隨機變量與概率分布

1、西安交通大學 Xian Jiaotong University數(shù)學與統(tǒng)計學院數(shù)學與統(tǒng)計學院 赫孝良赫孝良理科樓理科樓-310-310Email: 西安交通大學1.1.一維隨機變量一維隨機變量第二章第二章 隨機變量與概率分布隨機變量與概率分布前面引入了隨機試驗、前面引入了隨機試驗、樣本空間，隨機事件的樣本空間，隨機事件的概率等概率等如：如： 擲擲硬幣、硬幣、袋中取球、袋中取球、等待報時的時間；等待報時的時間；如何很好地認識、識別如何很好地認識、識別各種隨機各種隨機試驗？試驗？隨機試驗隨機試驗各種各樣：各種各樣：投投骰子、骰子、 透過透過隨機試驗隨機試驗表面現(xiàn)象，抓住其數(shù)量本質，給表面現(xiàn)象，抓住其

2、數(shù)量本質，給出一個恰當?shù)拿枋觥３鲆粋€恰當?shù)拿枋?。將微積分中的變量推廣來描述隨機試驗。將微積分中的變量推廣來描述隨機試驗。1 1 隨機變量與分布函數(shù)隨機變量與分布函數(shù)西安交通大學“把試驗結果數(shù)量化把試驗結果數(shù)量化”產(chǎn)品檢驗中的產(chǎn)品檢驗中的“正品正品”、“次品次品”，取球模型中，取球模型中的的 “ “紅球紅球”、“白球白球”都可以用此變量描述。都可以用此變量描述。例例1. 擲一枚勻稱的硬幣，觀察正面、反面的出現(xiàn)情擲一枚勻稱的硬幣，觀察正面、反面的出現(xiàn)情 況。這一試驗的所有可能結果況。這一試驗的所有可能結果=H，T ，其中其中 H 表示表示“正面朝上正面朝上”，T 表示表示“背面朝上背面朝上”。引入

3、變量引入變量X，描述試驗的兩個結果描述試驗的兩個結果: :1,( ).HXX T，0，當當西安交通大學定義定義1 1隨機變量的分析隨機變量的分析隨機變量是樣本點的描述，它具有下述特點：隨機變量是樣本點的描述，它具有下述特點：設設 E 為一隨機試驗為一隨機試驗， 為為 E 的樣本空間的樣本空間，若若 X = X()，為單值實函數(shù)為單值實函數(shù)，且對于任意實且對于任意實數(shù)數(shù) x，集合集合 | X() x 都是隨機事件都是隨機事件，則稱則稱 X 為為隨機變量隨機變量（random variable) ?？s寫為縮寫為 r.v. 。1 1）“變變量量”性質：可以取不同的值。性質：可以取不同的值。 （與確定

4、性變量相同）（與確定性變量相同）2 2）“隨機隨機”性質：性質：集合集合 | X() x 都是隨機事件。都是隨機事件。 （與確定性變量不同）（與確定性變量不同）西安交通大學 在不必強調(diào)在不必強調(diào)時，通常省去時，通常省去，簡記，簡記 X() 為為 X， 將集合將集合| X()x 簡記為簡記為 Xx 。 1,( )0,AAIA設設 A 為隨機事件，為隨機事件，令令,( )AxR Ix ,0,01,1,xAxx,( )AxR Ix 可見對可見對都是事件都是事件, ,( )AI故故為隨機變量。為隨機變量。集集A的的示性函數(shù)示性函數(shù)例例2 2西安交通大學隨機變量可以描述隨機變量可以描述試驗試驗 的的各種

5、各種隨機事件隨機事件E1: : 西安市西安市區(qū)區(qū)冬天冬天的的氣溫氣溫, , 樣本空間為：樣本空間為：10, 5110, 5,)(X則則X為隨機變量為隨機變量令令隨機事件隨機事件: :氣溫高于零度氣溫高于零度氣溫在氣溫在3 3至至8 8度之間度之間氣溫不高于氣溫不高于5 5度度0X5X53 XE2：某網(wǎng)站：某網(wǎng)站1分鐘的點擊量分鐘的點擊量,樣本空間為樣本空間為: :100,.,11,101100,.,11,10,)(X, ,則則X為隨機變量為隨機變量令令隨機事件隨機事件: :點擊量點擊量不低于不低于5050次次點擊量點擊量在在8080至至9090次之間次之間點擊量點擊量不高于不高于1515次次5

