數(shù)字信號處理(第三版)課后答案及學習指導(高西全丁玉美)第二章

1、時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析2.1學習要點與重要公式學習要點與重要公式2.2FT和和ZT的逆變換的逆變換2.3分析信號和系統(tǒng)的頻率特性分析信號和系統(tǒng)的頻率特性2.4例題例題2.5習題與上機題解答習題與上機題解答時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章2.1學習要點與重要公式學習要點與重要公式數(shù)字信號處理中有三個重要的數(shù)學變換工具， 即傅里葉變換（FT）、 Z變換（ZT）和離散傅里葉變換（DFT）。 利用它們可以將信號和系統(tǒng)在時域空間和頻域空間相互轉(zhuǎn)換， 這大大方便了對信號和系統(tǒng)的分析和處理。 三種變換互有聯(lián)系， 但又不同。 表征一個信號和系統(tǒng)的頻域特性是用傅里葉變

2、換。 Z變換是傅里葉變換的一種推廣， 單位圓上的Z變換就是傅里葉變換。時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章在z域進行分析問題會感到既靈活又方便。 離散傅里葉變換是離散化的傅里葉變換， 因此用計算機分析和處理信號時， 全用離散傅里葉變換進行。 離散傅里葉變換具有快速算法FFT， 使離散傅里葉變換在應(yīng)用中更加方便與廣泛。 但是離散傅里葉變換不同于傅里葉變換和Z變換， 它將信號的時域和頻域， 都進行了離散化， 這是它的優(yōu)點。 但更有它自己的特點， 只有掌握了這些特點， 才能合理正確地使用DFT。 本章只學習前兩種變換， 離散傅里葉變換及其FFT將在下一章學習。時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章2.1.1學

3、習要點學習要點（1） 傅里葉變換的正變換和逆變換定義， 以及存在條件。 （2）傅里葉變換的性質(zhì)和定理： 傅里葉變換的周期性、 移位與頻移性質(zhì)、 時域卷積定理、 巴塞伐爾定理、 頻域卷積定理、 頻域微分性質(zhì)、 實序列和一般序列的傅里葉變換的共軛對稱性。 （3）周期序列的離散傅里葉級數(shù)及周期序列的傅里葉變換表示式 。（4）Z變換的正變換和逆變換定義， 以及收斂域與序列特性之間的關(guān)系。時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章（5） Z變換的定理和性質(zhì)： 移位、 反轉(zhuǎn)、 z域微分、 共軛序列的Z變換、 時域卷積定理、 初值定理、 終值定理、 巴塞伐爾定理。 （6） 系統(tǒng)的傳輸函數(shù)和系統(tǒng)函數(shù)的求解。 （7） 用

4、極點分布判斷系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。 （8） 零狀態(tài)響應(yīng)、 零輸入響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的求解。 （9） 用零極點分布定性分析并畫出系統(tǒng)的幅頻特性。 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章2.1.2重要公式重要公式（1）nnnxeXjje )()(jjde )e (21)(nXnx這兩式分別是傅里葉變換的正變換和逆變換的公式。 注意正變換存在的條件是序列服從絕對可和的條件， 即nnx)(時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章（2） knxnxkXNnknN e )()(DFS)(102jnkXNkXnxkknN e )(1)(IDFS)(2j這兩式是周期序列的離散傅里葉級數(shù)變換對， 可用以表現(xiàn)周期序列的頻譜特性。時

5、域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章 （3） )2()(2)(FT)e (jkkNkXNnxX該式用以求周期序列的傅里葉變換。 如果周期序列的周期是N， 則其頻譜由N條譜線組成， 注意畫圖時要用帶箭頭的線段表示。（4） 若y(n)=x(n)*h(n), 則)e ()e ()e (jjjHXY這是時域卷積定理。時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章（5） 若y(n)=x(n)h(n), 則)e ()e (21)e (jjjXHY這是頻域卷積定理或者稱復卷積定理。 （6） )()(21)(enxnxnx)()(21)(onxnxnx時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章式中, xe(n)和xo(n)是序列x(n)的

6、共軛對稱序列和共軛反對稱序列， 常用以求序列的xe(n)和xo(n)。 （7） nnznxzX)()(),( d)(21)(1xxcnRRczzzXjnx這兩式分別是序列Z變換的正變換定義和它的逆Z變換定義。 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章（8） d)(21)(222jneXnxcnvvvYvXnynxd)1()(21)()(1,min1,maxyxyxRRvRRyxyxRRRR1時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章前兩式均稱為巴塞伐爾定理， 第一式是用序列的傅里葉變換表示， 第二式是用序列的Z變換表示。 如果令x(n)=y(n)， 可用第二式推導出第一式。（9） 若x(n)=a|n|, 則)1

7、)(1 (1)(12azazazX1azax(n)=a|n|是數(shù)字信號處理中很典型的雙邊序列， 一些測試題都是用它演變出來的。 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章2.2FT和和ZT的逆變換的逆變換（1） FT的逆變換為 jjde )e (21)(nXnx用留數(shù)定理求其逆變換， 或者將z=ej代入X(ej)中， 得到X(z)函數(shù)， 再用求逆Z變換的方法求原序列。 注意收斂域要取能包含單位圓的收斂域， 或者說封閉曲線c可取單位圓。 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章例如， 已知序列x(n)的傅里葉變換為jje11)e (aX1a求其反變換x(n)。 將z=ej代入X(ej)中， 得到111)(azzX

