2021年人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊課時(shí)同步檢測6.1.3《相等向量與共線向量》（解析版）

1、第六章 平面向量及其應(yīng)用6.1.3相等向量與共線向量 1、 基礎(chǔ)鞏固1下列關(guān)于空間向量的命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）（1）長度相等、方向相同的兩個(gè)向量是相等向量；（2）平行且模相等的兩個(gè)向量是相等向量；（3）若，則； （4）兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)與終點(diǎn)相同A0B1C2D3【答案】B【詳解】由相等向量的定義知（1）正確；平行且模相等的兩個(gè)向量也可能是相反向量，（2）錯(cuò)；方向不相同且長度相等的兩個(gè)是不相等向量，（3）錯(cuò)；相等向量只要求長度相等、方向相同，而表示兩個(gè)向量的有向線段的起點(diǎn)不要求相同，（4）錯(cuò)，2給出下列命題：零向量的長度為零，方向是任意的；若都是單位向量，則；向量與相等則所有正確

2、命題的序號是（ ）ABCD【答案】A【詳解】根據(jù)零向量的定義可知正確；根據(jù)單位向量的定義可知，單位向量的模相等，但方向不一定相同，故兩個(gè)單位向量不一定相等，故錯(cuò)誤；向與互為相反向量，故錯(cuò)誤3將向量向右平移1個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，所得向量的坐標(biāo)為（ ）ABCD【答案】A【詳解】因?yàn)閷⑾蛄窟M(jìn)行平移變換不改變向量的長度和方向，所以平移以后的向量與原向量相等，所以向量向右平移1個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，所得向量的坐標(biāo)為.4下列關(guān)于向量的結(jié)論：（1）若，則或；（2）向量與平行，則與的方向相同或相反；（3）起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向量與同向，且，則其中正確的序號為（

3、）A（1）（2）B（2）（3）C（4）D（3）【答案】D【詳解】（1）若，由于的方向不清楚，故不能得出或，故（1）不正確.（2）由零向量與任何向量平行，當(dāng)向量與平行時(shí)，不能得出與的方向相同或相反，故（2）不正確.（3）由向量的相等的定義，起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；故（3）正確.（4）向量不能比較大小，故（4）不正確.5以下說法正確的是（ ）A若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合B零向量沒有方向C共線向量又叫平行向量D若和都是單位向量，則【答案】C【詳解】只要兩個(gè)向量的方向相同，模長相等，這兩個(gè)向量就是相等向量，故A錯(cuò)誤，零向量是沒有方向的向量，B錯(cuò)誤；共線向量是方向相

4、同或相反的向量，也叫平行向量，C正確；若，都是單位向量，兩向量的方向不定，D錯(cuò)誤；6下列命題正確的是（ ）A若與共線，與共線，則與共線B三個(gè)向量共面，即它們所在的直線共面C若，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使D零向量是模為，方向任意的向量【答案】D【詳解】A選項(xiàng)，若，則根據(jù)零向量方向的任意性，可的與共線，與共線；但與不一定共線，故A錯(cuò)；B選項(xiàng)，因?yàn)橄蛄渴强梢宰杂梢苿?dòng)的量，因此三個(gè)向量共面，其所在的直線不一定共面；故B錯(cuò)；C選項(xiàng)，根據(jù)共線向量定理，若，其中，則存在唯一的實(shí)數(shù)使；故C錯(cuò)；D選項(xiàng)，根據(jù)零向量的定義可得，零向量是模為，方向任意的向量；即D正確.7下列說法錯(cuò)誤的是（ ）A向量的長度與向量的長度相等B

5、零向量與任意非零向量平行C長度相等方向相反的向量共線D方向相反的向量可能相等【答案】D【詳解】A.向量與向量的方向相反，長度相等，故A正確；B.規(guī)定零向量與任意非零向量平行，故B正確；C.能平移到同一條直線的向量是共線向量，所以長度相等，方向相反的向量是共線向量，故C正確；D.長度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，8判斷下列命題：兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的非零向量，其終點(diǎn)必相同；若，則與的方向相同或相反；若且，則；若，則其中正確的命題個(gè)數(shù)為（ ）A0B1C2D3【答案】B.【詳解】，兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的非零向量，其終點(diǎn)必相同，根據(jù)相等向量的知識可知是正確的.，若

