2021年人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊2.1.1《傾斜角與斜率》教學(xué)設(shè)計(含答案)

1、2.1.1傾斜角與斜率 本節(jié)課選自2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第二章直線和圓的方程，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)直線傾斜角與斜率。直線的傾斜角與斜率從初中所學(xué)“兩點確定一條直線”出發(fā)，引起學(xué)生對平面直角坐標系中的直線的幾何要素的確定，是今后學(xué)習(xí)直線方程的必備知識。它不僅在人們的生活、生產(chǎn)、科技中有著廣泛的實際應(yīng)用，而且通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，能夠培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、猜想、抽象概括等數(shù)學(xué)基本思維方法，并初步體會坐標法的思想。課程目標素養(yǎng)A.在平面直角坐標系中,結(jié)合具體圖形,探索確定直線位置的幾何要素.B.理解直線的傾斜角和斜率的概念.C.掌握傾斜角和斜率之間的關(guān)系.D.掌握過兩點的直線斜率的計算公式.1

2、.數(shù)學(xué)抽象：直線傾斜角與斜率的概念 2.邏輯推理：傾斜角與斜率的關(guān)系；3.數(shù)學(xué)運算：直線斜率的計算.4.直觀想象：直線的傾斜角1.教學(xué)重點：理解直線傾斜角和斜率的概念及其關(guān)系2.教學(xué)難點：過兩點的直線斜率的計算公式.多媒體教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計意圖核心素養(yǎng)目標一、情境導(dǎo)學(xué) 交通工程上一般用“坡度”來描述一段道路對于水平方向的傾斜程度,如圖,一輛汽車沿某條道路從A點前進到B點,在水平方向前進的距離為AD,豎直方向上升的高度為DB(如果是下降,則DB的值為負實數(shù)),則坡度k=上升高度水平距離=DBAD.k0表示上坡,k0表示下坡,為了實際應(yīng)用與安全,在道路鋪設(shè)時常要規(guī)劃坡度的大小.那么“坡度”是如何來刻

3、畫道路的傾斜程度的呢?二、探究新知一、直線的傾斜角 定義當直線l與x軸相交時,以x軸為基準,x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角規(guī)定當直線l與x軸平行或重合時,規(guī)定直線l的傾斜角為0記法圖示范圍0180作用(1)表示平面直角坐標系內(nèi)一條直線的傾斜程度;(2)確定平面直角坐標系中一條直線位置的幾何要素是:直線上的一個定點以及它的傾斜角,二者缺一不可點睛：傾斜角還可以這樣定義:在平面直角坐標系中,對于一條與x軸相交的直線,把x軸所在的直線繞著交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)過的最小正角稱為這條直線的傾斜角.并規(guī)定:與x軸平行或重合的直線的傾斜角為0.1.下列圖中表示直線傾

4、斜角為()答案:C 2.直線x=1的傾斜角= .答案:90 二、直線的斜率1.定義與表示定義(為直線的傾斜角)90一條直線的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率=90直線斜率不存在記法常用小寫字母k表示,即k=tan 范圍R作用用實數(shù)反映了平面直角坐標系內(nèi)的直線的傾斜程度2.填表:斜率與傾斜角的對應(yīng)關(guān)系 90;0; (0，); (，0) 3思考辨析(1)任一直線都有傾斜角，都存在斜率()(2)傾斜角為135的直線的斜率為1.()(3)若一條直線的傾斜角為，則它的斜率為ktan .()(4)直線斜率的取值范圍是(，)()【解析】(1)傾斜角為90時，斜率不存在(2)斜率應(yīng)為1.(3)斜率有可能不存在

5、(4)4一條直線的斜率等于1，則此直線的傾斜角等于_答案：45ktan 1.45.5如圖，直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則()Ak1k2k3 Bk3k1k2 Ck3k2k1 Dk1k3k2答案：D由圖可知，k10，k2k30.故選D.我們知道，兩點也可以唯一確定一條直線。如果知道直線上的兩點，怎么樣來求直線的斜率(傾斜角)呢？ 當為銳角時，在中，若為鈍角呢？你還能用其它方法推導(dǎo)這個公式嗎？ 三、直線的斜率公式如果直線經(jīng)過兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),(x1x2),則直線的斜率公式為k=y2-y1x2-x1.點睛：1.運用公式的前提是x1x2,即直線不與x軸垂直

6、.2.斜率公式與P1,P2在直線上的位置無關(guān),在直線上任取兩點,得到的斜率是相同的.3.需注意公式中橫、縱坐標之差的順序,也可以寫成k=y2-y1x2-x1.即下標的順序一致. 6.已知點P1(3,5),P2(-1,-3),則直線P1P2的斜率k等于()A.2 B.1 C.12 D.不存在答案:A例1 已知直線l過原點,l繞原點按順時針方向轉(zhuǎn)動角(0180)后,恰好與y軸重合,求直線l轉(zhuǎn)動前的傾斜角是多少?思路分析:畫草圖標記找傾斜角與的關(guān)系求傾斜角解:由題意畫出如下草圖.由圖可知:當為鈍角時,傾斜角為-90,當為銳角時,傾斜角為+90,當為直角時,傾斜角為0.綜上,直線l轉(zhuǎn)動前的傾斜角為+9