8、因極點z=a， 取收斂域為|z|a|， 由X(z)很容易得到x(n)=anu(n)。 （2） ZT的逆變換為),( d)(21)(1xxcnRRczzzXjnx時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章求Z變換可以用部分分式法和圍線積分法求解。 用圍線積分法求逆Z變換有兩個關(guān)鍵。 一個關(guān)鍵是知道收斂域以及收斂域和序列特性之間的關(guān)系， 可以總結(jié)成幾句話： 收斂域包含點， 序列是因果序列； 收斂域在某圓以內(nèi)， 是左序列； 收斂域在某圓以外， 是右序列； 收斂域在整個z面， 是有限長序列； 以上、 、 均未考慮0與兩點， 這兩點可以結(jié)合問題具體考慮。另一個關(guān)鍵是會求極點留數(shù)。 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章

9、2.3分析信號和系統(tǒng)的頻率特性分析信號和系統(tǒng)的頻率特性求信號與系統(tǒng)的頻域特性要用傅里葉變換。 但分析頻率特性使用Z變換卻更方便。 我們已經(jīng)知道系統(tǒng)函數(shù)的極、 零點分布完全決定了系統(tǒng)的頻率特性， 因此可以用分析極、 零點分布的方法分析系統(tǒng)的頻率特性， 包括定性地畫幅頻特性， 估計峰值頻率或者谷值頻率， 判定濾波器是高通、 低通等濾波特性， 以及設(shè)計簡單的濾波器（內(nèi)容在教材第5章）等。時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章根據(jù)零、 極點分布可定性畫幅頻特性。 當頻率由0到2變化時， 觀察零點矢量長度和極點矢量長度的變化， 在極點附近會形成峰。 極點愈靠進單位圓， 峰值愈高； 零點附近形成谷， 零點愈靠進

10、單位圓， 谷值愈低， 零點在單位圓上則形成幅頻特性的零點。 當然， 峰值頻率就在最靠近單位圓的極點附近， 谷值頻率就在最靠近單位圓的零點附近。 濾波器是高通還是低通等濾波特性， 也可以通過分析極、 零點分布確定， 不必等畫出幅度特性再確定。 一般在最靠近單位圓的極點附近是濾波器的通帶； 阻帶在最靠近單位圓的零點附近， 如果沒有零點， 則離極點最遠的地方是阻帶。 參見下節(jié)例2.4.1。 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章2.4例題例題例例2.4.1已知IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)試判斷濾波器的類型（低通、 高通、 帶通、 帶阻）。 （某校碩士研究生入學考試題中的一個簡單的填空題）解解： 將系統(tǒng)函數(shù)寫

11、成下式:19 . 011)(zzH9 . 09 . 011)(1zzzzH時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章系統(tǒng)的零點為z=0， 極點為z=0.9， 零點在z平面的原點， 不影響頻率特性， 而惟一的極點在實軸的0.9處， 因此濾波器的通帶中心在=0處。 毫無疑問， 這是一個低通濾波器。 例例2.4.2假設(shè)x(n)=xr(n)+jxi(n)， xr(n)和xj(n)為實序列， X(z)=ZTx(n)在單位圓的下半部分為零。 已知其它 02 410 21)(nnnxr求X（ej）=FTx(n)。時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章解解： Xe(ej)=FTxr(n)2cos1 (21e41e4121)(

12、FT)e (2 j2 jrjenxX)e ()e (21)e (jjjeXXX因為X(ej)=02所以X(e-j)=X(ej(2-)=00時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章當0時， ， 故)e (21)e (jjeXX)2cos1 (21)e (21)e (jjeXX2cos1)e (jX當2時， X(ej)=0， 故 02cos1)e (jX02時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章因此ReX(ej)=X(ej)ImX(ej)=0例例2.4.3已知02)(nNnnx0nNN+1n2Nn0, 2Nn求x(n)的Z變換。 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章解解： 題中x(n)是一個三角序列， 可以看做兩個

13、相同的矩形序列的卷積。 設(shè)y(n)=RN(n)*RN(n), 則 0) 1(210)()()(nNnnRnRnyNNn00nN1Nn2N12Nn將y(n)和x(n)進行比較， 得到y(tǒng)(n1)=x(n)。 因此 Y（z）z1=X(z)Y(z)=ZTRN(n)ZTRN(n)時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章zzzzzzznRNNNNnnN0 , ) 1(111)(ZT1110故212111111) 1(1) 1(1)(zzzzzzzzzzzXNNNNNN例例2.4.4時域離散線性非移變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為為常數(shù)和babzazzH ,)(1)(時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章 （1） 要求系統(tǒng)穩(wěn)定