6、0X15X9080 X西安交通大學 隨機變量概念的產(chǎn)生在概率論發(fā)展史上有重隨機變量概念的產(chǎn)生在概率論發(fā)展史上有重要意義。有了隨機變量，可借助微積分等近現(xiàn)代要意義。有了隨機變量，可借助微積分等近現(xiàn)代數(shù)學工具來研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性。數(shù)學工具來研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性。西安交通大學稱 F(x) 為 X 的分布函數(shù)（ distribution function ）。定義定義2.22.2( ),F xP Xxx 設設 X 為隨機變量，記為隨機變量，記 隨機事件可由隨機變量描述隨機事件可由隨機變量描述, ,求隨機事件的求隨機事件的概率也可以通過隨機變量來得到概率也可以通過隨機變量來得到. .( )(

7、).F bF aP aXbP XaP Xb由由F(x)可計算可計算X 落在任意區(qū)間落在任意區(qū)間( a , b的概率。的概率。分布函數(shù)分布函數(shù)F(x)的值就表示X落在區(qū)間 的概率概率.xoxX ,(x西安交通大學分布函數(shù)的性質分布函數(shù)的性質(1) F (x) 是單調(diào)增是單調(diào)增(不減不減 )函數(shù)，即函數(shù)，即 ;,2121xFxFxx有()F limxF x limxF x()F 0 1 (2) 0( )1F x且且(3) F(x) 右連續(xù)，即右連續(xù)，即 )()(lim00 xFxFxx西安交通大學 (1) 當 x2 x1 時， 證證: :F(x2) - F(x1) = Px1 X x2 0. (2

8、) 因 F(x) = P X x ，由概率的性質， 0P X x 1 , 故 0F(x)1，x(-，+). 利用概率的連續(xù)性0)()(lim) 1(lim)(lim)(PAPxXPxXPFnnxx設A1, A2, An ,是事件列，若,1iiAA,.,2 , 1,1nAAnn則有)(lim)(nnAPAP nXAn,.,2 , 1,1nAAnn記記則則1iiA故故同樣得同樣得1)()(lim)(lim)(PxXPxXPFxx西安交通大學(3)xxXxPxFxxFxx000000(lim)()(limxnxnxXxPn21),1(lim00概率概率的單調(diào)性的單調(diào)性概率的連續(xù)性概率的連續(xù)性 反之反

9、之, ,如果一個函數(shù)滿足上述三條性質如果一個函數(shù)滿足上述三條性質，那么那么它必定是某個隨機變量的分布函數(shù)它必定是某個隨機變量的分布函數(shù)。 0)( P證畢證畢西安交通大學隨機變量的分類隨機變量的分類離散型隨機變量非離散型隨機變量連續(xù)型連續(xù)型隨機變量奇異型奇異型隨機變量隨機變量隨機變量可能的取值是隨機變量可能的取值是有限多個或無限可列個有限多個或無限可列個隨機變量可能的隨機變量可能的取值是某個區(qū)間取值是某個區(qū)間西安交通大學2 2 離散型隨機變量離散型隨機變量 定義定義3 設設隨機變量隨機變量X 的所有可能值為的所有可能值為 x1，x2， （有限或無限）（有限或無限） 則稱則稱X為離散為離散隨機變量

10、，而隨機變量，而 pi = PX = xi ( i = 1，2， ) 稱為稱為 X 的的分布律分布律，或，或概率函數(shù)概率函數(shù)。 Xx1 x2 xn pip1 p2 pn 也記為:或或1212nnxxxXppp西安交通大學分布律的性質分布律的性質 (1) pi 0 (i =1，2，)；11iip(2)證證:(2)X = xi ( i = 1，2， ) 構成互斥完備事件完備事件組組1iixX1)()(111PxXPxXPpiiiiii故故證畢證畢西安交通大學 隨機變量隨機變量X 的分布律的分布律 pi = PX=xi ( i =1，2，)， 指出了全部概率指出了全部概率 1 在其可能值集合在其可能

11、值集合x1，x2，上的分布情況上的分布情況，故也稱其為故也稱其為 X 的的概率分布概率分布。 x幾何表示幾何表示x1 x2 xn 由由X 的分布律可容易地求得它的分布函數(shù)的分布律可容易地求得它的分布函數(shù)xxixxiiipxXPxXPxF)(西安交通大學例例3 3 某射擊運動員射中十環(huán)的概率是某射擊運動員射中十環(huán)的概率是0.8，求他兩次，求他兩次 獨立射擊射中十環(huán)次數(shù)獨立射擊射中十環(huán)次數(shù)X的分布率與分布函數(shù)的分布率與分布函數(shù).解：解： X可取值為可取值為0,1,2 ; PX =0=(0.2)(0.2)=0.04 PX =1= 2(0.8)(0.2) =0.32 PX =2=(0.8)(0.8)=

12、0.64X0 1 2pi0.04 0.32 0.64X的分布率為的分布率為0)()(PxXPxF當x0 時,當0 x1 時,04. 0)0()(XPxXPxF西安交通大學當1 x2 時,36. 0) 1()0()(XPXPxXPxF當 x 2 時,1)2() 1()0()(XPXPXPxXPxF2, 121,36. 010,04. 00, 0)(xxxxxF故故X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為x xy y0 01 12 20.360.361 10.040.04西安交通大學問題問題: : 已知離散型隨機變量已知離散型隨機變量X 的分布函數(shù)的分布函數(shù) F(x)，如，如何確定何確定 X 的分布律？的分布律

13、？西安交通大學典型離散型隨機變量及其概率分布典型離散型隨機變量及其概率分布 1 1）單點分布）單點分布 若隨機變量若隨機變量X 僅取一個值僅取一個值, X= a， PX= a=1，則稱則稱 X 服從服從單點分布單點分布，記為，記為 單點分布又稱為單點分布又稱為退化分布退化分布。1aX西安交通大學2 2）兩點分布）兩點分布 若若隨機變量隨機變量X的分布律為的分布律為PX=a0=1-p，PX=a1= p， 其中其中 0p 0，k=0,1,n10 1 2(), , ,.kkn kknpC ppkn 記記又由二項式定理知又由二項式定理知 1)1()1 (00nknknkknnkkppppCp所以所以

14、pk , k = 0,1,2,n 是概率分布。是概率分布。 西安交通大學若隨機變量若隨機變量X 的分布律為的分布律為10 1(), ,.,kkn knP XkC ppkn 其中其中0 p 0為常數(shù)，則稱為常數(shù)，則稱 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為的泊松分布的泊松分布，簡記為簡記為 X P()。 4)4)泊松分布泊松分布0 1 2, , .!kP Xkekk , 0!ekk1!0eeekkk因為因為所以所以 確實是概率分布。確實是概率分布。 .2 , 1,!kekpkk西安交通大學泊松分布與二項分布的比較泊松分布與二項分布的比較西安交通大學泊松分布的應用泊松分布的應用 二十世紀初盧瑟福和蓋克兩位科學家

15、在觀察二十世紀初盧瑟福和蓋克兩位科學家在觀察與分析放射性物質放出的粒子個數(shù)的情況時與分析放射性物質放出的粒子個數(shù)的情況時, ,他他們做了們做了26082608次觀察次觀察( (每次時間為每次時間為7.57.5秒秒) )發(fā)現(xiàn)放射發(fā)現(xiàn)放射性物質在規(guī)定的一段時間內(nèi)性物質在規(guī)定的一段時間內(nèi), , 其放射的粒子數(shù)其放射的粒子數(shù)X 服從泊松分布服從泊松分布. . 后來，人們發(fā)現(xiàn)很多現(xiàn)象都服從泊松分布，后來，人們發(fā)現(xiàn)很多現(xiàn)象都服從泊松分布，例如：例如： 地震；火山爆發(fā)；特大洪水；地震；火山爆發(fā)；特大洪水； 商場的顧客數(shù)；醫(yī)院急診病人數(shù)；商場的顧客數(shù)；醫(yī)院急診病人數(shù)； 交換臺的電話呼喚次數(shù)；交換臺的電話呼喚次

16、數(shù)； 某地發(fā)生的交通事故的次數(shù)；某地發(fā)生的交通事故的次數(shù)； 一本書一頁中的印刷錯誤數(shù)；等一本書一頁中的印刷錯誤數(shù)；等西安交通大學 某商店過去的銷售記錄表明，某一種商品每月的銷售件數(shù)可以用參數(shù) = 5的泊松分布來描述。為了以 99.9 % 以上的把握保證不脫銷，問該商店在每月初至少應進多少件這種商品（假定上個月無存貨）？ 例例6 6解解:由條件 X P(5)，而15!511NkkekNXPNXP設該店每月銷售這種商品 X 件，月初應進貨 N 件，當X N 時，才不會脫銷。西安交通大學欲使欲使P XN 0.999，即，即5150.001,!kk Nek查附表查附表2，得，得 N+1=14，故，故

17、N=13 。西安交通大學2 2 連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量 定義定義 4 設設隨機變量隨機變量X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為F(x) , 若存在非負若存在非負可積可積函數(shù)函數(shù) f(x),(- x+ )，使對任意實數(shù)使對任意實數(shù)x，都有都有xdttfxF)()(則稱則稱X為連續(xù)型隨機變量，為連續(xù)型隨機變量， 并稱并稱f(x)為為X的的概率密度概率密度. 西安交通大學分布函數(shù)與概率密度的幾何表示分布函數(shù)與概率密度的幾何表示f (t)O Ot tF(x)x西安交通大學概率密度的性質概率密度的性質常用這兩條性質研判一常用這兩條性質研判一個函數(shù)能否作為連續(xù)型個函數(shù)能否作為連續(xù)型隨機變量隨機變量的的 概率密

18、度概率密度(4) 若若 f ( x )在在 x 點處連續(xù)，則有點處連續(xù)，則有 (3) 對于任意實數(shù)對于任意實數(shù)a、b，且，且 ab，有，有 .1)()2(dxxf0)()1 (xfbadttfaFbFbXaP)()()()()(xfxF西安交通大學性質性質(3)(3)的幾何意義的幾何意義 f (t)O Ot tPaXbab性質性質(4)(4)的概率意義的概率意義 0( )( )( )limxF xxF xf xx0( )limxP xXxxx單位長度上分布著的概率單位長度上分布著的概率概率密度概率密度xxfxxXxP)(還可得還可得西安交通大學1).1).連續(xù)型連續(xù)型隨機變量隨機變量的分布函數(shù)

19、的分布函數(shù)F (x) 必為連續(xù)函數(shù)必為連續(xù)函數(shù) 幾點說明：幾點說明：xxxxdttfdttfdttfxFxF00)()()()()(000 xx事實上事實上2).2).連續(xù)型連續(xù)型隨機變量隨機變量X 取任一實數(shù)的概率為取任一實數(shù)的概率為0，即，即 PX=x = 0事實上事實上xXxxxXx, 0故故 xxFxFxXxxPxXP0令令x0+ ，由，由 F(x) 的連續(xù)性，得的連續(xù)性，得 PX=x = 0西安交通大學 3) 3) 概率為概率為0 0的事件未必是不可能事件。的事件未必是不可能事件。 概率為概率為1 1的事件未必是必然事件。的事件未必是必然事件。AAP0)(由此可以得到如下結論：由此可

20、以得到如下結論：AAP1)()()(bXaPbXaP)(bXaP)(bXaP4) 對對連續(xù)型連續(xù)型隨機變量隨機變量X, 有有西安交通大學., 1,100, 0, 0)(2axxbxaxxF例例7 7 設設連續(xù)型連續(xù)型隨機變量隨機變量X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 1）確定常數(shù)）確定常數(shù)a， b 2) 求求X的的概率密度概率密度解解: : 1) 因為因為X 是連續(xù)型隨機變量是連續(xù)型隨機變量,故故F (x) 連續(xù)連續(xù) 故故 a=0， b=1/100,lim)(lim)0(000abxaxFFxx, 11lim)(lim)10(10002xxxFFba西安交通大學., 0,100,50, 0, 0)(

21、)(axxxxxFxf2)., 1,100,100, 0, 0)(2axxxxxF故故西安交通大學典型連續(xù)型隨機變量及其分布典型連續(xù)型隨機變量及其分布 1 1） 均勻分布均勻分布則稱則稱X在區(qū)間在區(qū)間( a, b)上服從均勻分布上服從均勻分布，X U(a, b)若若 r.v. X 的概率密度為的概率密度為：記作記作其中其中a、b為常數(shù)并且為常數(shù)并且 - a b 0 ，則稱，則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 , 2的的正態(tài)正態(tài)分布分布(高斯分布高斯分布) ),記為記為 XN( , 2)。dxedxetx222121)2(2)(0)()1 (xf顯然顯然2xt1西安交通大學0222dtedtett002

22、22dyedxeyxdxdyeDyx222令令 x =cos，y =sin，得，得D: 第一象限第一象限D: 0 /2, 0 +2/00222deddtet西安交通大學 ( (1) 1) 單峰對稱單峰對稱 密度曲線關于直線密度曲線關于直線x=x= 對稱；對稱；正態(tài)分布的兩個特點正態(tài)分布的兩個特點：21)()( fxfMaxf (x)o ox參數(shù)參數(shù) 決定了圖形的中心位置決定了圖形的中心位置西安交通大學(2) (2) 概率分布的概率分布的集中度集中度 越大，越大，密度密度曲線越平坦，曲線越平坦， 越小，越小，密度密度曲線越陡峻曲線越陡峻。 = 2o ox = 1 = 0.50.20.40.8參數(shù)

23、參數(shù) 決定了圖形中峰的陡峭程度決定了圖形中峰的陡峭程度. .西安交通大學 標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布 參數(shù)參數(shù) 0， 21的正態(tài)分布稱為的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布, 記作記作XN(0, 1)。f (x)o ox0.4標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布的概率密度、分布函數(shù)分別用符號的概率密度、分布函數(shù)分別用符號(x)、(x)表示，即表示，即 2212( ),xxex 2212( ),.txxedtx 西安交通大學)(1)() 1 (xx標準正態(tài)分布的性質標準正態(tài)分布的性質dtedtedtexxttxt222222212121)()(121122xduexutu西安交通大學xtdtexXPxXPx

24、YP222)(21證證：ts).(x若若XN( , 2)，則則 且且),1 , 0( NXY).()(xxXPxF任意一個正態(tài)分布都可以任意一個正態(tài)分布都可以通過線性變換化為標準正通過線性變換化為標準正態(tài)分布。態(tài)分布。(2) 命題命題xsdse2221).()(xxYPxXPxF證畢證畢西安交通大學 書末附有標準正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，可以方便地書末附有標準正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，可以方便地查詢查詢(x)的數(shù)的數(shù)值。值。正態(tài)分布表正態(tài)分布表dtexxt2221)(當當 x 0.99, 故車門的設計高度至少應為184 cm，方可保證男子與車門碰頭的概率在 0.01 以下。 由得得西安交通大學 10 一種

25、電子元件的使用壽命（小時）服從正一種電子元件的使用壽命（小時）服從正態(tài)分布態(tài)分布(1000,80(1000,802 2 ), ),某儀器上裝有某儀器上裝有3 3個這種元件，三個個這種元件，三個元件損壞與否是相互獨立的元件損壞與否是相互獨立的. .求使用求使用950950小時內(nèi)無一元小時內(nèi)無一元件損壞的概率件損壞的概率. .例例950 10009501950180()pP XP X 解解: :因為因為 X N(1000, 802)故任一元件故任一元件950950小時內(nèi)不損壞的概率為小時內(nèi)不損壞的概率為10 6250 6250 7340(.)( .). 設設Y為為使用使用950950小時內(nèi)不損壞的

26、元件數(shù)小時內(nèi)不損壞的元件數(shù), ,故故333 333310 3954().P YC ppp 則由獨立性條件，有則由獨立性條件，有 Y Y B(3, p)B(3, p)西安交通大學例例1010設設 X N ( , 2), 求求解解333|XPXP3|XP)3()3(9974. 01)3(2西安交通大學 X的取值幾乎全部集中在區(qū)間的取值幾乎全部集中在區(qū)間 內(nèi)內(nèi)3 原理原理（準則）（準則） 在一次試驗中，正態(tài)變量在一次試驗中，正態(tài)變量 X 取值于區(qū)間取值于區(qū)間( - 3 , +3 ) 內(nèi)的概率為內(nèi)的概率為 0.9974， 因而超出此因而超出此區(qū)間概率很小。區(qū)間概率很小。3,3 如在質量監(jiān)控中，常用標準

27、指標值如在質量監(jiān)控中，常用標準指標值3 3 作兩條作兩條線，當生產(chǎn)過程的指標觀察值落在兩線之外時發(fā)出線，當生產(chǎn)過程的指標觀察值落在兩線之外時發(fā)出警報，表明生產(chǎn)出現(xiàn)異常。警報，表明生產(chǎn)出現(xiàn)異常。西安交通大學正態(tài)分布的應用正態(tài)分布的應用 正態(tài)分布是應用最為廣泛的分布，它在概率正態(tài)分布是應用最為廣泛的分布，它在概率統(tǒng)計中占有特別重要的地位。統(tǒng)計中占有特別重要的地位。各種測量的誤差；各種測量的誤差； 人體的高度；人體的高度；學生的考試成績；學生的考試成績；工廠產(chǎn)品的尺寸；工廠產(chǎn)品的尺寸； 農(nóng)作物的收獲量；農(nóng)作物的收獲量；海洋波浪的高度；海洋波浪的高度； 金屬線抗拉強度；金屬線抗拉強度；電流強度；電流強

28、度；西安交通大學3) 3) 指數(shù)分布指數(shù)分布 若若 r .v X具有概率密度具有概率密度0, 00,)(xxexfx其中其中 00為常數(shù)，則稱為常數(shù)，則稱X X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 00的的指數(shù)分布。指數(shù)分布。 記記作作 X Exp( )0 0yxy = f (x)0)()1 (xf顯然顯然1)()2(0dxedxxfx西安交通大學指數(shù)分布的分布函數(shù)為指數(shù)分布的分布函數(shù)為0, 00,1)(xxexFx0 0yxy = F (x)西安交通大學 設某類日光燈管的使用壽命設某類日光燈管的使用壽命 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 =1/1500的指數(shù)分布的指數(shù)分布(單位單位:小時小時).(1)任取一只這種燈

29、管任取一只這種燈管, 求能正常使用求能正常使用1000小時以小時以 上的概率上的概率. (2) 有一只這種燈管已經(jīng)正常使用了有一只這種燈管已經(jīng)正常使用了800 小時以小時以 上上,求還能使用求還能使用1000小時以上的概率小時以上的概率. 0, 0, 0,e1)(15001xxxFxX 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為解解:例例5 西安交通大學1000) 1 (XP10001XP)1000(1F5134. 02(XXP800800,1800XPXXP8001800XPXP800118001XPXP)800(1)1800(1FF.5134. 0ee/安

30、交通大學若若 X Exp( )，則對任意，則對任意 s, t 0，有，有指數(shù)分布的性質指數(shù)分布的性質 無記憶性無記憶性事實上事實上命題命題|tXPsXtsXP,|sXPtsXPsXPsXtsXPsXtsXP)(tXPdxeeeedxedxetxtstssxtsx永遠年輕永遠年輕在已知壽命超過在已知壽命超過s s歲的條件下，還能活過歲的條件下，還能活過t t年年 的概率與其出生時，能活過的概率與其出生時，能活過t t年的概率相同。年的概率相同。西安交通大學指數(shù)分布的應用場合指數(shù)分布的應用場合隨機服務系統(tǒng)中的服務時間。隨機服務系統(tǒng)中的服務時間。電話問題中的通話時間；電話問題中的通話時間；電子元件的使用壽命電