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文檔簡介
1、2021/7/231 主講教師:蔡吉花主講教師:蔡吉花 黑龍江科技學院黑龍江科技學院2021/7/232第第3章章 泊松(泊松(Poisson)過程過程1計數(shù)過程則且滿足:(4)對任意兩個時刻210tt ,3.1 Poisson過程定義和例子過程定義和例子2021/7/233注:注:1. 如果在不相交的時間區(qū)間中發(fā)生的事件個數(shù)是獨如果在不相交的時間區(qū)間中發(fā)生的事件個數(shù)是獨 立的,則稱計數(shù)過程為獨立增量過程。立的,則稱計數(shù)過程為獨立增量過程。2泊松過程定義泊松過程定義1滿足2. 若在任一時間區(qū)間中發(fā)生的事件個數(shù)的分布只依賴若在任一時間區(qū)間中發(fā)生的事件個數(shù)的分布只依賴于時間區(qū)間的長度,則稱計數(shù)過程
2、是平穩(wěn)增量過程。于時間區(qū)間的長度,則稱計數(shù)過程是平穩(wěn)增量過程。設 隨 機 過 程 )(tX,0t是 一 個 計 數(shù) 過 程 ,(1)0)0(X(2))(tX是獨立增量過程(3)對任一長度為 t 的區(qū)間中事件的個數(shù)服從均值為t(0)的泊松分布,即對一切0, ts,有)()(ksXstXPtkekt!)(, 2 , 1 , 0k則稱則稱2021/7/234說明說明 要確定計數(shù)過程是泊松過程,必須證明它滿足三個條件:為此給出一個與泊松過程等價的定義為此給出一個與泊松過程等價的定義條件(1)只是說明事件的計數(shù)是從時刻0t開始條件(2)通??蓮膶^程的了解的情況去直接驗證然而全然不清楚如何去確定條件(3
3、)是否滿足注意:注意:從條件(3)可知泊松過程有平穩(wěn)增量,且ttXE)(并稱為此過程的速率或強度速率或強度(單位時間內(nèi)發(fā)生的事件的平均個數(shù))(單位時間內(nèi)發(fā)生的事件的平均個數(shù))2021/7/235則稱則稱其中)(h表示當0h時對h 的高階無窮小,參 數(shù) 為(0) ,滿足3、泊松過程等價的定義泊松過程等價的定義2以下證明泊松過程以下證明泊松過程2種定義等價:由種定義等價:由(3)(4)成立成立( )( )np tp X tntkekt!)(2021/7/2362021/7/2372021/7/2382021/7/239例例1顧客到達某商店服從參數(shù)4人/小時的泊松過程,已知商店上午9:00開門,試求
4、到9:30時僅到一位顧客,而到11:30時總計已達5位顧客的概率。解解(0.5)1,(2.5)5)P NN(0.5)1,(2.5)(0.5)4)P NNN(0.5)1)(2)4)P NP N5 . 041! 1)5 . 04(e244! 4)24(e0155. 0設 表示在時間t時到達的顧客數(shù)( )N t2021/7/23102.2 泊松(泊松(Poisson)過程的基本性質(zhì)過程的基本性質(zhì) 一、泊松(一、泊松(Poisson)過程數(shù)字特征過程數(shù)字特征 設 是泊松過程,由定義,當故( ),0X t t st( )( )( )( )()E X tX sD X tX sts22( )( )( )(0
5、)( )( )( )(0)( , )( )( )( )( )( )( ) = ( )(0) ( )( )( ) = ( )(0) E( )( )() XXXmtE X tE X tXtDtD X tD X tXtRs tE X s X tE X s X tX sX sE X sXX tX sE X sE X sXX tX sss2 =()()(1)( , )( , )( )( )XXXXstsssstBs tRs tmt mss 2021/7/2311若連續(xù)型隨機變量若連續(xù)型隨機變量X的概率密度為的概率密度為 分布函數(shù)為分布函數(shù)為 則稱則稱X具有參數(shù)為具有參數(shù)為 的指數(shù)分布。的指數(shù)分布。 0,
6、00,)(xxexfx0, 00,1)()(xxedyyfxFxx)0( 211,E XD X數(shù)字特征數(shù)字特征1、指數(shù)分布、指數(shù)分布二、二、到達時間間隔與等待時間的分布2021/7/23122、到達時間間隔的分布定義則稱iW(, 2 , 1i)表示事件第 i 次發(fā)生的等待時間nW,1n為等待時間序列到第n次發(fā)生之間的時間間隔則稱1WnniiT顯 然 :2021/7/2313定理定理1證證或則到達時間 間隔序列,21TT是相互獨 立的隨機 變量序列 ,且都有相同的均值為/1的指數(shù)分布。事件tT 1的發(fā)生當且僅當沒有泊松事件在0t,內(nèi)發(fā)生故當0t時,有1( )0P TtP N ttteet!0)(
