摩爾庫(kù)侖模型與其在FLAC3D中的應(yīng)用

1、摩爾-庫(kù)侖模型及其在FLAC3D中的應(yīng)用摘要: 本文首先闡述了塑性流動(dòng)理論的增量方程，結(jié)合摩爾庫(kù)侖破壞準(zhǔn)則和拉伸破壞準(zhǔn)則形成了FLAC3D中采用的摩爾庫(kù)侖本構(gòu)模型，并指出不同的應(yīng)力計(jì)算值條件下的計(jì)算方法。最后通過(guò)模型試驗(yàn)與解析方法進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)FLAC3D計(jì)算結(jié)果與簡(jiǎn)單模型下精確的解析解吻合較好，但在變性較大時(shí)逐漸出現(xiàn)一定偏差。關(guān)鍵詞: 摩爾-庫(kù)侖模型，增量方程，流動(dòng)法則，F(xiàn)LAC3D1. 塑性流動(dòng)理論的增量方程一般情況下，破壞準(zhǔn)則可表示為 （1） 式中，為已知屈服函數(shù)，用來(lái)判定塑性流動(dòng)開(kāi)始產(chǎn)生。在主應(yīng)力空間中，為一曲面，落在曲面內(nèi)的應(yīng)力點(diǎn)為彈性狀態(tài)。塑性狀態(tài)下的應(yīng)變?cè)隽靠杀硎緸閺椥詰?yīng)變?cè)隽亢?/p>

2、塑性應(yīng)變?cè)隽恐停?（2）彈性應(yīng)變?cè)隽亢蛷椥詰?yīng)力增量的關(guān)系表示為： （3）式中，為彈性應(yīng)變?cè)隽康木€性方程。流動(dòng)法則規(guī)定了塑性應(yīng)變?cè)隽肯蛄康姆较?，即與塑性勢(shì)面的方向垂直，表示為： （4）得到的新的應(yīng)力矢量應(yīng)滿(mǎn)足屈服方程： （5）式（5）提供了一個(gè)估計(jì)塑性應(yīng)變?cè)隽渴噶康谋磉_(dá)式。將式（2）代入式（3），且考慮到為線性函數(shù)，得： （6）再將流動(dòng)法則（4）代入得： （7）假定破壞函數(shù)為線性函數(shù)，式（5）可表示為： （8）式中，代表函數(shù)減去其常量值，。對(duì)于位于屈服面上的應(yīng)力點(diǎn)，式（8）可轉(zhuǎn)化為， （9）此時(shí)，定義新的應(yīng)力分量為： （10） （11）根據(jù)式（11），可得： （12）綜合式（9），（12），可

3、得： （13）根據(jù)應(yīng)力增量表達(dá)式（7），估算應(yīng)力（11），新的應(yīng)力（10）可表示為： （14）2. 莫爾庫(kù)倫模型（IN FLAC3D）莫爾庫(kù)倫模型的破壞包線包括兩部分，一段剪切破壞包線和一段拉伸破壞包線。與剪切破壞相對(duì)應(yīng)的是相關(guān)聯(lián)的流動(dòng)法則，與拉伸破壞對(duì)應(yīng)的是不相關(guān)聯(lián)的流動(dòng)法則。 在FLAC3D中，莫爾庫(kù)倫模型表示在，主應(yīng)力空間中，對(duì)應(yīng)的應(yīng)變分量為主應(yīng)變，。 彈性增量方程主應(yīng)力空間中，虎克定律的增量表達(dá)式可寫(xiě)為， （15）式中，和為由剪切模量和體積模量定義的材料常數(shù)。 (16)根據(jù)式（3），式（15）可改寫(xiě)為： （17）復(fù)合破壞準(zhǔn)則莫爾庫(kù)倫模型所采用的破壞準(zhǔn)則為摩爾庫(kù)侖準(zhǔn)則和最大拉應(yīng)力準(zhǔn)則。三

