3.2011年隨機(jī)過(guò)程-第3章PPT課件

1、2021/7/231 主講教師：蔡吉花主講教師：蔡吉花 黑龍江科技學(xué)院黑龍江科技學(xué)院2021/7/232第第3章章 泊松（泊松（Poisson)過(guò)程過(guò)程1計(jì)數(shù)過(guò)程則且滿足：（4）對(duì)任意兩個(gè)時(shí)刻210tt ，3.1 Poisson過(guò)程定義和例子過(guò)程定義和例子2021/7/233注：注：1. 如果在不相交的時(shí)間區(qū)間中發(fā)生的事件個(gè)數(shù)是獨(dú)如果在不相交的時(shí)間區(qū)間中發(fā)生的事件個(gè)數(shù)是獨(dú) 立的，則稱(chēng)計(jì)數(shù)過(guò)程為獨(dú)立增量過(guò)程。立的，則稱(chēng)計(jì)數(shù)過(guò)程為獨(dú)立增量過(guò)程。2泊松過(guò)程定義泊松過(guò)程定義1滿足2. 若在任一時(shí)間區(qū)間中發(fā)生的事件個(gè)數(shù)的分布只依賴(lài)若在任一時(shí)間區(qū)間中發(fā)生的事件個(gè)數(shù)的分布只依賴(lài)于時(shí)間區(qū)間的長(zhǎng)度，則稱(chēng)計(jì)數(shù)過(guò)程

2、是平穩(wěn)增量過(guò)程。于時(shí)間區(qū)間的長(zhǎng)度，則稱(chēng)計(jì)數(shù)過(guò)程是平穩(wěn)增量過(guò)程。設(shè) 隨 機(jī) 過(guò) 程 )(tX，0t是 一 個(gè) 計(jì) 數(shù) 過(guò) 程 ，（1）0)0(X（2）)(tX是獨(dú)立增量過(guò)程（3）對(duì)任一長(zhǎng)度為 t 的區(qū)間中事件的個(gè)數(shù)服從均值為t（0）的泊松分布，即對(duì)一切0, ts，有)()(ksXstXPtkekt!)(, 2 , 1 , 0k則稱(chēng)則稱(chēng)2021/7/234說(shuō)明說(shuō)明 要確定計(jì)數(shù)過(guò)程是泊松過(guò)程，必須證明它滿足三個(gè)條件：為此給出一個(gè)與泊松過(guò)程等價(jià)的定義為此給出一個(gè)與泊松過(guò)程等價(jià)的定義條件（1）只是說(shuō)明事件的計(jì)數(shù)是從時(shí)刻0t開(kāi)始條件（2）通常可從對(duì)過(guò)程的了解的情況去直接驗(yàn)證然而全然不清楚如何去確定條件（3

3、）是否滿足注意：注意：從條件（3）可知泊松過(guò)程有平穩(wěn)增量，且ttXE)(并稱(chēng)為此過(guò)程的速率或強(qiáng)度速率或強(qiáng)度（單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生的事件的平均個(gè)數(shù)）（單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生的事件的平均個(gè)數(shù)）2021/7/235則稱(chēng)則稱(chēng)其中)(h表示當(dāng)0h時(shí)對(duì)h 的高階無(wú)窮小，參 數(shù) 為（0） ，滿足3、泊松過(guò)程等價(jià)的定義泊松過(guò)程等價(jià)的定義2以下證明泊松過(guò)程以下證明泊松過(guò)程2種定義等價(jià)：由種定義等價(jià)：由(3)(4)成立成立( )( )np tp X tntkekt!)(2021/7/2362021/7/2372021/7/2382021/7/239例例1顧客到達(dá)某商店服從參數(shù)4人/小時(shí)的泊松過(guò)程，已知商店上午9：00開(kāi)門(mén)，試求

4、到9：30時(shí)僅到一位顧客，而到11：30時(shí)總計(jì)已達(dá)5位顧客的概率。解解(0.5)1,(2.5)5)P NN(0.5)1,(2.5)(0.5)4)P NNN(0.5)1)(2)4)P NP N5 . 041! 1)5 . 04(e244! 4)24(e0155. 0設(shè) 表示在時(shí)間t時(shí)到達(dá)的顧客數(shù)( )N t2021/7/23102.2 泊松（泊松（Poisson)過(guò)程的基本性質(zhì)過(guò)程的基本性質(zhì) 一、泊松（一、泊松（Poisson)過(guò)程數(shù)字特征過(guò)程數(shù)字特征 設(shè) 是泊松過(guò)程，由定義，當(dāng)故( ),0X t t st( )( )( )( )()E X tX sD X tX sts22( )( )( )(0

