數(shù)列求和方法匯編及典題訓(xùn)練

1、 數(shù)列求和方法匯編【教學(xué)目標(biāo)】一、知識(shí)目標(biāo)1熟練掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式；2能運(yùn)用倒序相加、錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消等重要的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行求和運(yùn)算； 3熟記一些常用的數(shù)列的和的公式二、能力目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生的“合情推理能力”、“等價(jià)轉(zhuǎn)化”和“演繹歸納”的數(shù)學(xué)思想方法，以及創(chuàng)新意識(shí)，滲透運(yùn)用定義、分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想三、情感目標(biāo)通過(guò)數(shù)列求和的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)，使學(xué)生體會(huì)知識(shí)之間的聯(lián)系和差異，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣【教學(xué)重點(diǎn)】1求數(shù)列的和注意方法的選取：關(guān)鍵是看數(shù)列的通項(xiàng)公式； 2求和過(guò)程中注意分類(lèi)討論思想的運(yùn)用；3轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用；【教學(xué)難點(diǎn)】錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)梳理

2、】1直接法：即直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求和。（1）等差數(shù)列的求和公式： （2）等比數(shù)列的求和公式（切記：公比含字母時(shí)一定要討論）2公式法： 3錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來(lái)求，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的比如4裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和常見(jiàn)拆項(xiàng)公式： ； 5分組求和法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列相加或相減組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和而后相加減6并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，

3、則稱之為并項(xiàng)求和形如an(1)nf(n)類(lèi)型，可采用兩項(xiàng)合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.7倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列an的前n項(xiàng)中首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的8其它求和法：如歸納猜想法，奇偶法，導(dǎo)數(shù)法等【典型例題】題型一、公式法求和 例題1：已知數(shù)列an是首項(xiàng)a14，公比q1的等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，且4a1，a5，2a3成等差數(shù)列(1)求公比q的值；(2)求Tna2a4a6a2n的值【解析】(1)由題意得2a54a12a3

4、.an是等比數(shù)列且a14，公比q1，2a1q44a12a1q2，q4q220，解得q22(舍去)或q21，q1.(2)a2，a4，a6，a2n是首項(xiàng)為a24(1)4，公比為q21的等比數(shù)列，Tnna24n.【點(diǎn)評(píng)】應(yīng)用公式法求和時(shí)，要保證公式使用的正確性，尤其要區(qū)分好等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式變式1：已知數(shù)列滿足，（1）證明是等差數(shù)列；（2）求【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于等差數(shù)列的絕對(duì)值的求和，我們一般是轉(zhuǎn)化為分段求和來(lái)解決題型二、分組求和例題2：求和： 【解析】：（1）當(dāng)時(shí)，（2）當(dāng)【點(diǎn)評(píng)】：1、通過(guò)分組，直接用公式求和。2、運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，要注意公比討論。變式2：已知數(shù)列xn的

5、首項(xiàng)x13，通項(xiàng)xn2npnq(nN*，p，q為常數(shù))，且x1，x4，x5成等差數(shù)列求：(1)p，q的值；(2)數(shù)列xn前n項(xiàng)和Sn的公式【解析】(1)由x13，得2pq3，又因?yàn)閤424p4q，x525p5q，且x1x52x4，得325p5q25p8q，解得p1，q1.(2)由(1)，知xn2nn，所以Sn(2222n)(12n)2n12.【點(diǎn)評(píng)】 對(duì)于不能由等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式直接求和的問(wèn)題，一般需要將數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行合理的拆分，轉(zhuǎn)化成若干個(gè)等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和題型三、裂項(xiàng)相消法求和例題3 ：數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求它的前n項(xiàng)和【解析】： = 【點(diǎn)評(píng)】：裂項(xiàng)相消法求和的關(guān)鍵是

6、數(shù)列的通項(xiàng)可以分解成兩項(xiàng)的差，且這兩項(xiàng)是同一數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)，即這兩項(xiàng)的結(jié)構(gòu)應(yīng)一致，并且消項(xiàng)時(shí)前后所剩的項(xiàng)數(shù)相同. 變式3：求和【解析】變式4在數(shù)列an中，an，又bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.【解析】an.bn8.Sn88.變式5等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，成等差數(shù)列，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，依題意，有即所以由于，解之得或又，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）（2）解：由（1），得 所以所以故數(shù)列的前項(xiàng)和【點(diǎn)評(píng)】有時(shí)候需要根據(jù)實(shí)際情況自己去拼湊。題型四、錯(cuò)位相減法求和例題4：已知數(shù)列，求前n項(xiàng)和。 【解析】 當(dāng) 當(dāng)【點(diǎn)評(píng)】1、已知數(shù)列各項(xiàng)是等差數(shù)

