微分學(xué)中值定理畢業(yè)論文

1、 摘 要 微分學(xué)中值定理是微分學(xué)的核心內(nèi)容，是數(shù)學(xué)分析中一個重要部分，占有舉足輕重的地位，作為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的我們，學(xué)習(xí)微分學(xué)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，可以使我們更好的掌握和學(xué)好數(shù)學(xué)分析.微分學(xué)中值定理包括四個定理，即羅爾中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒中值定理，本文講述了各定理的概念以及各定理之間的內(nèi)在聯(lián)系，中值定理的認識和學(xué)習(xí)尤為重要，通過我們認真學(xué)習(xí)掌握了微分中值定理的本質(zhì)和意義.與此同時，微分中值定理的應(yīng)用也至關(guān)重要，一般來說，微分學(xué)中值定理的基礎(chǔ)應(yīng)用主要有四個方面：討論方程根（零點）的存在性，近似值，不等式的證明，等式的證明，通過這四個方面的應(yīng)用，我們可以深層次的挖掘微分中值定理的意

2、義，再次研究微分中值定理的性質(zhì)，對研究生的學(xué)術(shù)研究頗為重要.關(guān)鍵詞:等式證明;不等式證明;方程根（零點）存在性;近似值.AbstractValue theorem in differential calculus is the core content of differential calculus, is an important part in mathematical analysis, occupies an essential position, as we will learn math, learning mid-value theorem is the basis of le

3、arning mathematics , differential calculus enables us to better grasp and learn mathematics analysis. This thesis has been introduced four different theorems ,including Lagrange theorem and Cauchy mid-value theorem Taylor mean value theorem and the internal relations between the theorem. by the unde

4、rstanding of value theorem in differential calculus and studying, we have mastered differential mean value theorem and in all aspects of the application, the application of value theorem in differential calculus are: for example, proved that when an in equation discuss the existence of the equation

5、root(zero point)and the application of approximation and so forth. Through these four aspects of application, we can deeply dig the meaning of the differential mean value theorem, to learn the properties of differential mean value theorem, again for the graduate students academic studies are signifi

6、cant.Keywords： equation to prove ; in equation to prove; the discussion of the roots (zero) in existence ; approximate value.目錄摘 要IAbstractII1 引言12 微分學(xué)中值定理的定義12.1 預(yù)備知識12.2費馬引理22.3羅爾中值定理32.4拉格朗日中值定理42.5柯西中值定理62.6泰勒中值定理103 微分學(xué)中值定理之間的關(guān)系104 微分學(xué)中值定理的應(yīng)用114.1 羅爾定理的應(yīng)用114.2 拉格朗日中值定理的應(yīng)用134.3柯西中值定理的應(yīng)用164.4泰勒中值

7、定理的應(yīng)用18結(jié)束語20參考文獻21致謝221 引言 微分學(xué)中值定理的研究開始于17世紀初期，起初由著名數(shù)學(xué)家費馬提出了費馬引理，那時候人們已經(jīng)對微分學(xué)中值定理有了初步的了解，逐漸地，人們對費馬引理不斷的探索和研究，由著名數(shù)學(xué)家羅爾，柯西，拉格朗日和泰勒將微分學(xué)中值定理推向高潮，繼而出現(xiàn)了羅爾中值定理，柯西中值定理，拉格朗日中值定理和泰勒中值定理，這幾位著名的數(shù)學(xué)家為數(shù)學(xué)的發(fā)展奠定了堅實的基礎(chǔ)，貢獻了他們畢生的心血，同時也在數(shù)學(xué)領(lǐng)域占有優(yōu)越的地位，為人類創(chuàng)造了不可估量的前景和趨勢.所以，探索和研究微分學(xué)中值定理是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，微分學(xué)中值定理是微分學(xué)的核心內(nèi)容，乃至是數(shù)學(xué)中的一個重要部分. 現(xiàn)

8、如今，人們對微分學(xué)中值定理問題的研究特別感興趣，并且研究的結(jié)果令人非常滿意，成果充實豐富，中值定理在不同方面有著不同的應(yīng)用.不僅僅是數(shù)學(xué)分析，我們學(xué)習(xí)的高等數(shù)學(xué)中也有微分中值定理的相關(guān)知識，而且無論是對數(shù)學(xué)專業(yè)還是非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)子,或者是研究生入學(xué)考試還是更深層次的學(xué)術(shù)型研究都會涉及到微分中值定理，微分中值定理不可忽視.因此，我們有必要研究有關(guān)微分學(xué)中值定理,作為數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)子，學(xué)習(xí)微分學(xué)是學(xué)習(xí)其他相關(guān)數(shù)學(xué)專業(yè)知識的新起點，可以讓我們更好的掌握和學(xué)好數(shù)學(xué)分析，研究和探索微分中值定理，它揭示了函數(shù)的本質(zhì)，函數(shù)的整體和局部相互聯(lián)系，相輔相成.此外,微分中值定理就像一座橋梁把函數(shù)和導(dǎo)數(shù)密切聯(lián)系在一起

9、，正如閉區(qū)間上的實函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)，微分中值定理是微分學(xué)不可分割的一部分，我們將四個基本的中值定理統(tǒng)稱為微分學(xué)中值定理.本文按照三大部分來寫，主要講述了四個定理的定義及證明過程，四個定理之間的內(nèi)在關(guān)系，四個定理在不同方面的不同應(yīng)用，利用微分中值定理來討論一些方程根（零點）的存在性, 對極限的求解問題，等式的證明，不等式的證明和近似值求解，通過這樣的學(xué)習(xí)，我們才能真正理解微分中值定理，才可以將數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系在一起，達到人生的更高境界.2 微分學(xué)中值定理的定義2.1 預(yù)備知識在學(xué)習(xí)微分學(xué)中值定理之前，我們先了解一些閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和相關(guān)定理.最大最小值定理：閉區(qū)間，若函數(shù)在此區(qū)間上是連續(xù)的，則

10、函數(shù)在此閉區(qū)間上有最大值與最小值.介值性定理：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù),有，若為介于與之間的任意一個實數(shù)或，則在開區(qū)間上至少存在一個點，使得.根的存在性定理：在閉區(qū)間上，函數(shù)是連續(xù)的，有與異號即，則在開區(qū)間上至少存在一個點，使得，即方程在開區(qū)間內(nèi)至少有一個實數(shù)根.引理2.2（費馬引理）在點的某個鄰域內(nèi)，設(shè)函數(shù)有定義，且在點處函數(shù)可以求導(dǎo)，若對于任意一點，使得都成立，（或），那么.證明：設(shè)為函數(shù)的一個極小值點，那么就存在，在開區(qū)間上，對于任意的一個點，使得是成立的.如果，則, 如果，則.取極限 因為在點處可導(dǎo)，所以根據(jù)極限的局部保號性有，因此.故有 即. 證畢. 費馬引理的幾何意義：在平面直角坐標系

11、中，函數(shù)的曲線如圖所示，在曲線上，若有一點,在這一點存在一條切線，且為它的一個極值點，則這一點的切線與X軸是相互平行的. Y X定理2.3（羅爾中值定理） 如果函數(shù)滿足以下三個條件：（1） 在閉區(qū)間上連續(xù)；（2） 在開區(qū)間上可導(dǎo)；（3） ， 則在開區(qū)間內(nèi)，至少存在一個點，使得. 證明：因為在閉區(qū)間上，函數(shù)是連續(xù)的，根據(jù)最大值與最小值定理， 此函數(shù)有最大值和最小值，分別用表示，現(xiàn)在討論分兩種情況：（1） 當(dāng)時，則函數(shù)在閉區(qū)間上必為一個常數(shù)，此結(jié)論是成立的.（2） 當(dāng)時,則因為，有最大值與最小值至少有一個在開 區(qū)間內(nèi)某一點處取得，因此是的一個極值點，又因為條件（2）， 函數(shù)在點處可以求導(dǎo)，所以，根

12、據(jù)費馬引理我們可以知道. 證畢.羅爾中值定理的幾何意義：在平面直角坐標系中，連續(xù)函數(shù)的曲線如圖所示，若滿足羅爾中值定理的三個條件，則連續(xù)函數(shù)曲線上至少存在一個點，使得在點處的一條切線與X軸相互平行，其. Y X定理2.4（拉格朗日中值定理) 如果函數(shù)滿足以下兩個條件：（1） 在閉區(qū)間上連續(xù)；（2） 在開區(qū)間上可導(dǎo)，則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一個點，使得 證明：法一（構(gòu)造函數(shù)法）構(gòu)造輔助函數(shù) 令，其中.因為,函數(shù)在閉區(qū)間上是連續(xù)的，在開區(qū)間上是可以求導(dǎo)的，所以,我們可以知道函數(shù)也滿足連續(xù)和可導(dǎo)這兩個條件，且我們還知道，因此，函數(shù)也滿足羅爾中值定理的三個不同的條件，即函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)至少存在一個點，使得

13、即 證畢. 法二（行列式法）構(gòu)造輔助函數(shù) 令 ， 則有 = =由此可知，在閉區(qū)間上是連續(xù)的. =0+0+ = 由此可知，在開區(qū)間上是可以求導(dǎo)的.又由， .可知 .由此根據(jù)羅爾中值定理可知函數(shù)滿足羅爾中值定理的條件，則至少存在一個點，使得.故 .證畢. 拉格朗日中值定理的幾何意義：在平面直角坐標系中，函數(shù)的曲線如圖所示，函數(shù)上至少存在一個點，曲線在該點處的一條切線與曲線兩個端點的連線是相互平行的. Y X 定理2.5（柯西中值定理）如果函數(shù)和滿足以下條件：（1），在閉區(qū)間上連續(xù)；（2），在開區(qū)間上可導(dǎo)；（3），不同時為零；（4），則存在一個點，使得.證明：法一（構(gòu)造函數(shù)法）構(gòu)造輔助函數(shù) ， 其中

14、. 已知，是連續(xù)且可導(dǎo)的函數(shù)，因此函數(shù)也在區(qū)間上連續(xù)且可以求導(dǎo)，此外有，因此我們根據(jù)羅爾中值定理的條件可以推知，至少有一個點，有 .即 故得 證畢.法二（行列式法）構(gòu)造輔助函數(shù) 令 = =由此可知在閉區(qū)間上是連續(xù)的. =0+0+ = =由此可知在開區(qū)間上可以求導(dǎo)的.因為 .所以 由此可知，根據(jù)羅爾中值定理滿足羅爾中值定理的三個條件，那么至少有一個點，使得使得 證畢. 柯西中值定理的幾何意義：在平面直角坐標系中，函數(shù)圖像如圖所示，把函數(shù)和寫作以為參數(shù)的兩個參數(shù)方程，即，其中為，的參數(shù)，且，在平面上表示一段連續(xù)曲線，存在一個點在這條曲線上，使得曲線過這一點的一條切線與過曲線兩端點和的連線是相互平行

15、的.YB AX定理2.6（泰勒中值定理）如果函數(shù)在的某個鄰域內(nèi)存在階導(dǎo)數(shù)，對任意的一個數(shù)，則函數(shù)在以與為端點的閉曲線上是連續(xù)的，在其開區(qū)間內(nèi)導(dǎo)函數(shù)是存在的，并且有，則在與之間至少存在一個點，使得其中.證明：的泰勒多項式可表示為 =. 根據(jù)已知條件我們可以看出函數(shù)與在閉區(qū)間上是連續(xù)的，在其開區(qū)間內(nèi)導(dǎo)函數(shù)是存在的，又知道，并且我們可以得出. 根據(jù)柯西中值定理有：在與之間至少存在一個點，使得其中.證畢.以后學(xué)習(xí)中用的較多的是泰勒公式在時的特殊形式,即 稱為麥克勞林公式.3 微分學(xué)中值定理之間的關(guān)系 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)和掌握了微分學(xué)四大中值定理，對各中值定理已經(jīng)有了一定的了解，并且知道各中值定理的定義，證明

16、過程和方法，各定理所表示的幾何意義，通過對中值定理的學(xué)習(xí)，我們不難發(fā)現(xiàn)各中值定理之間是相互聯(lián)系的，那它們之間具體有什么樣的關(guān)系呢？我們又該如何來探討呢？我們要解決這個問題必須通過一定的方法和手段，在此我們借用推廣和收縮的手段進行探討，這有利于我們深層次學(xué)習(xí)微分中值定理.通過仔細觀察和類比，我們從中可以觀察到，羅爾中值定理與拉格朗日中值定理只差一個條件，即，拉格朗日中值定理加上條件就變成了羅爾中值定理.相反地，如果在羅爾中值定理中減掉條件的話，顯然該定理就變成為了拉格朗日中值定理.通過這一發(fā)現(xiàn)，可以得到這樣的一個結(jié)論：羅爾中值定理通過推廣變成了拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理通過收縮變成了羅爾

17、中值定理，兩者之間的關(guān)系如同特殊與一般的關(guān)系，即由特殊到一般，又由一般到特殊.我們再來觀察拉格朗日中值定理與柯西中值定理，用同樣的觀點來探討兩者之間的關(guān)系，先來觀察柯西中值定理，假設(shè)柯西中值定理中的的話，這樣一來，拉格朗日中值定理與柯西中值定理的關(guān)系顯而易見，兩者之間的關(guān)系也是一般與特殊的關(guān)系，借用推廣與收縮的手段，即柯西中值定理通過收縮變成了拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理通過推廣變成了柯西中值定理，兩者關(guān)系密切.而對于比較復(fù)雜的函數(shù)，為了便于探索和研究，往往希望用一些簡單的函數(shù)來近似表達.因此，用多項式逼近函數(shù)已成為近似計算和理論分析的一個重要內(nèi)容，泰勒中值定理是這一定理理論的基礎(chǔ)，由柯