7、01tTPte1故1T的分布函數(shù)為(t)設N,t0是參數(shù)為 的泊松過程2021/7/2314那么類似地有0,00,1)(1ttetFtT即1T是服從均值為/1的指數(shù)分布。又因2T為事件第一次發(fā)生到第二次發(fā)生之間的時間間隔,|112sTtTP|,(1111sTtssP內(nèi)沒有事件發(fā)生在,(11內(nèi)沒有事件發(fā)生在tssP(增量的獨立性)11()( )0P N stN s( )(0)0P N tN(獨立增量過程)( )0tP N te2021/7/2315可見可見一般地2T也服從均值為/1的指數(shù)分布且2T與1T獨立同分布。對1n和0121nssst,,|112211nnnsTsTsTtTP內(nèi)沒有事件發(fā)生
8、在,(1111tssssPnn,|112211nnsTsTsT內(nèi)沒有事件發(fā)生在,(1111tssssPnn1111()()0nnNP N sstss( )(0)0P N tN( )0tP N te2021/7/2316這就證明了到達時間間隔序列這就證明了到達時間間隔序列 是相互獨是相互獨立同分布的隨機變量序列,且都具有相同均值為立同分布的隨機變量序列,且都具有相同均值為 的指數(shù)分布。的指數(shù)分布。例例3nT(1n)/1甲、乙兩路公共汽車都通過某一車站,兩路汽車的到達分別服從10分鐘1輛(甲),15分鐘1輛(乙)的泊松分布。假定車總不會滿員,試問可乘坐甲或乙兩路公共汽車的乘客在此車站所需等待時間的
9、概率分布及其期望。解解反映甲、乙兩路公共汽車到達情況的泊松分布下面證明兩路車混合到達過程 服從強度為( )N t21的泊松分布2021/7/2317事實上2)因此由定理1知公共汽車的到達時間間隔服從均值為6分鐘的指數(shù)分布。 再由指數(shù)分布的無記憶性,這位乘客的等待時間也服從均值為6分鐘的指數(shù)分布。2021/7/2318定理定理3.3其概率密度為證證)(tf)!1()(1ntent,0t因為所以nW的分布函數(shù)為)(tWPtFn( )P N tntnkkekt!)(0t3、等待時間的分布等待時間的分布2021/7/2319于是nW的概率密度為)()(tFtftnkkekt)!1()(1tnkkekt
10、)!()(tnent)!1()(1tnkkekt11)!1()(tnkkekt)!()()!1()(1ntent它是它是n個相互獨立的服從指數(shù)分布個相互獨立的服從指數(shù)分布的隨機變量之和的概率密度的隨機變量之和的概率密度2021/7/2320例:P351212(1)1(2)12(1)(2)1( )( )W( )W( )WW ).kkX tX tX tX t和是兩個相互獨立的強度為 和 的泊松過程,記表示的第k次事件到達的時間;表示的第1次事件到達的時間;求P2021/7/23212021/7/2322定理定理3.4概率密度為注注 在在N(t)=n下下 獨立且同時服從獨立且同時服從(0,t上上的均
11、勻分布。的均勻分布。1 E22niitntW Nn即(t)=n0t 其它,00,!),(2121tttttntttfnnn12,.,nW WW2021/7/23232021/7/2324其它,00,!),(2121txxxtnxxxfnnn2021/7/23252021/7/23262021/7/23272021/7/23282021/7/23292021/7/23302021/7/23312021/7/23322021/7/23332021/7/23341!1( )1,0()!(1)!Kkn kWnxxfx N tnxtnkkttt2021/7/23352021/7/23362021/7/2
12、3372021/7/2338例例8 設設 為具有強度函數(shù)為具有強度函數(shù) 的非時齊的非時齊Poission過程,求過程,求 例例9 設某路公共汽車從早晨5時到晚上9時有車發(fā)出,乘客流量如下:5時按平均乘客為200人/時;5時到8時乘客平均到達率按線性增加,8時到達率為1400人/時; 8時到18時保持平均到達率不變; 18時到21時從達率1400人/時按線性下降, 21時到達率為200人/時。假定乘客數(shù)在不相重疊時間間隔內(nèi)是相互獨立的,求12時到14時有2000人來站乘客的概率,并求這兩個小時內(nèi)來站乘客人數(shù)的數(shù)學期望。 P380, )(ttN1( )(1 cos)2tt( ),( )E X tD
13、 X t 。2021/7/23392021/7/23402021/7/23412021/7/23422021/7/2343設某飛機場到達的客機數(shù)服從的泊松過程,平均每小時到達的客機數(shù)為5架,客機共有A,B,C三種機型,它們承載的客機數(shù)分別為180人,145人,80人,且這三種飛機出現(xiàn)的概率相等,求在3小時內(nèi)到達機場的乘客數(shù)的數(shù)學期望與方差。例例10解解( )122( )( ),1()(18014580)1353(3)5*3*1352025(t)D(Y)+( )()?nN tnnnnYnX tX tYE YE XD XtE YtEYD Y設表示第 架飛機的乘客數(shù),表示,(0,t)小時內(nèi)到達機場的乘客數(shù),則2021/7/2344設移民到某地區(qū)定居的戶數(shù)服從泊松過程,平均每周有2戶定居,如果每戶的人口數(shù)是隨機變量,每戶的人口數(shù)共有A,B,C,D四種情形,一戶4人的概率為0.15,一戶3
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