7、列1，3，5，2n-1與等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)積，可用錯(cuò)位相減法求和。2、運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，要注意公比討論。3、錯(cuò)位相減法的求解步驟：在等式兩邊同時(shí)乘以等比數(shù)列的公比；將兩個(gè)等式相減；利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式求和.變式5已知 ，求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.【解析】 得【點(diǎn)評(píng)】注意識(shí)別數(shù)列形式，運(yùn)用相應(yīng)的方法題型五、倒序相加法求和例題5：求證：【解析】令則 等式成立【點(diǎn)評(píng)】解題時(shí)，認(rèn)真分析對(duì)某些前后具有對(duì)稱性的數(shù)列，可以運(yùn)用倒序相加法求和.變式6：已知函數(shù)（1）證明：；（2）求的值.【解析】： 兩式相加得： 所以.題型六、并項(xiàng)求和例6：Sn10029929829722212【解析】Sn100

8、29929829722212(10099)(9897)(21)5 050.【點(diǎn)評(píng)】一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和形如an(1)nf(n)類(lèi)型，可采用兩項(xiàng)合并求解題型七、其它求和方法（歸納猜想法，奇偶法等供參考）例7：已知數(shù)列?！窘馕觥浚?，若若【點(diǎn)評(píng)】：，通過(guò)分組，對(duì)n分奇偶討論求和。變式7：已知數(shù)列的通項(xiàng)，求其前項(xiàng)和【解析】：奇數(shù)項(xiàng)組成以為首項(xiàng)，公差為12的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)組成以為首項(xiàng)，公比為4的等比數(shù)列；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)有項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)有項(xiàng)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別有項(xiàng)， ，所以，例8：借助導(dǎo)數(shù)求和【解析】【點(diǎn)評(píng)】本題可以用錯(cuò)位相減法完成，用導(dǎo)數(shù)法求和也可以。變式

9、8：借助導(dǎo)數(shù)求和【解析】由二項(xiàng)式定理。求導(dǎo)得，令得【方法與技巧總結(jié)】1 數(shù)列求和需注意方法的選?。宏P(guān)鍵是看數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)通項(xiàng)選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ?2求和過(guò)程中注意分類(lèi)討論思想的運(yùn)用；【鞏固練習(xí)】1求下列數(shù)列的前項(xiàng)和：（1）5，55，555，5555，； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）（7）1，2、已知等差數(shù)列an的前3項(xiàng)和為6，前8項(xiàng)和為4.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn(4an)qn1(q0，nN*)，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.3、已知等差數(shù)列，求4、設(shè)是等差數(shù)列，是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且，（I）求，的通項(xiàng)公式；（II）求數(shù)列的前n項(xiàng)和5、已知，求（1）；（2）【

10、課后作業(yè)】1.等比數(shù)列的前項(xiàng)和S2，則_.2.設(shè)，則_.3. .4. =_5. 數(shù)列的通項(xiàng)公式 ，前n項(xiàng)和 6 的前n項(xiàng)和為_(kāi)7、在數(shù)列an中，a11，當(dāng)n2時(shí)，其前n項(xiàng)和Sn滿足San.(1)求Sn的表達(dá)式；(2)設(shè)bn，求bn的前n項(xiàng)和Tn.8、已知等差數(shù)列an滿足a20，a6a810.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和9,、設(shè)數(shù)列an滿足a13a232a33n1an，nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.10、已知數(shù)列的通項(xiàng)為：，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn11、求證：（1）點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為定值；，【拓展訓(xùn)練】1數(shù)列an滿足：a11，且對(duì)任意的

11、m，nN*都有：amnamanmn，則 ( )ABCD2數(shù)列an、bn都是公差為1的等差數(shù)列，若其首項(xiàng)滿足a1b15，a1b1，且a1，b1N*，則數(shù)列前10項(xiàng)的和等于 ( )A100B85C70D553設(shè)m=12+23+34+(n-1)n，則m等于 ( )A. B.n(n+4) C.n(n+5) D.n(n+7)4若Sn=1-2+3-4+(-1)n-1n，則S17+S3350等于 ( )A.1 B.-1 C.0 D.25設(shè)an為等比數(shù)列,bn為等差數(shù)列，且b1=0,cn=an+bn,若數(shù)列cn是1,1,2,則cn的前10項(xiàng)和為 ( )A.978 B.557 C.467 D.97961002-

12、992+982-972+22-12的值是 ( )A.5000 B.5050 C.10100 D.202007一個(gè)有2001項(xiàng)且各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，其奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和之比為 .8若12+22+(n-1)2=an3+bn2+cn，則a= ,b= ,c= .9、已知數(shù)列an是首項(xiàng)為a1，公比q的等比數(shù)列，設(shè)bn23logan(nN*)，數(shù)列cn滿足cnanbn.(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Sn.10、設(shè)數(shù)列an滿足a13a232a33n1an，nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.11、已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a11，公差d0，且其

13、第二項(xiàng)、第五項(xiàng)、第十四項(xiàng)分別是等比數(shù)列bn的第二、三、四項(xiàng)(1)求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列cn對(duì)任意自然數(shù)n均有成立求c1c2c3c2003的值12、已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足:Sn=2an+(-1)n,n1.(1)求證數(shù)列an+(-1)n是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3)證明：對(duì)任意的整數(shù)m4,有13、已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖像上。（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，求使得對(duì)所有都成立的最小正整數(shù)m；【參考答案】鞏固練習(xí)答案1、解：（1）（2），（3）（4）， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， ， ， 兩式相減得 ，

14、（5）， 原式（6）設(shè)， 又， ，（7）和式中第k項(xiàng)為ak12.Sn2222n22、(1)設(shè)an的公差為d，則由已知得即解得a13，d1，故an3(n1)4n.(2)由(1)知，bnnqn1，于是Sn1q02q13q2nqn1，若q1，上式兩邊同乘以q.qSn1q12q2(n1)qn1nqn，兩式相減得：(1q)Sn1q1q2qn1nqnnqn.Sn.若q1，則Sn123n，Sn3、4、5、課后作業(yè)答案1、 2、 3、 4、5、 6。7、解(1)San，anSnSn1(n2)，S(SnSn1)，即2Sn1SnSn1Sn，由題意Sn1Sn0，式兩邊同除以Sn1Sn，得2，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2

15、的等差數(shù)列12(n1)2n1，Sn.(2)又bn，Tnb1b2bn.8、解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由已知條件可得解得故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n.(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，Sn.記Tn1，則Tn，得：Tn1，Tn.即Tn4.Sn444.9、解(1)a13a232a33n1an，當(dāng)n2時(shí)，a13a232a33n2an1，得：3n1an，an.當(dāng)n1時(shí)，a1也適合上式，an.(2)bnn3n，Sn13232333n3n，則3Sn32233334n3n1，得：2Sn332333nn3n1n3n1(13n)n3n1.Sn(13n).10、11、3、拓展訓(xùn)練答案1解：amnamanmn，a

16、n1ana1nan1n，利用疊加法得到：，答案：A.2解：ana1n1，bnb1n1a1bn1a1(b1n1)1a1b1n25n2n3則數(shù)列也是等差數(shù)列，并且前10項(xiàng)和等于：答案：B.3解：因?yàn)?an=n2-n.，則依據(jù)分組集合即得.答案;A.4解：對(duì)前n項(xiàng)和要分奇偶分別解決，即： Sn=答案：A5解 由題意可得a1=1,設(shè)公比為q,公差為d,則q2-2q=0,q0,q=2,an=2n-1,bn=(n-1)(-1)=1-n,cn=2n-1+1-n,Sn=978.答案：A6解：并項(xiàng)求和，每?jī)身?xiàng)合并，原式=(100+99)+(98+97)+(2+1)=5050.答案：B7 解： 設(shè)此數(shù)列an,其中

17、間項(xiàng)為a1001,則S奇=a1+a3+a5+a2001=1001a1001,S偶=a2+a4+a6+a2000=1000a1001.答案: 8解： 原式=答案：9、(1)由題意，知ann(nN*)，又bn3logan2，故bn3n2(nN*)(2)由(1)，知ann，bn3n2(nN*)，cn(3n2)n(nN*)Sn14273(3n5)n1(3n2)n，于是Sn124374(3n5)n(3n2)n1，兩式相減，得Sn3(3n2)n1(3n2)n1，Snn(nN*)10、(1)a13a232a33n1an，當(dāng)n2時(shí)，a13a232a33n2an1，得：3n1an，an.當(dāng)n1時(shí)，a1也適合上式

18、，an.(2)bnn3n，Sn13232333n3n，則3Sn32233334n3n1，得：2Sn332333nn3n1n3n1(13n)n3n1.Sn(13n).11、解：(1)由題意得(a1d)(a113d)(a14d)2(d0)解得d2，an2n1，可得bn3n1(2)當(dāng)n1時(shí)，c13；當(dāng)n2時(shí)，由，得cn23n1，故故c1c2c3c20033232322320023200312、(1)證明 由已知得an=Sn-Sn-1=2an+(-1)n-2an-1-(-1)n-1(n2),化簡(jiǎn)得 an=2an-1+2(-1)n-1(n2),上式可化為 an+(-1)n=2an-1+(-1)n-1(n2),a1=1,a1+(-1)1=.故數(shù)列an+(-1)n是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列.(2)解 由（1）可知an