4、個(gè)主應(yīng)力為。破壞準(zhǔn)則在面表示如圖1。圖1 FLAC3D莫爾庫(kù)倫破壞準(zhǔn)則破壞包線，在A到B上由莫爾庫(kù)倫準(zhǔn)則定義， （18）在B到C上由拉伸破壞準(zhǔn)則定義， （19）式中，為摩擦角，為粘聚力，為抗拉強(qiáng)度 (20)由圖1可見(jiàn)，材料的抗拉強(qiáng)度不能超過(guò)和交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的值，因此抗拉強(qiáng)度的最大值為 (21)2.3 流動(dòng)法則塑性勢(shì)面由兩個(gè)方程來(lái)描述，和，分別用來(lái)定義剪切塑性流動(dòng)和拉伸塑性流動(dòng)。函數(shù)為不相關(guān)聯(lián)的流動(dòng)法則， （22）式中，為膨脹角， （23）函數(shù)為相關(guān)聯(lián)的流動(dòng)法則， （24）統(tǒng)一的流動(dòng)法可由函數(shù)定義，為和的對(duì)角線，如圖2所示。 (25) (26) (27)圖2 莫爾庫(kù)倫模型流動(dòng)法則當(dāng)由式（11）計(jì)算出的

5、對(duì)應(yīng)的應(yīng)力點(diǎn)落在圖2所示domain 1中，產(chǎn)生剪切破壞，應(yīng)力點(diǎn)在相應(yīng)曲線上，流動(dòng)法則由塑性勢(shì)方程推得。如果點(diǎn)落在domain 2中，發(fā)生拉伸破壞，新的應(yīng)力點(diǎn)在上，由流動(dòng)法則推出。2.4 塑性修正首先考慮剪切破壞的情況。式（22）進(jìn)行偏微分可得： （28）將，代換，式（17）變?yōu)椋?（29）由式（14），（18）可得： （30） 且， （31）考慮拉伸破壞的情況，類(lèi)似方法可得： （32）3. FLCA3D執(zhí)行方法當(dāng)在FLCA3D中運(yùn)行莫爾庫(kù)倫模型時(shí)，首先通過(guò)將由虎克定律計(jì)算出的應(yīng)力增量疊加到原有應(yīng)力上計(jì)算（），這時(shí)可計(jì)算出主應(yīng)力。如果主應(yīng)力達(dá)到破壞準(zhǔn)則，進(jìn)入domain 1或者domain 2

6、。在第一種情況下，產(chǎn)生剪切破壞，,由式（30）求得；在第二種情況下，產(chǎn)生拉伸破壞，,由式（32）求得。如果應(yīng)力點(diǎn)在平面上落在包線內(nèi)部，那么表明在這一步計(jì)算中沒(méi)有出現(xiàn)塑性流動(dòng)，新的主應(yīng)力為。4. 模型驗(yàn)證如圖3所示，x，z方向主應(yīng)力相等，邊界條件為 （33）式中，是試樣y方向的恒定變形速率，L為試樣高度。圖3 模型實(shí)驗(yàn)邊界條件在FLAC3D中，采用一單元進(jìn)行模擬，計(jì)算坐標(biāo)（0，1，0）在指定豎向位移下的豎向應(yīng)力并與解析解對(duì)比，結(jié)果如圖4，5。經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，解析解與數(shù)值解吻合較好，當(dāng)點(diǎn)的豎向位移較大時(shí)，存在偏差。5結(jié)論將塑性理論的增量模型及摩爾庫(kù)侖準(zhǔn)則和拉伸破壞準(zhǔn)則相結(jié)合，形成FLAC3D中采用的摩

7、爾庫(kù)侖模型。針對(duì)不同的應(yīng)力計(jì)算值，在FLAC3D中采用不同的處理方法。最后通過(guò)模型試驗(yàn)與解析方法進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)FLAC3D計(jì)算結(jié)果與簡(jiǎn)單模型下精確的解析解吻合較好，但在變形較大時(shí)逐漸出現(xiàn)一定偏差。圖4 vs Sy (膨脹角100)圖5 vs Sy (膨脹角00)6. 參考文獻(xiàn)1 Itasca Consulting Group, Inc. FLAC3D User Manuals, Version 2.1, Minneapolis, Minnesota, 2002.62 Wood，D.M. Soil Behavior and Criterion State Soil Mechanics. Cambridge: