實(shí)驗(yàn)四線性系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)分析

1、實(shí)驗(yàn)四實(shí)驗(yàn)四 線性系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)分析線性系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)分析 一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康囊?、?shí)驗(yàn)?zāi)康?1熟練掌握 step( )函數(shù)和 impulse( )函數(shù)的使用方法，研究線性系統(tǒng)在 單位階躍、單位脈沖及單位斜坡函數(shù)作用下的響應(yīng)。 2通過響應(yīng)曲線觀測(cè)特征參量和對(duì)二階系統(tǒng)性能的影響。 n 3熟練掌握系統(tǒng)的穩(wěn)定性的判斷方法。 二、基礎(chǔ)知識(shí)及二、基礎(chǔ)知識(shí)及 MATLABMATLAB 函數(shù)函數(shù) （一）基礎(chǔ)知識(shí) 時(shí)域分析法直接在時(shí)間域中對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析，可以提供系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的全 部信息，具有直觀、準(zhǔn)確的特點(diǎn)。為了研究控制系統(tǒng)的時(shí)域特性，經(jīng)常采用瞬 態(tài)響應(yīng)（如階躍響應(yīng)、脈沖響應(yīng)和斜坡響應(yīng)）。本次實(shí)驗(yàn)從分析系統(tǒng)的性能指 標(biāo)出

2、發(fā)，給出了在 MATLAB 環(huán)境下獲取系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)和分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn) 態(tài)性能的方法。 用 MATLAB 求系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)，將傳遞函數(shù)的分子、分母多項(xiàng)式的系數(shù)分 別以 s 的降冪排列寫為兩個(gè)數(shù)組 num、den。由于控制系統(tǒng)分子的階次 m 一般小 于其分母的階次 n，所以 num 中的數(shù)組元素與分子多項(xiàng)式系數(shù)之間自右向左逐 次對(duì)齊，不足部分用零補(bǔ)齊，缺項(xiàng)系數(shù)也用零補(bǔ)上。 1用 MATLAB 求控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng) 1）階躍響應(yīng) 求系統(tǒng)階躍響應(yīng)的指令有： step(num,den) 時(shí)間向量 t 的范圍由軟件自動(dòng)設(shè)定，階躍響應(yīng)曲線 隨即繪出 step(num,den,t) 時(shí)間向量 t 的范

3、圍可以由人工給定（例如 t=0:0.1:10） y，x=step(num,den) 返回變量 y 為輸出向量，x 為狀態(tài)向量 在 MATLAB 程序中，先定義 num,den 數(shù)組，并調(diào)用上述指令，即可生成單位 階躍輸入信號(hào)下的階躍響應(yīng)曲線圖。 考慮下列系統(tǒng)： 254 25 )( )( 2 sssR sC 該系統(tǒng)可以表示為兩個(gè)數(shù)組，每一個(gè)數(shù)組由相應(yīng)的多項(xiàng)式系數(shù)組成，并且以 s 的降冪排列。則 MATLAB 的調(diào)用語(yǔ)句： num=0 0 25; %定義分子多項(xiàng)式 den=1 4 25; %定義分母多項(xiàng)式 step(num,den) %調(diào)用階躍響應(yīng)函數(shù)求取單位階躍響應(yīng)曲 線 grid %畫網(wǎng)格標(biāo)度

4、線 xlabel(t/s),ylabel(c(t) %給坐標(biāo)軸加上說明 title(Unit-step Respinse of G(s)=25/(s2+4s+25) %給圖形加上標(biāo)題名 則該單位階躍響應(yīng)曲線如圖 2-1 所示： 為了在圖形屏幕上書寫文本，可以用 text 命令在圖上的任何位置加標(biāo)注。 例如： text(3.4,-0.06,Y1) 和 text(3.4,1.4,Y2) 第一個(gè)語(yǔ)句告訴計(jì)算機(jī)，在坐標(biāo)點(diǎn) x=3.4,y=-0.06 上書寫出Y1。類似 地，第二個(gè)語(yǔ)句告訴計(jì)算機(jī)，在坐標(biāo)點(diǎn) x=3.4,y=1.4 上書寫出Y2。 若要繪制系統(tǒng) t 在指定時(shí)間（0-10s）內(nèi)的響應(yīng)曲線，則

5、用以下語(yǔ)句： num=0 0 25; den=1 4 25; t=0:0.1:10; step(num,den,t) 即可得到系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線在 0-10s 間的部分，如圖 2-2 所示。 2）脈沖響應(yīng) 求系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的指令有： impulse (num,den) 時(shí)間向量 t 的范圍由軟件自動(dòng)設(shè)定，階躍響應(yīng)曲 圖 2-1 二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 圖 2-2 定義時(shí)間范圍的單位階躍響應(yīng) 線隨即繪出 impulse (num,den,t) 時(shí)間向量 t 的范圍可以由人工給定（例如 t=0:0.1:10） y,x=impulse(num,den) 返回變量 y 為輸出向量，x 為狀態(tài)向量 y