6、，則可能為零向量，方向任意，所以錯(cuò)誤.，若且，則可能為零向量，此時(shí)不一定平行，所以錯(cuò)誤.，向量既有長度又有方向，所以向量不能比較大小，所以錯(cuò)誤.故正確的命題有個(gè).9（多選）若四邊形ABCD是矩形，則下列命題中正確的是（ ）A共線B相等C模相等，方向相反D模相等【答案】ACD【詳解】四邊形ABCD是矩形，,所以共線，模相等,故A、D正確;矩形的對角線相等,|AC|=|BD|,模相等,但的方向不同，故B不正確;|AD|=|CB|且ADCB，所以的模相等，方向相反，故C正確.10（多選）如圖所示，梯形為等腰梯形，則下列關(guān)系正確的是（ ）ABCD【答案】BD【詳解】解：與顯然方向不相同，故不是相等向量

7、，故錯(cuò)誤；與表示等腰梯形兩腰的長度，所以，故正確；向量無法比較大小，只能比較向量模的大小，故錯(cuò)誤；等腰梯形的上底與下底平行，所以，故正確；11（多選）下列說法中正確的是（ ）A模相等的兩個(gè)向量是相等向量B若，分別表示，的面積，則C兩個(gè)非零向量,，若，則與共線且反向D若，則存在唯一實(shí)數(shù)使得【答案】BC【詳解】相等向量是大小相等、方向相同的向量，向量的模相等，但方向不一定相同，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)AC的中點(diǎn)為M，BC的中點(diǎn)為D，因?yàn)?所以，即，所以O(shè)是線段MD上靠近點(diǎn)M的三等分點(diǎn)，可知O到AC的距離等于D到AC距離的，而B到AC的距離等于D到AC距離的2倍，故可知O到AC的距離等于B到AC距離的，根據(jù)

8、三角形面積公式可知B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)中，當(dāng)與共線且反向時(shí)，可知成立，當(dāng)與不共線或共線方向相同時(shí)，結(jié)論不成立，故C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)錯(cuò)誤，例如，12（多選）已知向量是兩個(gè)非零向量，在下列四個(gè)條件中，一定能使共線的是( )A且B存在相異實(shí)數(shù)，使C（其中實(shí)數(shù)滿足）D已知梯形其中【答案】AB【詳解】對于A，向量是兩個(gè)非零向量，且， ，此時(shí)能使共線，故A正確；對于B，存在相異實(shí)數(shù)，使，要使非零向量是共線向量，由共線定理即可成立，故B正確；對于C，（其中實(shí)數(shù)滿足）如果則不能使共線，故C不正確；對于D，已知梯形中， ，如果是梯形的上下底，則正確，否則錯(cuò)誤；2、 拓展提升13如圖所示，O為正方形對角線的交點(diǎn)，四

9、邊形，都是正方形，在圖中所標(biāo)出的向量中，（1）分別寫出與，相等的向量；（2）寫出與共線的向量；（3）寫出與模相等的向量.【答案】（1），；（2）與共線的向量有，；（3）與模相等的向量有，.（3）根據(jù)模相等向量的定義求解即可.【詳解】解：（1），.（2）與共線的向量有，.（3）與模相等的向量有，.14將向量用具有同一起點(diǎn)O的有向線段表示.（1）當(dāng)與是相等向量時(shí)，判斷終點(diǎn)M與N的位置關(guān)系；（2）當(dāng)與是平行向量，且時(shí)，求向量的長度，并判斷的方向與的方向之間的關(guān)系.【答案】（1）M與N重合（2）答案不唯一，具體見解析【詳解】解：（1）M與N重合.（2）當(dāng)與同向時(shí)，如圖（1），與方向相反；當(dāng)與反向時(shí)，如圖（2），與方向相同.15如圖所示是棱長為1的正三棱柱ABCA1B1C1.(1)在分別以正三棱柱的任意兩個(gè)頂點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，舉出與向量相等的向量；(2)在分別以正三棱