數(shù)字電子技術(shù)(1)

1、數(shù)字電子技術(shù)湖南計(jì)算機(jī)高等專科學(xué)校 李中發(fā) 制作數(shù)字電子技術(shù)第1章 數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)第2章 組合邏輯電路第3章 時(shí)序邏輯電路第4章 脈沖信號(hào)的產(chǎn)生與整形第5章 數(shù)模和模數(shù)轉(zhuǎn)換退出數(shù)字電子技術(shù)湖南計(jì)算機(jī)高等?？茖W(xué)校 李中發(fā) 胡錦 制作第1章 數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)學(xué)習(xí)要點(diǎn)：二進(jìn)制、二進(jìn)制與十進(jìn)制的相互轉(zhuǎn)換邏輯代數(shù)的公式與定理、邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)基本邏輯門電路的邏輯功能第1章 數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)1.1 數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)1.2 數(shù)制與編碼1.3 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)1.4 邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)1.5 邏輯函數(shù)的表示方法及其相互轉(zhuǎn)換1.6 門電路退出1.1 數(shù)字電路概述1.1.1 數(shù)字信號(hào)與數(shù)字電路1.1.2 數(shù)字電路的特點(diǎn)與分

2、類退出1.1.1 數(shù)字信號(hào)與數(shù)字電路模擬信號(hào)：在時(shí)間上和數(shù)值上連續(xù)的信號(hào)。u數(shù)字信號(hào)：在時(shí)間上和數(shù)值上不連續(xù)的（即離散的）信號(hào)。ut模擬信號(hào)波形數(shù)字信號(hào)波形t對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行傳輸、處理的電子線路稱為模擬電路。對(duì)數(shù)字信號(hào)進(jìn)行傳輸、處理的電子線路稱為數(shù)字電路。1.1.2 數(shù)字電路的的特點(diǎn)與分類1、數(shù)字電路的特點(diǎn)、數(shù)字電路的特點(diǎn)（1）工作信號(hào)是二進(jìn)制的數(shù)字信號(hào)，在時(shí)間上和 數(shù)值上是離散的（不連續(xù)），反映在電路上就是 低電平和高電平兩種狀態(tài)（即0和1兩個(gè)邏輯值）。（2）在數(shù)字電路中，研究的主要問(wèn)題是電路的邏 輯功能，即輸入信號(hào)的狀態(tài)和輸出信號(hào)的狀態(tài)之 間的關(guān)系。（3）對(duì)組成數(shù)字電路的元器件的精度要求不高

3、， 只要在工作時(shí)能夠可靠地區(qū)分0和1兩種狀態(tài)即可。2、數(shù)字電路的分類、數(shù)字電路的分類（1）按集成度分類：數(shù)字電路可分為小規(guī)模（SSI，每片數(shù)十器件）、中規(guī)模（MSI，每片數(shù)百器件）、大規(guī)模（LSI，每片數(shù)千器件）和超大規(guī)模（VLSI，每片器件數(shù)目大于1萬(wàn)）數(shù)字集成電路。集成電路從應(yīng)用的角度又可分為通用型和專用型兩大類型。（2）按所用器件制作工藝的不同：數(shù)字電路可分為雙極型（TTL型）和單極型（MOS型）兩類。（3）按照電路的結(jié)構(gòu)和工作原理的不同：數(shù)字電路可分為組合邏輯電路和時(shí)序邏輯電路兩類。組合邏輯電路沒(méi)有記憶功能，其輸出信號(hào)只與當(dāng)時(shí)的輸入信號(hào)有關(guān)，而與電路以前的狀態(tài)無(wú)關(guān)。時(shí)序邏輯電路具有記憶

4、功能，其輸出信號(hào)不僅和當(dāng)時(shí)的輸入信號(hào)有關(guān)，而且與電路以前的狀態(tài)有關(guān)。本節(jié)小結(jié) 數(shù)字信號(hào)的數(shù)值相對(duì)于時(shí)間的變化過(guò)程是跳變的、間斷性的。對(duì)數(shù)字信號(hào)進(jìn)行傳輸、處理的電子線路稱為數(shù)字電路。模擬信號(hào)通過(guò)模數(shù)轉(zhuǎn)換后變成數(shù)字信號(hào)，即可用數(shù)字電路進(jìn)行傳輸、處理。1. 2 數(shù)制與編碼1.2.1 數(shù)制1.2.2 數(shù)制轉(zhuǎn)換1.2.3 編碼退出1.2.1 數(shù)制（1）進(jìn)位制：表示數(shù)時(shí)，僅用一位數(shù)碼往往不夠用，必須用進(jìn)位計(jì)數(shù)的方法組成多位數(shù)碼。多位數(shù)碼每一位的構(gòu)成以及從低位到高位的進(jìn)位規(guī)則稱為進(jìn)位計(jì)數(shù)制，簡(jiǎn)稱進(jìn)位制。（2）基 數(shù)：進(jìn)位制的基數(shù)，就是在該進(jìn)位制中可能用到的數(shù)碼個(gè)數(shù)。（3） 位 權(quán)（位的權(quán)數(shù)）：在某一進(jìn)位制的

5、數(shù)中，每一位的大小都對(duì)應(yīng)著該位上的數(shù)碼乘上一個(gè)固定的數(shù)，這個(gè)固定的數(shù)就是這一位的權(quán)數(shù)。權(quán)數(shù)是一個(gè)冪。 1、十進(jìn)制、十進(jìn)制數(shù)碼為：09；基數(shù)是10。運(yùn)算規(guī)律：逢十進(jìn)一，即：9110。十進(jìn)制數(shù)的權(quán)展開(kāi)式： 103、102、101、100稱為十進(jìn)制的權(quán)。各數(shù)位的權(quán)是10的冪。任意一個(gè)十進(jìn)制數(shù)都可以表示為各個(gè)數(shù)位上的數(shù)碼與其對(duì)應(yīng)的權(quán)的乘積之和，稱權(quán)展開(kāi)式。 同樣的數(shù)碼在不同的數(shù)位上代表的數(shù)值不同。即：(5555)105103 510251015100又如：(209.04)10 2102 0101910001014 1022、二進(jìn)制、二進(jìn)制數(shù)碼為：0、1；基數(shù)是2。運(yùn)算規(guī)律：逢二進(jìn)一，即：1110。二進(jìn)