7、0(090),-90(90180). 直線的傾斜角的求法 求直線的傾斜角主要根據(jù)定義,其關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形,找準傾斜角,有時要根據(jù)情況分類討論.跟蹤訓(xùn)練1. 設(shè)直線l過坐標原點,它的傾斜角為,如果將l繞坐標原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45,得到直線l1,那么l1的傾斜角為()A.+45 B.-135C.135- D.當0135時,傾斜角為+45;當135180時,傾斜角為-135解析:根據(jù)題意,畫出圖形,如圖所示:因為0180,顯然A,B,C未分類討論,均不全面,不合題意.通過畫圖(如圖所示)可知:當0135時,l1的傾斜角為+45;當1350,解得1m2.延伸探究2 若將本例中的“N(2m,1)

8、”改為“N(3m,2m)”,其他條件不變,結(jié)果如何?解:(1)由題意知m-1-2mm+1-3m=1,解得m=2.(2)由題意知m+1=3m,解得m=12. 直線斜率的計算方法(1)判斷兩點的橫坐標是否相等,若相等,則直線的斜率不存在.(2)若兩點的橫坐標不相等,則可以用斜率公式k=y2-y1x2-x1(其中x1x2)進行計算.金題典例 光線從點A(2,1)射到y(tǒng)軸上的點Q,經(jīng)y軸反射后過點B(4,3),試求點Q的坐標及入射光線的斜率.解:(方法1)設(shè)Q(0,y),則由題意得kQA=-kQB.kQA=1-y2,kQB=3-y4,1-y2=-3-y4.解得y=53,即點Q的坐標為0,53,k入=k

9、QA=1-y2=-13.(方法2)設(shè)Q(0,y),如圖,點B(4,3)關(guān)于y軸的對稱點為B(-4,3), kAB=1-32+4=-13,由題意得,A、Q、B三點共線.從而入射光線的斜率為kAQ=kAB=-13.所以,有1-y2=1-32+4,解得y=53,點Q的坐標為(0,53). 光的反射問題中,反射角等于入射角,但反射光線的斜率并不等于入射光線的斜率.當鏡面水平放置時,它們之間是互為相反數(shù)的關(guān)系.另外,在光的反射問題中也經(jīng)常使用對稱的方法求解.跟蹤訓(xùn)練2 一束光線從點A(-2,3)射入,經(jīng)x軸上點P反射后,通過點B(5,7),求點P的坐標.解:(方法1)由光的反射原理,知kAP=-kBP,

10、設(shè)P(x,0),則0-3x-(-2)=-0-7x-5,解得x=110,即點P的坐標是(110,0).(方法2)由題意,知x軸是鏡面,入射點A(-2,3)關(guān)于x軸的對稱點為A1(-2,-3),則點A1應(yīng)在反射光線所在的直線上,即A1,P,B三點共線,即kA1P=kPB,0+3x+2=75-x,解得x=110,即點P的坐標是(110,0).通過生活中的現(xiàn)實情境，提出問題，幫助學(xué)生建立傾斜角與斜率的概念，引導(dǎo)學(xué)生回顧初中坡腳概念及三角函數(shù)知識，為直線傾斜角和斜率作知識上的準備。由坐標系中的直線，讓學(xué)生理解直線傾斜角和斜率的概念。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。 通過典型例題

11、的分析和解決，讓學(xué)生加深對直線傾斜角和斜率概念的理解，提升概念運用能力。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。通過典例解析，進一步讓理解直線傾斜角和斜率的概念，提升推理論證能力，進一步體會坐標法解決問題的基本思想。三、達標檢測1.若直線l經(jīng)過第二、第四象限,則直線l的傾斜角范圍是()A.090 B.90180 C.90180 D.0180答案:C2.過點A(-3,2)與點B(-2,3)的直線的傾斜角為()A.45B.135C.45或135D.60解析:kAB=3-2-2-(-3)=3-23-2=1,故直線的傾斜角為45.答案:A 3.過點P(-2,m),Q(m,4)的直線的斜率為1,

12、那么m的值為()A.1或4B.4 C.1或3 D.1 解析:由k=m-4-2-m=1,得m=1. 答案:D 4.光線從點A(-2,3)射到x軸上的B點后,被x軸反射,這時反射光線恰好過點C(1,23),則光線BC所在直線的傾斜角為.解析:點A(-2,3)關(guān)于x軸的對稱點為A(-2,-3),由物理知識知kBC=kAC=23-(-3)1-(-2)=3,所以所求傾斜角為60.答案:60 5直線l過點P(1,0)，且與以A(2,1)，B(0，)為端點的線段有公共點，求直線l的斜率和傾斜角的取值范圍【解析】如圖所示kAP1，kBP，k(，1，)，45120.通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)五、課時練通過總結(jié)，讓學(xué)生進一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力。教學(xué)的指導(dǎo)思想是：讓學(xué)生親身體驗直線的傾斜角與斜率這兩個數(shù)學(xué)概念形成的過程。因為數(shù)學(xué)課程要講邏輯推理，更要講道理，要通過典型例子的分析和學(xué)生的自