5、)( )( )( )(0)( , )( )( )( )( )( )( ) = ( )(0) ( )( )( ) = ( )(0) E( )( )() XXXmtE X tE X tXtDtD X tD X tXtRs tE X s X tE X s X tX sX sE X sXX tX sE X sE X sXX tX sss2 =()()(1)( , )( , )( )( )XXXXstsssstBs tRs tmt mss 2021/7/2311若連續(xù)型隨機(jī)變量若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為的概率密度為 分布函數(shù)為分布函數(shù)為 則稱(chēng)則稱(chēng)X具有參數(shù)為具有參數(shù)為 的指數(shù)分布。的指數(shù)分布。 0,

6、00,)(xxexfx0, 00,1)()(xxedyyfxFxx)0（ 211,E XD X數(shù)字特征數(shù)字特征1、指數(shù)分布、指數(shù)分布二、二、到達(dá)時(shí)間間隔與等待時(shí)間的分布2021/7/23122、到達(dá)時(shí)間間隔的分布定義則稱(chēng)iW（, 2 , 1i）表示事件第 i 次發(fā)生的等待時(shí)間nW，1n為等待時(shí)間序列到第n次發(fā)生之間的時(shí)間間隔則稱(chēng)1WnniiT顯 然 ：2021/7/2313定理定理1證證或則到達(dá)時(shí)間 間隔序列，21TT是相互獨(dú) 立的隨機(jī) 變量序列 ，且都有相同的均值為/1的指數(shù)分布。事件tT 1的發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)沒(méi)有泊松事件在0t，內(nèi)發(fā)生故當(dāng)0t時(shí)，有1( )0P TtP N ttteet!0)(

7、01tTPte1故1T的分布函數(shù)為(t)設(shè)N，t0是參數(shù)為 的泊松過(guò)程2021/7/2314那么類(lèi)似地有0,00,1)(1ttetFtT即1T是服從均值為/1的指數(shù)分布。又因2T為事件第一次發(fā)生到第二次發(fā)生之間的時(shí)間間隔，|112sTtTP|,(1111sTtssP內(nèi)沒(méi)有事件發(fā)生在,(11內(nèi)沒(méi)有事件發(fā)生在tssP（增量的獨(dú)立性）11()( )0P N stN s( )(0)0P N tN（獨(dú)立增量過(guò)程）( )0tP N te2021/7/2315可見(jiàn)可見(jiàn)一般地2T也服從均值為/1的指數(shù)分布且2T與1T獨(dú)立同分布。對(duì)1n和0121nssst，,|112211nnnsTsTsTtTP內(nèi)沒(méi)有事件發(fā)生

8、在,(1111tssssPnn,|112211nnsTsTsT內(nèi)沒(méi)有事件發(fā)生在,(1111tssssPnn1111()()0nnNP N sstss( )(0)0P N tN( )0tP N te2021/7/2316這就證明了到達(dá)時(shí)間間隔序列這就證明了到達(dá)時(shí)間間隔序列 是相互獨(dú)是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且都具有相同均值為立同分布的隨機(jī)變量序列，且都具有相同均值為 的指數(shù)分布。的指數(shù)分布。例例3nT（1n）/1甲、乙兩路公共汽車(chē)都通過(guò)某一車(chē)站，兩路汽車(chē)的到達(dá)分別服從10分鐘1輛（甲），15分鐘1輛（乙）的泊松分布。假定車(chē)總不會(huì)滿員，試問(wèn)可乘坐甲或乙兩路公共汽車(chē)的乘客在此車(chē)站所需等待時(shí)間的

9、概率分布及其期望。解解反映甲、乙兩路公共汽車(chē)到達(dá)情況的泊松分布下面證明兩路車(chē)混合到達(dá)過(guò)程 服從強(qiáng)度為( )N t21的泊松分布2021/7/2317事實(shí)上2)因此由定理1知公共汽車(chē)的到達(dá)時(shí)間間隔服從均值為6分鐘的指數(shù)分布。 再由指數(shù)分布的無(wú)記憶性，這位乘客的等待時(shí)間也服從均值為6分鐘的指數(shù)分布。2021/7/2318定理定理3.3其概率密度為證證)(tf)!1()(1ntent，0t因?yàn)樗詎W的分布函數(shù)為)(tWPtFn( )P N tntnkkekt!)(0t3、等待時(shí)間的分布等待時(shí)間的分布2021/7/2319于是nW的概率密度為)()(tFtftnkkekt)!1()(1tnkkekt

10、)!()(tnent)!1()(1tnkkekt11)!1()(tnkkekt)!()()!1()(1ntent它是它是n個(gè)相互獨(dú)立的服從指數(shù)分布個(gè)相互獨(dú)立的服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量之和的概率密度的隨機(jī)變量之和的概率密度2021/7/2320例：P351212(1)1(2)12(1)(2)1( )( )W( )W( )WW ).kkX tX tX tX t和是兩個(gè)相互獨(dú)立的強(qiáng)度為 和 的泊松過(guò)程，記表示的第k次事件到達(dá)的時(shí)間；表示的第1次事件到達(dá)的時(shí)間；求P2021/7/23212021/7/2322定理定理3.4概率密度為注注 在在N(t)=n下下 獨(dú)立且同時(shí)服從獨(dú)立且同時(shí)服從(0,t上上的均

11、勻分布。的均勻分布。1 E22niitntW Nn即（t)=n0t 其它,00,!),(2121tttttntttfnnn12,.,nW WW2021/7/23232021/7/2324其它,00,!),(2121txxxtnxxxfnnn2021/7/23252021/7/23262021/7/23272021/7/23282021/7/23292021/7/23302021/7/23312021/7/23322021/7/23332021/7/23341!1( )1,0()!(1)!Kkn kWnxxfx N tnxtnkkttt2021/7/23352021/7/23362021/7/2

12、3372021/7/2338例例8 設(shè)設(shè) 為具有強(qiáng)度函數(shù)為具有強(qiáng)度函數(shù) 的非時(shí)齊的非時(shí)齊Poission過(guò)程，求過(guò)程，求 例例9 設(shè)某路公共汽車(chē)從早晨5時(shí)到晚上9時(shí)有車(chē)發(fā)出，乘客流量如下：5時(shí)按平均乘客為200人/時(shí)；5時(shí)到8時(shí)乘客平均到達(dá)率按線性增加，8時(shí)到達(dá)率為1400人/時(shí)； 8時(shí)到18時(shí)保持平均到達(dá)率不變； 18時(shí)到21時(shí)從達(dá)率1400人/時(shí)按線性下降， 21時(shí)到達(dá)率為200人/時(shí)。假定乘客數(shù)在不相重疊時(shí)間間隔內(nèi)是相互獨(dú)立的，求12時(shí)到14時(shí)有2000人來(lái)站乘客的概率，并求這兩個(gè)小時(shí)內(nèi)來(lái)站乘客人數(shù)的數(shù)學(xué)期望。 P380, )(ttN1( )(1 cos)2tt( ),( )E X tD

13、 X t 。2021/7/23392021/7/23402021/7/23412021/7/23422021/7/2343設(shè)某飛機(jī)場(chǎng)到達(dá)的客機(jī)數(shù)服從的泊松過(guò)程，平均每小時(shí)到達(dá)的客機(jī)數(shù)為5架，客機(jī)共有A,B,C三種機(jī)型，它們承載的客機(jī)數(shù)分別為180人，145人，80人，且這三種飛機(jī)出現(xiàn)的概率相等，求在3小時(shí)內(nèi)到達(dá)機(jī)場(chǎng)的乘客數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差。例例10解解( )122( )( ),1()(18014580)1353(3)5*3*1352025(t)D(Y)+( )()?nN tnnnnYnX tX tYE YE XD XtE YtEYD Y設(shè)表示第 架飛機(jī)的乘客數(shù)，表示,(0,t)小時(shí)內(nèi)到達(dá)機(jī)場(chǎng)的乘客數(shù)，則2021/7/2344設(shè)移民到某地區(qū)定居的戶(hù)數(shù)服從泊松過(guò)程，平均每周有2戶(hù)定居，如果每戶(hù)的人口數(shù)是隨機(jī)變量，每戶(hù)的人口數(shù)共有A,B,C,D四種情形，一戶(hù)4人的概率為0.15,一戶(hù)3