第四節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征

1、醫(yī)用高等數(shù)學(xué)醫(yī)用高等數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望(mathematical expectation) 例例1 小組小組 8 個(gè)人，英語得個(gè)人，英語得 90 分的分的 3 人，人，80 分的分的 4 人，人， 60 分的分的 1 人，求平均分?jǐn)?shù)人，求平均分?jǐn)?shù). 816084808390143160480390X表示分?jǐn)?shù)表示分?jǐn)?shù),X的分布：的分布：X908060pi3/84/81/812021302125 3 110135 14010223111120130125110135140101010101010126 X 120 130 125110 135140piX表示表示,X的分布：的分布：2231111

2、01010101010()(1,2,)iiP Xxpi醫(yī)用高等數(shù)學(xué)1iiix p1iiix p【例例3 3】甲乙兩人進(jìn)行打靶，所得分?jǐn)?shù)分別記甲乙兩人進(jìn)行打靶，所得分?jǐn)?shù)分別記為為X X，Y Y，它們的分布律分別為，它們的分布律分別為試比較他們成績的好壞試比較他們成績的好壞解解 我們分別計(jì)算我們分別計(jì)算X X和和Y Y的數(shù)學(xué)期望：的數(shù)學(xué)期望： EX=0EX=00+10+10.2+20.2+20.8=1.80.8=1.8（分）。（分）。 EY=0EY=00.1+10.1+10.8+20.8+20.1=10.1=1（分）。（分）。這意味著，如果進(jìn)行多次射擊，甲所得分?jǐn)?shù)的平均這意味著，如果進(jìn)行多次射擊，

3、甲所得分?jǐn)?shù)的平均值接近于值接近于1.81.8分，而乙得分的平均值接近分，而乙得分的平均值接近1 1分。很明分。很明顯乙的成績遠(yuǎn)不如甲。顯乙的成績遠(yuǎn)不如甲。101iiiEXx p122.9984.995EXEX 醫(yī)用高等數(shù)學(xué)(1)kP1 (1)kP111(1)1 (1) 1(1)kkkkEXpppkkk 1EX11(1)kpk1,(1)kP1 (1)kP 0.01,11p 若取k11(1)0.1956kEXpk 1(1)kpkX1012pi0.10.20.40.3X2014pi【例例6】設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為的分布律為求求E(2X 1)，E(X 2)解解： E(2X 1) = 2 (1

4、) 1 0.1 + 2 0 1 0.2+ 2 1 1 0.4 + 2 2 1 0.3 = 0.8E(X2) = = 1.70.2 0.5 0.3( )xp x dx( )EXxp x dx0,00,)(xxexpx10()xE Xx edx0 xxde 00 xxxeedx ()( )( )()E aXaxp x dxaxp x dxE aX()() ( )( )( )E aXbaxb p x dxaxp x dxbp x dx()aE Xb1212()()()()nnE XXXE XE XE X()()( )E XYE XE Y練習(xí)練習(xí)1 1：你：你( (花花1 1美元美元) ) ，機(jī)器擲出

5、三顆骰子（骰子從，機(jī)器擲出三顆骰子（骰子從1 1到到6 6中）。中）。 三顆骰子都是三顆骰子都是6 6，你可贏，你可贏3 3美元美元；三顆骰子有兩個(gè)；三顆骰子有兩個(gè)6 6，你可贏，你可贏2 2美美元元；三顆骰子僅有一個(gè)；三顆骰子僅有一個(gè)6 6，你可贏，你可贏1 1美元美元. . 沒有沒有6 6時(shí)，你才時(shí)，你才輸輸1 1美元美元. . 請(qǐng)問你愿意賭嗎？請(qǐng)問你愿意賭嗎？練習(xí)練習(xí)2 2：設(shè)電氣設(shè)備在某時(shí)段最大負(fù)荷的時(shí)間設(shè)電氣設(shè)備在某時(shí)段最大負(fù)荷的時(shí)間x x（單位：（單位：min)是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布密度為是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布密度為試求最大負(fù)荷的平均時(shí)間。試求最大負(fù)荷的平均時(shí)間。221,01500

6、15001(3000),15003000( )15000,xxxxp x其他于是Y 的平均值是 Y 1123P125/21675/216 15/2161/216(-1)125/216+175/216+215/216+31/216 = 17/216 0.08 解：令一次賭博你可贏解：令一次賭博你可贏Y 美元美元, ,則其分布列為則其分布列為E(Y)=練習(xí)練習(xí)1 1：你：你( (花花1 1美元美元) ) ，機(jī)器擲出三顆骰子（骰子從，機(jī)器擲出三顆骰子（骰子從1 1到到6 6中）。中）。 三顆骰子都是三顆骰子都是6 6，你可贏，你可贏3 3美元美元；三顆骰子有兩個(gè)；三顆骰子有兩個(gè)6 6，你可贏，你可贏

7、2 2美美元元；三顆骰子僅有一個(gè)；三顆骰子僅有一個(gè)6 6，你可贏，你可贏1 1美元美元. . 沒有沒有6 6時(shí)，你才時(shí)，你才輸輸1 1美元美元. . 請(qǐng)問你愿意賭嗎？請(qǐng)問你愿意賭嗎？練習(xí)練習(xí)2：設(shè)電氣設(shè)備在某時(shí)段最大負(fù)荷的時(shí)間設(shè)電氣設(shè)備在某時(shí)段最大負(fù)荷的時(shí)間x x（單位：（單位：min)是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布密度為是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布密度為試求最大負(fù)荷的平均時(shí)間。試求最大負(fù)荷的平均時(shí)間。221,0150015001(3000),15003000( )15000,xxxxp x其他解解：最大負(fù)荷的平均時(shí)間，即為：最大負(fù)荷的平均時(shí)間，即為x x的數(shù)學(xué)期望，故的數(shù)學(xué)期望，故 dx)x(xpEx x

8、 3000150021500023000150011500dx)x(xdxxx(min)1500 注：數(shù)學(xué)期望是體現(xiàn)隨機(jī)變量集中位置的數(shù)字特征。注：數(shù)學(xué)期望是體現(xiàn)隨機(jī)變量集中位置的數(shù)字特征。（環(huán)）92 . 0106 . 092 . 08EX)(91 . 0108 . 091 . 08環(huán)EY回顧回顧甲甲乙乙 方差的概念方差的概念 例：例： 現(xiàn)有甲、乙兩位射手，甲射手射擊中命中的環(huán)數(shù)現(xiàn)有甲、乙兩位射手，甲射手射擊中命中的環(huán)數(shù) 用用X表示，乙射手射擊中命中的環(huán)數(shù)用表示，乙射手射擊中命中的環(huán)數(shù)用Y表示，甲、乙兩射手射表示，甲、乙兩射手射擊中命中的環(huán)數(shù)分布分別為：擊中命中的環(huán)數(shù)分布分別為： 現(xiàn)在問甲、乙

9、兩位射手誰的射擊水平誰更穩(wěn)定些？現(xiàn)在問甲、乙兩位射手誰的射擊水平誰更穩(wěn)定些？ 易知，甲、乙兩位射手每次射擊命中的平均環(huán)數(shù)分別為易知，甲、乙兩位射手每次射擊命中的平均環(huán)數(shù)分別為 ， 通常用通常用 來表達(dá)隨機(jī)變量來表達(dá)隨機(jī)變量X取值的分散程取值的分散程度或集中程度度或集中程度 據(jù)此分析，算得據(jù)此分析，算得 2E XEX4 . 02 . 0)910(6 . 0)99(2 . 0)98()(2222EXXE2 . 01 . 0) 910(8 . 0) 99 (1 . 0) 98 ()(2222EYYE22EYYEEXXEv由于由于 , ,v因此因此, ,我們認(rèn)為乙的射擊水平更穩(wěn)定些。我們認(rèn)為乙的射擊水

