初中尺規(guī)作圖典型例題歸納總結(jié)

1、初中尺規(guī)作圖典型例題歸納典型例題一例 已知線(xiàn)段a、b，畫(huà)一條線(xiàn)段，使其等于分析 所要畫(huà)的線(xiàn)段等于，實(shí)質(zhì)上就是畫(huà)法：1畫(huà)線(xiàn)段2在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取線(xiàn)段AC就是所畫(huà)的線(xiàn)段說(shuō)明1尺規(guī)作圖要保留畫(huà)圖痕跡，畫(huà)圖時(shí)畫(huà)出的所有點(diǎn)和線(xiàn)不可隨意擦去2其它作圖都可以通過(guò)畫(huà)基本作圖來(lái)完成，寫(xiě)畫(huà)法時(shí)，只需用一句話(huà)來(lái)概括敘述基本作圖典型例題二例 如下圖，已知線(xiàn)段a和b，求作一條線(xiàn)段AD使它的長(zhǎng)度等于2ab錯(cuò)解 如圖（1），（1）作射線(xiàn)AM；（2）在射線(xiàn)AM上截取AB=BC=a，CD=b，則線(xiàn)段AD即為所求錯(cuò)解分析 主要是作圖語(yǔ)言不嚴(yán)密，當(dāng)在射線(xiàn)上兩次截取時(shí)，要寫(xiě)清是否順次，而在求線(xiàn)段差時(shí)，要交待截取的方向圖（1） 圖（

2、2）正解 如圖（2），（1）作射線(xiàn)AM；（2）在射線(xiàn)AM上，順次截取AB=BC=a；（3）在線(xiàn)段CA上截取CD=b，則線(xiàn)段AD就是所求作的線(xiàn)段典型例題三例 求作一個(gè)角等于已知角MON（如圖1）圖（1） 圖（2）錯(cuò)解 如圖（2），（1）作射線(xiàn)；（2）在圖（1），以O(shè)為圓心作弧，交OM于點(diǎn)A，交ON于點(diǎn)B；（3）以為圓心作弧，交于C；（4）以C為圓心作弧，交于點(diǎn)D；（5）作射線(xiàn)則即為所求的角錯(cuò)解分析 作圖過(guò)程中出現(xiàn)了不準(zhǔn)確的作圖語(yǔ)言，在作出一條弧時(shí)，應(yīng)表達(dá)為：以某點(diǎn)為圓心，以其長(zhǎng)為半徑作弧正解 如圖（2），（1）作射線(xiàn)；（2）在圖（1）上，以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交OM于點(diǎn)A，交ON于點(diǎn)B；

3、（3）以為圓心，OA的長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)C；（4）以C為圓心，以AB的長(zhǎng)為半徑作弧，交前弧于點(diǎn)D；（5）過(guò)點(diǎn)D作射線(xiàn)則就是所要求作的角典型例題四例 如下圖，已知及線(xiàn)段a，求作等腰三角形，使它的底角為，底邊為a分析 先假設(shè)等腰三角形已經(jīng)作好，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，知兩底角B=C=，底邊BC=a，故可以先作B=，或先作底邊BC=a作法 如下圖（1）MBN=；（2）在射線(xiàn)BM上截取BC=a；（3）以C為頂點(diǎn)作PCB=，射線(xiàn)CP交BN于點(diǎn)AABC就是所要求作的等腰三角形說(shuō)明 畫(huà)復(fù)雜的圖形時(shí)，如一時(shí)找不到作法，一般是先畫(huà)出一個(gè)符合條件的草圖，再根據(jù)這個(gè)草圖進(jìn)行分析，逐步尋找畫(huà)圖步驟典型例題五例 如圖（

4、1），已知直線(xiàn)AB及直線(xiàn)AB外一點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CDAB（寫(xiě)出作法，畫(huà)出圖形）分析 根據(jù)兩直線(xiàn)平行的性質(zhì)，同位角相等或內(nèi)錯(cuò)角相等，故作一個(gè)角ECD=EFB即可作法 如圖（2）圖（1） 圖（2）（1）過(guò)點(diǎn)C作直線(xiàn)EF，交AB于點(diǎn)F；（2）以點(diǎn)F為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧，交FB于點(diǎn)P，交EF于點(diǎn)Q；（3）以點(diǎn)C為圓心，以FP為半徑作弧，交CE于M點(diǎn)；（4）以點(diǎn)M為圓心，以PQ為半徑作弧，交前弧于點(diǎn)D；（5）過(guò)點(diǎn)D作直線(xiàn)CD，CD就是所求的直線(xiàn)說(shuō)明 作圖題都應(yīng)給出證明，但按照教科書(shū)的要求，一般不用寫(xiě)出，但要知道作圖的原由典型例題六例 如下圖，ABC中，a=5cm，b=3cm，c=3.5cm，B=，C

5、=，請(qǐng)你從中選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)，畫(huà)出與ABC全等的三角形（把你能畫(huà)的三角形全部畫(huà)出來(lái)，不寫(xiě)畫(huà)法但要在所畫(huà)的三角形中標(biāo)出用到的數(shù)據(jù)）分析 本題實(shí)質(zhì)上是利用原題中的5個(gè)數(shù)據(jù)，列出所有與ABC全等的各種情況，依據(jù)是SSS、SAS、AAS、ASA解 與ABC全等的三角形如下圖所示典型例題七例 正在修建的中山北路有一形狀如下圖所示的三角形空地需要綠化擬從點(diǎn)A出發(fā)，將ABC分成面積相等的三個(gè)三角形，以便種上三種不同的花草，請(qǐng)你幫助規(guī)劃出圖案（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）（2003年，桂林）分析 這是尺規(guī)作圖在生活中的具體應(yīng)用要把ABC分成面積相等的三個(gè)三角形，且都是從A點(diǎn)出發(fā)，說(shuō)明這三個(gè)三角形的高是相等的，因而只

6、需這三個(gè)三角形的底邊也相等，所以只要作出BC邊的三等分點(diǎn)即可作法 如下圖，找三等分點(diǎn)的依據(jù)是平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理典型例題八例 已知AOB，求作AOB的平分線(xiàn)OC錯(cuò)解 如圖（1）作法 （1）以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交OA、OB于D、E兩點(diǎn)；（2）分別以D、E為圓心，以大于DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于C點(diǎn)；（3）連結(jié)OC，則OC就是AOB的平分線(xiàn)錯(cuò)解分析 對(duì)角平分線(xiàn)的概念理解不夠準(zhǔn)確而致誤作法（3）中連結(jié)OC，則OC是一條線(xiàn)段，而角平分線(xiàn)應(yīng)是一條射線(xiàn)圖（1） 圖（2）正解 如圖（2）（1）以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交OA、OB于D、E兩點(diǎn)；（2）分別以D、E為圓心，以大于DE的

7、長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于C點(diǎn)；（3）作射線(xiàn)OC，則OC為AOB的平分線(xiàn)典型例題九例 如圖（1）所示，已知線(xiàn)段a、b、h（hb）求作ABC，使BC=a，AB=b， BC邊上的高AD=h圖（1）錯(cuò)解 如圖（2），（1）作線(xiàn)段BC=a；（2）作線(xiàn)段BA=b，使ADBC且AD=h則ABC就是所求作的三角形錯(cuò)解分析 不能先作BC；第2步不能同時(shí)滿(mǎn)足幾個(gè)條件，完全憑感覺(jué)毫無(wú)根據(jù)；未考慮到本題有兩種情況對(duì)于這種作圖題往往都是按照由里到外的順序依次作圖，如本題先作高AD，再作AB，最后確定BC圖（2） 圖（3）正解 如圖（3）（1）作直線(xiàn)PQ，在直線(xiàn)PQ上任取一點(diǎn)D，作DMPQ；（2）在DM上截取線(xiàn)段DA=h；

8、（3）以A為圓心，以b為半徑畫(huà)弧交射線(xiàn)DP于B；（4）以B為圓心，以a為半徑畫(huà)弧，分別交射線(xiàn)BP和射線(xiàn)BQ于和；（5）連結(jié)、，則（或）都是所求作的三角形典型例題十例 如下圖，已知線(xiàn)段a，b，求作RtABC，使ACB=90，BC=a，AC=b（用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡）分析 本題解答的關(guān)鍵在于作出ACB=90，然后確定A、B兩點(diǎn)的位置，作出ABC作法 如下圖（1）作直線(xiàn)MN：（2）在MN上任取一點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CEMN；（3）在CE上截取CA=b，在CM上截取CB=a；（4）連結(jié)AB，ABC就是所求作的直角三角形說(shuō)明 利用基本作圖畫(huà)出所求作的幾何圖形的關(guān)鍵是要先分析清楚作圖的順序若把握不好作

9、圖順序，要先畫(huà)出假設(shè)圖形典型例題十一例 如下圖，已知鈍角ABC，B是鈍角求作：（1）BC邊上的高；（2）BC邊上的中線(xiàn)（寫(xiě)出作法，畫(huà)出圖形）分析 （1）作BC邊上的高，就是過(guò)已知點(diǎn)A作BC邊所在直線(xiàn)的垂線(xiàn)；（2）作BC邊上的中線(xiàn)，要先確定出BC邊的中點(diǎn)，即作出BC邊的垂直平分線(xiàn)作法 如下圖（1）在直線(xiàn)CB外取一點(diǎn)P，使A、P在直線(xiàn)CB的兩旁；以點(diǎn)A為圓心，AP為半徑畫(huà)弧，交直線(xiàn)CB于G、H兩點(diǎn)；分別以G、H為圓心，以大于GH的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于E點(diǎn)；作射線(xiàn)AE，交直線(xiàn)CB于D點(diǎn)，則線(xiàn)段AD就是所要求作的ABC中BC邊上的高（2）分別以B、C為圓心，以大于BC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧分別交于M、