14、， 確定a和b的取值域。 （2） 要求系統(tǒng)因果穩(wěn)定， 重復（1）。 解： （1） H(z)的極點為a、 b， 系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是收斂域包含單位圓， 即單位圓上不能有極點。 因此， 只要滿足|a|1, |b|1即可使系統(tǒng)穩(wěn)定， 或者說a和b的取值域為除單位圓以的整個z平面。（2） 系統(tǒng)因果穩(wěn)定的條件是所有極點全在單位圓內(nèi)， 所以a和b的取值域為0|a|1, 0|b|1時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章例例2.4.5, f1=10 Hz， f2=25 Hz， 用理想采樣頻率Fs=40 Hz對其進行采樣得到。 （1） 寫出的表達式;（2） 對進行頻譜分析， 寫出其傅里葉變換表達式， 并畫出其幅度譜；（3

15、）如要用理想低通濾波器將cos(2f1t)濾出來， 理想濾波器的截止頻率應(yīng)該取多少？) 2cos() 2cos()(21tftftx)(tx)(tx)(tx解：)( )2cos()2cos()( 21nTtnTfnTftxn時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章（2） 按照采樣定理, 的頻譜是x(t)頻譜的周期延拓， 延拓周期為Fs=40 Hz，x(t)的頻譜為)( tx)2()2()2()2()(2211ffffjX)( )(txFTjX )jj (1nsnXT)22()22( )22()22( 2211nFfnFfnFfnFfTssssn畫出幅度譜如圖2.4.1所示。時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析

16、第章圖2.4.1時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章（3） 觀察圖2.4.1， 要把cos(2f1t)濾出來， 理想低通濾波器的截止頻率fc應(yīng)選在10 Hz和20 Hz之間，可選fc15 Hz。 如果直接對模擬信號x(t)=cos(2f1t)+cos(2f2t)進行濾波， 模擬理想低通濾波器的截止頻率選在10 Hz和25 Hz之間， 可以把10 Hz的信號濾出來， 但采樣信號由于把模擬頻譜按照采樣頻率周期性地延拓， 使頻譜發(fā)生變化，因此對理想低通濾波器的截止頻率要求不同。 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章例例2.4.6對x(t)=cos(2t)+cos(5t)進行理想采樣， 采樣間隔T=0.25

17、s， 得到， 再讓通過理想低通濾波器G(j)， G(j)用下式表示:)( tx)( tx404 25. 0)j (G(1) 寫出的表達式;(2) 求出理想低通濾波器的輸出信號y(t)。)( tx時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章)( )5cos() 2cos()( nTtnTnTtxn解解：(1)( )25. 1cos() 5 . 0cos(nTtnnn時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章（2） 為了求理想低通濾波器的輸出， 要分析的頻譜。 中的兩個余弦信號頻譜分別為在0.5和1.25的位置， 并且以2為周期進行周期性延拓， 畫出采樣信號的頻譜示意圖如圖2.4.2（a）所示， 圖2.4.2（b）是理

18、想低通濾波器的幅頻特性。 顯然， 理想低通濾波器的輸出信號有兩個， 一個的數(shù)字頻率為0.5， 另一個的數(shù)字頻率為0.75， 相應(yīng)的模擬頻率為2和3， 這樣理想低通濾波器的輸出為y(t)=0.25cos(2t)+cos(3t)( tx)( tx)( tx時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章圖2.4.2時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章2.5習題與上機題解答習題與上機題解答1 設(shè)X(ej)和Y(ej)分別是x(n)和y(n)的傅里葉變換， 試求下面序列的傅里葉變換： (1) x(nn0) (2) x*(n)(3) x(n) (4) x(n)*y(n)(5) x(n)y(n) (6) nx(n)(7) x

19、(2n) (8) x2(n)奇數(shù)偶數(shù)nnnxnx 0 )2/()(9(9)時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章解解：（1） nnnnxnnxj00e )()(FT令n=nn0, 即n=n+n0， 則)e (e )()(FTjj)(j000Xenxnnxnnnn（2）)e (e )(e )()(FTjjjXnxnxnxnnnn時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章（3） nnnxnxje )()(FT令n=n， 則)e (e )()(FTjjXnxnxnn（4） FTx(n)*y(n)=X(ej)Y(ej) 下面證明上式成立： mmnymxnynx)()()()(時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章mnnmn

20、ymxnynxje)()()()(FT令k=nm, 則)e ()e (e )(e )(ee)()()()(FTjjjjjjyxmxkykymxnynxmnkkmnkk時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章（5） nnnnnYnxnynxnynxjjjjede )e (21)( e )()()()(FT)( j)( jd)e ()e (21de )()e (21XYnxYjnnj時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章或者 )( jjd)e ()e (21)()(FTYXnynx（6） 因為nnnxXjje )()e (對該式兩邊求導， 得到)(jFTe )(jd)e (dnnxnnxXnnjj時域離散信號和

21、系統(tǒng)的頻域分析第章因此d)e (dj)(FTjXnnx（7） nnnxnxje)2()2(FT令n=2n， 則時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章)(e)e (21)(ee )(21e)() 1()(21e )()2(FT)(21j21j21j21j21j， 2/jXXenxnxnxnxnxnxnnnjnnnnnnnn取偶數(shù)時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章或者)e()e (21)2(FT21j21jXXnx（8） nnnxnxj22e )()(FT利用（5）題結(jié)果， 令x(n)=y(n), 則d)e ()e (21)e ()e (21)(FTjjjj2XXXXnx時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章（

22、9）nnnxnxje )2/()2/(FT令n=n/2， 則)e (e )()2/(FT2 j2 jXnxnxnn2 已知 |, 0|, 1)e (00jX求X(ej)的傅里葉反變換x(n)。 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章解解： nnnxnsinde21)(0j003. 線性時不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（頻率響應(yīng)函數(shù)）H(ej)=|H(ej)|ej()， 如果單位脈沖響應(yīng)h(n)為實序列， 試證明輸入x(n)=A cos(0n+j)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為)(cos| )e (|)(00j0jnHAny時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章解解： 假設(shè)輸入信號x(n)=ej0n，系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)為h(n)， 則系統(tǒng)

23、輸出為nmmnmmnHmhmhnxnhny00000jjjj)(je )e (e )(e e )()()()(上式說明當輸入信號為復指數(shù)序列時， 輸出序列仍是復指數(shù)序列， 且頻率相同， 但幅度和相位取決于網(wǎng)絡(luò)傳輸函數(shù)。 利用該性質(zhì)解此題：時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章)cos()(0jnAnxeeee 21jjjj00jjnnA)(jjjj)(jjjjjjjjjj0000000000e)e (eee)e (e21)e (ee)e (ee 21)(jjjjHHeAHHAnynnnn時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章上式中|H(ej)|是的偶函數(shù)， 相位函數(shù)是的奇函數(shù)， |H(ej)|=|H(e-

24、j)|， ()=(), 故)(cos()e (eeeeee)e (21)(00j)(j)(jjj000000jjjnHAHAnynjjnj4設(shè)其它01 . 01)(nnx時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章將x(n)以4為周期進行周期延拓， 形成周期序列， 畫出x(n)和的波形， 求出的離散傅里葉級數(shù)和傅里葉變換。)(nx)(nx)(nx)(kX解： 畫出x(n)和的波形如題4解圖所示。 )(nx為周期以4) ( e)4cos(2)ee (ee1ee )()(DFS)(4j4j4j4j2j102j42j30kXknxnxkXkkkkknknknn時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章題4解圖時域離散信號

25、和系統(tǒng)的頻域分析第章或者 為周期以4)( 41sin21sine )e(ee)ee (ee1e1e)(4141j41j41j21j21j21j2j102jkXkkkXkjkkkkkkkkjnkn時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章)2( e )4cos()2( )(2)42()(42)(FT)e (4jjkkkkXkkXnxXkkkk時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章5. 設(shè)題5圖所示的序列x(n)的FT用X(ej)表示， 不直接求出X(ej)， 完成下列運算或工作：題5圖時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章)e (0 jX(1)(2)jd)e (X(3)e (jX(4) 確定并畫出傅里葉變換實部ReX

26、(ej)的時間序列xa(n)；2jd| )(e|X(5)(6)d|d)e (d|2jX時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章解解(1)6)()e (730 jnnxX(2)42)0(d)e (jxX(3)2)() 1(e )()e (73jjnnnnnxnxX（4） 因為傅里葉變換的實部對應(yīng)序列的共軛對稱部分， 即nnjnxeXRjeee )()()()(21)(enxnxnx時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章按照上式畫出xe(n)的波形如題5解圖所示。題5解圖時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章(5)28)(2d)e (7322njnxX(6) 因為)(jFTd)e (djnnxX因此316)(2dd)

27、e (d7322jnnnxX時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章6 試求如下序列的傅里葉變換：(1) x1(n)=(n3)(2) 1(21)() 1(21)(2nnnnx(3) x3(n)=anu(n)0a1(4) x4(n)=u(n+3)u(n4)解解(1)3jjj1ee)3()e (nnnX時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章(2)cos1)ee (211 e211e21e )()e (jjjjj2j2nnnxX(3)j0jjj3e11e e )()e (aanuaXnnnnnn時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章(4)33jjj4ee )4()3()e (nnnnnunuXjj3 jj4j31j30

28、j31j30jee1e1e1e1eeeennnnnnnn)21sin()27sin(e)ee (e)ee (eee1e1e1eee1e1e1e13j21j21j21j27j27j27j3 jj7 jj4 j3 jj3jj4 j時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章或者: ) 3()4() 3()(73nRnununxnnnRXj7j4e )3()e (j7 j60j7e1e1e)(FTnnnRnnnRXj7j4e )3()e (3 jj7 jee1e1)21sin()27sin()ee (e)ee (ee)ee (e)ee (e2j2j2j27j27j2j3 j2j2j227j2727jjj時域離散

29、信號和系統(tǒng)的頻域分析第章7 設(shè)： （1） x(n)是實偶函數(shù)， （2） x(n)是實奇函數(shù)， 分別分析推導以上兩種假設(shè)下， 其x(n)的傅里葉變換性質(zhì)。 解解：令nnnxXjje )()e (1) 因為x(n)是實偶函數(shù)， 對上式兩邊取共軛， 得到)e (e)(e)()e (j)( jjjXnxnxXnnnn時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章因此 X(ej)=X*（ej）上式說明x(n)是實序列， X(ej)具有共軛對稱性質(zhì)。 nnnnxnxXsinj)cos(e )()e (jj由于x(n)是偶函數(shù)， x(n) sin是奇函數(shù)， 那么nnx0sin)(因此nnxXcos)()e (j時域離散信