6、制數(shù)的權(quán)展開(kāi)式： 2 0211200211 22如：(101.01)2 12 (5.25)10各數(shù)位的權(quán)是的冪二進(jìn)制數(shù)只有0和1兩個(gè)數(shù)碼，它的每一位都可以用電子元件來(lái)實(shí)現(xiàn)，且運(yùn)算規(guī)則簡(jiǎn)單，相應(yīng)的運(yùn)算電路也容易實(shí)現(xiàn)。運(yùn)算規(guī)則加法規(guī)則：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10乘法規(guī)則：0.0=0， 0.1=0 ，1.0=0，1.1=13、八進(jìn)制、八進(jìn)制數(shù)碼為：07；基數(shù)是8。運(yùn)算規(guī)律：逢八進(jìn)一，即：7110。八進(jìn)制數(shù)的權(quán)展開(kāi)式： 2 0817800814 82如：(207.04)10 28 (135.0625)104、十六進(jìn)制、十六進(jìn)制4各數(shù)位的權(quán)是8的冪數(shù)碼為：09、AF；基數(shù)是16。運(yùn)

7、算規(guī)律：逢十六進(jìn)一，即：F110。十六進(jìn)制數(shù)的權(quán)展開(kāi)式： 1 816010 161(216.625)如：(D8.A)2 131610各數(shù)位的權(quán)是16的冪結(jié)論一般地，N進(jìn)制需要用到N個(gè)數(shù)碼，基數(shù)是N；運(yùn)算 規(guī)律為逢N進(jìn)一。如果一個(gè)N進(jìn)制數(shù)M包含位整數(shù)和位小數(shù)，即 (an-1 an-2 a1 a0 a1 a2 am)2則該數(shù)的權(quán)展開(kāi)式為：(M)2 an-1 an-2 a1 -1a-2 a -m a1 N2 NmN n-1N n-2N 1 aN0 0N由權(quán)展開(kāi)式很容易將一個(gè)N進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)。幾種進(jìn)制數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系十進(jìn)制數(shù) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

8、15二進(jìn)制數(shù) 00000 00001 00010 00011 00100 00101 00110 00111 01000 01001 01010 01011 01100 01101 01110 01111八進(jìn)制數(shù) 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17十六進(jìn)制 數(shù) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F1.2.2 數(shù)制轉(zhuǎn)換將N進(jìn)制數(shù)按權(quán)展開(kāi)，即可以轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)。1、二進(jìn)制數(shù)與八進(jìn)制數(shù)的相互轉(zhuǎn)換、二進(jìn)制數(shù)與八進(jìn)制數(shù)的相互轉(zhuǎn)換（1）二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制數(shù)： 將二進(jìn)制數(shù)由小數(shù)點(diǎn)開(kāi)始， 整數(shù)部分向左，小數(shù)部分向右，每3位分成一組，不夠3

9、位補(bǔ) 零，則每組二進(jìn)制數(shù)便是一位八進(jìn)制數(shù)。0 0 1 1 0 1 0 1 0 . 0 1 0 (152.2)8（2）八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)：將每位八進(jìn)制數(shù)用3位二進(jìn)制數(shù)表示。(374.26)8 = 011 111 100 . 010 1102、二進(jìn)制數(shù)與十六進(jìn)制數(shù)的相互轉(zhuǎn)換、二進(jìn)制數(shù)與十六進(jìn)制數(shù)的相互轉(zhuǎn)換 二進(jìn)制數(shù)與十六進(jìn)制數(shù)的相互轉(zhuǎn)換，按照每4位二進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)于一位十六進(jìn)制數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換。0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 . 0 1 1 0 (1E8.6)16(AF4.76)16 = 1010 1111 0100 . 0111 01103、十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)、十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制

10、數(shù)采用的方法 基數(shù)連除、連乘法原理：將整數(shù)部分和小數(shù)部分分別進(jìn)行轉(zhuǎn)換。 整數(shù)部分采用基數(shù)連除法，小數(shù)部分 采用基數(shù)連乘法。轉(zhuǎn)換后再合并。整數(shù)部分采用基數(shù)連除法，先得到的余數(shù)為低位，后得到的余數(shù)為高位。22222244余數(shù)低位小數(shù)部分采用基數(shù)連乘法，先得到的整數(shù)為高位，后得到的整數(shù)為低位。 0.375 2整數(shù)0.750 0=K10.750 21.500 1=K20.500 21.000 1=K3高位22 0=K011 0=K15 1=K22 1=K31 0=K40 1=K5高位低位所以：(44.375)10(101100.011)2采用基數(shù)連除、連乘法，可將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為任意的N進(jìn)制數(shù)。1.2.

11、3 編碼 數(shù)字系統(tǒng)只能識(shí)別0和1，怎樣才能表示更多的數(shù)碼、符號(hào)、字母呢？用編碼可以解決此問(wèn)題。 用一定位數(shù)的二進(jìn)制數(shù)來(lái)表示十進(jìn)制數(shù)碼、字母、符號(hào)等信息稱為編碼。 用以表示十進(jìn)制數(shù)碼、字母、符號(hào)等信息的一定位數(shù)的二進(jìn)制數(shù)稱為代碼。 二-十進(jìn)制代碼：用4位二進(jìn)制數(shù)b3b2b1b0來(lái)表示十進(jìn)制數(shù)中的 0 9 十個(gè)數(shù)碼。簡(jiǎn)稱BCD碼。 用四位自然二進(jìn)制碼中的前十個(gè)碼字來(lái)表示十進(jìn)制數(shù)碼，因各位的權(quán)值依次為8、4、2、1，故稱8421 BCD碼。 2421碼的權(quán)值依次為2、4、2、1；余3碼由8421碼加0011得到；格雷碼是一種循環(huán)碼，其特點(diǎn)是任何相鄰的兩個(gè)碼字，僅有一位代碼不同，其它位相同。常用BCD

12、 碼十進(jìn)制數(shù) 8421 碼 00000 10001 20010 30011 40100 50101 60110 70111 81000 91001 8421權(quán)余 3 碼 格雷碼 2421 碼001100000000010000010001010100110010011000100011011101100100100001111011100101011100101001001101101111001110110011011111 24215421 碼 0000 0001 0010 0011 0100 1000 1001 1010 1011 1100 5421本節(jié)小結(jié) 日常生活中使用十進(jìn)制，但在計(jì)

13、算機(jī)中基本上使用二進(jìn)制，有時(shí)也使用八進(jìn)制或十六進(jìn)制。利用權(quán)展開(kāi)式可將任意進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)。將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為其它進(jìn)制數(shù)時(shí)，整數(shù)部分采用基數(shù)除法，小數(shù)部分采用基數(shù)乘法。利用1位八進(jìn)制數(shù)由3位二進(jìn)制數(shù)構(gòu)成，1位十六 13進(jìn)制數(shù)由4位二進(jìn)制數(shù)構(gòu)成，可以實(shí)現(xiàn)二進(jìn)制數(shù)與八進(jìn)制數(shù)以及二進(jìn)制數(shù)與十六進(jìn)制數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)換。 二進(jìn)制代碼不僅可以表示數(shù)值，而且可以表示符號(hào)及文字，使信息交換靈活方便。BCD碼是用4位二進(jìn)制代碼代表1位十進(jìn)制數(shù)的編碼，有多種BCD碼形式，最常用的是8421 BCD碼。碼。1.3 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)1.3.1 邏輯代數(shù)的基本概念1.3.2 邏輯代數(shù)的公式、定理和規(guī)則1.3.3 邏輯函數(shù)的表

14、達(dá)式退出 邏輯代數(shù)是按一定的邏輯關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算的代數(shù)，是分析和設(shè)計(jì)數(shù)字電路的數(shù)學(xué)工具。在邏輯代數(shù)，只有和 兩種邏輯值，有與、或、非與、或、非三種基本邏輯運(yùn)算，還有與或、與或、與非、與或非、異或幾種導(dǎo)出邏輯運(yùn)算。與非、與或非、異或 邏輯是指事物的因果關(guān)系，或者說(shuō)條件和結(jié)果的關(guān)系，這些因果關(guān)系可以用邏輯運(yùn)算來(lái)表示，也就是用邏輯代數(shù)來(lái)描述。 事物往往存在兩種對(duì)立的狀態(tài)，在邏輯代數(shù)中可以抽象地表示為 0 和 1 ，稱為邏輯0狀態(tài)和邏輯1狀態(tài)。 邏輯代數(shù)中的變量稱為邏輯變量，用大寫字母表示。邏輯變量的取值只有兩種，即邏輯0和邏輯1，0 和 1 稱為邏輯常量，并不表示數(shù)量的大小，而是表示兩種對(duì)立的邏輯狀態(tài)。

15、1.3.1 基本邏輯運(yùn)算1、與邏輯（與運(yùn)算） 與邏輯的定義：僅當(dāng)決定事件（Y）發(fā)生的所有條件（A，B，C， ）均滿足時(shí)，事件（Y）才能發(fā)生。表達(dá)式為：開(kāi)關(guān)A，B串聯(lián)控制燈泡YAE電路圖BYAEBYAEBYA、B都斷開(kāi)，燈不亮。都斷開(kāi)，燈不亮。AEBYA斷開(kāi)、斷開(kāi)、B接通，燈不亮。接通，燈不亮。AEBYA接通、接通、B斷開(kāi)，燈不亮。斷開(kāi)，燈不亮。A、B都接通，燈亮。都接通，燈亮。兩個(gè)開(kāi)關(guān)必須同時(shí)接通，燈才亮。邏輯表達(dá)式為：功能表開(kāi)關(guān) A 開(kāi)關(guān) B斷開(kāi)斷開(kāi)閉合閉合斷開(kāi)閉合斷開(kāi)閉合燈Y滅滅滅亮將開(kāi)關(guān)接通記作1，斷開(kāi)記作0；燈亮記作1，燈滅記作0?？梢宰鞒鋈缦卤砀駚?lái)描述與邏輯關(guān)系：A0011B0101

16、Y0001真值表這種把所有可能的條件組合及其對(duì)應(yīng)結(jié)果一一列出來(lái)的表格叫做真值表。邏輯符號(hào)實(shí)現(xiàn)與邏輯的電路稱為與門。與門的邏輯符號(hào)：AB&Y2、或邏輯（或運(yùn)算） 或邏輯的定義：當(dāng)決定事件（Y）發(fā)生的各種條件（A，B，C， )中，只要有一個(gè)或多個(gè)條件具備，事件（Y）就發(fā)生。表達(dá)式為：開(kāi)關(guān)A，B并聯(lián)控制燈泡YABE電路圖YAABEBYEYA、B都斷開(kāi)，燈不亮。都斷開(kāi)，燈不亮。AA斷開(kāi)、斷開(kāi)、B接通，燈亮。接通，燈亮。ABEYBEYA接通、接通、B斷開(kāi)，燈亮。斷開(kāi)，燈亮。A、B都接通，燈亮。都接通，燈亮。兩個(gè)開(kāi)關(guān)只要有一個(gè)接通，燈就會(huì)亮。邏輯表達(dá)式為：+功能表開(kāi)關(guān) A斷開(kāi)斷開(kāi)閉合閉合開(kāi)關(guān) B斷開(kāi)閉合斷

17、開(kāi)閉合燈Y滅亮亮亮真值表A0011B0101邏輯符號(hào)Y0111實(shí)現(xiàn)或邏輯的電路稱為或門?；蜷T的邏輯符號(hào)：AB1Y=A+B3、非邏輯（非運(yùn)算） 非邏輯指的是邏輯的否定。當(dāng)決定事件（Y）發(fā)生的條件（A）滿足時(shí)，事件不發(fā)生；條件不滿足，事件反而發(fā)生。表達(dá)式為：開(kāi)關(guān)A控制燈泡YRE電路圖AYREAYERAYA斷開(kāi)，燈亮。斷開(kāi)，燈亮。A接通，燈滅。接通，燈滅。燈Y亮滅功能表開(kāi)關(guān) A斷開(kāi)閉合A01Y10邏輯符號(hào)真值表實(shí)現(xiàn)非邏輯的電路稱為非門。非門的邏輯符號(hào)：A1Y=A Y4、常用的邏輯運(yùn)算（1）與非運(yùn)算：邏輯表達(dá)式為：A0011 BY 01 11 01 10真值表Y AB&YAB與非門的邏輯符號(hào)（2）或非

18、運(yùn)算：邏輯表達(dá)式為：YA0011 BY 01 10 00 10真值表 A BL=A+B1YAB或非門的邏輯符號(hào)L=A+B（3）異或運(yùn)算：邏輯表達(dá)式為： YA0011 BY 00 11 01 10真值表 AB AB A B=1YAB異或門的邏輯符號(hào)（4） 與或非運(yùn)算：邏輯表達(dá)式為： YL=A+B& AB CD1&YABCD& 1YABCD與或非門的邏輯符號(hào)與或非門的等效電路5、邏輯函數(shù)及其相等概念 （1）邏輯表達(dá)式：由邏輯變量和與、或、非3種運(yùn)算符連接起來(lái)所構(gòu)成的式子。在邏輯表達(dá)式中，等式右邊的字母A、B、C、D等稱為輸入邏輯變量，等式左邊的字母Y稱為輸出邏輯變量，字母上面沒(méi)有非運(yùn)算符的叫做原變

19、量，有非運(yùn)算符的叫做反變量。 （2）邏輯函數(shù)：如果對(duì)應(yīng)于輸入邏輯變量A、B、C、 的每一組確定值，輸出邏輯變量Y就有唯一確定的值，則稱Y是A、B、C、 的邏輯函數(shù)。記為Y f ( A, B, C ,) 注意：與普通代數(shù)不同的是，在邏輯代數(shù)中，不管是變注意量還是函數(shù)，其取值都只能是0或1，并且這里的0和1只表示兩種不同的狀態(tài)，沒(méi)有數(shù)量的含義。（3）邏輯函數(shù)相等的概念：設(shè)有兩個(gè)邏輯函數(shù)Y1 f ( A, B , C , )Y2 g ( A, B , C , ) 它們的變量都是A、B、C、 ，如果對(duì)應(yīng)于變量A、B、C、 的任何一組變量取值，Y1和Y2的值都相同，則稱Y1和Y2是相等的，記為Y1=Y2

20、。 若兩個(gè)邏輯函數(shù)相等，則它們的真值表一定相同；反之，若兩個(gè)函數(shù)的真值表完全相同，則這兩個(gè)函數(shù)一定相等。因此，要證明兩個(gè)邏輯函數(shù)是否相等，只要分別列出它們的真值表，看看它們的真值表是否相同即可。證明等式：AB A BB0101AB 0 0 0 1AB 1 1 1 0A1100B1010A+B 1 1 1 0A00111.3.2 邏輯代數(shù)的公式、定理和規(guī)則1、邏輯代數(shù)的公式和定理（1）常量之間的關(guān)系與運(yùn)算： 0 0 00 1 01 0 01 1 1或運(yùn)算： 0 0 0非運(yùn)算： 1 00 110 11 0 1111（2）基本公式 A 0 A0-1 律： A 1 A互補(bǔ)律： A A 1A 1 1A

21、0 0A A 0等冪律： A A AA A A雙重否定律： A A分別令A(yù)=0及A=1代入這些代入這些公式，即可證明它們的正確性。（3）基本定理 A B B A交換律： A B B A 利用真值表很容易證明這些公式的正確性。如證明A B=BA： ( A B) C A ( B C )結(jié)合律： ( A B) C A ( B C ) A 0 0 A (B C) A B A C 1分配律： A B C ( A B) ( A C ) 1 B A.B B.A0 001 000 001 11 A .B A B 反演律（摩根定律）： A B A B 證明分配率：A+BA=(A+B)(A+C)證明：(A+B)(

22、A+C)=AA+AB+AC+BC=A+AB+AC+BC=A(1+B+C)+BC=A+BC 分配率A(B+C)=AB+AC等冪率AA=A 分配率A(B+C)=AB+AC0-1率A+1=1（4）常用公式 A B A B A還原律： (A B) (A B ) A A A B A吸收率： A ( A B) A A ( A B) A BA A B A B證 ：A AB (A A)(A B) 明 分配率A+BC=(A+B)(A+C)互補(bǔ)率A+A=10-1率A1=1 1 ( A B) AB冗余律： AB A C BC AB A C證明： AB A C BC AB A C ( A A ) BC AB A C

23、ABC A BC互補(bǔ)率A+A=1 分配率A(B+C)=AB+AC0-1率A+1=1 AB(1 C ) A C (1 B) AB A C2、邏輯代數(shù)運(yùn)算的基本規(guī)則 （1）代入規(guī)則：任何一個(gè)含有變量A的等式，如果將所有出現(xiàn)A的位置都用同一個(gè)邏輯函數(shù)代替，則等式仍然成立。這個(gè)規(guī)則稱為代入規(guī)則。 例如，已知等式 AB A B ，用函數(shù)Y=AC代替等式中的A，根據(jù)代入規(guī)則，等式仍然成立，即有：( AC ) B AC B A B C （2）反演規(guī)則：對(duì)于任何一個(gè)邏輯表達(dá)式Y(jié)，如果將表達(dá)式中的所有“換成“”，“”換成“，“0” ” 換成“1”，“1”換成“0” 原變量換成反變量， 反變量換成原變量，原變量換

24、成反變量 ， 反變量換成原變量，那么所得到的表達(dá)式就是函數(shù)Y的反函數(shù)Y（或稱補(bǔ)函數(shù)）。這個(gè)規(guī)則稱為反演規(guī)則。例如：Y AB CD EY A B C D EY ( A B)(C D E )Y A B C D E （3）對(duì)偶規(guī)則：對(duì)于任何一個(gè)邏輯表達(dá)式Y(jié)，如果將表達(dá)式中的所有“換成“”，“”換成“，“0” ” 換成“1”，“1”換成“0”，而變量保持不變變量保持不變，則可得到的一個(gè)新的函數(shù)表達(dá)式Y(jié)，Y稱為函Y的對(duì)偶函數(shù)。這個(gè)規(guī)則稱為對(duì)偶規(guī)則。例如：Y AB CD EY A B C D EY ( A B )( C D E )Y A B C D E 對(duì)偶規(guī)則的意義在于：如果兩個(gè)函數(shù)相等，則它們的對(duì)偶函

25、數(shù)也相等。利用對(duì)偶規(guī)則,可以使要證明及要記憶的公式數(shù)目減少一半。例如：A B A B AA(B C) AB AC( A B) ( A B ) AA BC ( A B )( A C ) 注意：在運(yùn)用反演規(guī)則和對(duì)偶規(guī)則時(shí)，必須按照邏輯運(yùn)算注意的優(yōu)先順序進(jìn)行：先算括號(hào)，接著與運(yùn)算，然后或運(yùn)算，最后非運(yùn)算，否則容易出錯(cuò)。1.3.3 邏輯函數(shù)的表達(dá)式 一個(gè)邏輯函數(shù)的表達(dá)式可以有與或表達(dá)式、或與表達(dá)式、與非-與非表達(dá)式、或非-或非表達(dá)式、與或非表達(dá)式5種表示形式。（ 1）與或表達(dá)式： Y A B AC（ 2）或與表達(dá)式： Y ( A B )( A C )（ 3）與非 - 與非表達(dá)式： Y A B AC（

26、4）或非 - 或非表達(dá)式： Y A B A C（ 5）與或非表達(dá)式： Y A B A C 一種形式的函數(shù)表達(dá)式相應(yīng)于一種邏輯電路。盡管一個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)式的各種表示形式不同，但邏輯功能是相同的。1、邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)及其性質(zhì) （1）最小項(xiàng)：如果一個(gè)函數(shù)的某個(gè)乘積項(xiàng)包含了函數(shù)的全部變量，其中每個(gè)變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，則這個(gè)乘積項(xiàng)稱為該函數(shù)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)積項(xiàng)，通常稱為最小項(xiàng)。 3個(gè)變量A、B、C可組成8個(gè)最小項(xiàng)：ABC、ABC、ABC、ABC ABC、ABC、AB 、ABC、 C （2）最小項(xiàng)的表示方法：通常用符號(hào)mi來(lái)表示最小項(xiàng)。下標(biāo)i的確定：把最小項(xiàng)中的原變量記為1，反變量記

27、為0，當(dāng)變量順序確定后，可以按順序排列成一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，則與這個(gè)二進(jìn)制數(shù)相對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)，就是這個(gè)最小項(xiàng)的下標(biāo)i。 3個(gè)變量A、B、C的8個(gè)最小項(xiàng)可以分別表示為：m0 A B C 、m1 A B C、m2 A BC 、m3 A BCm4 AB C 、m5 AB C、m6 ABC 、m7 ABC（3）最小項(xiàng)的性質(zhì)：A00001111B00110011C01010101 3 變量全部最小項(xiàng)的真值表 ABC ABCm0 m1 m2 m3 m4 m5 m610000000100000001000000010000000100000001000000010000000m700000001任意一個(gè)最小項(xiàng)，只

28、有一組變量取值使其值為1。任意兩個(gè)不同的最小項(xiàng)的乘積必為0。全部最小項(xiàng)的和必為1。2、邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式 任何一個(gè)邏輯函數(shù)都可以表示成唯一的一組最小項(xiàng)之和，稱為標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式，也稱為最小項(xiàng)表達(dá)式 對(duì)于不是最小項(xiàng)表達(dá)式的與或表達(dá)式，可利用公式AA1和A(B+C)ABBC來(lái)配項(xiàng)展開(kāi)成最小項(xiàng)表達(dá)式。Y A BC A ( B B )(C C ) ( A A ) BC A BC A BC A B C A B C ABC A BC A B C A B C A BC A BC ABC m0 m1 m2 m3 m7 m(0,1,2,3,7) 如果列出了函數(shù)的真值表，則只要將函數(shù)值為1的那些最小項(xiàng)相加，便是

29、函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式。A00001111B00110011C01010101Y01110100最小項(xiàng) m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7m1ABCm1ABCm3ABCm5ABC ABCY m1 m 2 m 3 m 5 m (1, 2 ,3 ,5 ) A B C A BC AB C AB C 將真值表中函數(shù)值為0的那些最小項(xiàng)相加，便可得到反函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式。本節(jié)小結(jié) 邏輯代數(shù)是分析和設(shè)計(jì)數(shù)字電路的重要工具。利用邏輯代數(shù)，可以把實(shí)際邏輯問(wèn)題抽象為邏輯函數(shù)來(lái)描述，并且可以用邏輯運(yùn)算的方法，解決邏輯電路的分析和設(shè)計(jì)問(wèn)題。 與、或、非是3種基本邏輯關(guān)系，也是3種基本邏輯運(yùn)算。與非、或非、與或

30、非、異或則是由與、或、非3種基本邏輯運(yùn)算復(fù)合而成的4種常用邏輯運(yùn)算。 邏輯代數(shù)的公式和定理是推演、變換及化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的依據(jù)。1.4 邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)1.4.1 邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)表達(dá)式1.4.2 邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法1.4.3 邏輯函數(shù)的圖形化簡(jiǎn)法1.4.4 含隨意項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)退出 邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)的意義：邏輯表達(dá)式越簡(jiǎn)單，實(shí)現(xiàn)它的電路越簡(jiǎn)單，電路工作越穩(wěn)定可靠。1.4.1 邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)表達(dá)式1、最簡(jiǎn)與或表達(dá)式 乘積項(xiàng)最少、并且每個(gè)乘積項(xiàng)中的變量也最少的與或表達(dá)式。Y A BE A B AC AC E BC BC D A B AC BC A B AC最簡(jiǎn)與或表達(dá)式2、最簡(jiǎn)與非-與非表達(dá)式 非號(hào)最

31、少、并且每個(gè)非號(hào)下面乘積項(xiàng)中的變量也最少的與非-與非表達(dá)式。 用摩根定律去 Y A B AC A B AC A B AC 掉下面的非號(hào)在最簡(jiǎn)與或表達(dá)式的基礎(chǔ)上兩次取反 3、最簡(jiǎn)或與表達(dá)式括號(hào)最少、并且每個(gè)括號(hào)內(nèi)相加的變量也最少的或與表達(dá)式。Y A B AC求出反函數(shù)的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式利用反演規(guī)則寫出函數(shù)的最簡(jiǎn)或與表達(dá)式Y(jié) ( A B )( A C )Y A B AC ( A B )( A C ) A B AC B C A B AC4、最簡(jiǎn)或非-或非表達(dá)式 非號(hào)最少、并且每個(gè)非號(hào)下面相加的變量也最少的或非-或非表達(dá)式。Y A B AC ( A B)( A C ) ( A B)( A C ) A B

32、 A C求最簡(jiǎn)或非-或非表達(dá)式用摩根定律去掉下面的非號(hào)兩次取反、最簡(jiǎn)與或非表達(dá)式 非號(hào)下面相加的乘積項(xiàng)最少、并且每個(gè)乘積項(xiàng)中相乘的變量 面 去 也最少的與或非表達(dá)式。 的 掉 用 非 大 摩 Y A B AC A B A C A B AC 號(hào) 非 根 號(hào) 定 下 律 求最簡(jiǎn)或非-或非表達(dá)式1.4.2 邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法 邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法就是運(yùn)用邏輯代數(shù)的基本公式、定理和規(guī)則來(lái)化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)。1、并項(xiàng)法利用公式1，將兩項(xiàng)合并為一項(xiàng)，并消去一個(gè)變量。 變 并 相 和 包 運(yùn)用分配律 量 成 同 反 含 的 一 時(shí) 變 同 若Y1 ABC ABC BC ( A A)BC BC因 項(xiàng) ， 量 一

33、兩 子 ， 則 ， 個(gè) 個(gè) BC BC B(C C ) B 。 并 這 而 因 乘 消 兩 其 子 積 運(yùn)用分配律 去 項(xiàng) 他 的 項(xiàng) 互 可 因 原 中Y2 ABC AB AC ABC A( B C ) 為 以 子 變 分 ABC ABC A( BC BC ) A反 合 都 量 別運(yùn)用摩根定律2、吸收法（）利用公式，消去多余的項(xiàng)。 是Y1 A B A BCD( E F ) A B多余的一個(gè)乘積項(xiàng)另外因，則這子的項(xiàng)另外一個(gè)乘積是如果乘積項(xiàng)運(yùn)用摩根定律。Y2 A B CD ADB A BCD AD B ( A AD) ( B BCD) A B（）利用公式，消去多余的變量。 因 Y AB C A

34、C D BC D 是Y AB A C B C 多 AB C C ( A B) D 余子因的，則這個(gè)子項(xiàng)的是另一個(gè)乘積反的如果一個(gè)乘積項(xiàng) AB ( A B )C AB ABC AB C AB C ( A B) D AB C AB D AB C D。、配項(xiàng)法（）利用公式（），為某一項(xiàng)配上其所缺的變量，以便用其它方法進(jìn)行化簡(jiǎn)。Y AB BC B C A B AB BC ( A A) B C A B(C C ) AB BC AB C A B C A BC A BC AB (1 C) BC (1 A) A C( B B) AB BC A C（）利用公式，為某項(xiàng)配上其所能合并的項(xiàng)。Y ABC ABC AB

35、 C A BC ( ABC ABC ) ( ABC AB C ) ( ABC A BC ) AB AC BC、消去冗余項(xiàng)法利用冗余律，將冗余項(xiàng)消去。Y1 AB AC ADE CD AB ( AC CD ADE) AB AC CDY2 AB B C AC( DE FG) AB B C例：化簡(jiǎn)函數(shù)Y (B D)(B D AG)(C E)(C G)(A E G)解：先求出Y的對(duì)偶函數(shù)Y，并對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)。Y B D B DAG CE C G AEG B D CE C G求Y的對(duì)偶函數(shù)，便得的最簡(jiǎn)或與表達(dá)式。Y ( B D)(C E )(C G )1.4.3 邏輯函數(shù)的圖形化簡(jiǎn)法 邏輯函數(shù)的圖形化簡(jiǎn)法是

36、將邏輯函數(shù)用卡諾圖來(lái)表示，利用卡諾圖來(lái)化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)。1、卡諾圖的構(gòu)成 將邏輯函數(shù)真值表中的最小項(xiàng)重新排列成矩陣形式，并且使矩陣的橫方向和縱方向的邏輯變量的取值按照格雷碼的順序排列，矩陣的橫方向和縱方向的邏輯變量的取值按照格雷碼的順序排列這樣構(gòu)成的圖形就是卡諾圖。最 最 每 鄰 最 最 每 小 小 個(gè) AAB小 小 個(gè) 0001 11 10項(xiàng) 項(xiàng) B01C項(xiàng) 項(xiàng) 與 有 2 變 與 有 3 變 m0 m2 m6 m40 0 m0 m2它 兩 量 它 量 相 個(gè) 的 個(gè) 1 m1 m3 m7 m5 相 3 的 1 m1 m3鄰2 變量卡諾圖3 變量卡諾圖 卡諾圖的特點(diǎn)是任意兩個(gè)相鄰的最小項(xiàng)在圖中也

37、是相鄰的。（相鄰項(xiàng)是指兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)因子互為反變量，其余因子均相同，又稱為邏輯相鄰項(xiàng)） 。每個(gè)4變量的最小項(xiàng)有4個(gè)最小項(xiàng)與它相鄰項(xiàng)也是相鄰的最小 與應(yīng)項(xiàng)相小的最列的右列最左最 ABCD 00011110鄰00m0m1m3m201m4m5m7m611m12m13m15m1410m8m9的最小項(xiàng)也是相相應(yīng)最下面一行的與項(xiàng)上面一行的最小最m11m104 變量卡諾圖兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)可以合并消去一個(gè)變量AB C AB C AB (C C ) ABAB C D A B C D A C D邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)的實(shí)質(zhì)就是相鄰最小項(xiàng)的合并2、邏輯函數(shù)在卡諾圖中的表示 （1）邏輯函數(shù)是以真值表或者以最小項(xiàng)表達(dá)式給出：在

38、卡諾圖上那些與給定邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)相對(duì)應(yīng)的方格內(nèi)填入1，其余的方格內(nèi)填入0。Y ( A, B, C , D ) m(1,3,4,6,7,11,14,15)ABCD00000110011011110011100010m1m3m4m11011110m6m7m14m15 （2）邏輯函數(shù)以一般的邏輯表達(dá)式給出：先將函數(shù)變換為與或表達(dá)式（不必變換為最小項(xiàng)之和的形式），然后在卡諾圖上與每一個(gè)乘積項(xiàng)所包含的那些最小項(xiàng)（該乘積項(xiàng)就是這些最小項(xiàng)的公因子）相對(duì)應(yīng)的方格內(nèi)填入1，其余的方格內(nèi)填入0。Y ( A D)( B 變 C )或 表 換 達(dá) 為 式 與的公因子ABCD000111100010110110011

39、10000100011Y AD BC 說(shuō)明：如果求得了函數(shù)的反函數(shù)，則對(duì)中所包含的各個(gè)最小項(xiàng)，在卡諾圖相應(yīng)方格內(nèi)填入0，其余方格內(nèi)填入1。的公因子3、卡諾圖的性質(zhì) 1個(gè)）標(biāo)1的相鄰最小項(xiàng)，可以合并為一項(xiàng)，（1）任何兩個(gè)（2并消去一個(gè)變量（消去互為反變量的因子，保留公因子）。ABC01ABCD000111100000000110011100001001100010010111011010A B C AB C BCA BC ABC BCAB C D AB CD AB DA BC D A BCD A BD 2個(gè)）標(biāo)1的相鄰最小項(xiàng)，可以合并為一項(xiàng)，（2）任何4個(gè)（2并消去2個(gè)變量。ABC0100100

40、11111111010ABC ABC ABC ABC ( AB AB AB AB)CCA BC A BC ABC ABC ( A C A C AC AC) B BABCD00011110000100011111110110100100CDABABCD00011110000110011001111001100110ABCD00011110001001010110110110101001本 3個(gè)）標(biāo)1的相鄰最?。?）任何8個(gè)（2越原理。這就是利多用卡諾圖化簡(jiǎn)到邏輯的邏函數(shù)的基 就式達(dá)輯表得所而，從。就越單也簡(jiǎn)量變的多，即由這些最小項(xiàng)所形成的圈越大，消去越為一項(xiàng)，并消去個(gè)變量。包含的最小項(xiàng)數(shù)目并小結(jié)

41、：相鄰最小項(xiàng)的數(shù)目必須為個(gè)才能合項(xiàng)，可以合并為一項(xiàng)，并消去3個(gè)變量。ABCD00011110000110010110110110100110ABCD000111100011110100001100001011114、圖形法化簡(jiǎn)的基本步驟邏輯表達(dá)式或真值表1Y ( A, B, C , D) m(3,5,7,8,11,12,13,15)1ABCD000111000010010110111110101010卡諾圖10個(gè)標(biāo)的方格2。不能漏掉任何一。的余多是就個(gè)圈都要有新的方格，否則它每方格可同時(shí)畫(huà)在幾個(gè)圈內(nèi)，但個(gè)方格數(shù)目必須為的圈越大越好，但每圈中同一 標(biāo)i2ABCD00011110000010010

42、110111110101010個(gè)2 個(gè)。的乘積3項(xiàng)相加將代表每個(gè)圈冗余項(xiàng)合并最小項(xiàng)3 Y ( A, B, C , D) BD CD AC D最簡(jiǎn)與或表達(dá)式兩點(diǎn)說(shuō)明： 在有些情況下，最小項(xiàng)的圈法不只一種，得到的各個(gè)乘積項(xiàng)組成的與或表達(dá)式各不相同，哪個(gè)是最簡(jiǎn)的，要經(jīng)過(guò)比較、檢查才能確定。 ABCD00011110001000011100110110101110 ABCD 00011110001000011100110110101110不是最簡(jiǎn)最簡(jiǎn) 在有些情況下，不同圈法得到的與或表達(dá)式都是最簡(jiǎn)形式。即一個(gè)函數(shù)的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式不是唯一的。 ABCD00011110001101011100110111

43、100000 ABCD000111100011010111001101111000001.4.4 含隨意項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)1、含隨意項(xiàng)的邏輯函數(shù)隨意項(xiàng)：函數(shù)可以隨意取值（可以為0，也可以為1）或不會(huì)出現(xiàn)隨意項(xiàng)的變量取值所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)稱為隨意項(xiàng)，也叫做約束項(xiàng)或無(wú)關(guān)項(xiàng)。 例如：判斷一位十進(jìn)制數(shù)是否為偶數(shù)。ABCD0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 1Y10101010ABCD1 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 1Y10說(shuō) 明不會(huì)出現(xiàn)不會(huì)出現(xiàn)不會(huì)出現(xiàn)不會(huì)

44、出現(xiàn)不會(huì)出現(xiàn)不會(huì)出現(xiàn)ABCD00011110001001011001111010 輸入變量A，B，C，D取值為00001001時(shí)，邏輯函數(shù)Y有確定的值，根據(jù)題意，偶數(shù)時(shí)為1，奇數(shù)時(shí)為0。Y ( A , B , C , D ) m ( 0 , 2 , 4 , 6 ,8 ) A，B，C，D取值為1010 1111的情況不會(huì)出現(xiàn)或不允許出現(xiàn)，對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)屬于隨意項(xiàng)。用符號(hào)“ 、“” ” 或“d”表示。 隨意項(xiàng)之和構(gòu)成的邏輯表達(dá)式叫做 隨意條件或約束條件，用一個(gè)值恒為 0 的條件等式表示。d (10 ,11,12 ,13 ,14 ,15 ) 0含有隨意條件的邏輯函數(shù)可以表示成如下形式：F ( A, B

45、, C , D) m(0,2,4,6,8) d (10,11,12,13,14,15)2、含隨意項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn) 在邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)中，充分利用隨意項(xiàng)可以得到更加簡(jiǎn)單的邏輯表達(dá)式，因而其相應(yīng)的邏輯電路也更簡(jiǎn)單。在化簡(jiǎn)過(guò)程中，隨意項(xiàng)的取值可視具體情況取0或取1。具體地講，如果隨意項(xiàng)對(duì)化簡(jiǎn)有利，則取1；如果隨意項(xiàng)對(duì)化簡(jiǎn)不利，則取0。ABCD00011110001001011001111010不利用隨意項(xiàng)的化簡(jiǎn)結(jié)果為：Y AD AC D利用隨意項(xiàng)的化簡(jiǎn)結(jié)果為：Y D3、變量互相排斥的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn) 在一組變量中，如果只要有一個(gè)變量取值為1，則其它變量的值就一定為0，具有這種制約關(guān)系的變量叫做互相排斥

46、的變量。變量互相排斥的邏輯函數(shù)也是一種含有隨意項(xiàng)的邏輯函數(shù)。A00001111B00110011C01010101Y0111ABC01000101111101Y A BCABCY111簡(jiǎn)化真值表本節(jié)小結(jié) 邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)有公式法和圖形法等。公式法是利用邏輯代數(shù)的公式、定理和規(guī)則來(lái)對(duì)邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)，這種方法適用于各種復(fù)雜的邏輯函數(shù)，但需要熟練地運(yùn)用公式和定理，且具有一定的運(yùn)算技巧。圖形法就是利用函數(shù)的卡諾圖來(lái)對(duì)邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)，這種方法簡(jiǎn)單直觀，容易掌握，但變量太多時(shí)卡諾圖太復(fù)雜，圖形法已不適用。在對(duì)邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)時(shí)，充分利用隨意項(xiàng)可以得到十分簡(jiǎn)單的結(jié)果。1.5 邏輯函數(shù)的表示 方法及其相互轉(zhuǎn)換1.5.1

47、 邏輯函數(shù)的表示方法1.5.2 邏輯函數(shù)表示方法之間的轉(zhuǎn)換退出1.5.1 邏輯函數(shù)的表示方法1、真值表 真值表：是由變量的所有可 能取值組合及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值所構(gòu) 成的表格。 真值表列寫方法：每一個(gè)變量均 i種不有0、1兩種取值，n個(gè)變量共有2 i種不同的取值按順同的取值，將這2序（一般按二進(jìn)制遞增規(guī)律）排列起來(lái)，同時(shí)在相應(yīng)位置上填入函數(shù)的值，便可得到邏輯函數(shù)的真值表。A0000111B00110011C01010101Y00010011 例如：當(dāng)A=B=1、或則B=C=1時(shí)， 1函數(shù)Y=1；否則Y=0。2、邏輯表達(dá)式 邏輯表達(dá)式：是由邏輯變量和與、或、非3種運(yùn)算符連接起來(lái)所構(gòu)成的式子。 函數(shù)的

48、標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式的列寫方法：將函數(shù)的真值表中那些使函數(shù)值為1的最小項(xiàng)相加，便得到函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式。3、卡諾圖 卡諾圖：是由表示變量的所有可能取值組合的小方格所構(gòu)成的圖形。 邏輯函數(shù)卡諾圖的填寫方法：在那些使函數(shù)值為1的變量取值組合所對(duì)應(yīng)的小方格內(nèi)填入1，其余的方格內(nèi)填入0，便得到該函數(shù)的卡諾圖。Y A BC ABC ABC m(3,6,7) ABC 0 100000101111110004、邏輯圖 邏輯圖：是由表示邏輯運(yùn)算的邏輯符號(hào)所構(gòu)成的圖形。AB1BC&Y& 、波形圖 波形圖：是由輸入變量的所有可能取值組合的高、低電平及其對(duì)應(yīng)的輸出函數(shù)值的高、低電平所構(gòu)成的圖形。T 2R2T3ABT2R3R5T4YT512374LS514567R4VCC 2B 2C 2D 2E 2F 2Y14131211 1