10、N兩點(diǎn)；作直線(xiàn)MN，交BC于點(diǎn)F；連結(jié)AF，則線(xiàn)段AF就是所要求作的ABC中邊BC上的中線(xiàn)說(shuō)明 在已知三角形中求作一邊上的高線(xiàn)、中線(xiàn)、角平分線(xiàn)時(shí)，首先要把握好高線(xiàn)、中線(xiàn)、角平分錢(qián)是三條線(xiàn)段；其次，高線(xiàn)、中線(xiàn)的一個(gè)端點(diǎn)必須是三角形中這邊所對(duì)的頂點(diǎn)，而關(guān)鍵是找出另一個(gè)端點(diǎn)典型例題十二例 如圖（1）所示，在圖中作出點(diǎn)C，使得C是MON平分線(xiàn)上的點(diǎn)，且AC=OC圖（1） 圖（2）分析 由題意知，點(diǎn)C不僅要在MON的平分線(xiàn)上，且點(diǎn)C到O、A兩點(diǎn)的距離要相等，所以點(diǎn)C應(yīng)是MON的平分線(xiàn)與線(xiàn)段OA的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)作法 如圖（2）所示（1）作MON的平分線(xiàn)OP；（2）作線(xiàn)段OA的垂直平分線(xiàn)EF，交OP于點(diǎn)C

11、，則點(diǎn)C就是所要求作的點(diǎn)說(shuō)明（1）根據(jù)題意弄清要求作的點(diǎn)的特征是到各直線(xiàn)距離相等，還是到各端點(diǎn)距離相等（2）兩條直線(xiàn)交于一點(diǎn)典型例題十三例 如下圖，已知線(xiàn)段a、b、求作梯形ABCD，使AD=a，BC=b，ADBC，B=；C=分析 假定梯形已經(jīng)作出，作AEDC交BC于E，則AE將梯形分割為兩部分，一部分是ABE，另一部分是AECD在ABE中，已知B=，AEB=，BE=b-a，所以，可以首先把它作出來(lái)，而后作出AECD作法 如下圖（1）作線(xiàn)段BC=b；（2）在BC上截取BE=b-a ；（3）分別以B、E為頂點(diǎn)，在BE同側(cè)作EBA=，AEB=，BA、EA交于A；（4）以EA、EC為鄰邊作AECD四邊

12、形ABCD就是所求作的梯形說(shuō)明 基本作圖是作出較簡(jiǎn)單圖形的基礎(chǔ)，三角形是最簡(jiǎn)單的多邊形，它是許多復(fù)雜圖形的基礎(chǔ)因此，要作一個(gè)復(fù)雜的圖形，常常先作一個(gè)比較容易作出的三角形，然后以此為基礎(chǔ)，再作出所求作的圖形典型例題十四例 如下圖，在一次軍事演習(xí)中，紅方偵察員發(fā)現(xiàn)藍(lán)方指揮部在A區(qū)內(nèi)，到鐵路與公路的距離相等，且離鐵路與公路交叉處B點(diǎn)700米，如果你是紅方的指揮員，請(qǐng)你在圖示的作戰(zhàn)圖上標(biāo)出藍(lán)方指揮部的位置（2002年，青島）分析 依據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)可以知道，藍(lán)方指揮部必在A區(qū)內(nèi)兩條路所夾角的平分線(xiàn)上，然后由藍(lán)方指揮部距B點(diǎn)的距離，依據(jù)比例尺，計(jì)算出圖上的距離為3.5cm，就可以確定出藍(lán)方指揮部的位置解 如下圖，圖中C點(diǎn)就是藍(lán)方指揮部的位置典型例題十五例 如圖（1），已知有公共端點(diǎn)的線(xiàn)段AB、BC求作O，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）（2002年，大連）圖（1） 圖（2）分析 因?yàn)锳、B、C三點(diǎn)在O上，所以O(shè)A=OB=OC=R根據(jù)到線(xiàn)段AB、BC各端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，故分別作線(xiàn)段AB、BC垂直平分線(xiàn)即可解 如圖（2）說(shuō)明 角平分線(xiàn)的性質(zhì)、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)在作圖題中的應(yīng)用是近幾年中考中的又一道風(fēng)景，它往往與實(shí)際問(wèn)