6、,x,t=impulse(num,den,t) 向量 t 表示脈沖響應(yīng)進(jìn)行計(jì)算的時(shí)間 例：試求下列系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)： 12 . 0 1 )( )( )( 2 ss sG sR sC 在 MATLAB 中可表示為 num=0 0 1; den=1 0.2 1; impulse(num,den) grid title(Unit-impulse Response of G(s)=1/(s2+0.2s+1) 由此得到的單位脈沖響應(yīng)曲線如圖 2-3 所示： 求脈沖響應(yīng)的另一種方法 應(yīng)當(dāng)指出，當(dāng)初始條件為零時(shí)，G (s)的單位脈沖響應(yīng)與 sG(s)的單位階躍響 應(yīng)相同?？紤]在上例題中求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)

7、，因?yàn)閷?duì)于單位脈沖輸入量， R(s)=1 所以 sss s ss sGsC sR sC1 12 . 012 . 0 1 )()( )( )( 22 因此，可以將 G(s)的單位脈沖響應(yīng)變換成 sG(s)的單位階躍響應(yīng)。 向 MATLAB 輸入下列 num 和 den，給出階躍響應(yīng)命令，可以得到系統(tǒng)的 單位脈沖響應(yīng)曲線如圖 2-4 所示。 圖 2-3 二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) num=0 1 0; den=1 0.2 1; step(num,den) grid title(Unit-step Response of sG(s)=s/(s2+0.2s+1) 3）斜坡響應(yīng) MATLAB 沒有直接調(diào)用求

8、系統(tǒng)斜坡響應(yīng)的功能指令。在求取斜坡響應(yīng)時(shí)， 通常利用階躍響應(yīng)的指令?；趩挝浑A躍信號(hào)的拉氏變換為 1/s，而單位斜坡信 號(hào)的拉氏變換為 1/s2。因此，當(dāng)求系統(tǒng) G(s)的單位斜坡響應(yīng)時(shí)，可以先用 s 除 G(s)，再利用階躍響應(yīng)命令，就能求出系統(tǒng)的斜坡響應(yīng)。 例如，試求下列閉環(huán)系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)。 1 1 )( )( 2 sssR sC 對(duì)于單位斜坡輸入量，R(s)=1/s2 ，因此 sssssss sC 1 ) 1( 11 1 1 )( 222 在 MATLAB 中輸入以下命令，得到如圖 2-5 所示的響應(yīng)曲線： num=0 0 0 1; den=1 1 1 0; step(num,den

9、) title(Unit-Ramp Response Cuve for System G(s)=1/(s2+s+1) 圖 2-4 單位脈沖響應(yīng)的另一種表示法 圖 2-5 單位斜坡響應(yīng) 2. 特征參量和對(duì)二階系統(tǒng)性能的影響 n 標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 22 2 2)( )( nn n sssR sC 二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)在不同的特征參量下有不同的響應(yīng)曲線。 1）對(duì)二階系統(tǒng)性能的影響 設(shè)定無(wú)阻尼自然振蕩頻率，考慮 5 種不同的值：)/( 1srad n =0,0.25,0.5,1.0 和 2.0，利用 MATLAB 對(duì)每一種求取單位階躍響應(yīng)曲線，分 析參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的影響。 為便于觀測(cè)和比較

10、，在一幅圖上繪出 5 條響應(yīng)曲線（采用“hold”命令實(shí)現(xiàn)）。 num=0 0 1; den1=1 0 1; den2=1 0.5 1; den3=1 1 1; den4=1 2 1; den5=1 4 1; t=0:0.1:10; step(num,den1,t) grid text(4,1.7,Zeta=0); hold step(num,den2,t) text (3.3,1.5,0.25) step(num,den3,t) text (3.5,1.2,0.5) step(num,den4,t) text (3.3,0.9,1.0) step(num,den5,t) text (3.3,

11、0.6,2.0) title(Step-Response Curves for G(s)=1/s2+2(zeta)s+1) 由此得到的響應(yīng)曲線如圖 2-6 所 示： 圖 2-6 不同時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)曲線 2）對(duì)二階系統(tǒng)性能的影響 n 同理，設(shè)定阻尼比時(shí)，當(dāng)分別取 1,2,3 時(shí)，利用 MATLAB 求取25 . 0 n 單位階躍響應(yīng)曲線，分析參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的影響。 n num1=0 0 1; den1=1 0.5 1; t=0:0.1:10; step(num1,den1,t); grid; hold on text(3.1,1.4,wn=1) num2=0 0 4; den2=1 1 4; step