30、號和系統(tǒng)的頻域分析第章該式說明X(ej)是實函數(shù)， 且是的偶函數(shù)。 總結(jié)以上, x(n)是實偶函數(shù)時， 對應(yīng)的傅里葉變換X(ej)是實函數(shù)， 是的偶函數(shù)。 （2） x(n)是實奇函數(shù)。 上面已推出， 由于x(n)是實序列， X(ej)具有共軛對稱性質(zhì)， 即 X(ej)=X*(ej)nnnnxnxXsinj)cos(e )()e (jj時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章由于x(n)是奇函數(shù)， 上式中x(n) cos是奇函數(shù)， 那么0cos)(nnx因此 nnxXsin)(j)(ej這說明X(ej)是純虛數(shù)， 且是的奇函數(shù)。 8 設(shè)x(n)=R4(n)， 試求x(n)的共軛對稱序列xe(n)和共軛反

31、對稱序列xo(n)， 并分別用圖表示。 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章解解：)()(21)(44enRnRnx)()(21)(44onRnRnxxe(n)和xo(n)的波形如題8解圖所示。 題8解圖時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章9已知x(n)=anu(n), 0a1， 分別求出其偶函數(shù)xe(n)和奇函數(shù)xo(n)的傅里葉變換。解解：nnnxXjje )()e (因為xe(n)的傅里葉變換對應(yīng)X(ej)的實部， xo(n)的傅里葉變換對應(yīng)X(ej)的虛部乘以j， 因此時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章cos21cos1e1e1e11e11)e ()(FT2jjjejejeeaaaaaaRaRX

32、Rnxcos21sine1e1e11Imje11Imje (Imj)(FT2jjjjjaaaaaaaXnxo時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章10 若序列h(n)是實因果序列， 其傅里葉變換的實部如下式： HR(ej)=1+cos求序列h(n)及其傅里葉變換H(ej)。 解解：nnRnhnhHjeejjje )()(FT e21e211cos1)e (時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章121011 21)(ennnnhnnnnnhnnhnnh其它01101 0)(20)(00)(ee)2/cos(e2e1e )()e (2/jjjjnnnhH時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章11 若序列h(n)是實

33、因果序列， h(0)=1， 其傅里葉變換的虛部為HI(ej)=sin求序列h(n)及其傅里葉變換H(ej)。 解解： eej21sin)e (jjjIHnnoIonhHnhjjjje )(ee 21)(ej)(FT時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章12100121)(onnnnhnnnnnhnnhnnh其它011010)(20)(00)(o)2/cos(e2e1e )()e (2/jjjjnnnhH時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章12 設(shè)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)=anu(n), 0a1， 輸入序列為x(n)=(n)+2(n2)完成下面各題： (1) 求出系統(tǒng)輸出序列y(n)； (2) 分別求出

34、x(n)、 h(n)和y(n)的傅里葉變換。 解解(1)2(2)( )2()()()()(2nuanuannnuanxnhnynnn時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章(2)2 jjje21e)2(2)()e (nnnnXj0jjje11ee )()e (aanuaHnnnnnnj2jjjje1e21)e ()e ()e (aXHY時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章13 已知xa(t)=2 cos(2f0t)， 式中f0=100 Hz， 以采樣頻率fs=400 Hz對xa(t)進行采樣， 得到采樣信號和時域離散信號x(n)， 試完成下面各題： （1） 寫出的傅里葉變換表示式Xa(j)； （2） 寫出

35、和x(n)的表達式； （3） 分別求出的傅里葉變換和x(n)序列的傅里葉變換。 解解： )(txa)(txa)(txa)(txatttttxXtttttaade ee de )cos(2de )()j ( jjjj0j00時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章上式中指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換不存在， 引入奇異函數(shù)函數(shù)， 它的傅里葉變換可以表示成： )()(2)j ( 00aX（2） )()cos(2)()()(0nnaanTtnTnTttxtxnnTnx- )cos(2)(0ms 5 . 21 rad 2002s00fTf時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章（3） )()(2 )jj (1)(s00ksksa

36、akkTkXTjX式中rad/s 8002ssf)2()2(2e ee e )cos(2e )cos(2e )()e (00jjjj0j0jj00kknnTnxXknnnnnnnnnn時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章式中0=0T=0.5 rad上式推導過程中， 指數(shù)序列的傅里葉變換仍然不存在， 只有引入奇異函數(shù)函數(shù)才能寫出它的傅里葉變換表示式。 14 求出以下序列的Z變換及收斂域:(1) 2nu(n)(2) 2nu(n1)(3) 2nu(n)(4) (n)(5) (n1)(6) 2nu(n)u(n10)時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章解(1)21 2112)(2)(2ZT110zzzznunu