18、西中值定理可以推出泰勒中值定理，泰勒中值定理在一階導(dǎo)數(shù)的情況下就是拉格朗日中值定理.總的來說，四個中值定理共同形成微分學(xué)的核心內(nèi)容，它們之間相輔相成，關(guān)系密切，不可分割.我們從上面的討論中可以總結(jié)出：羅爾中值定理為微分學(xué)奠定堅實了的基礎(chǔ)，而拉格朗日中值定理也同樣重要，是微分學(xué)的核心知識，那么柯西中值定理是這一部分內(nèi)容的推廣再應(yīng)用，柯西中值定理在求極限時的可以利用羅比達法則.如果我們從幾何意義上來看微分學(xué)中值定理的話，那么它們之間又是如何的呢？若用幾何解釋即：“若一條連續(xù)的曲線，曲線上端點除外的每一點都有切線存在，并且存在的切線于軸相交的夾角不為直角；總而言之，這一類曲線具有共同的性質(zhì)，即在曲線

19、上有一個點，在這一點的一條切線與曲線端點的連線是相互平行的”.4 微分學(xué)中值定理的應(yīng)用四大中值定理的應(yīng)用尤為廣泛，在我們的平時學(xué)習(xí)中，主要有等式證明、不等式證明、討論方程根（零點）的存在性、求解近似值等方面的應(yīng)用.下面通過具體的例題來學(xué)習(xí)中值定理，更好地應(yīng)用微分中值定理，為我們的學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ).4.1 羅爾定理的應(yīng)用 羅爾中值定理是微分學(xué)中值定理的基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)羅爾中值定理有利于我們學(xué)習(xí)其它中值定理，同樣也是解決各類中值問題的依據(jù)和工具,利用羅爾中值定理解決問題步驟如下:(1)是標準形式，通過變形解決問題.(2)構(gòu)造輔助函數(shù)法，函數(shù)使得等式正如.一般情況下,將看作的函數(shù)求其原函數(shù),就可以得出所

20、需的函數(shù).(3)驗證（或）,這一步很簡單,在構(gòu)造輔助函數(shù)時就已經(jīng)考慮到了.例4,1.1 設(shè)函數(shù)在上是連續(xù)的，在內(nèi)導(dǎo)函數(shù)存在，且，則至少存在一個點，有.證明：令，則 即可得到關(guān)于參數(shù)的方程 .當(dāng)時，則 即 再令所以又因為, 所以由此可知在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，并且則根據(jù)羅爾中值定理可知，至少存在一個點，有.令，有，而因此至少存在一點，使得.例4.1.2（等式證明）設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且有，求證：在內(nèi)至少存在一個點，有.證明：作輔助函數(shù) 令則函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo),又知，滿足羅爾中值定理的條件，則至少存在一點，有.又因 所以 即 .例4.1.3 （根的存在性證明） 設(shè)，且滿足以下這個程，證明：方

21、程在內(nèi)至少有一個實根.證明：作輔助函數(shù) 則,在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，故由羅爾中值定理可知，那么存在一個點，有 又.由此即知原方程在內(nèi)有一個實數(shù)根.例4.1.4 設(shè)，證明：存在一點，使得.證明：由于在閉區(qū)間上是連續(xù)的，且在開區(qū)間內(nèi)導(dǎo)函數(shù)存在. 又有， .根據(jù)羅爾中值定理的三個條件，故存在一個點，有.4.2 拉格朗日中值定理的應(yīng)用拉格朗日中值定理應(yīng)用也很廣泛，因為它對函數(shù)的要求不是很高，應(yīng)用拉格朗日中值定理與羅爾中值定理證明問題的方法類似，只是拉格朗日中值定理的應(yīng)用變形稍微多樣一點.例4.2.1 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上是連續(xù)的，在開區(qū)間內(nèi)導(dǎo)函數(shù)存在，且有，證明：存在兩點，有.證明:將要證明的式子變形為：設(shè)