12、(num2,den2,t); hold on text(1.7,1.4,wn=2) num3=0 0 9; den3=1 1.5 9; step(num3,den3,t); hold on text(0.5,1.4,wn=3) 由此得到的響應(yīng)曲線如圖 2-7 所示： 3系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷 1）直接求根判穩(wěn) roots() 控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是其特征方程的根均具有負(fù)實(shí)部。因此，為了判 別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，就要求出系統(tǒng)特征方程的根，并檢驗(yàn)它們是否都具有負(fù)實(shí)部。 MATLAB 中對(duì)多項(xiàng)式求根的函數(shù)為 roots()函數(shù)。 圖 2-7 不同時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)曲線 n 若求以下多項(xiàng)式的根，則所用的 MATLAB

13、指令24503510 234 ssss 為： roots(1,10,35,50,24) ans = -4.0000 -3.0000 -2.0000 -1.0000 特征方程的根都具有負(fù)實(shí)部，因而系統(tǒng)為穩(wěn)定的。 2）勞斯穩(wěn)定判據(jù) routh（） 勞斯判據(jù)的調(diào)用格式為：r,info=routh(den) 該函數(shù)的功能是構(gòu)造系統(tǒng)的勞斯表。其中，den 為系統(tǒng)的分母多項(xiàng)式系數(shù) 向量，r 為返回的 routh 表矩陣，info 為返回的 routh 表的附加信息。 以上述多項(xiàng)式為例，由 routh 判據(jù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 den=1,10,35,50,24; r,info=routh(den) r=1

14、35 24 10 50 0 30 24 0 42 0 0 24 0 0 info= 由系統(tǒng)返回的 routh 表可以看出，其第一列沒有符號(hào)的變化，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 注意：routh（）不是 MATLAB 中自帶的功能函數(shù)，須自編一個(gè) routh（）函數(shù)，即將下面函數(shù)保存為 routh.m 文件，在 command Window 窗口 輸入“den=1,10,35,50,24; r,info=routh(den)”上述命令即可運(yùn)行成功。 function rtab,info=routh(den) info=; vec1=den(1:2:length(den); nrT=length(vec1);

15、vec2=den(2:2:length(den)-1); rtab=vec1; vec2, zeros(1,nrT-length(vec2); for k=1:length(den)-2, alpha(k)=vec1(1)/vec2(1); for i=1:length(vec2), a3(i)=rtab(k,i+1)-alpha(k)*rtab(k+1,i+1); end if sum(abs(a3)=0 a3=polyder(vec2); info=info,All elements in row ,. int2str(k+2) are zeros; elseif abs(a3(1) ro

16、ots(2,1,3,5,10) ans = 0.7555 + 1.4444i 0.7555 - 1.4444i -1.0055 + 0.9331i -1.0055 - 0.9331i 特征方程的根不是都具有負(fù)實(shí)部，因而系統(tǒng)不穩(wěn)定。 den=2,1,3,5,10; r,info=routh(den) r =2.0000 3.0000 10.0000 1.0000 5.0000 0 -7.0000 10.0000 0 6.4286 0 0 10.0000 0 0 info = 由系統(tǒng)返回的 routh 表可以看出，其第一列有符號(hào)的變化，系統(tǒng)不穩(wěn)定。 4單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)模型為 )256)(4)(

17、2( )( 2 ssss K sG 試分別用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并求出使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的 K 值范 圍。 程序?yàn)?den=1,12,69,198,200+k; r,info=routh(den) 當(dāng) k=-201 時(shí) 結(jié)果為 r = 1.0000 69.0000 -1.0000 12.0000 198.0000 0 52.5000 -1.0000 0 198.2286 0 0 -1.0000 0 0 info = 由系統(tǒng)返回的 routh 表可以看出，其第一列有符號(hào)的變化，系統(tǒng)不穩(wěn)定 當(dāng) k=1 時(shí) r = 1.0000 69.0000 201.0000 12.0000 198.00

18、00 0 52.5000 201.0000 0 152.0571 0 0 201.0000 0 0 info = 由系統(tǒng)返回的 routh 表可以看出，其第一列沒有符號(hào)的變化，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 K=667 時(shí) r = 1.0000 69.0000 867.0000 12.0000 198.0000 0 52.5000 867.0000 0 -0.1714 0 0 867.0000 0 0 info = 由系統(tǒng)返回的 routh 表可以看出，其第一列有符號(hào)的變化，系統(tǒng)不穩(wěn)定 k=666 時(shí) r =1.0000 69.0000 866.0000 12.0000 198.0000 0 52.5000 866.0000 0 0.0571 0 0 866.0000