37、nnnnnnn(2)21 21121222) 1(2)1(2ZT1111zzzzzzznununnnnnnnnnn時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章21 2112 2)(2)(2ZT00zzzzznununnnnnnnnnn(3)(4) ZT(n)=10|z|(5) ZT(n1)=z10|z|(6) 0 2121 2)10()(2ZT11101090zzzznununnnn時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章15 求以下序列的Z變換及其收斂域， 并在z平面上畫出極零點分布圖。 (1) x(n)=RN(n)N=4(2) x(n)=Arn cos(0n+j)u(n)r=0.9, 0=0.5 rad, j

38、=0.25 rad(3)其它02 12 0)(NnNnNNnnnx式中， N=4。時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章解(1) 0 ) 1(1z11 )()(3414304zzzzzzznRzXnnnn由z41=0， 得零點為3 , 2 , 1 , 0 ez 42jkkk由z3(z1)=0， 得極點為 z1, 2=0, 1零極點圖和收斂域如題15解圖(a)所示， 圖中, z=1處的零極點相互對消。時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章題15解圖時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章(2) )( ee eeAr21 )()cos()(jjjj000nununArnxnnnnjjje1ee1e21eeee21)(

39、1jj1j00jjjj0000zrzrAzrzrAzXjnnnnnnnnjjjj)e1 ()e1 ()cos(cos1j1j1000zrzrzrAjjrz 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章零點為 cos)cos(01jj rz極點為00j3j2e erzrz極零點分布圖如題15解圖(b)所示。(3)令y(n)=R4(n), 則x(n+1)=y(n)*y(n)zX(z)=Y(z)2, X(z)=z1Y(z)2時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章因為) 1(111)(3414zzzzzzY因此2472341) 1(11) 1(1)(zzzzzzzzX極點為z1=0, z2=1零點為3 , 2 , 1

40、, 0 e42jkzkk在z=1處的極零點相互對消， 收斂域為0|z|， 極零點分布圖如題15解圖(c)所示。時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章16 已知112122113)(zzzX求出對應(yīng)X(z)的各種可能的序列表達式。 解解： X(z)有兩個極點： z1=0.5, z2=2， 因為收斂域總是以極點為界， 因此收斂域有三種情況： |z|0.5，0.5|z|2， 2|z|。 三種收斂域?qū)?yīng)三種不同的原序列。 （1）收斂域|z|0.5： 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章zzzXjnxcnd)(21)(1令nnnzzzzzzzzzzXzF)2)(5 . 0(75 )21)(5 . 01 (75)(

41、)(11111n0時， 因為c內(nèi)無極點，x(n)=0;n1時， c內(nèi)有極點 0 ， 但z=0是一個n階極點， 改為求圓外極點留數(shù)， 圓外極點有z1=0.5, z2=2， 那么時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章) 1(22)21(3)2()2)(5 . 0()75()5 . 0()2)(5 . 0()75(2),(sRe5 . 0),( sRe)(25 . 0nuzzzzzzzzzzzFzFnxnnznzn(2)收斂域0.5|z|2:)2)(5 . 0()75()( zzzzzFn時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章n0時， c內(nèi)有極點0.5，nzFnx)21(35 . 0 ),( sRe)( n0時

42、， c內(nèi)有極點 0.5、 0 ， 但 0 是一個n階極點， 改成求c外極點留數(shù)， c外極點只有一個， 即2，x(n)=ResF(z), 2=2 2nu(n1)最后得到) 1(22)()21(3)(nununxnn時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章（3）收斂域|z|2: )2)(5 . 0()75()( zzzzzFnn0時， c內(nèi)有極點 0.5、 2，nnzFzFnx222132 ),( sRe5 . 0),( sRe)( n0時， 由收斂域判斷， 這是一個因果序列， 因此x(n)=0； 或者這樣分析， c內(nèi)有極點0.5、 2、 0， 但0是一個n階極點， 改求c外極點留數(shù)，c外無極點， 所以x

43、(n)=0。 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章最后得到)(22213)( nunxnn17 已知x(n)=anu(n), 0a1。 分別求： (1) x(n)的Z變換；(2) nx(n)的Z變換；(3) anu(n)的Z變換。解解： (1)azazznuanuazXnnnn 11)()(ZT)(1時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章azazazzXzznnx )1 ()(dd)( ZT212(2)(3)100 11)(ZTazazzazanuannnnnnn18 已知2112523)(zzzzX分別求： （1） 收斂域0.5|z|2對應(yīng)的原序列x(n)。 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章解解：cn

44、zzzXnxd)(j21)(1)2)(5 . 0(232523)()(12111zzzzzzzzzXzFnnn（1） 收斂域0.5|z|2:n0時，c內(nèi)有極點0.5，x(n)=ResF(z), 0.5=0.5n=2nn0時， c內(nèi)有極點0.5、 0， 但0是一個n階極點， 改求c外極點留數(shù)， c外極點只有2， x(n)=ResF(z), 2=2n時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章最后得到 x(n)=2nu(n)+2nu(n1)=2|n|n2:n0時， c內(nèi)有極點0.5、 2，nnznnzzzzzFzFnx25 . 0)2()2)(5 . 0(235 . 02),(sRe5 . 0),( sRe)

45、( 2時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章n0時， c內(nèi)有極點0.5、 2、 0， 但極點0是一個n階極點， 改成求c外極點留數(shù)， 可是c外沒有極點， 因此x(n)=0最后得到 x(n)=(0.5n2n)u(n)19 用部分分式法求以下X(z)的反變換：21|,252311)(211zzzzzX(1)時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章(2)21|,41121)(21zzzzX解解： (1)21z 411311)(21zzzX 4131)(22zzzzX時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章21652161 )21)(21(31 4131)(2zzzzzzzzzX)(2165)21(61)(21165211

46、61)(11nunxzzzXnn時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章(2)21z 41121)(21zzzX 21252123 2121z2z 412)(2zzzzzzzX112112521123)(zzzX時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章) 1()21(25)21(23)(nunxnn20 設(shè)確定性序列x(n)的自相關(guān)函數(shù)用下式表示： nxxmnxnxmr)()()(試用x(n)的Z變換X(z)和x(n)的傅里葉變換X(ej)分別表示自相關(guān)函數(shù)的Z變換Rxx(z)和傅里葉變換Rxx(ej)。時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章解： 解法一nxxmnxnxmr)()()(mnmmnmxxzmnxnxz

47、mnxnxzR )()()()()(令m=n+m, 則)()( )()()()()(1zXzXzmxznxzmxnxzRnmmnnmnmxx時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章解法二)()()()()()()()(1zXzXzRmxmxmnxnxmrxxnxx)e ()e ()()e (jjejjXXzRRzxxxx因為x(n)是實序列， X(ej)=X*(ej)， 因此2jj)e ()e (XRxx時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章21 用Z變換法解下列差分方程： (1) y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)， y(n)=0 n1(2) y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)， y(1)

48、=1， y(n)=0n1(3) y(n)0.8y(n1)0.15y(n2)=(n) y(1)=0.2, y(2)=0.5, y(n)=0, 當n3時。解解： (1) y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)， y(n)=0n1)1)(9 . 01 (05. 0)(1105. 0)(9 . 0)(1111zzzYzzzYzY時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章1111119 . 005. 019 . 0105. 0)()(nnnzzzzzzzzYzFn0時， 5 . 09 . 05 . 0 1 . 005. 0)9 . 0(1 . 005. 0 1),( sRe9 . 0),( sRe)(11nn

49、zFzFnyn0時， y(n)=0最后得到 y(n)=0.5 (0.9)n+1+0.5u(n)時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章(2) y(n)0.9y(n1)=0.05u(n), y(1)=1, y(n)=0 n1111105. 0)()(9 . 0)(zzkyzYzzYkk11111105. 09 . 0)(9 . 0)(105. 0) 1()(9 . 0)(zzYzzYzzyzYzzY)1)(9 . 01 (9 . 095. 0)(111zzzzY時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章nnnzzzzzzzzzzYzF) 1)(9 . 0(9 . 095. 0)1)(9 . 01 (9 . 095

50、. 0)()(11111n0時， )()5 . 0)9 . 0(45. 0( 1 ),( sRe9 . 0 ),( sRe)(nuzFzFnynn0時， y(n)=0最后得到 y(n)=0.45(0.9)n+0.5u(n)時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章(3) y(n)0.8y(n1)0.15y(n2)=(n)y(1)=0.2, y(2)=0.5, y(n)=0, 當n2時Y(z)0.8z1Y(z)+y(1)z0.15z2Y(z)+y(1)z+y(2)z2=121115. 08 . 013 . 091. 1)(zzzzYnnnzzzzzzzzzzYzF)5 . 0)(3 . 0(3 . 091

51、. 115. 08 . 013 . 091. 1)()(12111時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章n0時，nnzFzFny5 . 02 . 0275. 13 . 02 . 0873. 0 5 . 0 ),( sRe 3 . 0 ),( sRe)( y(n)=4.365 0.3n+6.375 0.5nn0時, y(n)=0最后得到 y(n)=(4.365 0.3n+6.375 0.5n)u(n)時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章22 設(shè)線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為為實數(shù)aazzazH 11)(111（1） 在z平面上用幾何法證明該系統(tǒng)是全通網(wǎng)絡(luò)， 即|H(ej)|=常數(shù)；（2） 參數(shù) a 如

52、何取值， 才能使系統(tǒng)因果穩(wěn)定？畫出其極零點分布及收斂域。 解解： 11)(1111azazazzazH(1)時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章極點為a, 零點為a1。 設(shè)a=0.6， 極零點分布圖如題22解圖(a)所示。 我們知道|H(ej)|等于極點矢量的長度除以零點矢量的長度， 按照題22解圖(a)， 得到ACABaaazazHzj1je1jee)e (j因為角公用， aOAOBOCOA1，且AOBAOC， 故aACAB1，即時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章aACABH1)e (j故H(z)是一個全通網(wǎng)絡(luò)。 或者按照余弦定理證明:1cos22aaAC1cos212aaABaaaaaaACAB

53、H1cos21cos21)(e221j時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章題22解圖時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章（2） 只有選擇|a|1才能使系統(tǒng)因果穩(wěn)定。 設(shè)a=0.6， 極零點分布圖及收斂域如題22解圖(b)所示。 23 設(shè)系統(tǒng)由下面差分方程描述： y(n)=y(n1)+y(n2)+x(n1)（1） 求系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)， 并畫出極零點分布圖；（2） 限定系統(tǒng)是因果的， 寫出H(z)的收斂域， 并求出其單位脈沖響應(yīng)h(n)；（3） 限定系統(tǒng)是穩(wěn)定性的， 寫出H(z)的收斂域， 并求出其單位脈沖響應(yīng)h(n)。 解： （1） y(n)=y(n1)+y(n2)+x(n1)將上式進行Z變換，

54、得到 Y(z)=Y(z)z1+Y(z)z2+X(z)z1時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章因此2111)(zzzzH11)(2211zzzzzzzH零點為z=0。 令z2z1=0， 求出極點： 2511z2512z極零點分布圖如題23解圖所示。 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章題23解圖時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章(2) 由于限定系統(tǒng)是因果的， 收斂域需選包含點在內(nèi)的收斂域， 即。 求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)可以用兩種方法， 一種是令輸入等于單位脈沖序列， 通過解差分方程， 其零狀態(tài)輸入解便是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)； 另一種方法是求H(z)的逆Z變換。 我們采用第二種方法。 2/ )51 ( zzzz

55、HzHTZnhcnd)(j21)()(11式中時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章 1)(212zzzzzzzzzH2511z2512z，令211)()(zzzzzzzHzFnn時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章n0時， h(n)=ResF(z), z1+ResF(z), z2nnnnzznzznzzzzzzzzzzzzzzzzzz25125151zz12221122112121因為h(n)是因果序列, n0時， h(n)=0， 故)(25125151)( nunhnn時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章(3) 由于限定系統(tǒng)是穩(wěn)定的， 收斂域需選包含單位圓在內(nèi)的收斂域， 即|z2|z|z1|, 211)

56、()(zzzzzzzHzFnnn0時， c內(nèi)只有極點z2， 只需求z2點的留數(shù)， nzzFnh)251(51),( sRe)(2時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章n0時， c內(nèi)只有兩個極點： z2和z=0， 因為z=0是一個n階極點， 改成求圓外極點留數(shù)， 圓外極點只有一個， 即z1, 那么nzzFnh25151),( sRe)(1最后得到) 1(25151)(25151)(nununynn時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章24 已知線性因果網(wǎng)絡(luò)用下面差分方程描述： y(n)=0.9y(n1)+x(n)+0.9x(n1)（1） 求網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)及單位脈沖響應(yīng)h(n)； （2） 寫出網(wǎng)絡(luò)頻率

57、響應(yīng)函數(shù)H(ej)的表達式， 并定性畫出其幅頻特性曲線； （3） 設(shè)輸入x(n)=ej0n， 求輸出y(n)。 解： （1） y(n)=0.9y(n1)+x(n)+0.9x(n1)Y(z)=0.9Y(z)z1+X(z)+0.9X(z)z1時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章119 . 019 . 01)(zzzHcnzzzHnhd)(j21)(1令119 . 09 . 0)()(nnzzzzzHzFn1時，c內(nèi)有極點0.9，nznzzzzzFnh9 . 02)9 . 0(9 . 09 . 09 . 0),( sRe)( 9 . 01時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章n=0時， c內(nèi)有極點0.9 ，

58、0，0),( sRe9 . 0),( sRe)( ZFzFnh2)9 . 0()9 . 0(9 . 09 . 0),( sRe9 . 0zzzzzzF1)9 . 0(9 . 00),(sRe0zzzzzzF最后得到 h(n)=2 0.9nu(n1)+(n)時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章（2） jje11e9 . 01e9 . 019 . 019 . 01)(FT)e (jzzznhH極點為z1=0.9, 零點為z2=0.9。 極零點圖如題24解圖(a)所示。 按照極零點圖定性畫出的幅度特性如題24解圖(b)所示。 （3）nnx0je)(00000jjjje9 . 01e9 . 01e)(e)

59、(njneHny時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章題24解圖時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章25 已知網(wǎng)絡(luò)的輸入和單位脈沖響應(yīng)分別為x(n)=anu(n),h(n)=bnu(n) 0a1, 0b1（1） 試用卷積法求網(wǎng)絡(luò)輸出y(n)； （2） 試用ZT法求網(wǎng)絡(luò)輸出y(n)。 解解： （1） 用卷積法求y(n)。mmnmmnuamubnxnhny)()()()()(n0時， babababaabaabanynnnnnnmmmnnmmmn111110011)( 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章n0時，y(n)=0最后得到)()( 11nubabanynn（2） 用ZT法求y(n)。 1111)( 1

60、1)(bzzHazzX)1)(1 (1)()()(11bzazzHzXzY，時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章zzzYnyncd)(j21)(1令bzazzbzazzzzYzFnnn1111111)()(n0時， c內(nèi)有極點： a、 b, 因此babaabbbaabzFRazFnynnnn1111),(es),(sRe)(時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章因為系統(tǒng)是因果系統(tǒng), 所以n0時， y(n)=0。 最后得到)()(11nubabanynn26 線性因果系統(tǒng)用下面差分方程描述： y(n)2ry(n1) cos+r2y(n2)=x(n)式中， x(n)=anu(n), 0a1, 0rmax(r