立條件立條件. 在定義中在定義中, 已指定了已指定了4n2個條件個條件, 即即00(), ()()(),(1,2,.1)()(),()(),nniiiiiiiS xyS xySxSxyinSxSxSxSx所以所以, 一般需補充指定一般需補充指定2個個邊界條件邊界條件.三、三次樣條函數的構造三、三次樣條函數的構造 三彎矩插值法三彎矩插值法 記記 Mi = S (xi), f(xi)= fi= yi , 考慮它在任考慮它在任

7、一一區(qū)間區(qū)間xi, xi+1上的形式上的形式. 根據三次樣條的定義可知根據三次樣條的定義可知, S(x)的二階導數的二階導數 S (x)在每一個子區(qū)間在每一個子區(qū)間xi, xi+1( i=0, 1, 2, , n1)上都是線性函數上都是線性函數. 于是在于是在xi, xi+1上上 S(x)=Si(x)的二階導數表示成的二階導數表示成111( ) , ,iiiiiiiixxxxSxMMxxxhh其中其中 hi= xi+1xi . 對對S (x)連續(xù)積分兩次連續(xù)積分兩次, 并利用插值并利用插值條件條件S(xi)= yi , 得到得到3311111()()( )66 ()()66iiiiiiiiii

8、iiiiiixxxxS xMMhhyMyMhxxhxxhh1,iixx x只要能求出所有的只要能求出所有的Mi, 就能求出三次就能求出三次樣條插值函數樣條插值函數S(x).221111()()( )22 6iiiiiiiiiiiixxxxS xMMhhyyMMhh 下面考慮下面考慮 Mi 的求法的求法. 由連續(xù)性由連續(xù)性 S(xi )= S(xi+), (i=1, 2, , n1) 得得 iMi 1+2Mi+iMi+1= di 1111111,6()iiiiiiiiiiiiiiihhhyyyydhhhh 其中其中該方程組有該方程組有n1個方程個方程, 但有但有n+1個變量個變量Mi. 下面介紹

9、幾種常用的邊界條件下面介紹幾種常用的邊界條件 第第1型邊界條件型邊界條件: 已知已知f(x)在兩端點的導數在兩端點的導數f (a)和和f (b), 要求要求 S(a) = f (a), S(b) = f (b) 第第2型邊界條件型邊界條件: 已知已知f(x)在兩端點的二階導數在兩端點的二階導數f (a)和和f (b) ,要求要求 S (a)=M0 = f (a), S (b)=Mn= f (b)特別當特別當 S (a)= S (b) =0時時, S(x)稱為稱為自然三次樣條自然三次樣條. 第第3型邊界條件型邊界條件： 已知已知f(x)是以是以b a為周期的周期函數為周期的周期函數, 要求要求S

10、(x)滿滿 足周期條件足周期條件 S(a) = S(b), S(a+)= S(b), S (a+)= S (b) 三次樣條插值問題加上第三次樣條插值問題加上第 i 型邊界型邊界條件稱為第條件稱為第 i型插值問題型插值問題(i1, 2, 3). 可可以證明第以證明第 i 型插值問題的解是存在且唯一的型插值問題的解是存在且唯一的.他們對應如下的方程組他們對應如下的方程組:000111122221111220222 nnnnnnnMdMdMdMdMd對于第對于第1型插值問題型插值問題: 00100001111, 6 (),1, 6(). nnnnnnndyyhyhdyyyhh對于第對于第2型插值問題

11、型插值問題: 0000, 2, 0, 2. nnndydy對于第對于第3型插值問題型插值問題: 0112 nnnnnnMMMMMd1110111(), 6()() 其其中中nnnnnnnnnnhhhdyyhyyhhh 以上各組條件與前述方程組聯立以上各組條件與前述方程組聯立,可以解出未知參數可以解出未知參數 M0, M1, , Mn, 然然后代入后代入S(x) 表達式表達式, 即可求得樣條函數即可求得樣條函數. 上面構造方法中上面構造方法中 Mi 相應于力學中細梁在相應于力學中細梁在 xi 處處截面的彎矩截面的彎矩, 每一個方程中又至多出現相鄰的三個每一個方程中又至多出現相鄰的三個Mi, 通常

12、稱為通常稱為三彎矩法三彎矩法. 求三次樣條插值函數的步驟歸納為求三次樣條插值函數的步驟歸納為: (1)確定邊界條件確定邊界條件, 判定是第幾型插判定是第幾型插值問題值問題. (2)根據所確定的條件計算各值根據所確定的條件計算各值, 形成方程組形成方程組. (3)解方程組解方程組, 求得求得M0, M1 , M2, Mn. (4)將求得的將求得的 Mi 值代回值代回 S(x)的表達式中的表達式中, 從而可從而可求得函數求得函數 y=f(x)在任一點的近似值在任一點的近似值S(x). 例例2 給定函數表給定函數表, 求自然三次樣條求自然三次樣條插值函數插值函數, 并求并求f(3).1 3 4 2y1 2 4 5x答案答案:32323171887314885934881(1)(1) , 1 , 2( )3(2)(2)(2) ,2 , 44(4)(4)(4) ,4 , 5xxxS xxxxxxxxx25. 48183473)3()3( Sf 練習練習 已知函數已知函數 f(x)的數值表如下：的數值表如下： 試求試求 f(x) 在在2,