10、平更穩(wěn)定些。甲：甲：乙：乙：方差，記為方差，記為D(X)D(X)或或var(X)var(X)醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 07-04-20()V X()SDV X12)()(iiipEXxXVdxxpEXxXV)()()(2醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 07-04-22證明證明: D(X)=EX-E(X)2 222() () E XXE XE X22()2 () () ()E XE X E XE X22() ()E XE X【例例】設(shè)設(shè)X的概率密度為的概率密度為 求：求：DX. 解：解： 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 07-04-28 2)(E)(E)(D x x x x x x 2)E()E(E x xx x 22)E(E)E(E x x

11、x x )EEEE(E x x x xx x x x 222)E(E)E(E x xx x )E)(E(E x xx x 2獨(dú)立性獨(dú)立性22)E(E)E(E x xx x x xDD 醫(yī)用高等數(shù)學(xué)0,00,)(xxexpx21()D X指數(shù)分布：指數(shù)分布：1EX醫(yī)用高等數(shù)學(xué)()V X()()V XCV XEX【練習(xí)練習(xí)】設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X X具有概率密度具有概率密度 ,D(X)E X求解：解： 0110110E Xxx dxxx dx01222101116E Xxx dxxx dx于是它由公式，得于是它由公式，得 2216D XE XE X 1,101,010,xxf xxx 其它()(1

12、,2,)iiP Xxpi1iiix p( )EXxp x dx()()E aXE aX()Ea Xb()aE Xb1212()()()()nnE XXXE XE XE X0-10-1分布分布 B(1, p) , 101ppPXE(X)=1p+0(1-p)=p；1 1、二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 B(n, p)00!()(1)!()!nnkn kkkknE Xkpkppknk(1) 0,1,.kknkknpP XkC ppkn1(1)(1)1(1)!(1)(1)!()!nknkknnpppknk;nplnlnllnppCnpkl1101)1(1令幾個(gè)重要的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望幾個(gè)重要的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E(

13、X2)=1p+0(1-p)=p；(1)DXpp1、二項(xiàng)分布B(n, p)nkppCkXPknkkn,.1 , 0 )1 (設(shè)則,1niiXX22)()()( iiiXEXEXDniiXDXD1)()( )1 ()1 (1pnpppni)1 (2pppp, ,0 , 1次實(shí)驗(yàn)不成功第次實(shí)驗(yàn)成功第iiXi且2、泊松分布., 2, 1, 0,!kekkXPXk011;)!1(!)(kkkkekekkXE222220222222()()( ()(1)( ()(1)()( ()(1)!(2)!kkkkD XE XE XE X XXE XE X XE XE Xk kekeke e已知 E(X)=01!kk

14、ek3 3、正態(tài)正態(tài)分布分布 X N( , 2)2222/22/2/2/2.,2()()02222ttttXZXetE Ztedtedte先求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的期望與方差1的概率密度為: (t)=則11-1因?yàn)橐驗(yàn)閄= + Z則：則：E(X) = E( + Z)= D(X)=D( + Z)= 2D(Z)= 2( )1D Z 2222/2/2()()22ttE Zt edttd e 1122/2/2122ttteedt-11 解：二項(xiàng)分布B(n, p)，E(X)=np, V(X)=np(1-p)(1) np=8, np(1-p)=4.8 解得：解得：n=20, p=0.4( (2) 2) E(2X+

15、1)= 2E(X)+1= 17, E(2X-1)= 2E(X)-1= 15(3) V(2X+1)= 4V(X)=19.2222 2222醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 07-04-39()()( )()P ABP AABP AP AB()(|)( ( )0)( )P ABP A BP AP BniiiABPAPBP1)|()()(1niiBAB1( )()niiP BP ABnjjjiiiABPAPABPAPBAP1)|()()|()()|( ; ,)(0,1, )kkn knb k n pCpqkn), 2 , 1 , 0, 0(!)(kekkXPklim(;,)!knb k npek nP很大， 很小。np ( )()iixxF xP XxP(),1,2,iiP XxPixxdttpxF)()()( )(