22、，根據(jù)拉格朗日中值定理，則在內(nèi)存在一個點，有 .又因 ， 所以 設(shè)，根據(jù)拉格朗日中值定理，則存在一點，使得即 故證得 .例4.2.2 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上存在二階導(dǎo)函數(shù)，有，并且存在一個點，有，試證：至少存在一個點，使得.證明：因為函數(shù)在上存在二階導(dǎo)函數(shù)，則可知在閉區(qū)間，上均存在二階導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)拉格朗日中值定理得: 存在一個點，使得. 存在一個點，使得.而導(dǎo)函數(shù)在，同樣可得.故 .例4.2.3（近似值求解） 求解近似值.解：設(shè)函數(shù)，令，即， 根據(jù)拉格朗日中值定理可得，存在一個點有 則 .例4.2.4（根的存在性證明） 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且時，為一常數(shù)，又有，試證明：方程在區(qū)間內(nèi)有唯一的實根.證明

23、：根據(jù)題目條件和連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，對函數(shù)在閉區(qū)間上應(yīng)用拉格朗日中值定理，則 因而 ,又知，根據(jù)連續(xù)函數(shù)介值性定理可知，存在一個點，有 .又因 故函數(shù)在閉區(qū)間上嚴格單調(diào)遞增，從而方程在區(qū)間內(nèi)有唯一實根.4.3柯西中值定理的應(yīng)用柯西中值定理中包含兩個不同的函數(shù),因此柯西中值定理的應(yīng)用要比羅爾定理與拉格朗日中值定理的應(yīng)用復(fù)雜一些,需要強調(diào)的一點是，我們?nèi)绾尾拍苷页鲞@兩個不同的函數(shù)，使得這兩個不同函數(shù)滿足柯西中值定理的幾個已知條件,并且證明過程相對來說比較簡單，柯西中值定理的應(yīng)用要與其他定理聯(lián)系在一起，所以解決問題時要分層次去進行.若待證公式明顯地可表示為,則很可能就是,因而可應(yīng)用柯西中值定理.4.3.

24、1 （等式證明）設(shè)，函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，導(dǎo)函數(shù)存在，則存在一個點，有.證明：令， 則，并且，在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上存在導(dǎo)函數(shù)，由柯西中值定理可知，即存在一個點，有 . 即.例4.3.2 （不等式證明）設(shè)，對的情況，求證：.分析：做商法，做差法是證明不等式的常用方法，對于該題目，我們觀察可知如果直接應(yīng)用做差或做商的顯然是不行的.我們是否可以通過變形，再應(yīng)用做商或做差呢？通過分析這個不等式，不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)時，等式兩邊就相等了，因此，我們需要分類討論.用構(gòu)造輔助函數(shù)法去解決該問題行之有效.證明：當(dāng)時結(jié)論顯然成立.當(dāng)時，取或，在該區(qū)間設(shè)，根據(jù)柯西中值定理，有： 或即當(dāng)時 ，即 又 故 即 當(dāng)時 ，則

25、故 即證得 .例4.3.3 （等式證明）設(shè)均大于零，且，證明：存在一點，使得.證明：把要證明的式子變形為：,有 從而有 令 ， 根據(jù)柯西中值定理，我們知道存在一個點，有故證得 .4.4泰勒中值定理的應(yīng)用 例4.4.1 設(shè)（1），在閉區(qū)間上連續(xù)； （2）在開區(qū)間內(nèi)存在； （3）； （4）在開區(qū)間內(nèi)存在一個點，有，求證：在開區(qū)間內(nèi)存在一個點，有.證明：根據(jù)題目的已知條件可知，存在一個點，使得函數(shù)在處取得最大值，并且根據(jù)條件(4)可知，那么也是極大值點.所以 由泰勒公式有： ，故 .例4.4.2 求的麥克勞林公式.解：因為 （） 則 近似公式： 又 另外，我們有函數(shù)的一些近似表達式：，.例4.4.3

26、 用泰勒多項式逼近正弦函數(shù)，其誤差不超過，以和兩種情況分別討論的取值范圍.解：（1）當(dāng)時，使其誤差滿足 得 （弧度）. （2）當(dāng)時，使其誤差滿足 得 （弧度).結(jié)束語 學(xué)習(xí)了微分學(xué)中值定理,我們了解了四大中值定理的基本內(nèi)容,即羅爾中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒中值定理的定義，證明方法及過程，在各不同方面的應(yīng)用，我們知道中值定理是微分學(xué)的理論核心知識，它將進一步利用導(dǎo)數(shù)理論來研究函數(shù)及其曲線的某些性態(tài)的基礎(chǔ)，把導(dǎo)數(shù)和微分貫穿起來去解決實際問題，微分學(xué)中值定理的證明除了利用構(gòu)造輔助函數(shù)，還可以利用變形等其他的證明方法加以證明，同時從羅爾定理到柯西中值定理的層次之間還存在著各種遞進關(guān)系.深入研究微分中值定理，有助于我們鞏固這些基礎(chǔ)知識，這些定理的證明方法和證明過程也特別重要，理解其